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极限思想在中学数学知识理解中的应用作者：安乐乐成波
来源：《丝路视野》2019年第03期
摘要：本文首先利用极限的思想方法给出了一类无限循环小数的一个解释，结果表明无限循环小数可能是整数。
其次，通过例题给出了无限循环小数的算术运算的方法。
最后，讨论了指数函数和三角函数某些特殊值的本质含义。
本文研究结果能够帮助学生更深入地理解无限循环小数和函数等概念内涵。
关键词：极限中学数学理解
高等數学的许多思想方法对于理解中学数学中的一些概念有着重要的指导意义，在文献中，我们可以看到运用高等数学中的一些思想方法可以更好地解决中学数学中出现的难题，理解相关概念。
本文用高等数学中的极限思想方法解决中学数学中的几个典型问题，帮助学生准确深刻理解一些中学数学概念和方法。
参考文献
[1]杨梅.浅谈中学数学极限思想方法[J].中学数学教学参考，2018（12）：40—42.
[2]韩诚.用“高观点”研究初等数学问题的实践意义分析[J].黑龙江生态工程职业学院学
报.2011（06）：15—117.
[3田鑫，李晓龙.极限思想在中学数学中的应用[J].科技信息，2014（11）：98，62.
[4]华东师范大学数学系.数学分析（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2010.。
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。
极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。
极限思想在中学数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。
此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。
总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。
浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。
极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。
关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (4)（一）数列极限的求法 (4)1 极限定义求法 (4)2 极限运算法则法 (7)3 夹逼准则求法 (7)4 单调有界定理求法 (8)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (9)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (16)四、极限的应用 (19)（一）在计算面积中的应用 (19)（二）在求方程数值解中的应用 (20)五、结论 (21)致谢 (23)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。
极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板极限思想数学论文2200字(一)：极限思想在数学解题中的运用论文摘要：极限思想是近代数学的重要思想，是一种利用极限的概念去分析问题和解决问题的思想方法。
对于某些数学问题，能够灵活运用极限思想往往能够化繁为简，事半功倍。
本文通过类比的方法来探究利用极限思想的方法与常规的解题方法之间的区别，然后分别举例来说明在解决函数、数列、不等式的问题时，利用极限思想的解法的优势所在。
关键词：极限思想；函数；数列；不等式所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可以概括为：首先，对于被考察的未知量，设法构造一个与它相关的变量；然后，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后，用极限计算来得到这个结果。
极限思想是近代数学的一种重要思想，其由来可以追溯到古代，例如魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，其实就可以看作是一种比较原始的极限思想。
而随着微积分的诞生，极限思想也得到了进一步的发展和完善。
极限思想作为微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
可以说，数学分析就是以极限概念为重要基础，以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
除此之外，极限思想在解决一些抽象、复杂或是计算量大的问题时有着出色的表现，往往在常规的解法山穷水尽之时，利用极限的思想方法柳暗花明。
一、极限思想在函数中的应用1.利用极限思想巧解函数图像问题根据所给函数的解析式找出对应的函数图像是高考数学中的一类常见问题，一般的常规解法是研究函数的零点，通过解方程或是画出函数图像找出交点的个数，进而得到函数的零点个数，最后结合所给图像得出正确答案。
而如果利用极限思想来解决这类问题，往往可以事半功倍。
例1函数y=2x-x2的图像大致是()pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292常规解法：首先，研究函数的零点。
极限思想在中学数学中的应用第一章绪论1.1 选题提出的背景1.2 选题研究的意义1.3 选题研究的现状第二章极限思想2.1 极限思想的产生2.2 极限思想的发展2.3极限思想的内涵第三章极限思想在中学数学中的教学.3.1 高中教学中贯彻数学思想方法3.2 极限思想在教学中的渗透第四章极限思想在中学数学中的应用4.1极限思想在数列中的应用4.3 极限思想在函数中的应用4.4 极限思想在解析几何中的应用4.5 极限思想在立体几何中的应用绪论1.1 选题提出的背景万事万物总在变化，我们为了描述正在变化的现象，在数学中导入了函数这一概念，随着对变量和自变量等函数关系的不断深入变化，微积分就这么产生了，极限是微积分的基础，也是微积分中最重要的一部分，它是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。
极限思想微积分的基本思想，他作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关，如：求物体运动的瞬时加速度，求曲线的切割，求函数的最大值，最优化问题等。
这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈的努力，创立了微积分，在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想，极限思想、德国数学家克莱因在二十世纪初提出让微积分进入中学数学课堂。
很多国家都开始将微积分的内容设置在高中数学课程的重要位置上，并要求微积分的分割以及逐步逼近等思想。
这些都体现了极限思想这一数学思想。
在英国，微积分的思想方法出现在高中数学教材上，在美国，微积分设置在高中数学类的选修课上，日本则在高中教材数学二，数学三中分别系统的介绍了微积分的概念和方法。
在我国现行的高中数学课本中融入部分微积分的内容和思想。
自建国以来，关于“在中学数学课程中开设微积分”这一热点话题曾多次在数学改革中探讨，1950 年-1958 年，在新中国成立初期，我国中学数学教材的编写主要参考了前苏联中学数学的课本。
虽包含了部分微积分的初步知识，但并没有做出明确的大纲学习要求。
浅谈“极限思想”在数学分析中的应用摘要：极限理论是近代数学的重要思想，而数学分析就是以极限定义为基础，以极限理论为工具的一门学科。
极限思想更是一种思维的模式，让我们的认知从不变到变，从量变到质变，从近似到精确。
本文将对极限思想在数学分析中的应用进行分析。
关键词：极限思想；极限理论；数学分析1.引言极限理论在数学分析中的应用最直接的体现就是解决数学分析中的问题，是数学分析最基础，却最重要的内容。
它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析乃至高等数学的全部内容，是其核心之所在。
随着现代数学的发展与完善，极限是解决现代数学问题的关键、有效方法，这是由于极限理论可建立在较为普通的数学空间，促使数学求解方法由传统的有限范围转到现代的无限范围，同时也是从近似到精确的过程。
例如，极限理论包含的数学解题思路充分利用常量与变量之间的对立关系、无限与有限之间的内在联系，解释曲面面积、曲线长度等问题的出现原因，即数学家运用极限思维对应用数学教学进行深入阐述。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念定义都离不开极限，几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数极限的思想方法，然后给出导数、连续、定积分、级数的敛散性、重积分、多元函数的偏导数、曲线积分与曲面积分的概念。
下面我们将从导数，级数和积分三块内容来结合实例探讨极限思想的体现与应用。
2.极限思想在导数中的应用导数是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。
导数最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引人的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
①瞬时速度：设一质点作直线运动，其运动规律为。
若为某一确定时刻，为临近于的时刻，则是质点在时间段（或）上的平均速度。
若时的平均速度的极限存在，则称极限为质点在的瞬时速度。
在计算诸如物质比热，电流强度，线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如的极限。
关于极限思想在初中数学中的体现摘要：极限思想是近代数学的一种重要思想，高等数学以极限思想为基础，在初中数学上也有所体现。
本文从我国古代极限思想的产生说起，主要探讨极限思想在初中数学课堂中的初步体现。
关键词：极限思想；初中数学；引言极限思想是近代数学的一种重要思想，其实在我国古代极限思想就产生了。
春秋战国时期，在《庄子天下篇》中，有一句话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”意思是说一个长度为一尺的木棒，每天截取它的一半，无限地进行下去，剩下的木棒长度趋近于零，但是永远不等于零。
即剩下的木棒长度无限地趋于零，无限趋于就是极限思想的初步体现。
在小学阶段，大家都学过圆的面积公式。
可是圆的面积公式是如何得到的呢？魏晋时期数学家刘徽在《九章算术经》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。
其实就是用圆的内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积。
这种无限逼近的思想，即极限思想，在初中数学中也有所体现。
一、找规律最近几年，中考都会出现找规律的题目，大家也越来越重视这一类数学题。
例如：观察一组数：①；②；③；。
按照此规律，解决下列问题。
1.完成第④个等式；2.写出猜想的第个等式；3.计算。
1.二小问都比较简单，学生可以根据序列号和变量猜想出第个等式。
对于第三小问，学生有了前两问的基础，可以逐步地计算出第三问的结果，即可以进一步引导学生判断与的关系。
学生清楚地知道是一个正数，当越大时，越接近于0。
从而。
此时学生的思考过程也是极限思想的初步体现。
二、无理数的引出众所周知，无理数是无限不循环小数。
在初中数学中经常出现无理数，比如一元二次方程的根、锐角的三角函数值，但是学生对于无理数的理解还不够深刻。
可喜的是，现代初中数学教学中逐渐地突出了对无理数理解的重要性。
例如沪科版七年级下册《实数》，这一节课中，以边长为1的小正方形所形成的网格作为情境，引导学生计算出小正方形对角线的长度，即。
接着探究是一个怎样的数？探究过程：因为所以。
极限思想在中学数学教学中的渗透自然界的现象无一不在运动变化之中,我们日常生活中常常会遇到一些不同的量,如长度、面积、体积、时间、速度、温度等.这些量中,有的在过程进行中一直保持不变,我们称之为常量,有的在过程中不断变化着,我们称之为变量.例如,一个物体作匀速直线运动,则速度是常量,而时间与位移的大小都是变量.中学数学主要研究的是常量数学,高等数学主要研究的是变量数学,而联系常量数学和变量数学的桥梁是“极限”的思想与方法。
“极限”理论是现代数学的基础,“极限”思想方法是现代数学的基本思想方法。
因为“极限”思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。
因此,在中学数学教学中渗透“极限”思想,对学生数学意识的培养,提出问题和解决问题能力的提高,以及完成培养具有数学文化素养的全面发展的人最终目标都将起到积极的作用。
下面我介绍几个生动有趣的例子。
例一、观察数列:1, , , , , , ,, ,同学们能很直观地判断出该数列是单调减少并且趋近于0,同学们对, , 这些常数很熟悉,但对,同学们感觉有些陌生,原因就是是变化的,运动的, 不断变大,并且趋向于无穷大,我们正是通过, , , , , 这些相对静止的常量,来研究变量运动变化规律,这体现了最朴素的“极限”思想。
例2(见图一)、求直线与轴及直线所围成的三角形的面积。
解:同学们由几何知识很容易求得该三角形面积为,下面我们用极限的方法求解:我们记三角形面积为,我们首先将区间等分,然后在每个小区间上,以区间长度为底,以区间左端点对应的函数值为高,做个小矩形,并将其面积和记为,则,显然;同样,我们以区间长度为底,以区间右端点对应的函数值为高,做个小矩形,并将其面积和记为,则,显然。
我们令,则, ,而,所以。
通过这个生动的例子,同学们增强了对极限思想方法的感性认识,同时加深了对极限思想方法的理解。
例3(见图二)、求曲线与轴及直线所围成的三角形的面积。
目录摘要 (2)第一章绪论 (4)1.1研究意义 (4)1.2本课题解决的主要问题 (4)1.3极限的定义 (5)1.4数列极限的四则运算 (5)第二章极限思想在中学数学中的应用 (6)2.1极限在函数中的应用 (6)2.2极限在数列中的应用 (9)2.3极限在不等式中的应用 (12)2.4极限在立体几何中的应用 (14)第三章结论 (17)致谢 (19)参考文献 (20)摘要极限在中学数学中虽然不是主要内容，但极限思想所包含的数学思想对中学数学的学习有着重要的意义。
本文结合了当前中学数学的教学实际，介绍了极限思想和方法在函数、数列、不等式、立体几何等方面的应用，旨在把极限思想渗透到中学数学的教学当中，为中学数学教学提供一些帮助。
关键字：中学数学，极限，几何，数列，函数，不等式。
AbstractAlthough the Limitation is not the main content in middle school math, the limitation ideology of mathematical ideology has an important significance for middle school math learning. This paper includes the facts of the math teaching in middle school now, introduces the functions of the limitation ideology which can be used in the number of columns, inequality, solid geometry and other aspects. The purpose of this paper is to mix the limitation ideology with the math teaching in middle school, so that provide some help for the middle school math teaching.Keywords: middle school math, limitation, function, number of columns, inequalities.第一章绪论大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。
分类号编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号x x x x x研究类型指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：众所周知，高中数学中的极限由于自身的抽象性给教与学造成很大麻烦，而中学数学和大学数学在极限方面有较为密切的联系，研究大学数学，并探讨其与中学数学的联系将能对中学数学的教与学产生很大的帮助，本文将对上述问题别进行阐述。
关键字：极限联系教学Limit thinking in the number of secondary schoolsenceeScienceggxxx(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China)Abstract: As we all know, the limit in the high school mathematics teaching and learning due to their own abstraction cause great trouble, and secondary school mathematics and university mathematics limit more closely linked, research university mathematics and explore its links with the secondary school mathematicsthe teaching and learning of mathematics in secondary schools will be able to generate a lot of help. This article will not elaborate.Keywords: limit；contact；teaching目录1．引言 (1)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (2)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (5)总结 (9)参考文献 (10)1．引言极限思想是近代数学中一个重要的概念。
在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么这个定值就叫做变量的极限。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
而高等数学中的极限思想与我们高中所学到的极限知识有什么联系呢？找到其中的联系能让我们更快地接受和研究极限思想。
极限理论是微积分理论的核心内容，是数学分析的理论基础，在现代数学中着广泛的应用。
极限包括数列极限和函数极限。
当把数列看作一自然数为自变量的函数是，数列极限也被看作函数极限。
现代数学对极限是这样定义的：对任意的ε＞0，总存在N （自然数），使得N 时，n a a ε-<恒成立，称数列{}n a 的极限是啊，记作lim n a a =.0,ε∀>总存在M>0,使得当,(),x M f x A ε>-<恒成立，则称当x 趋于无穷，函数以A 为极限.0,ε∀>总存在M>0,使得当M x >时，恒成立ε<-A x f )(，则称当X 趋于,∞函数 F(x)以A 为极限. 记作lim ()x f x A →∞=0,ε∀>总存在0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<恒成立，则称当0x x →时，函数()f x 以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=.微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一，通常认为是牛顿和布莱尼次创立了微积分，但作为微积分基础的极限论起源可追至我国春秋时期，它的发展经历了漫长的过程，直到十九世纪才的以完善.2、极限思想的发展2.1最早的极限思想极限思想在我国很早就产生.早在先秦时期，许多思想家就开始探讨无穷大、无穷小以及无穷分割等问题，战国后期，诸子更是就这些问题展开争鸣.<<秋水>>一文有云：“何以只毫末之足以定细之倪？”<<天下篇>>记载：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一.”着实际上就是数学史上无穷大和无穷小的概念雏形.对于无穷分割有无可能的思考，<<庄子>>提出了一个著名命题：一尺之槌，日取其半，万世不竭.”这个作为无穷分割的经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用，今天可抽象成一个无穷数列；1，1/2，1/4……由此可见，这个表达不仅反映了我们祖先的极限思想，还给我们提供了一个无穷小量的实例.2.2 极限思想的早期应用在我国，将无穷思想创造性的应用到数学中，当属魏晋时期的刘辉.他在注解<<九章算术>>是创立了“割圆术”，即用圆的内切正多边形的面积去无限逼近圆面积的方法.最后的到割之弥细，失之弥少的结论,有了割圆术这样的方法，在利用勾股定理进行严密推算，就得到了圆周率的估计值.在古希腊，“穷竭法”是古希腊人研究数学的一种方法.公元三世纪，安提芬在研究“化圆为方”问题时，提出了使用边数不断增加的圆内切正多边形面积“竭穷”圆面积的思想.后来欧多克斯用竭穷的思想证明了球的体积与直径成正比的结论.之后，竭穷思想一路发展，它所包含的无穷小量的概念被牛顿所引用，成了微积分的基础.3、极限思想在中学数学中的应用极限思想是研究变量在无限变化中的趋势的思想，使用无限逼近的方式，从有限认识无限，用不变认识变，用近似认识精确的辩证思想.极限思想是高考的核心，对于某些问题，如能灵活应用极限思想，不仅能降低问题难度，优化解题过程，而且对培养学生的创造性思维有极大帮助.极限思想作为一种重要的解题思想，在解题中经常遇到，下面我们结合实例谈谈利用极限思想解题的几种方法.3.1 在运动变化过程中把握极限位置例1 以知三棱锥的的底面是边长为1的正 三角形，两条侧面棱为213，试求第三条侧棱的取值范围.分析：固定底面正三角形，让两腰的长均为213的侧面等腰三角形绕着其底边旋转，当该等腰三角形与底面共面时有两种情况，这就是第三条侧棱的两个极限位置.底面正三角形和侧面等腰三角形的高分别为3,23，则第三条棱的最小趋于3-23=23，最大趋于23+3=323故此题的答案为（23，323）.例2 锐角三角形ABC 的边长BC=1，AC=2，求AB 的取值范围分析：本题如果考虑使用正弦定理势必将比较繁琐，但如果依据已知条件构造锐角三角形，让AC 固定，BC=1，B 点在以C 为圆心、半径为1的圆周上运动，于是得到如图所示的两个极限位置.经计算知AB 分别为5、3，故所求为（3，5 ）.例3 已知01x y a <<<<，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ） ()0log 1a xy << （C ）1log ()2a xy << （D ）log()2xy > 分析：当a x →时，由题意a y →，此时2a xy →，log (),2log →xy 故可排除（A ）、（B ），当时o y →，由题意0→x ，此时0→xy ，又10<<a ，则()∞→xy log ，故排除（C ），选（D ）.点拨：以上两例都是适当借助极限思想，用运动的观点对问题进行的定性分析，这肯定比定量运算寻找答案要简单的多.3.2利用函数图像把握极限位置函数图像式函数性质的一种直观反映，有些问题涉及到,o x x x →∞→时对应的函数值，可以通过图像的变化趋势进行合理推算得到答案.例3已知函数2()1x y f x x ==+,若 lim x y a →∞=， li m y x b →∞=，则a,b 各为多少.分析:函数的自变量在无限变化过程中，其函数值()f x 无限趋近一个常数而这个无限的趋势就通过一个有限来刻画.反过来，当Y 变化时，其自变量就趋近某个常数，以上这些性质都可以在函数图像上反映出来，如图，函数21x y x =+的图像是两条双曲线，渐进线为1,2x y =-=，由图易知a=2,b=-1.例4 给出下列图像，其中可能为函数432()(,,,)f x x ax bx cx d a b c d R =++++∈ T 图像的是（ ）分析：按常规的解题方法，我们会想到求函数倒数'32432y x ax bx c =+++，但接下来仍需不知如何处理，其实，这道题若从极限的角度考虑，问题会很简单.当x →∞时，'y =∞，所以，当x →∞时图像时上升的，排除第四个答案，在令0,0a b c y ===>不是恒成立的排除第二个答案，故选一和二.点拨：适当的借助函数图像能把抽象的数学性质直观化，具体化.在解答过程中，涉及到考虑0,,x x x x →+∞→-∞→对应的函数值，并由此判断函数或函数图像的变化趋势，此时极限对整体认识问题起着重要的作用.3.3极限思想在函数中的渗透例5 设()1,10-∈a ，定义),2,1(21211⋯⋯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n a a n n , 求()n n n a -∞→14lim . 分析：函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. 中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型.即∞-∞∞∞，，00 .但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则.其解答过程不免显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法，这使某些问题的解决显得更简便快捷.于()1,1cos -∈θ，故可取()πθθ,0,cos 0∈=a ,于是有2cos 2cos 1211θθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a ， 22121122cos 22cos 121θθ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a ， n n a 2cos θ=，因此有()n n n a -∞→14lim =n n n n n nn 2cos 12sin 4lim 2cos 14lim 2θθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→ =2222sin 2cos 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n n θθ. 由于22cos 1lim 22θθθ=+∞→n n ，122sin lim 2=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→nn n θθ, 所以()21214lim 22θθ=⋅=-∞→n nn a .例6 计算下列极限.（1）、n n n 2s i n l i m π∞→；（2）、n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2111lim分析：此题形式抽象，对于刚刚接触极限的高中生来说难度较大，如果我们在教学中适当渗透罗洛比达有关法则，在这里将会有很大便利性.利用公式计算,因为,001sin lim sin lim =⋅=⋅=∞→∞→xx x x x x x ππππ且数列{}n 严格递增无上界. 由归结原则，n n n 2sin lim π∞→=0.（2）、(),111112∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n e n n n n n 另一方面，当1≥n 时有 112112222111111111+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n n n n n n n n n n , 取⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=,2,1,12n n n x n ，由归结原则，有 e x n x n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞←∞→11lim 11lim ； e x x n n x x x n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→++∞→1121122211lim 11lim ； 由迫敛性推得：n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2111lim =e . 点拨:函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. ①1sin lim 0=→xx x ②e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.SC3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例7 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ， o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 : 如图所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，当0SO →时，S 无限靠近于O ，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 180.当SO →∞时，正三棱锥S ABC -无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o 60.所以α的取值范围为o o (60180)，，故本题选B .点拨：从这个例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助。
