极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板

求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析中的一个非常重要的内容,并且极限的思想方法也一直贯穿于整个数学分析的学习中.一些基本学分析的关键.而求极限的方法也是多种多样.在本文中,通过归纳与总结,罗列出几种在学习中常用的求极限的方法,并用具体实例加以说明.关键词：极限；不动点；洛必达法则；定积分；泰勒公式1 引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限也是研究数学分析的限存在,则考虑如何计算此极限.本文主要针对第二个问题展开论述,即在极限存在的情况下,如何求得极限. 2 极限的若干求法2.1 利用不动点法求极限定理1[1]：设数列{}n x 满足()n n x f x =+1,()11x f x ≠,()()02≠+++=ad edx c bx ax x f ,且()x f 有两个互异的不动点1λ和2λ,则当且仅当0=b ,a d 2=,042>+ac e 时有2212111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--++λλλλnn n n x x x x .而当11121<--λλx x 时,有 2lim λ=∞→n n x .例1 设数列{}n x 满足01>x ，且21x x ≠,nn n x x x 2421+=+，其中0>a ，,,2,1 =n 求极限n n x ∞→lim . 解 令函数()xx x f 242+=,由()x x f =解得不动点21=λ,22-=λ.又因为01>x ,所以122112111<+-=--x x x x λλ.故由定理1得2lim 1==∞→λn n x .2.2 利用重要极限及其推广求极限 2.2.1 利用 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求极限 当所给函数中含有恒等变形将函数化成11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()11x x +的形式,然后利用重要极限公式1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或它的变形形式()10lim 1x x x e →+=求解. 例2 求极限xx x )111(lim -+∞→. 解 xx x )111(lim -+∞→.1111lim 111lim 111111lim 11e e x x x x x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→-∞→2.2.2 利用1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的推广求极限定理2[2]：设 ()x α,()x β在点0x (0x 可以为无穷大)的某一邻域(0x 点除外)内连续,且满足如下条件：(1)()0lim 0=→x x x α,()∞=→x x x β0lim ；(2)()()k x x x x =→βα0lim (k 为常数或无穷大),则有()()()()()k x x x x x e ex x x ==+→→βαβα00lim 1lim .例3 求xx x x 3221211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.解 因为02121lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x ,∞=∞→x x 3lim ,2321213lim 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x ,所以由定理2得233221211lim e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.2.2.3 利用1sin lim0=→xxx 求极限当极限形式中含有三角函数时,一般等变换,然后利用重要极限1sin lim 0=→xxx 来求解.例4 求极限202cos 1lim x x x -→.解 202cos 1lim x xx -→.2sin 2lim sin 2lim 2220=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→x x x x x x 注 利用这两个重要极限及其推广来求函数的极限时要仔细观察所给函数的形式,只有形式符合或经过恒等变形后符合我们经常使用的变形：()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→= ()()1lim (1)()x x e x ϕϕϕ→∞+= 2.3 利用极限的四则运算法则求极限函数和数列都有相应的极限四则运算法则,下面以函数极限的四则运算法则为例来进行说明.定理3(函数极限的四则运算法则)[3]：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在则函数g f ±，g f ⋅当0x x →时极限也存在,且(1)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±； (2)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=；又若0)(lim 0≠→x g x x ,则g f /当0x x →时极限存在,且有(3))(lim /)(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x x x →→→=.注 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞仍成立.例5 求极限2324lim 222---→x x x x .解 2324lim 222---→x x x x而4)2(lim 2=+→x x ,5)12(lim 2=+→x x ,故由极限的四则运算法则可得54122lim 2324lim 2222=++=---→→x x x x x x x . 例6 求极限321lim 3--+→x x x .解 321lim3--+→x x x.41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim 33=++--=++-++-+=→→x x x x x x x x x注 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先要对函数施行各种恒等变形.例如分子、穷多项的和(或积)为有限项. 2.4 利用导数的定义求极限定义1(导数的定义)[3]：函数()x f y =在0x 的某领域内有定义,若极限()()000lim x x x f x f x x --→存在,则称函数在点0x 处可导.并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作()0x f '.例7 设()x f 在1=x 处的导数()31='f ,求极限()()xx f x f x --+→11lim 0. 解 ()()xx f x f x --+→11lim 0 ()()()()()()()()()().6111111lim 1111lim 00='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=--+-+=→→f f x f x f x f x f xx f f f x f x x 注 在运用此方法的过程中,首先要选好()x f .然后把所求极限表示成与()x f 在定点0x 的导数有关的形式.2.5 利用单侧极限与极限的关系求极限例8 设 ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-=0,140,00,12x x x x x x f ，讨论()x f 在点0=x 处的极限是否存在.解 因为 ()()112lim lim 0-=-=--→→x x f x x ,, 显然()()1lim lim 00-==+-→→x f x f x x . 故()x f 在0=x 处的极限存在且()1lim 0-=→x f x .注 这种方法适用于求分段函数在分断点处的极限,首先必须考虑分段点的左右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在.否则,极限不存在. 2.6 利用初等函数的连续性求极限(1)任何初等函数在其定义区间上都是连续函数； (2)若)(x f 在0x x =处连续,则)()(lim 00x f x f x x =→.例9 求极限x x x 2cos )2ln(sin lim6π→.解 因为6π=x 在初等函数的定义域内,故由函数f 的连续性得23ln 2)6(2cos )2ln(sin lim 6==→ππf x x x .注 这种方法适用于求函数在连续点处的极限.2.7 利用拆项法求极限例10 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n . 解 由于()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ,因此可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n .2111lim 21113121211lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=∞→∞→n n n n n 注 此方法主要应用于求数列各项和的极限.其中数列必须满足其各项通过拆项后能够相互抵消,以此来简便求极限运算的条件.2.8 利用泰勒展开式求极限[4]若函数()x f 在点0x 的邻域内存在直至n 阶导数,那么()x f 可以运用具有佩亚诺余项的泰勒公式来表示()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+=00200''00'0!)(!2)()()()( (1) 其中()()()n n x x x R 0-=ο.()x R n 称为佩亚诺余项,(1)式称为具有佩亚诺余项的泰勒公式.例11 求xxx x +-+→121lim0.解 在这里可用泰勒公式求解,考虑利用泰勒公式,当0→x 有.于是()()().212lim 21221lim 121lim000=+=---++=+-+→→→x x xxx xx x xxx x x x οοο注 在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理. 2.9 利用定积分的定义求极限 定积分也可以称为和式的极限.即()()k nk k ba n x f dx x f ∆⋅=∑⎰=∞→1lim ξ. 这里定积分的值与区间[]b a ,分法无关,与k ξ的取法也无关.关键是确定()x f b a ,,三个量.所以利用定积分定义求和式的极限分)的积分和式的极限.然后利用定积分的定义求得积分和的极限.例12 计算极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→33321lim n n n nn . 解 由于33321nn n n +++因此令()x x f =,10≤≤x ,它是n 等分区间[]1,0,k ξ取区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n k n k ,1的右端点构成的积分和.易知函数()x f 在[]1,0可积.于是由定积分的定义可知:321lim 101==⋅⎰∑=∞→dx x n n k nk n . 即.321lim 11==⋅=⎰∑=∞→dxx nn k nk n2.10 利用无穷小量的性质求极限定理4(无穷小量的性质)：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.即如果()0lim 0=→x f x x ,()x g 在0x 的某一邻域内有界,那么()()0lim 0=⋅→x g x f x x .例13 求x x x 1sin lim 20⋅→.解 因为11sin ≤x有界,且0lim 20=→x x ，所以由无穷小量时的无穷小量.则有02sin lim=∞→xxx .注 运用定理4来求函数极限,要求所给函数可以分解为两个函数的积,其中一个函数极限为0,另一个函数只要求有界,对其极限并无要求. 2.11 利用等价无穷小量代换求极限在求乘除表达式的极限时,巧妙运用等价无穷小代换,可以简化计算并求出相应的极限值.定义2(等价无穷小量的定义)[3]： 若1)()(lim0=→x g x f x x ,则称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量,记作()()x g x f ~ ()0x x →.定理5[3]：设函数h g f ,,在()0x U ︒内有定义，且有()()x g x f ~ ()0x x →. (1)若()()A x g x f x x =→0lim ,则()()A x h x g x x =→0lim ；(2)若()()B x f x h x x =→0lim,则()()B x g x h x x =→0lim .例14 求23202sin lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x .解 因为当0→x 时,有，故有42lim2sin lim23202320=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→x x x x x x x x .注 (1)由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,当0→x 时,常用的等价无穷小代换有:x x ~sin ，x x ~tan ，()x x ~1ln +，x e x ~1-，()ax x a~1+，x x 21~11-+，x x ~arctan 等.(2)等价无穷小代换只能在乘积和商中进行,不能在加减运算中代换,否则会导致错误.2.12 利用级数收敛的必要条件求极限定理6(级数收敛的必要条件)[3]：若级数∑∞=1n n u 收敛,则0→n u ()∞→n .例15 求()()[]21!11lim ---∞→n n n n . 解 设()()[]21!11--=-n n u n n ，则 ()()[]()12211!1!lim lim -∞→+∞→--⋅=n n n n n n n n n n u u .101111lim 1<=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=-∞→n n n n由比式判别法可知∑∞=1n n u 收敛.则由定理6可知()()[]0!11lim 21=---∞→n n n n . 注 此方法主要应用于对级数通项求极限,首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后利用此必要条件求出它通项的极限.2.13 利用洛必达法则求不定式极限在不定式极限中,00型与∞∞型是基本的不定式形式,可以直接使用洛比达法则进行求解.2.13.1 00型不定式极限对于0型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理7[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()0lim lim 0==→→x g x f x x x x ；(2)在点,且()0≠'x g ；(3)()()A x g x f x x =''→0lim(A 可为实数,也可为∞±或∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=→→00lim lim . 例16 求()()x x x +→1ln 4sin lim 0. 解 ()()()x x x x x x +=+→→114cos 4lim 1ln 4sin lim 02.13.2 ∞∞型不定式极限对于∞∞型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理8[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()∞==++→→x g x f x x x x 0lim lim ；(2)在0x 的某右邻域()0x U+内两者都可导,且()0≠'x g ； (3)()()A x g x f x x =''+→0lim (A 可为实数，也可为∞±,∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=++→→00lim lim . 例17 求()xx x 1ln lim ++∞→. 解 ()()[]x x x x x x ''+=++∞→+∞→1ln lim1ln lim .011lim=+=+∞→x x 2.13.3 其它类型不定式极限不定式极限还有∞⋅0，∞1,00，0∞，∞-∞等类型.这些类型必须经过变换化为0型或∞∞型的不定式极限,然后才能利用洛必达法则来求极限. 例18 求()xx x 10cos lim →.解 这是∞1类型的不定式极限,首先我们对它作恒等变形()()x xxex cos ln 11cos =.其指数部分,可先求得()()0tan lim cos ln 1lim 00=-=→→x x x x x . 从而有()1cos lim 01==→e x xx .注 (1)要注意条件,在所求极限没有化为00或∞∞的形式时不可使用洛必达法则. (2)应用洛必达法则,否则会引起错误.(4)当()()x g x f a x ''→lim 不存在时,洛必达法则失效,但并不能说极限不存在,此时要用其它的方法求函数的极限. 2.14 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元法对其进行恒等变形,使函数形式简化容易求出极限.例19 求xx x x x ln 9lim 3-→解 令9-=x x p ,则有()9ln ln +=p x x .故()().9911lim9ln lim ln 9lim 003=+=+=-→→→洛必达法则p p p x x x p p x x 2.15 利用极限定义求极限 2.15.1 利用函数极限的定义定义3(函数极限的εδ-定义)[3]：设函数f 在点0x 的某个空心领域()δ'︒;0x U 内有定义,A 为定数.若对任给的0>ε,存在正数为极限.例20 用极限定义证明1365lim23=-+-→x x x x . 证明 因为()，3333961325222-=--=-+-=--+-x x x x x x x x x所以,对0>∀ε,取εδ=,当δ<-<30x 时,就有.由函数极限的εδ-定义可得：1365lim 22=-+-→x x x x . 2.15.2 利用数列极限的定义定义4(数列极限的N -ε 定义)[3]：设{}n a 为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有ε<-a a n ,则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限.例21 证明13lim 22=-∞→n n n . 证明 由于的,故当⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ε3,3max N 时,(2)式成立.由数列极限的N -ε定义有：13lim 22=-∞→n n n . 注 (1)在数列极限的N -ε定义中N 不一定限于正整数,而只要它是正数即可. (2)此方法通常应用于极限已知用于证明的情况. 2.16 利用中值定理求极限 2.16.1 微分中值定理定理9(拉格朗日中值定理)：若函数f 满足 (1)f 在闭区间[]b a ,上连续；(2)f 在()b a ,内可导；则在内()b a ,至少存在一点ξ,使得()()()ab a f b f f --='ξ. 此式也可变形为:()()()()a b a f ab a f b f -+'=--θ ()10<<θ.例22 求xx e e xx x sin lim sin 0--→.解 令()x e x f =,则由中值定理可得:()()x f x f e e x x sin sin -=-()()()x x x f x x sin sin sin -+'-=θ ()10<<θ. 从而有()10<<θ.因为()x e x f ='连续, 所以()()()10sin sin ='=-+'f x x x f θ.从而有xx e e x x x sin lim sin 0--→=1. 2.16.2积分中值定理定理10(积分第一中值定理)[3]：若f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ.例23 求极限dx ax a ⎰+→103032lim .解 由积分第一中值定理可得:3232lim 32lim 301030=+=+→→⎰ξa dx ax a a . 注 这种方法适用于所求极限中含有积分的形式,运用积分定理将含有积分的形式化为一般形式再求极限.2.17 利用两个准则求极限 2.17.1 利用极限的迫敛性[3] 2.17.1.1 数列的迫敛性设收敛数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足：存在正数0N ,当0N n >时有n n n b c a ≤≤,则数列{}n c 收敛,且a c n n =∞→lim .2.17.1.2 函数的迫敛性设()()A x g x f x x x x ==→→0lim lim ,且在某()δ';0x U 内有()()()x g x h x f ≤≤.则()A x h x x =→0lim .例24 求nn n n a n ++++++=22222212 的极限. 解 因为0112lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n n ,0112lim 12lim 22=+=+∞→∞→nn n n n n 故由数列的迫敛性可得0lim =∞→n n a .例25 求9cos lim 2-+∞→x xx x . 解 因为1cos 1≤≤-x ,所以当+∞→x 时,有故由迫敛性可得09cos lim2=-+∞→x xx x .注 利用极限的迫敛性求极限,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数,使得n n n b c a ≤≤或)()()(x g x h x f ≤≤.然后利用它们的极限和夹逼定理来得到所要求得的结果.2.17.2 利用单调有界准则[5]定理11(单调有界准则)：单调有界数列必有极限，且极限就是数列的上确界或下确界. 例26 证明下列数列的极限存在，并求其极限2321222222,22,2个n n a a a a ====.证明 从这个数列的构造来看n a 显然是单调递增的，而且122a a =,232a a =,12-=n n a a ,所以得数列的通项为 则有22221=⋅<=-n n a a .因此数列{}n a 有上界，故由单调有界准则可知，数列{}n a 的极限存在. 假设l a n n =∞→lim ,在递推公式122-=n n a a 两端同时取极限，可得l l 22=.由此解得 ()舍去或0,2==l l .因此有2lim =∞→n n a .注 利用“单调有界准则”讨论递推数列极限问题通常分为两个步骤,首先,讨论数列极限是否存在,这是问题的关键；当判定数列极限存在时,然后根据数列的通项递推公式求出极限. 3 小结本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法.而这些方法也只是众多求解极限方法的一小部分,可见求极联系,才能在求极限的过程中游刃有余,并且要想熟练掌握求极限的各种方法,必须通过大量的练习,在练习中体会.参考文献[1]郑华盛.非线性递推数列极限的不动点解法[J].高等数学研究,2012,15(5):1-2.[2]甘媛.幂指函数极限的推广及应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2011,10(6): 45-46.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[4]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报,2002,20(1):42-43.[5]于邵权,李宏伟.递推数列极限的一种求法[J].高等数学研究,2011,14(5):47-48.Some Methods of Solving LimitationPang Dandan(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:limitation has been a very important content in mathematical analysis,and the thought method of the limitation has been throughout the learning of the mathematical analysis. Some basic concepts such as differential and integral definition contacts with limitation closely. Therefore it is the key to do well in mathematical analysis to master the algorithm of the limitation expertly.But the algorithm of the limitation is diverse.In this text,through summing up and summary,I enumerate several ways which are commonly used in studying ,and use specific examples to illustrate them.Key words: Limitation;fixed point;L'Hospital's rule;definite integration;Taylors formula。

浅析函数极限的求法摘要极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部容之中,因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast]9[.Key words:limit; derivative; Variable substitution; L’hospital’s rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type目录1 前言 .................................................................. - 3 - 2函数极限的概念及性质................................................... - 4 -2.1函数极限的概念................................................... - 4 -2.2函数极限的性质................................................... - 5 - 3函数极限的求解方法..................................................... - 6 -3.1 利用两个准则求极限............................................... - 6 -3.2 利用极限的四则运算求极限......................................... - 7 -3.3 利用两个重要极限公式求极限....................................... - 9 -3.4 利用洛必达法则求极限............................................. - 9 -3.5 利用函数连续性求极限............................................ - 11 -3.6 通过等式变形化为已知极限........................................ - 11 -3.7 利用换元法求极限................................................ - 11 -3.23 利用自然对数法求极限....................................... - 12 -3.8 利用因式分解法求极限............................................ - 13 -3.14 利用压缩定理................................................... - 17 -4 求极限的一般流程...................................................... - 19 - 结论 ................................................................... - 23 - 参考文献................................................................ - 24 -致 ..................................................................... - 26 -1 前言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态]1[.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载,例如，晋时期中国数学家徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算极限时游刃有余.2函数极限的概念及性质2.1函数极限的概念定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数M ()0a ≥，使得当x M >时有 ()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞= 或 ()()f x A x →→+∞定义 2 （函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()0'0;U x δ有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得00x x δ<-<时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作()0lim x x f x A →= 或 ()()0f x A x x →→定义3设函数f 在()0'0;U x δ+（或()0'0;U x δ-）有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作()0lim x x f x A +→= （()0lim x x f x A -→=） 或()()0f x A x x +→→ （()()0f x A x x -→→）右极限与左极限统称为单侧极限. f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为()()000lim x x f x f x +→+= 与 ()()000lim x x f x f x -→-=.2.2函数极限的性质定理1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 有界.定理2（局部保号性）若()0lim 0x x f x A →=> （或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()00x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理3（保不等式性） 设()0lim x x f x → 与 ()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()0'0;U x δ有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤定理 4 （迫敛性） 设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()0'0;U x δ有()()()f x h x g x ≤≤，则()0lim x x h x A →=定理5（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g •当0x x →时极限也存在.3函数极限的求解方法3.1 利用两个准则求极限(1)极限的迫敛性[1]（夹逼原理），对数列和函数同样适用：设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，且在某)';(00δx U 有)()()(x g x h x f ≤≤则A x h x x =→)(lim利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数， )()()(x g x h x f ≤≤. 例3.1求cos limx x xx→∞-解： 因为1cos 1x -≤≤，所以当x ＜0时 11cos 1111x x x x x x x x x+--+=≤≤=- 而11lim 1lim 11x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由迫敛性定理得，cos lim x x xx→∞-=1例 3. 2 求2sin lim4x x x x →+∞-解： 因为当x ＞2时，222sin 444x x x xx x x -≤≤--- 而221lim lim0441x x x x x x→+∞→+∞--==--，2lim 04x x x →+∞=- 由迫敛性定理知 2sin lim 4x x xx →+∞-=0（2）单调有界定理[2]设()f x 为定义在()00U x +[或()00U x -]上的单调有界函数，则()0lim x x f x +→存在[或()0lim x x f x -→存在]3.2 利用极限的四则运算求极限极限的四则运算法则[4]：若A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0（1）B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（2）B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（3）若0≠B 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 （4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于-∞→+∞→∞→x x x ,,时也同样成立通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.例 3.3 求极限()22lim 2sin cos x x x x π→--解：()22lim 2sin cos x x x x π→--=22222lim 2lim sin lim cos lim lim x x x x x x x x x πππππ→→→→→⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭=222sin cos212224ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3.4 求极限121lim 221----→x x x x解：121lim221----→x x x x =)12(lim )1(lim 2121----→-→x x x x x =20=0 例3.5 求极限2211lim 21x x x x →---解：2211lim 21x x x x →---=()()()()111lim121x x x x x →-+-+=()()112lim213x x x →+=+例 3.6求极限x →解：()()44244x x x x →→-=-=422x →2243+=3.3 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式[2]：（A ）1sin lim0=→x x x (B)e xx x =+∞→)11(lim但我们经常使用的是它们的变形：1)()(sin lim)'(0)(=→x x A x ϕϕϕ e x B x x =+∞→)()())(11(lim )'(ϕϕϕ例3.7 求极限20cos 1limxxx -→ 解： 20cos 1lim x x x -→=21)22sin(21lim 20=→x xx 例3.8 求极限xx x 10)21(lim +→解： xx x 10)21(lim +→=22210)21(lim e x xx =+⋅→3.4 利用洛必达法则求极限型不定式极限 定理：若函数f 和g 满足： （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某空心邻域)(00x U 两者都可导，且0)('≠x g ；（3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==→→)(')('lim )()(lim00∞∞型不定式极限 定理：若函数f 和g 满足： （1）∞==++→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某右空心邻域)(00x U +两者都可导，且0)('≠x g ； （3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==++→→)(')('lim )()(lim 00不定式极限还有∞-∞∞∞⋅∞,,0,1,000等类型，经过简单变换，它们一般均可化为00型或∞∞型的极限. 例3.9 求极限x x x +→0lim解： 由对数恒等式可得x x x e x ln =xx x +→0lim =xx x eln lim 0+→01ln lim ln lim 0==++→→xxx x x x 1lim 00==∴+→e x x x例3.10 求极限02cos 4sin 2lim2sin x x x x x→---解：02cos 4sin 2lim 2sin x x x x x →---=02sin 4cos lim 2cos x x xx →---=-43.5 利用函数连续性求极限（1）若)(x f 在0x x =处连续，则)()(lim 00x f x f x x =→（2）若)]([x f ϕ是复合函数，又a x x x =→)(lim 0ϕ且)(u f 在a u =处连续，则)()](lim [)]([lim 0a f x f x f x x x x ==→→ϕϕ这种方法适用于求复合函数的极限.如果)(x g u =在点0x 连续00)(u x g =，而)(u f y =在点0u 连续，那么复合函数)]([x g f y =在点0x 连续.即)]([)](lim [)]([lim 00x g f x g f x g f x x x x ==→→.例3.10 求极限x x x)11ln(lim +∞→解： 令u y ln =，x xu )11(+=因为u ln 在点e x u x x =+=∞→)11(lim 0处连续所以x x x )11ln(lim +∞→=])11(lim ln[x x x+∞→=1ln =e3.6 通过等式变形化为已知极限要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的等式变形，得到已知极限的新变量.例3.11 求极限1lim++++∞→x xx x x解： 1lim++++∞→x xx x x =xx x xx 11111lim 73++++∞→=03.7 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.例3.12 求极限xx x x x ln 1lim 1-→解： 令1-=x x t ，则)1ln(ln +=t x xx x x x x ln 1lim 1-→=111lim )1ln(lim 00=+=+→→t tt t t t3.8 利用自然对数法求极限自然对数法：把形如)()(x g x f 通过恒等变形写成)(ln )(x f x g 的形式,改为求0或∞∞不定式的极限. 例3.13 求极限xx x x cos 110)sin (lim -→解： 用自然对数法，令y=xxx cos 11)sin (- 取自然对数得xxx y sin lncos 11ln -=2sin ln limsin ln cos 11lim200x x xxxx x x →→=- =x x xx x x x x 20sin cos sin lim -⋅→ =3020sin cos lim sin sin cos lim x xx x x x x x x x x -=-→→=313sin lim 20-=-→x x x x31cos 110)sin (lim --→=∴e xx xx3.9 利用因式分解法求极限要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限.例3.14 就极限2sin 3sin 1sin 3sin 4lim 222+---→x x x x x π解 ： 222224sin 3sin 1limsin 3sin 2(4sin 1)(sin 1)lim(sin 2)(sin 1)4sin 1lim5sin 2x x x x x x x x x x x x x πππ→→→---++-=--+==--=3.10 利用等价无穷小量求极限当0→x 时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价，x x sin ~，x x arcsin ~，x x tan ~，x x arctan ~，1~-x e x ，)1ln(~x x +，a x a x ln ~1-，x x αα~1)1(-+设函数h g f ,,在)(00x U 有定义，且有)(~)(x g x f )(0x x →.(1)若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A x h x g x x =→)()(lim 0(2)若B x f x h x x =→)()(lim，则B x g x h x x =→)()(lim 0注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做.例3.15 求极限3340)2(sin lim x x x x +→解： 3340)2(sin lim x x x x +→=88lim )2(lim 33403340=+=+→→x x x x x x x x 例3.16 x →α的值，使0x →时为同阶无穷小量解：1sin cos x x⋅～x ()0x →所以，0lim1x x→=，故当α=1时x α当0x →时为同阶无穷小量3.11 利用积分中值定理求极限一般根据积分第一中值定理[4]：若f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限. 例3.17 求极限⎰+→103011lim dx x εε]3[ 解： 由积分中值定理⎰+10311dx x ε=113+εα， )10(<<α，111lim 11lim 301030=+=+→→⎰εαεεεdx x3.12利用定积分求和式的极限利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数)(x f ，把所求极限的和式表示成)(x f 在某区间],[b a 上的等分的积分和式的极限[5].例3.18 求极限)12111(lim nn n n n ++++++∞→解： n n n n ++++++12111 =]11211111[1nn n n n ++++++ =∑=⋅+nk n nk 1111○1 令)(x f =10,11≤≤+x x，则由定积分定义知 ⎰∑=∞→⋅+=+101111lim 11nk n n nk dx x ○2 又⎰=+102ln 11dx x○3 由○1，○2，○3得)12111(lim nn n n n ++++++∞→ =2ln3.13 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n n u 收敛，则)(0∞→→n u n ，运用这个方法首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后得出它的通项极限[6].例3.19 求极限2)!(lim n n nn ∞→解： 设2)!(n n a nn = 则n n n nn n n n n n a a 2211)!(])!1[()1(lim lim ⋅++=+∞→+∞→ =n n nn )11(11lim+⋅+∞→=0<1由比值判别法知∑∞=1n n a 收敛由必要条件知2)!(lim n n nn ∞→=03.14 利用泰勒公式求极限泰勒公式是一大难点，在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒 公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式[7].实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用. 泰勒定理[8]：若)(x f 在0=x 点有直到1+n 阶连续导数，那么)(!)0(!2)0('')0(')0()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++++=1)1()!1()()(+++=n n n x n f x R ξ （其中ξ在0与1之间）例3.20 求极限4202cos limx e x x x -→-解： 泰勒展开式)(!4!21cos 442x O x x x ++-= )()2(!21)2(1422222x O x x ex +-+-+=-于是)(121cos 4422x O x ex x +-=--所以4202cos limx e x x x -→-=121)(121lim444-=+-→x x O x x3.15 利用压缩定理定理3.15（压缩定理）：1 对于任意数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得n N ∀∈，恒有11n n n n x x r x x +--≤-，01r <<， 则数列{}n x 收敛2 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：1()(1,2,3)n n x f x n +==⋅⋅⋅，其中f 为某一可微函数，且r R ∃∈，使得 '()1()f x r x R ≤<∀∈，则{}n x 收敛。

极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。

许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。

本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。

关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (3)（一）数列极限的求法 (3)1 极限定义求法 (3)2 极限运算法则法 (6)3 夹逼准则求法 (6)4 单调有界定理求法 (7)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (8)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (15)四、极限的应用 (18)（一）在计算面积中的应用 (18)（二）在求方程数值解中的应用 (18)五、结论 (20)致谢 (22)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。

极限思想及其在数学中的应用Limit Idea and its Application in MathematicsLI Meihua（South China Business College ， Guangdong Universityof Foreign Studies ， Guangzhou， Guangdong 510545 ） Limit is an important concept in advanced mathematics. This article summarizes the development history of thelimiidea ， and analyzes the application of the limit idea tin mathematics ， especially in differential and integralcalculus ， finally ， highlights its position as amethodological significance to solve practical problems.1极限思想的由来及其发展极限思想来源于生产生活实践，为求某些实际问题的精确解答而产生。

古希腊的安提芬（antiphon 480-403BC）采用“化圆为方”提出了用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的方法，数学家欧多克斯（ Eudoxus of Cnidus ， 408-355 BC ）发展了穷竭法，认为“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”，即量是无限可分的，阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。

中国古代刘徽的“割圆术”认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，并由此得到“徽率” 3.1416 。

这正是极限思想的萌芽状态。

关于数学思想的论文数学思想方法产生于数学认知活动，又反回来对数学认知活动起重要指导作用，它是数学知识的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁。

在数学认知结构中，数学思想方法和科学的思维方法起着决定战略方向的作用。

下文是店铺为大家搜集整理的关于数学思想的论文的内容，欢迎大家阅读参考!关于数学思想的论文篇1试谈小学数学的数学思想数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。

而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。

它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。

而数学方法则体现了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯叙述了笛卡儿制定了解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法基本上被确定了”，对数学而言，可以说最重要的数学思想也基本上被确定了。

一、方程和函数思想在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。

笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程(组)，这就是方程思想的由来。

在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。

而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。

2021微积分教学中极限思想的内涵与价值范文 摘要：　极限思想渗透于微积分各个环节之中,是微积分理论形成的重要基础。

因此,微积分的教学必然要在学生充分理解极限思想的基础上进行,教师要擅于利用极限思想帮助学生理解微积分的相关理论知识。

本文主要介绍了极限思想的具体内涵、经典数学概念中蕴含的极限思想等,进一步阐述了极限思想的重要价值,希望能引起教师的重视,用好这个工具,为学生实现数学能力的提升打牢思想根基。

关键词：　极限思想;微积分教学; 经典概念; 微积分以函数为研究对象,主要介绍微分和积分的概念、计算方法以及导数和微分的应用等。

而这些内容都是建立在极限概念基础上的,没有极限思想做铺垫,就不会有整个微积分大厦。

为了进一步体现极限思想的重要意义,本文介绍了极限思想的具体内涵、经典概念蕴含的思想方法,还从三个层面分析了极限思想的价值体现,希望对明确极限思想的重要意义有所帮助。

1、极限思想的内涵 在近代,极限思想应运而生,在一定程度上,它是历史发展的必然产物。

作为一种分析问题、解决问题的思想方法,极限思想主要被用来求未知量的精确值问题。

先确定未知量的近似值,且该近似值是一连串越来越准确的近似值,它最终无限趋近于一个确定的值,这个精确值就是所要求的值[1]。

它反映的是一个变量和另一个常量之间的无限接近的过程,在一定程度上揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,同时也是唯物辩证法在数学学科中的体现。

2、经典概念中蕴含的极限思想 微积分学包括微分学和积分学,概括说来,微分就是无限地细分,积分就是无限地累加求和。

其中“无限”就是极限思想的体现,具体到知识点,函数连续性、导数和定积分等概念都是借助极限思想来定义的。

2.1、连续概念中渗透的极限思想 自然界中有许多反映“连续”的现象,表现在函数关系上就是函数的连续性。

简单地说,如果一个函数图象可以一笔画出来,整个过程不用抬笔,那么这个函数就是连续的。

可是数学上如何来定义呢?无论从连续函数图象的特征还是从函数连续的本质出发都离不开极限思想这个工具。

引言在数学分析中,极限思想可以有效的处理各种复杂的数学问题，并能够准确、简便的得到结果，在极限的概念下，许多问题可以在无限的情况下得以解决，并且这个概念贯穿始终。

极限的概念在数学分析解题中起重要的作用。

然而很好的判别极限的存在，知道极限存在的条件，是讨论极限的最基本方法，首先我们要从这个概念出发，展开讨论。

一 极限的定义数列极限的定义在文献[1]中对数列以及函数的极限的定义做了如下叙述：定义1 设}{n a 为数列,a 对0>∀ε（不论ε多么小）,总∃0>N ，使得当N n >时都有ε<-a a n 成立，则称数列{n a }收敛于a ,定数a 为数列}{n a 的极限,并记作a a n n =∞→lim ，或a a n →（∞→n ）.在数列的极限定义中,我们应该注意以下几点:1、ε的任意性——衡量数列通项n a 与定数a 的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制.然而,尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变.（另外，根据ε具有的任意性， 2,2,2εεε等也具有任意性，它们也可代替ε）.2、 N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的.在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a a n 就行了，而不必求最小的N .3、“当n N >时，有ε<-a a n ” 的几何意义，（数形结合的思想方法）可知：ε<-a a n n n a a a a a εεεε⇔-<-<⇔-<<+故“当n N >时，有ε<-a a n ”的几何意义是：当n N >时，也就是数列{}n a 的所有下标大于N 的项都落在邻域(;)U a ε内，即区间(;)a a εε-+内，而在邻域(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有N 项（有限项），如下图所示:由ε的任意性,即区间(;)a a εε-+的长度2ε可以任意小，但总存在N ，使得当n N >时，数列{}n a 中所有项都落在此区间，这就是“数列的项n a 无限地趋近于某一个常数a ”的意义.由上面的分析,我们可以看出,对于任意的0ε>,落在邻域(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个,设这个有限项的最大下标为N ,则当n N >时有(;)n a U a ε∈,即当n N >时有ε<-a a n .成立时得到数列极限的另一等价的定义:任给的0ε>,若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项至多只有有限个,则称数列{}n a 收敛于极限a .一元函数极限的定义在文献[1]中函数极限的几类定义如下: 一、 x 趋于∞时函数的极限定义1.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A ε∀0>，∃正数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作A x f x =+∞→)(lim 或()()f x A x →→+∞定义 1.1.2.1' 设f 是定义在()U -∞(即(,]b -∞)上的函数,A 为定数.若对ε∀0>,∃正数()M M b -≤,使得当x M <-时有()f x A ε-<则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限,记作A x f x =-∞→)(lim 或()()f x A x →→-∞二、 x 趋于0x 时函数的极限定义.2 (函数极限的εδ-定义) 设函数f 在点0x 的某空心邻域00(;)U x δ内有定义,A 为定数. 若对ε∀0>， δ∃0> (δ>δ')，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0或0.()()f x A x x →→三、单侧极限定义.3 设函数f 在0U +''000(;)(;)x x x δδ=+（或0U -''000(;)(;)x x x δδ=-)内有定义,A 为定数.若对ε∀0>，δ∃0> ('δδ<），使得当00x x x δ<<+ (或00x x x δ-<<)时有()f x A ε-<则称数A 为函数f 当x 趋于0x + (或0x -）时的右(左）极限,记作A x f x x =+→)(lim 0（A x f x x =-→)(lim 0） 或 (0()()f x A x x +→→0()()f x A x x -→→)右极限与左极限统称为单侧极限.常把f 在点0x 的右、左极限记作0(0)f x +、0(0)f x -.即0(0)f x += )(lim 0x f x x +→，0(0)f x -= )(lim 0x f x x -→. 在以上定义叙述中,利用在一点的极限与单侧极限,有如下判断极限的存在条件,)(lim )(lim 0a x f a x f x x x x =⇔=+→→a x f x x =-→)(lim 0. 以上的定义叙述我们知道,它们都可以成为极限存在的条件来解决极限的相关问题.下面简单介绍二元函数的极限.二元函数极限的定义与一元函数一样,我们研究二元函数的存在条件,首先也要从极限定义入手,在动点趋近于某定点时的极限情况;对一元函数)(x f y =而言,考虑函数在0x 点的变化趋势时，只是在数轴上考虑自变量从 x 左右两边的趋近情形,而对二元函数),(y x f z =来说,由于定义域是平面点集,所以考虑动点),(y x P 变化趋势时,就要在区域上考虑,如趋近于定点),( y x P 时,方式可以多种多样,故此研究要复杂得多,这也是与一元函数.定义1.1 设二元函数),(y x f z =在点集D 上有定义,),( y x P 是平面上一定点（它可以属于,D 也可以不属于D ）,A 是常数,若0 ,0>∃>∀δε,对D y x P ∈∀),(，当δ<<P P 0，（或δ<-+-<22)()(0 y y x x ）时，有ε<-A y x f ),(成立,则称函数),(y x f z =当P 趋于 P 时有极限,并且A 是它的极限值.记为：A y x f y y x x =→→),(lim或 A y x f p p =→),(lim) ,( ),( y y x x A y x f →→→为了区别一元函数与二元函数的极限,我们把二元函数的极限也称为二重极限. 以上给出的定义，均可作为极限存在的条件，一般先讨论并给出数列极根的定义, 在此基础上进一步研究函数的极限问题. 然而在极限的定义中都涉及到具体的极限值, 这为我们研究极限问题带来了一定的局限性, 因为即使数列或者函数的极限存在, 也不是事先可以知道的,进一步我们还将下面将给出判定极限存在条件 这些条件使我们判断极限是否存在的方法更加多样化.二 极限存在的条件2.1 数列极限的存在条件文献[2]中给出数列极限的存在条件叙述如下：定理在实数系中,有界的单调数列1必有极限.对于此定理的证明在这将不在叙述,给出此定理之后,为以后数列极限存在的证明提供了简便.例1:利用单调有界原理证明下列数列收敛nn n x 21+=证明:由于,021>+=n n n x 而1222212211<++=++=++n n n n x x nn nn ,即数列是递减列,由 10≤<n x ,数列单调有界,因此收敛.设a x n n =∞→lim ,已知2221++=+n n x x n n ,即n n x n n x 2221++=+,两边求极限得: a a 21=得0=a ;所以lim 0n n x →∞=.在我们讨论的有些极限问题中常常需要先判断数列或函数的收敛性,,再求解其极限,也可以从数列或函数自身出发,寻求其收敛的条件.对数列而言,有著名的柯西收敛准则:定理 数列}{n a 收敛的充要条件是:对ε∀＞0, ∃0>N ,使得当N m n >,时,有ε<-m n a a .此定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题,把这个条件也叫做柯西条件. 实际上, 这正是收敛数列的本质特性所在. 原理中完全抛开了具体的极限值, 而直接通过数列本身判断其收敛性, 并且给出的是一个充分必要条件, 因此柯西收敛原理在极限理论中占有十分重要的.例2：利用柯西收敛准则证明下列数列收敛n n nx 2sin 22sin 21sin 2+++= 证明：0>∀ε，解不等式1单调数列:若数列}{n a 的各项满足关系式)(11++≥≤n n n n a a a a 则称为}{n a 递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单调数列ε<<--=+++≤++++++≤++++++=-+++++++++++n p n p n n n pn n n pn n n n p n p n n n p n n n x x 21211)211(21212121|2)sin(||2)2sin(||2)1sin(||2)sin(2)2sin(2)1sin(|||1212121 得 2ln 1lnε>n即存在自然数2ln 1ln ε≥N ,N p ∈∀,有ε<-+||nP n x x 。

以极限为话题的议论文以极限为话题的议论文（精选32篇）相信大家都尝试过写作文吧，特别是议论文，议论文是对某个问题或某件事进行分析、评论，表达自己的观点和主张的文章体裁。

我们应该怎么写这类型的作文呢？下面是小编收集整理的以极限为话题的议论文，欢迎大家分享。

以极限为话题的议论文篇1一位学者曾这样概括人生的三种境界：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

人们都希望能到达人生的最高境界，即这第三境界，体味那战胜自我，超越极限后一览众山小的胜利感，然而在这自我提炼、自我实现的过程中，许多优秀的品质都是不可或缺的。

要战胜自我，超越极限，首先要有坚定的信念。

坚定的信念是一个人取得成功的先决条件，伟大着作《史记》的创作者司马迁，曾饱受牢狱之灾，但他立志要通古仿之变，成一家之言，终于达成心愿，孙子膑脚，《兵法》修列；不韦迁蜀，世传《吕览》；韩非囚秦，《说难》、《孤愤》，这些例子无一不说明了坚定的信念对成功的重要。

外国也不乏这样的例子，在无产阶级饱受资产阶级剥削与压迫之时，马克思、恩格斯凭着对共产主义无比坚定的信念，完成了《资本论》一书，为人类社会的进步指出了一条光明的大道。

战胜自我，超越极限，还要有过人的勇气，首先从动物界来看，见过蝉蜕壳的人都知道，要破茧新生，关键在于震裂蝉壳时使出了多大的力气，倘若力气不够或半途而废，蝉最终会窒息而死。

动物界沿尚且有这样的规律，何况于人哥白尼提出日心说之时，正值教皇统治无比黑暗的时候，他不畏惧教皇势力对他的残酷打击，坚持扞卫自己的观点，为人类科学的进步作出了卓越的贡献。

战胜自我，超越极限，还要有足够的智慧。

要取得成功，一味只知蛮干的莽夫显然是不行的，他们只会遗留在历史冰冷的笑声里，如堂吉诃德大战风车一样毫无意义。

看过《飘》的人应该对其中描写荞麦的一段话记忆犹新：我们不要做小麦，而要做荞麦，小麦在大风过后会被刮断，而荞麦不同，它的体内有足够的水分，在大风吹来之时，能柔韧地弯腰，大风过后，仍能立起，昂起头茂密茁壮地生长。

极限思想及其应用摘要： (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言： (2)1.极限思想的形成及发展 (2)2.选题的背景及意义 (2)一、极限思想的思维本质 (2)1.极限思想揭示了无限与有限之间的相互转化 (2)2.极限思想是对近似和精确相互转化的揭示 (2)3.极限思想揭示了变量与常量之间的对立统一 (2)二、极限思想在数学分析中的应用 (3)1.在导数中极限思想的应用 (3)2.在积分中极限思想的应用 (4)3.在微分中极限思想的应用 (5)4.在开方中极限思想的应用 (7)结论 (9)参考文献 (10)在无限的变化中考察变量的变化趋势，这种思想就是极限思想。

由于极限概念就是数学分析的基础，所以极限思想在现代数学中有着非常重要的地位，对极限理论的熟练掌握，并将这种思想大量应用于实践中，将会体验到用极限思想解题的简便性。

笔者在本篇论文中，将从极限思想的形成与发展来引入极限，并通过分析极限思想在数学分析中的应用，在倒数、微分、积分与开方中，极限思想都起着极大的作用，通过对这些作用的描述，来证明我们对极限思想的掌握是很必要的。

关键词：极限思想；微积分；应用Abstract：Examine trends in the infinite variables change, this idea is to limit thought. Sincethe concept of limit is the basis of mathematical analysis, the ultimate thinking in modern mathematics has a very important position, skilled grasp the ultimate theory, and this idea widely used in practice, will experience an ultimate ideological problem-solving simplicity.In this paper, the author, will limit the formation and development of thought to the introduction of the limit, and by analyzing the limits of thought in mathematical analysis, in the countdown, differentiation, integration and evolution, the ultimate thinking plays a great action by the description of these effects, to prove that we grasp the limits of thought is necessary.Key words：Limit Thought；calculus；application作为数学思想中最重要的一项思想之一，极限思想从萌芽到完善时期，一直为人类对世界对物质的认识提供着强有力的工具。

以极限为话题的议论文以极限为话题的议论文（精选7篇）相信大家都尝试过写作文吧，特别是议论文，议论文是对某个问题或某件事进行分析、评论，表达自己的观点和主张的文章体裁。

我们应该怎么写这类型的作文呢？下面是小编收集整理的以极限为话题的议论文（精选7篇），欢迎大家分享。

一位学者曾这样概括人生的三种境界：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

人们都希望能到达人生的最高境界，即这第三境界，体味那战胜自我，超越极限后一览众山小的胜利感，然而在这自我提炼、自我实现的过程中，许多优秀的品质都是不可或缺的。

要战胜自我，超越极限，首先要有坚定的信念。

坚定的信念是一个人取得成功的先决条件，伟大着作《史记》的创作者司马迁，曾饱受牢狱之灾，但他立志要通古仿之变，成一家之言，终于达成心愿，孙子膑脚，《兵法》修列；不韦迁蜀，世传《吕览》；韩非囚秦，《说难》、《孤愤》，这些例子无一不说明了坚定的信念对成功的重要。

外国也不乏这样的例子，在无产阶级饱受资产阶级剥削与压迫之时，马克思、恩格斯凭着对共产主义无比坚定的信念，完成了《资本论》一书，为人类社会的进步指出了一条光明的大道。

战胜自我，超越极限，还要有过人的勇气，首先从动物界来看，见过蝉蜕壳的人都知道，要破茧新生，关键在于震裂蝉壳时使出了多大的力气，倘若力气不够或半途而废，蝉最终会窒息而死。

动物界沿尚且有这样的规律，何况于人哥白尼提出日心说之时，正值教皇统治无比黑暗的时候，他不畏惧教皇势力对他的残酷打击，坚持扞卫自己的观点，为人类科学的进步作出了卓越的贡献。

战胜自我，超越极限，还要有足够的智慧。

要取得成功，一味只知蛮干的莽夫显然是不行的，他们只会遗留在历史冰冷的笑声里，如堂吉诃德大战风车一样毫无意义。

看过《飘》的人应该对其中描写荞麦的一段话记忆犹新：我们不要做小麦，而要做荞麦，小麦在大风过后会被刮断，而荞麦不同，它的体内有足够的水分，在大风吹来之时，能柔韧地弯腰，大风过后，仍能立起，昂起头茂密茁壮地生长。

探析数学思想的培养——以极限思想为例极限思想是数学思想的重要组成部分，它的应用广泛，从微积分、多元函数研究中大量应用；在计算机科学、物理学乃至经济学都有重要作用。

在数学思想培养方面，主要要求学生能同时把握数学技术和极限思想，以便在外部环境变化时能够更好地应对。

首先，在数学思想培养中，应将极限思想整合到课程设置中。

极限思想可以帮助学生更加灵活地运用数学技术处理复杂问题，在讨论中如何将极限思想引入数学的认知过程中，可以更好地指示学生去探索数学领域里的思维方式。

其次，可以通过实验、分析实际问题的例子，来让学生尝试在实际问题中使用极限思想，增强学生的应用能力，提升数学解决问题的能力。

此外，可以通过课外活动来锻炼学生，引导学生理解极限思想，而不是死记硬背概念。

例如，可以举办一些数学竞赛，让学生在比较有趣的环境中探索极限思想的应用。

学生可以通过解答较为复杂的问题，去理解极限的意义，并将其与数学知识进行有效结合，让极限思想在学生的脑海中更深入、更持久。

总而言之，在数学思想培养中，极限思想非常重要，它可以帮助学生统一概念，使学习更加有趣，激发学生的学习兴趣，提高数学技能和分析问题能力。

通过上述多种方式，极限思想可以更充分地发挥其作用，从而使学生更加深入地理解数学思想，实现数学思想的有效培养与运用。

在数学思想培养中，学生应开拓思维，积极主动地探究和思考，以便在运用极限思想时更加有效地处理问题。

学生应尝试不断尝试新的解题方法，以及针对某一具体问题分析不同角度，运用极限思想来解决问题。

另外，要培养学生的分析能力，帮助他们更好地把握数学理论和极限思想。

可以通过以下方法做到这一点：首先，老师应多采用案例教学的方式，分析实际问题，将极限思想和数学理论有机结合起来，让学生了解极限思想的应用。

其次，可以给出不定形问题，让学生自主分析，在同伴交流的情况下，对形式化的数学表达式和极限思想进行分析，探究不同情况下极限值的构建方式。

此外，可以教授学生如何运用数学工具软件进行数学建模，赋予其更大的创新空间。

阜阳师范学院信息工程学院u F uy n y a ng g S h f i fa a n X u X ue u e y ua a n n X i nx x i G o G on n g h c he n e ng g X u X ue u e y uan an 本科毕业论文题 目目: : 数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法学学 生生: : 方方 常常 学学 号：号：号： 201002010312 201002010312 学学 院：院：院： 阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院专 业：业：业： 数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学 入学时间入学时间: 2010 : 2010 : 2010 年年 09 09 月月 13 13 日日 指导教师：指导教师： 王海坤王海坤王海坤 职称职称职称: : : 教授教授教授完成日期：完成日期：完成日期： 2014 2014 2014 年年 4 4 月月 20 20 日日诚信承诺书我谨在此承诺::本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种我谨在此承诺常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。

如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。

承诺人（签名）年月日目录摘要、关键字摘要、关键字 ...............................................................（...............................................................（11） 1 1 引言引言引言 .....................................................................（.....................................................................（.....................................................................（11） 2 2 极限的求法极限的求法极限的求法 ............................................................（............................................................（ (11)2.1 2.1 利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（11） 2.2 2.2 利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（22） 2.3 2.3 利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（33） 2.4 2.4 利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（33） 2.5 2.5 利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（44） 2.6 2.6 利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（44） 2.7 2.7 利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（55） 2.8 2.8 利用定积分求极限利用定积分求极限利用定积分求极限 ..........................................（..........................................（..........................................（66） 3 3 结束语结束语结束语 ..................................................................（..................................................................（..................................................................（66） 参考文献参考文献 .....................................................................（ (77)数学分析中求极限的几种常用方法姓名：方常方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤王海坤摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。

本科毕业论文（设计）极限思想及其应用学生姓名：孙金龙学号：071611140系部：应用数学系专业：金融数学指导教师：刘炎讲师提交日期：2011年3月21日广东金融学院2008-JX16-毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。

2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。

3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。

4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。

5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定。

学生签名：时间：年月日摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

大一数学论文2000字合肥学院论文题目:高等数学基础概念——极限作者学号:1303032034 作者姓名:专业班级:网络工程(2)班导师姓名:刘国旗目录摘要:极限概念是微积分中最基本的概念,极限思想是数学中极为重要的思想.一、极限的概念二、数列极限三、函数极限的通俗定义四、极限的运算规则六、极限求解的方法七、对极限理论理解概述八、极限的发展历史高等数学的基础——极限一、极限的概念极限概念是由某些实际问题的精确破解而产生的，是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的一个概念。

比如物理中的瞬时速度的问题。

我们知道速度可以用位移差与时1间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题:趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0?0，这有意义吗(这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率),这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出在数学领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的.“极限”经历了漫长的发展进程,今天的极限概念是数学家用了两千余年的时间不断完善才得到的.粗略地讲, 在高等数学中，极限一直是一个重要内容，并以各种形式出现而贯穿全部内容。

二、数列极限首先介绍刘徽的割圆术,设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。

为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1&lt;A&lt;An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416。

数列极限标准定义:对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε0，总存在正整数N，使得当nN时，|xn-a|&lt;ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。

数学几何极限思想总结数学几何极限思想总结写1000字数学几何是数学的一个重要分支，旨在研究空间中的几何图形、形状、变换等。

而极限思想是数学思想的核心之一，用于研究函数和序列的趋势、变化规律等。

本文将总结数学几何极限思想，并探讨其在几何学中的应用。

首先，我们来介绍数学几何中的极限思想。

极限是对趋近性的描述，它体现了一种逐渐接近或无限接近的趋势。

在几何学中，极限思想常常应用于求取图形的性质、变换的特点、曲线的形状等。

通过分析图形的极限，我们可以更好地理解其特性，并推断其未知的性质。

几何中的极限思想常常与序列和函数的极限联系在一起。

在几何学中，我们常常使用序列（数列）来描述图形变化的趋势。

例如，通过在平面上不断添加更多的点，我们可以构造一系列越来越接近曲线的多边形。

这些多边形的极限将是我们所研究的曲线的近似形态。

函数的极限也是几何学中极为重要的思想。

通过分析函数在某一点周围的表现，我们可以求取该点的切线、曲率、凹凸等性质。

在几何学中，极限思想还常常与无穷大、无穷小联系在一起。

无穷大可以看作是某一点或某一区间内的函数的趋势，而无穷小则表示函数在该点或该区间内的变化极为微小。

通过对无穷大和无穷小的研究，我们可以揭示图形的极限特点，例如收敛、发散、奇异点等。

通过对曲线极限的研究，我们可以确定曲线的渐近线、奇点、驻点等。

在几何学中，极限思想还常常与微分、积分联系在一起。

微分和积分是数学中的两个重要概念，它们描述了函数的变化率和变化量。

通过对函数的微分和积分，我们可以研究曲线的斜率、面积、体积等性质。

而极限思想则为微分和积分的基础，通过分析函数在某一点或某一区间内的行为，我们可以研究函数的极限、趋势及其对应的微分和积分。

总结起来，数学几何极限思想是数学几何中的重要思想，通过对图形的极限、无穷大、无穷小、微分、积分等进行研究，我们可以揭示图形的特性、变换的性质、曲线的形状等。

几何中的极限思想与序列、函数、无穷大、无穷小、微分、积分等密切相关，通过分析数学对象在某一点或某一区间内的行为，我们可以研究其极限、趋势及其对应的几何特性。

极限概念论文总结报告
本论文总结报告旨在探讨极限概念的重要性和应用。

极限概念是微积分中的基础概念之一，也是数学中的重要理论之一。

它在各个领域中都有广泛的应用，例如物理学、工程学和经济学等。

首先，我们将引入极限的定义和性质。

极限的定义是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的值趋近于某个确定值。

这一定义可以推广到多维空间和多重极限的情况。

而极限的性质包括唯一性、有界性和保号性等。

这些性质使得极限在数学推导和计算中非常有用。

然后，我们将介绍极限的计算方法。

计算极限涉及到一系列的极限运算法则，如极限的四则运算法则和复合函数的极限法则。

掌握这些计算方法可以帮助我们更准确地求解各种极限问题。

接下来，我们将探讨极限的应用。

在物理学中，极限概念被广泛应用于描述和推导各种物理量的变化规律，如速度、加速度和力等。

在工程学中，极限概念是设计和优化各种工程结构和系统的关键因素，如材料的强度和稳定性分析等。

在经济学中，极限概念被用来研究市场的供需关系和市场均衡等问题。

最后，我们将讨论极限概念的未来发展方向。

随着科学技术和数学理论的不断进步，极限概念也将进一步发展和应用于更多领域。

例如，在人工智能领域中，极限概念可以用于优化算法和模型的性能，并提高机器学习和深度学习的效果。

综上所述，极限概念在数学和各个科学领域中均具有重要的地位和应用。

通过理解极限的定义和性质，掌握极限的计算方法，以及应用极限概念解决实际问题，我们可以更好地理解自然界和人类社会的运行规律。

希望本论文能对读者对极限概念的理解和应用提供一定的帮助。

师学院本科毕业论文专业数学与应用数学年级姓名论文题目数学分析中的极限问题指导教师职称**** 年*月* 日目录摘要1关键词1Abstract1Key words.1引言11.综述21.1极限的产生与开展21.2极限问题的类型32.常见的极限求解方法42.1简单求极限的方法42.2利用两个重要极限公式求极限52.3利用洛必达法那么求极限62.4利用极限的四那么运算法那么求极限72.5利用等价无穷小替换求极限72.6利用定积分求极限82.7利用泰勒公式求极限92.8两边夹法那么求极限102.9利用单侧极限求极限112.10利用中值定理求极限12小结13参考文献14数学分析中的极限问题学生：** 学号：*********数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：** 职称：**摘要：极限是数学分析这门学科的根底，通过极限思想、借助极限工具使数学分析容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末. 本文主要是对数学分析中的极限的产生与开展，以及常见极限的假设干常规解法进展了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介绍了运用四那么运算法那么、两个重要极限、两边夹法那么、等价无穷小替换等方法求解极限.关键词：四那么运算法那么；洛比达法那么；泰勒公式；两边夹法那么.Abstract: Limit is the basis of mathematical analysis of the subject, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the mon limit of conventional method are disscussed and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmetic are analysised in detail, two important limits,between law and equivalent infinitesimal substitution method to solve the limit.Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; both sides grip rule.引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识准确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此，极限具有由此达彼的重大创新作用. 同时，极限是研究微积分的理论根底和根本手段，它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和开展中起着根本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学. 同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断开展，社会生产力的不断提高，在数学的开展史上将发挥越来越重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的根本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用.1.综述1.1极限的产生与开展早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的?天下篇?中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽.我国三国时期的大数学家徽〔约225年～295年〕的割圆术，通过不断倍增圆接正多边形的边数来逼近圆周，徽计算了圆接正3072边形的面积和周长，从而推得3.141024 3.142704<<.在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才算到同样准确度π的小数.π这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光芒.徽的割圆术不仅仅是先导，而且是一面旗帜，为研究复杂的逼近数列翻开了先河.16世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的开展. 17世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经历的根底上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观围.在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到19世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念.德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列{}n a 如果找到一个实数a ，无论预先指定多么小的正数ε，都能够在数列中找到一项n a ，使得这一项后面的所有项与a 的差的绝对值都小于ε，就把这个实数a 叫做数列{}n a 的极限. 1.2极限问题的类型数列极限定义 设{}n a 为实数数列，a 为定数，任意ε>0，总存在正整数N ,使得当n N >时，有n a a ε-<，那么称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限.不等式n a a ε-<刻画了n a 与a 的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明n a 与a 可以接近到任何程度. 然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数,N ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么2ε,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不定式n a a ε-<中的ε可用2ε,ε的平方等来代替. 同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数.函数极限定义 设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数d ，当x 满足不等式00x x d <-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=.2.常见的极限求解方法数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，因为这些常见的方法是研究极限求解的根底，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.我们罗列出一些常用的求法. 2.1简单求极限的方法我们知道，在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷小量；有限个〔一样类型〕无穷小量之和 、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.例1 求极限2147lim32x x x x →--+. 解 当1x →时，分母的极限为0，而分子的极限不为0，可以先求出所给函数的倒数的极限2132132lim 04747x x x x →-+-+==--, 利用无穷小量的倒数是无穷大量，故 2147lim32x x x x →-=∞-+. 例2 求极限201sin limsin x x x x→.解 运用极限运算的四那么运算法那么，有200001sin11limlim sin lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅⋅=⋅， 因为0lim1sin x xx→=,当0x →时，x 为无穷小量，1sinx为有界量，所以1lim sin0x x x→⋅=, 故201sin lim0sin x x x x→=.2.2利用两个重要极限公式求极限 我们所熟悉的两个重要极限是 (i)lim ()0x af x →=那么sin ()lim1()x a f x f x →=,(ii)lim ()0x af x →=那么1()lim(1())f x x af x e →+=,其中，第一个重要极限是“00〞型；第二个重要极限是“1∞〞型.利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，识别它们的变形，有时会利用到归结原那么.例3 求极限10lim(12).xx x →+解1112220lim(12)lim[(12)(12)]x x xx x x x x e →→+=+⋅+=.例4 求极限211lim(1)n n n n→∞+-.解2111(1)(1)(n )n n e n n n+-<+→→∞，当1n >时，有2221112221111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n n nn -------+-=+≥+,而由归结原那么〔取2,(n 2,3,)1n n x n ==⋅⋅⋅-〕有 2221122111lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n e n n n---→∞→∞→∞--+=+=+=, 于是，由数列极限的迫敛性得211lim(1)n n e n n→∞+-=. 2.3利用洛必达法那么求极限 定理1 假设函数()f x 与()g x 满足 (i) 0lim ()lim ()0();x x x x f x g x →→==∞(ii) 在点0x 的某空心邻域0()U x 两者都可导，且()0g x ≠； (iii) 0()lim()x x f x A g x →'='〔A 可为实数，也可为+∞或-∞〕,那么 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例5 求极限1220(12)limln(1)xx e x x →-++. 解 利用22ln(1)~(0)x x x +→,得11132222220000(12)(12)(12)(12)limlim limlimln(1)22xxxxx x x x e x e x e x e x x x x--→→→→-+-+-+++===+.应用洛必达法那么计算待定型极限需要注意的问题(1)审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型就不能运用洛必达法那么，因为它不满足洛必达法那么的条件. (2)除计算“00〞或者“∞∞〞两种待定型外，计算其它五种待定型00"0,1,0,,"∞⋅∞∞∞-∞都要用对数或代数运算将它们化为待定型“00〞或者“∞∞〞,然后再应用洛比达法那么.(3)在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号取出.(4)要特别注意，一般来说，应用洛必达法那么计算待定型极限都比拟简单.但是对少数的待定型极限应用洛比达法那么，并不简单.2.4利用极限的四那么运算法那么求极限定理2〔极限的四那么运算法那么〕假设0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，那么(i)0lim ()lim ()x x x x f x g x A B →→±=±，(ii)0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅，(iii)假设0B ≠，那么000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x g x B→→→==, 综上所述，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.例6 求极限2223lim 4x x x x →+++.解2223lim 4x x x x →+++=222lim(23)lim(4)x x x x x →→++=+116. 2.5利用等价无穷小替换求极限以下是当0x →时常用的等价无穷小关系sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,11~,1~,log (1x)~,ln 11~ln 1~,2(1)1~,ln(1)~.x a x x x x x x x x xx e x n aa x a x x x x x -+-+-+αα等价无穷小代换法 设,,,ααββ'' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有~,~,limαααβββ''''存在，那么 βαlim 也存在，且有limlim ααββ'='. 例7求极限321(1cos )n n ⋅-解 因为lim1n →∞=，故321(1cos)n n ⋅-221(1cos )n n ⋅-=2411n n ⋅⋅=1=. 例8求极限0x →解 有等价无穷小关系 tan ~,1~ln (0).x x x a x a x -→x →0x →=0x →=21.2x →===2.6利用定积分求极限由于定积分是积分和的极限，因此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成.例9 求极限2222221lim 12(n 1)n n nnn n n n →∞⎡⎤++++⎢⎥+++-⎣⎦.解222222112(n 1)n nnn n n n +++++++-2221111112111()1()1()n n n n n ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥---⎢⎥+++⎣⎦. 可取函数21()1f x x =+，[0,1],x ∈上述和式恰好是21()1f x x =+,在[]0,1上n 等分的积分和，所以2222222221201lim 12(n 1)1111lim 112111()1()1()1.14n n n n nn n n n n n n n n dx x π→∞→∞⎡⎤++++⎢⎥+++-⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥---⎢⎥+++⎣⎦==+⎰ 2.7利用泰勒公式求极限常用泰勒公式展开235211224221211();2!!sin (1)();3!5!(21)!cos 1(1)();2!4!(2)!ln(1)(1)();2nxn n n n n n n nn n x x e x x n x x x x x x n x x x x x n x x x x x nοοοο--+-=+++⋅⋅⋅++=-++⋅⋅⋅+-+-=-++⋅⋅⋅+-++=-+⋅⋅⋅+-+22(1)(1)(1)(1)1();2!!11().1n n n n n x x x x x n x x x x x--⋅⋅⋅-++=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++-αααααααοο例10求极限00)x a →>.解利用泰勒公式，当0x →时1()2xo x =++，于是x →0x →=01211()()1()22limx x x o x o x a a x→⎤++--⋅-⎥⎣⎦=0()2lim x x o x a x →+=0x →==. 例11 求极限2602cos 2lim x x x e e x x x -→+--.解应用泰勒公式，将函数x e ，x e -，cos x 展开到6x 项，有2345661(),1!2!3!4!5!6!xx x x x x x e x ο=+++++++2345661(),1!2!3!4!5!6!xx x x x x x ex ο-=-+-+-++2466cos 1().2!4!6!x x x x x ο=-+-+将它们代入上式，整理，得66266004()2cos 246!lim lim 6!xxx x x x e e x x x x ο-→→++--==. 2.8两边夹法那么求极限当极限不易求出时，可考虑将所求极限变量，做适当的放大或缩小，是放大或缩小的新变量，易于求极限，且二者的极限值相等，那么原极限存在，切等于此公共值.例11 求极限01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解 因为1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是对1x 取整，那么1111(0)x x x x⎡⎤-<≤≠⎢⎥⎣⎦, 当0x >时，111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦,当0x <时，111x x x ⎡⎤->≥⎢⎥⎣⎦, 故1lim 1x x x →⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 例12 设1!2!!,!n n x n ++⋅⋅⋅+=求极限lim .n n x →∞解 当分子2n >时，有2!1!2!(2)!(1)!n n n n -<++⋅⋅⋅+-+-(2)(2)!(1)!!n n n n <--+-+2(1)!!n n <-+,因此，当2n >时，211n x n<<+, 所以lim 1n n x →∞=.2.9利用单侧极限求极限可以用单侧极限求解的问题类型如下(1) 求含xa 的函数x 趋向无穷的极限，或求含1xa 的函数x 趋于0的极限; (2) 求含取整函数的函数极限; (3) 分段函数在分段点处的极限;(4) 含偶次方根的函数以及arctan x 的函数，x 趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，那么函数在分界点处的极限存在，否那么极限不存在.例13 设函数21sin ,0()1,0x x f x xx x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,求()f x 在0x =的极限. 解 由于1lim sin 1x x x+→=,20lim (1)1x x -→+=,故00lim ()lim ()1x x f x f x +-→→==, 从而lim ()1x f x →=.2.10利用中值定理求极限拉格朗日(Lagrange 〕中值定理 假设函数()f x 满足如下条件 (i)()f x 在闭区间,a b 上连续 ； (ii)()f x 在开区间(,)a b 可导， 那么在(,)a b 至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=- .例14 求函数极限30sin(sin )sin lim x x xx →- .解 因为sin(sin )sin x x -[](sin )cos (sin )x x x x x θ=-⋅⋅-+(01)θ<<,所以30sin(sin )sin limx x xx→- []3(sin )cos (sin )limx x x x x x xθ→-⋅⋅-+=20cos 1lim3x x x →-=0sin lim6x xx→-=16=- 积分中值定理 假设()f x 在[,]a b 上连续，那么至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.例15 求极限sin lim ,n p nn xdx x+→∞⎰p 为某实数. 解 由积分中值定理，得sin sin n p n nnx dx p x ξξ+=⋅⎰，因为n ξ为介于n 与n p +之间的某值，那么111n n n p ξ≤≤+ 或 111n n n pξ≥≥+， 而sin 1n ξ≤，由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性得sin lim 0n p nn xdx x+→∞=⎰. 定理〔推广的积分第一中值定理〕 假设函数()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，那么至少有一点[],a b ξ∈，使得()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.例16 求函数极限40lim sin n n xdx π→∞⎰.解由题 ()sin ,()1,n f x x g x ==均在[0,]4π上连续，且()g x 不变号，由推广的积分第一中值定理40lim sin nn xdx π→∞⎰40lim sin nn dx πξ→∞=⎰limsin (0)4n n πξ→∞=⋅-lim(sin )04n n πξ→∞==.小结以上所求极限的方法各有条件、各具特色,因此各种类型所采用的技巧方法都不尽一样,我们必须根据其条件来判断极限的类型,进而根据类型来找到解决问题的方法.当然,有些题目有可能可以用多种方法来解决,此时,我们不可以死搬硬套,要从繁琐中找复杂,在复杂中找简单,而关于如何做到这一点,就必须在做题中不断总结、摸索、领悟各种方法的精华,才能熟练而有灵活的掌握与运用各种求极限的方法.参考文献[1] 林源渠，方企勤.数学分析解题指南.[M].：大学，2003.[2] 郝涌，学志，有德. 数学分析选讲.[M].：国防工业，2010.[3] 同济大学应用数学系. 高等数学.[M].：高等教育，1996.[4] 玉琏，奎元，伟，吕风.数学分析讲义学习辅导书.[M].：高等教育，2003.[5] 清华，昊．数学分析容、方法与技巧.[M]．华中科技大学，2003.[6] 华东师大学数学系. 数学分析上册第三版.[M].高等教育，2001.[7] 钱. 数学分析解题精粹.[M].：崇文书局,2003.[8] 梁昌洪. 话说极限.[M].：高等教育，2009.。

极限思想的辩证思考哲学论文极限思想的辩证思考-哲学论文以下毕业由广东应届生为您收集：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。

认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。

通过极限思想与辨证哲学的紧密 ___，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。

极限思想;辨证哲学;对立统一微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1 极限思想与辩证哲学的 ___。

1.1 极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。

除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系;同时，它们之间也体现了一种相互 ___相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性;另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的___，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。