中国古代数学中的极限思想[含论文、综述、开题-可编辑]

存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)3.1极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)3.3数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)4.1极限思想在割圆术中的应用 (8)4.2极限思想在开方方面中的应用 (8)4.3极限思想在微积分中的应用 (10)4.4极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。

极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。

本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。

关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。

中国古代数学论文2500字_中国古代数学毕业论文范文模板中国古代数学论文2500字(一)：中国古代数学思想对初中数学教学的启示论文在古代数学中，包括古希腊在内的西方对数学做出了非常大的贡献，这些内容广为人知，而对中国古代数学除圆周率及勾股定理等之外所取得的伟大成就却知之甚少。

事实上，中国数学起源于上古时期，隋代中叶到元代后期达到鼎盛，许多成就领先西方数百年甚至千年以上。

如十进位制计数法和零的采用早于第二发明者印度1000多年，二进位制思想领先第二发明者2000多年，二次内插法早于欧洲牛顿1000多年，凡此种种不胜枚举。

而其中的优秀代表——《九章算术》，共分九章（卷），总计201术246题，涉及算术、数与代数、几何等诸多领域，其中涉及初中数学的有负数、勾股定理和一元二次方程等。

该书成书后，特别是到魏晋时期著名数学家刘徽作注（《九章算术注》）之后，它在我国古代数学中有着不可动摇的地位，其数学内容和思想对中国古代的数学发展有着极其重要的作用，至今仍有重要的借鉴意义。

一、《九章算术》所体现的中国古代数学思想中西方数学的起源基本相同，即都是基于對人们生产生活中遇到的问题进行归纳和理性的处理。

而中西方古代数学差异在于西方通常采用抽象的方式来解释问题，而中国古代数学的核心是对实际问题的解释和再利用。

以《九章算术》为例，它以“方田”（土地测量）“粟米”（粮食交易）“衰分”（比例分配）等生活中的常见问题进行分类。

而从内容的编排看，它也以实用性为主。

因此可以说，该书处处体现“实用”的数学思想，这也是中国古代数学的一个鲜明特点。

当然，《九章算术》也有着非常明显的缺点，由于该书影响巨大，其“实用”的数学思想，导致中国数学很长时期一直处于实用主义的文化背景下，而忽视了对于基本数学概念、定理的探索，这种现象直到近代才有所改变。

然而，这不是说“实用”的数学思想是完全错误的。

实际上，直到如今，其“实用”的数学思想仍然对数学教学有一定的启示作用。

开题报告信息与计算科学极限思想在实际生活中的应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义极限的思想可以追溯到我国古代, 刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 大胆地运用极限思想思考问题, 放弃了归缪法的证明. 如此, 他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力得到极大的发展, 生产和技术中大量的问题, 只用初等数学的方法已无法解决, 要求数学突破只研究常量的传统范围, 而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景.起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分, 后来因遇到了逻辑困难, 所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿用路程的改变量与时间的改变量之S ∆t ∆比表示运动物体的平均速度, 让无限趋近于零, 得到物体的瞬时速度, 并由此引S t ∆∆t ∆出导数概念和微分学理论. 他意识到极限概念的重要性, 试图以极限概念作为微积分的基础, 他说:“两个量和量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差, 则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的, 因而他无法得出极限的严格表述. 牛顿所运用的极限概念, 只是接近于下列直观性的语言描述, “如果当无限增大时, 无限地接近于常数, 那么就说以为极限” . n n a A n a A 这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义. 但是, 这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础. 正因为当时缺乏严格的极限定义, 微积分理论才受到人们的怀疑与攻击, 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 微积分理论基础的问题, 许多人都曾尝试解决, 但都未能如愿以偿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量, 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚; 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解; 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 这样, 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要, 仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系. 到了18世纪, 罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念, 并且都对极限作出过各自的定义. 其中达朗贝尔的定义是“一个量是另一个量的极限, 假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”, 它接近于极限的正确定义; 然而, 这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖. 事情也只能如此, 因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的. 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺, 他把函数的导数定()f x 义为差商的极限, 他强调指出不是两个零的商. 波尔查诺的思想是有价y x ∆∆()f x '()f x '值的, 但关于极限的本质他仍未说清楚. 到了19世纪, 法国数学家柯西在前人工作的基础上, 比较完整地阐述了极限概念及其理论, 他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小, 这个定值就叫做所有其他值的极限值, 特别地, 当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0, 就说这个变量成为无穷小. ” 柯西把无穷小视为以0为极限的变量, 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识, 这就是说, 在变化过程中, 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限地接近于零. 柯西试图消除极限概念中的几何直观, 作出极限的明确定义, 然后去完成牛顿的愿望. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语, 如“无限趋近”、“要多小就多小”等, 因此还保留着几何和物理的直观痕迹, 没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹, 维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义, 给微积分提供了严格的理论基础. 所谓就是指:“如果对任何, 总存在自然数, 使得当n a A =0ε>N 时, 不等式恒成立”.n N >n a A ε-<极限思想的应用无处不在, 理解掌握并合理应用极限思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 用极限思想的方法去对待一件事情可以提高实际的效果.本文所做的工作就是本人对极限思想的认识, 通过极限思想去发现我们生活中出现的各种问题并用极限思想加以处理之; 在处理过程中学会对极限思想运用和分析, 从而使我们每个人都能从自身的角度去认识极限思想, 而不是去遗传别人对极限思想的认识.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容:研究极限思想在实际生活中的应用解决的主要问题: 1、简单分析极限思想的定义2、极限思想与其它思想之间的联系3、研究极限思想是如何应用在实际生活中的三、研究步骤、方法及措施一. 研究步骤:1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 开题报告通过后撰写毕业论文;6. 上交论文初稿;7. 反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8. 论文定稿.二.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容, 在老师指导下, 归纳整理各类问题.四、参考文献[1] 王晓硕. 极限概念发展的几个历史阶段[M]. 辽宁: 辽宁师范大学数学系, 2001, 40-43.[2] 孟慧丽. 论瑜伽运动的美[J]. 广州: 华南师范大学体育科学学院, 2008: 64-65.[3] 杨军星. 极限思想的实际应用分析[J]. 黔南民族师范学院学报, 2009, (3): 81-84.[4] 汪晓梦. 极限思想的形成、发展极其哲学意义[J]. 中共合肥市委党校学报, 2004,(3): 22-24[5] 单清华等. 瑜伽文化足迹及现代健身价值研究[J]. 体育与科学, 2009, (180): 46-48.[6] Jobson, Oliver H. Expanding the Boundaries of Self Beyond the Limit of TraditionalThought [M]. Global Pub Assoc Inc, 2011.[7] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[8] Graham Priest. the limit of thought-and beyond [J]. oxford university, 1991: 361-370.[9] 于国涛. 超频, 让你的电脑飞跑起来[J]. 北京: 电脑迷, 2009, (2): 25.J. Jurgen. Limits and Continuity of Functions [M]. Springer Berlin Heidelberg, 2006.。

概述数学文化极限概念庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。

一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。

再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。

数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。

毫无疑问极限也是社会实践的产物。

一、中国古代极限思想“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。

也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。

按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。

也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短，长度接近于零，但又永远不会等于零。

墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。

意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。

名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。

显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。

现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。

公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。

所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。

数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。

浅谈中国古代数学论文4100字_浅谈中国古代数学毕业论文范文模板浅谈中国古代数学论文4100字(一)：中国古代数学思想的重大突破及现代教育价值论文【内容摘要】《新课标》要求在数学教学中渗透数学思想方法，加强对中华优秀传统文化的学习教育。

中国古代数学思想博大精深，在长期的发展过程中出现了数与形的概念、算法化的计算思想、极限思想以及数形结合思想等重大思想突破。

这些数学思想在当代具有极高的教育价值，现代数学教学应该与古代优秀数学思想文化兼容并包。

【关键词】古代数学思想；极限思想；数形结合思想；现代教育价值数学思想是人类知识领域最富有理性魅力的科学，起着统帅和支撑数学科学发展的重要作用。

数学思想是数学的精髓，是创造的源泉，是发展的基础，是数学能力的集中体现。

中国古代数学发展自成体系，表现出了强烈的算法化倾向，提炼出的数学思想，几乎涵盖了义务教育阶段所需要学习的大部分数学思想，在当今时代有着很大的教育价值。

《新课标》中明确要求增加对“数学思想结构”和“数学思维能力”的培养，加强数学学科知识教育和中国优秀传统思想文化学习的有机结合，增强学生的民族文化自信。

在数学教学过程中要紧密联系生活实践，深刻理解数学精神，渗透重要数学思想方法，使学生增进对数学的理解和学好数学的信心，提高数学学习质量和数学能力。

一、中国古代重大数学思想突破中国古代数学思想博大精深，极大地推动了中国乃至世界的数学教育和实践应用发展。

数学思想的形成和发展不仅是新思想在数量上的不断积累发展，而且在某些条件下还产生了一些根本性的重大飞跃进展，即质的突破。

(一)形成数与形的概念是对人类原始“数觉”和“形觉”的突破。

中国远古人类在长期的生产实践中逐渐形成了数与形的概念，初步掌握了甲骨文数字、筹算数码、规、矩的使用以及一些简单的数的运算方法，并积累了一些数学知识。

它们的产生标志着人类从蒙昧时代原始的“数觉”、“形觉”认识迈出了具有决定性意义的一步，抽象的“数”“形”概念及多种记数方式是社会生产实践活动中必不可少的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。

2.1 最早的极限思想公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。

庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。

迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。

2.2极限的早期使用公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。

但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。

通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。

在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。

用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。

这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。

刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。

2.3极限定义的产生直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。

到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。

经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。

极限思想在数学课堂中的渗透论文极限思想在数学课堂中的渗透论文摘要：极限思想是一种非常重要的数学思想，在数学教学过程中有着相当重要的地位和作用，灵活的运用极限思想，可以将有些数学问题化难为简，避免一些复杂的数学运算，探索出新的解题方向或转化途径，还可以帮助学生有效地提高自己的解决数学问题的能力。

关键词：极限思想；无限分割；数学；渗透【正文】极限思想是一种非常重要的数学思想，在数学教学过程中有着相当重要的地位和作用，在数学课堂中有意识的给学生渗透基本的数学思想就显得尤为的重要。

而且，极限思想还可以帮助学生有效地提高自己的解决数学问题的能力，灵活的运用极限思想，可以将有些数学问题化难为简，避免一些复杂的数学运算，探索出新的解题方向或转化途径。

那么，如何把极限思想有效地渗透到数学课堂中呢？我将根据我的数学教学的具体实践谈谈极限思想在数学课堂中的渗透。

一、在介绍数学史上的三大数学危机中的悖论思想时渗透极限思想数学史上出现了三次大的数学危机，也正是这三次大的数学危机促使数学有了更快、更大的发展。

其中的第三次数学危机中的悖论思想也给数学界带来了翻天覆地的变化。

关于悖论思想，有这样一个小故事：兔子和乌龟赛跑，起初乌龟在兔子前100米，兔子每分走10米，乌龟每分走1米，兔子永远追不上乌龟。

兔子永远追不上乌龟的理由是：当兔子走完100米的时候，乌龟已经向前走了10米，当兔子再向前走10米的时候，乌龟又向前走了1米，当兔子继续向前走1米的时候，乌龟又向前走了0.1米，当兔子再向前走0.1米的时候，乌龟又向前走了0.01米，……所以兔子永远追不上乌龟。

学生显然不能接受“兔子永远追不上乌龟”这个观点，其实兔子追上乌龟的时间是10+1+0.1+0.01+0.001+……= (分)，也就是说兔子和乌龟之间的距离越来越小，兔子追上乌龟上一次的终点所用的时间越来越短，最后达到一种无限接近的状态，这也是一种极限思想的影射。

在生活中也不乏这样的实例：一个苹果，今天吃它的一半，明天吃它的一半的一半，后天吃它的'一半的一半的一半，……如果这样下去，这个苹果吃得完吗？这个苹果是永远吃不完的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管苹果越来越小，但还是有的（只要你有耐心，米粒大的物质是有的）。

极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： ，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3） 函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。

中国古代数学中的极限思想文献综述文献综述中国古代数学中的极限思想前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)极限是数学的一个重要概念。

在数学中,如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。

极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论包括级数为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果参见文献[1]。

极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面。

对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。

主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)早在春秋战国时期(公元前770??前221)道家的代表人物庄子就有了极限思想,据《庄子》“天下篇”中记载:“一尺之棰,日取其半,万事不竭”[2][3]。

意思是说一尺长的木棒每天去下前一天所剩的一半,如此下去,永远也取不完。

这反映了古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也提供了一个“无穷小量”的实际例子。

这个经典论断,至今在微积分的教学中还经常使用参见文献[4]。

我国古代的极限思想与方法主要寓于求积面积、体积理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问题。

在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。

”即圆的面积S 与一个长为半周C /2,宽为半径的长方形的面积相等:参见文献[5]。

祖冲之运用极限理论
祖冲之是山西省的一位古代数学家，被公认为是中国古代数学史上的重要人物之一。

他提出了极限理论，它是一种重要的基础原理，被广泛应用于程序设计、工程规划等多领域。

一、祖冲之运用极限理论
1.祖冲之认为，凡是穷尽一切可能，使得目标达到最大程度的目标，都可以称之为极限。

他把极限理论应用于三角形的推导，把三角形的一边拉长，把另外两边相加，尽可能的让其临近一个无穷大的近似值，用于求解其他信息。

2.祖冲之还运用极限理论求解数学积分，其中他把运行接近于不变的函数拆分成无数小段，然后对每一个段进行积分，最后将所有结果求和即可求解精确结果。

3.祖冲之运用极限理论发展了无穷论，该理论把若干数量呈无穷状，另外一个子的大小更大的极限，以此来表达无穷某类不可能的存在。

二、极限理论的广泛应用
随着祖冲之的研究，极限理论也广泛应用于多个领域。

1.在工程规划时极限理论强调的是最佳情况，即让每个改进可以达到最
大化效果，从而使工程规划达到理想效果。

2.在程序设计中，极限理论指导开发者以最佳时机，利用合理、最优的方法完成设计任务，保证能够获得最大化效果。

3.在物理学中，极限理论也有很多应用，比如电磁学、量子力学等将极限应用到实验中，以准确检测出物理现象的变量。

三、结论
从上文可以看出，极限理论是祖冲之的重大成就之一，它的应用极为广泛，能够帮助开发者精确实现工程规划、设计程序，也能够帮助科学家准确检测物理现象中的各种变量。

总而言之，极限理论体现出祖冲之在数学方面的突出贡献，其中结合最优原理和分析法的思想都被广泛应用于各个领域，为人类社会的发展做出了重要贡献。

极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板极限思想数学论文2200字(一)：极限思想在数学解题中的运用论文摘要：极限思想是近代数学的重要思想，是一种利用极限的概念去分析问题和解决问题的思想方法。

对于某些数学问题，能够灵活运用极限思想往往能够化繁为简，事半功倍。

本文通过类比的方法来探究利用极限思想的方法与常规的解题方法之间的区别，然后分别举例来说明在解决函数、数列、不等式的问题时，利用极限思想的解法的优势所在。

关键词：极限思想；函数；数列；不等式所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可以概括为：首先，对于被考察的未知量，设法构造一个与它相关的变量；然后，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后，用极限计算来得到这个结果。

极限思想是近代数学的一种重要思想，其由来可以追溯到古代，例如魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，其实就可以看作是一种比较原始的极限思想。

而随着微积分的诞生，极限思想也得到了进一步的发展和完善。

极限思想作为微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

可以说，数学分析就是以极限概念为重要基础，以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

除此之外，极限思想在解决一些抽象、复杂或是计算量大的问题时有着出色的表现，往往在常规的解法山穷水尽之时，利用极限的思想方法柳暗花明。

一、极限思想在函数中的应用1.利用极限思想巧解函数图像问题根据所给函数的解析式找出对应的函数图像是高考数学中的一类常见问题，一般的常规解法是研究函数的零点，通过解方程或是画出函数图像找出交点的个数，进而得到函数的零点个数，最后结合所给图像得出正确答案。

而如果利用极限思想来解决这类问题，往往可以事半功倍。

例1函数y=2x-x2的图像大致是()pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292常规解法：首先，研究函数的零点。

盐城师范学院毕业论文2012-2013 学年度极限在数学分析与解题中的应用学生肖永学院数学科学学院专业数学与应用数学学号 09211237指导教师李高林2013年4月24日极限在数学分析与解题中的应用摘要极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础,极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.所以，对极限概念及理论的理解和掌握的好坏将直接影响到整个本课程的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一刻过程中的变化趋势，是从有限到无限，近似到精确，量变到质变的过程,与初等数学中的概念有很大的区别,因此学生掌握起来比较困难,一些学生到了毕业，还对为ε-”定义来描述微积分的极限理论不甚理解。

什么要用如此抽象的“N但是如果能从数学的发展历史中了解极限思想和极限理论的形成过程，弄清极限理论概念的描述和逻辑表述形式并辅以典型的例题来加深理解,对于掌握和应用极限概念会起到很重要的作用。

【关键词】：极限思想数学分析应用The applation of limit thought in Mathmaticai Analysis and problem solvingAbstractLimit thought is an important thought of modern mathematics, mathematical analysis is based on the concept to the limit, limit theory as the main tool to study the function of a discipline. Therefore, the ultimate concepts and theoretical understanding and mastering will directly affect the whole of this course。

谈数学中的极限思想摘要极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。

本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题和函数极限概念小结极限思想应用的举例。

关键词极限函数导数综述极限思想的发展过程、简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

本科生毕业论文（设计）题目极限思想的产生和发展The Emergency and Development OfLimit专业数学与应用数学院部数学与计算机科学学院学号 xx姓名 xx指导教师 xx答辩时间二○一四年五月论文工作时间：2013 年12月至2014 年5月极限思想的产生和发展摘要：本文主要论述极限思想的产生和发展历史．在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论．极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点．通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确．在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程．关键词：极限思想；产生；发展The Emergence and Development Of LimitUndergraduate:xxSupervisor: xxAbstract:This paper mainly discuss the generation of limit and its development．I will introduce you some related mathematicians and their theories during its different period．Limit thought is an important thought of modern mathematics, namely a mathematical thought used to solve and analysis problems．The emergence and development of the limit idea is of practical need to society, it also promotes the development of math as a new power, which becomes the foundation and starting point of the modern mathematical thoughts and methods．By learning the emergence and development of the limit idea, people will be more interested in some mathematical questions on limit thought．They can know things from finite to infinite, from invariant to variant also, they can understand curve from straight line, qualitative change from quantitative change and exactness from approximation with the help of the limit thought．I hope that everyone will find what a beautiful mathematical world it is and enjoy this wonderful process when you explore the origin and development of limit thought in mathematics．Key words:limit thought ; generation; development目录绪论 (1)1极限思想的产生 (1)2极限思想发展的分期 (2)2．1极限思想的萌芽阶段 (2)2．2极限思想的发展时期 (3)2．3极限思想的完善时期 (3)3极限思想与微积分 (4)3．1微积分的孕育 (5)3．1牛顿与微积分 (6)3．3莱布尼茨与微积分 (6)3．4微积分的进一步发展 (7)结束语 (8)参考文献 (9)致谢............................................. 错误！未定义书签。

数学极限思想的应用论文（共2篇）本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！第1篇:论高等数学之极限思想极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

1、极限的概念数列极限：设为一个数列，a为一常数，若，总存在一个正整数N，使得当时，有，称a是数列的极限。

函数极限：函数在点a的某去心邻域内有定义，A为常数，若，总存在一个正数，使得当时，有，称A是当x趋向于a时函数的极限。

出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

2、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越来越小，但还是有的。

只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。

这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极限思想意义重大。

3、将极限思想渗透到课堂教学中课堂上介绍一些体现极限思想的典故哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”也体现了极限思想。

开题报告数学与应用数学极限思想、地位和应用一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义极限是分析数学中最基本的概念之一, 极限思想是数学中极为重要的思想. 极限一词从词源上讲含义是表示一个不可超越的限度, 含有限制的意思. 数学中的"极限"在一定方面也有这个意思, 但不完全是, 更广地, 如有"无穷逼近"之意. 在数学领域"极限"是有严格定义的, 用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态, 它的建立是数学发展史中的一个重要转折点, 它将初等数学扩展为变量数学, 此后抽象空间中各类收敛性, 也都是极限思想方法的运用和拓广. 而"极限"有其漫长的历史, 历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化.古代朴素的, 直观的极限思想是随着无限观的产生而产生的, 古希腊的"穷竭法"、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术等, 无不含有朴素的极限思想的雏形, 也揭示了极限概念的萌芽时期. 古朴的极限思想主要指通过整体细分, 按照某种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想.希腊人的"穷竭法", 从外推思想直观猜测出"两个圆的面积之比等于它们的直径（或半径）的平方之比", 因为通过作两个圆的内接正多边形的面积之比, 总是等于两个圆的半径的平方之比, 所以外推"在终极的情况下"也应如此, 即对于两个圆的面积, 同样的结论也是成立的, 这其中就蕴含有极限逼近思想. 希腊人在穷竭思想下发展的证明方法是严格的, 并不是大致近似或是严格极限概念的某一步, 它根本不含明确的极限思想, 仅依赖于间接证法——双归谬法, 这样就避免了用到极限. 实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠, 因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念. 但我们也能看到, 双归谬法的确遏制了穷竭思想向极限思想的发展, 远离了向严格极限发展的方向, 将难处理的涉及无限的东西通过反证归谬给化解了.刘徽的"割圆术"是一种典型的朴素极限思想或观念的运用. 按照刘徽割圆术的思想, 圆的周长就是圆内接正边形的周长在不断增大的变化过程中所无限接近的数值. 刘126-⨯n n 徽的割圆术只是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用,是将圆看成是正多边形的极限状态的思想, 只是没有将这一过程数量化, 离极限方法尚有一段距离.古代数学中的极限思想仅止于思想, 而没有发展到方法层面, 希腊学者为了克服无穷带来的麻烦, 走了一个弯路——发明了穷竭法, 避开了"取极限". 穷竭法是逻辑方法, 偏离了极限思想向可操作的极限方法发展的轨道.16世纪, 荷兰数学家斯蒂文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 放弃归谬法证明步骤, 大胆地运用极限思考问题. 从此, 他指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向. 随着微积分的发展, 极限逐步受到重视. 因为牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立的微积分遇到了逻辑困难, 人们发现极限能化解这一困难, 所以就求助于极限思想, 试图以极限概念作为微积分的基础.第一个明确阐述极限概念的数学家是法国的达朗贝尔. 他指出, "当第一个量以比人们能想出的任何细微给定量都更密切地逼近第二个量时, 第二个量就是第一个量的极限." 尽管这个概念是描述性的, 但已初步摆脱了几何、力学的直观原型. 因此, 达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导.法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯进一步将极限概念严格化. 1821年, 柯西在《分析教程》中给出了变量极限定义: "当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小有多小, 这个定值叫做所有其他值的极限. "魏尔斯特拉斯以此定义为基础, 他提出了极限理论的方法, 给出了导数、连续、积分的定义, 特别是-ε他首先给出了定积分作为和式极限的定义, 也给出了无穷小、无穷大的定义: "当一个变量的数值这样地无限减小, 使之收敛到极限零, 那么这个变量叫做无穷小; 当变量的数值这样无限地增大, 使该变量收敛到极限, 那么该变量就成为无穷大. "这个定义澄清了对无穷小∞"似零非零"的模糊认识.魏尔斯特拉斯为了排除柯西极限概念中的直观痕迹, 对柯西的方法进一步改造. 把-ε变量解释成字母, 该字母代表它可以取值的集合中的任何一个数, 这样运动就消除了. 一个连续变量是这样一个变量: 若是该变量的集合中的任一值而是任何正数, 则一定有变0x ε量的其他值在区间中. 他给出了相当完备的方法, 即设是函数()εε+-00,x x δε-0x x =定义域内的一点, 若对给定的任一随意小的数, 可求得另一正数, 使得与之差()x f εδ0x 小于的一切值, 满足和另一数的差小于, 则数是函数于点的极限.δx ()x f L εL ()x f 0x 极限的定义使极限概念从动态观点过渡到了静态观点, 用静态的有限量刻画动态δε-的无限量, 再也用不着借助于几何直观和想象了. 在该定义中, 涉及的仅仅是数及其大小关εδ系, 借助不等式, 通过和之间的关系, 却定量地、具体地刻画了极限概念中两个"无限过程"之间的联系, 真正实现了极限概念的"算术化". 这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.近代意义的极限思想是与无限逼近相联系的, 是一种通过无限细致的分割而探讨整体的思想, 最终明确化为算法化的极限方法. 极限是微积分学的重要概念, 人们用差商的极限去描述切线斜率、变速运动物体的瞬时速度、加速度等概念, 以及用"分割求和取极限"的方法去描述变速运动物体的路程与速度的关系、曲边梯形的面积与曲边的关系, 都是这种思想的体现. 微积分中的几乎所有的重要概念都是由极限来定义的, 从连续概念到导数概念, 从定积分到级数的收敛发散等, 极限思想方法可以说贯穿了微积分的全部内容.极限概念是现代分析数学乃至整个数学领域中最重要的概念之一, 它的计算方法和论题也在迅速扩大, 到今天已成为一个非常活跃又富有吸引力的研究领域. 本文主要内容分为三部分. 首先, 本文陈述了极限思想的产生、发展及完善过程; 其次, 介绍了极限思想在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献; 最后, 介绍了极限思想及极限方法的广泛应用. 极限的问题,集探讨性、深入性、逻辑性、分析性于一体.考查极限的思想、地位和作用, 不仅可使学生将基本知识融汇贯通, 提高学生的发散思维和解决生活实际问题的能力, 还可以在教学, 社会经济等方面起到节能作用. 因此它成为教学研究中的重要内容之一.二、研究的基本内容，解决的主要问题：研究的基本内容: 极限的思想、地位和应用解决的主要问题: 1. 极限思想的产生, 发展过程2. 极限在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献3. 极限思想及极限方法在实际生活中的广泛应用三、研究步骤、方法及措施：研究步骤: 1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 翻译英文资料;4. 在老师指导下, 确定整个论文的思路, 撰写开题报告;5. 撰写文献综述;6. 撰写论文初稿;7. 上交并反复修改论文;8. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 上万方数据库查找文章, 参考相关内容.在老师指导下, 通过研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献[1] 邵光华. 作为教育任务的数学思想与方法[M]. 上海: 教育出版社, 2009.[2] M. 克莱因著. 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想[M]. 上海: 科学技术出版社, 1979.[3] 李文林. 数学史概论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1993.[4] D. E. Smith. History of mathematics[M]. Canada: General Publishing Company, 1923.[5] H. G. Grattan. Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematics sciences[M]. England: Taylor & Francis, 1994.[6] C. H. 爱德华. 微积分发展史[M]. 北京: 北京出版社, 1989.[7] 华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001．[8] 徐利治. 论无限——无限的数学与哲学[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 1999.[9] 秦凤雯. 极限的方法及哲学思想[J]. 教育教学论坛, 2011, 3: 132~133.[10] 徐利治. 数学分析的方法及例题选讲——分析学的思想、方法与技巧[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2007．[11]腾飞. 近代数学分析中的极限思想[J]. 今日财富, 2010, 4: 206~206.[12]龚群强. 论"极限思想"在教学中的重要性[J]. 数学学习与研究(教研版), 2010, 13: 16~16.。