中国古代数学中的极限思想开题报告

中国数学极限思想的例子
极限是微积分的最基本的概念，也是考研学生在学习微积分的时候很难理解的一个概念，了解了极限的概念，对于学习微积分具有很大的意义。

早在春秋战国时期，道家代表人物庄子就有了极限的思想。

据《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，意思是说一尺长的木棒每天去掉前一天所剩的一半，如此下去，永远取不完，这反映了古人对极限的一种思考，也提供了一个“无穷小量”的实际例子，这个经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用。

我国古代的极限思想与方法主要用于求面积，体积等理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想，用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求圆的面积的问题。

刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，“又按为图，以六瓣之一面乘半径，因而三之，得一二瓣之幂，若又割之，次以一二瓣之一面乘半径，因而六之，则得二一四瓣之幂，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝的何承天、皮延宗和祖冲之等人，其中以祖冲之成就最大。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算，一直切割到二万四千五百一一六边形，依法求出每个内接正多边形的边长最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽
之间。

极限思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

新疆石河子一中研究性学习课题研究开题报告中国数学发展史班级高一（1）班组长孙倩组员邢雪周婷婷徐亚伟余彩会胡林指导教师李育苗报告日期二O O九年二月中国数学发展史【摘要】数学发展史就是数学这门学科的发展历程。

数学发展的历史同样也是,人们的思想发生变化的历程，数学中的很多思想也是人类发展的思想。

本文就围绕中国数学的发展历程和思想进行了论述。

介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响，总结了从数学发展史中得到的启示。

【关键词】中国数学；数学发展史；数学思想一、中国数学的发展历程1.1中国数学的起源与早期发展据《易·系辞》记载：上古结绳而治，后世圣人易之以书契。

在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。

从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。

算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。

算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。

算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。

在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。

战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：圆，一中同长也；平，同高也等等。

概述数学文化极限概念庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。

一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。

再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。

数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。

毫无疑问极限也是社会实践的产物。

一、中国古代极限思想“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。

也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。

按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。

也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短，长度接近于零，但又永远不会等于零。

墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。

意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。

名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。

显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。

现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。

公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。

所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。

数学分析中的若干数学思想【开题报告】毕业论文开题报告数学与应用数学数学分析中的若干数学思想一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。

在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。

微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。

贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。

到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。

他还开始了复分析的形式理论。

泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。

在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。

在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε, δ)定义。

此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。

戴德金用戴德金分割构造了实数。

大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。

另外,到处不连续函数，连续但到处不可微函数，空间填充曲线也被创造出来。

在这个背景下，若尔当发展了他的测度理论，康托尔发展了现在的朴素集合论，以及贝尔证明了贝尔纲定理。

在20世纪早期，微积分用公理化集合论被形式化。

勒贝格解决了测度的问题，希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程。

赋范向量空间的思想开始流传，到1920年代巴拿赫创立了泛函分析。

数学分析在当前被分为以下几个分支领域：1.、实分析是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formally rigorous)的研究。

这包括对极限，幂级数和测度的研究。

2、泛函分析研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。

3、调和分析处理傅里叶级数以及其抽象。

4、复分析，是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究。

极限思想1. 极限思想的概念。

我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。

我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。

刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。

为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式其中称为数列的通项。

其实，数列的通项an可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an＝f(n)，其定义域为全体正整数。

如2，4，6，…，2n，…1，-1，1，-1，1，-1，…都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。

通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项(N+1及大于它的每一项,即+1, +2+3,…)与常数a的差的绝对值总小于ε(在数轴上可以直观地理解为两个点和a的距离总小于ε)，那么就说数列的极限为a。

在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子叫做无穷级数，其中前n项的和可记作，称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数的和，记作2. 极限思想的重要意义。

小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。

本科毕业论文（设计）选题报告书院系：理学院••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

懒洋洋的幸福。

顶 3 收藏 2•【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。

阳光很好，温暖，柔和。

漫天的安静。

顶7 收藏7•【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。

一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。

轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。

落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。

顶11 收藏9•【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。

顶0 收藏 2•【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。

河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。

顶 3 收藏 4•【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。

在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。

顶0 收藏 2•【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。

顶 1 收藏 3•【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

数学定理的演变与教学研究的开题报告引言随着数学科学的不断发展和人类对数学的认识深化，数学定理也在不断的演变和发展。

数学定理是数学知识体系中的重要组成部分，指的是能够被证明的数学命题。

数学定理在数学研究、教学以及实际生活中都有着广泛的应用。

因此，对数学定理的研究和教学也越来越受到关注。

本文将从数学定理的演变和教学研究两个方面探讨数学定理的相关问题，并提出自己的研究方向和方法。

一、数学定理的演变数学定理是经过证明的数学命题。

在数学的漫长发展过程中，数学定理不断涌现。

其中一些经典的、重要的数学定理对当今的数学和科学研究有着重大的贡献。

数学定理的演变过程可以大致分为以下几个阶段：1. 古希腊时期古希腊时期是数学定理历史上的开端，许多基本定理如勾股定理、平面几何定理等都是在这个时期提出的并得到证明。

2. 中世纪中世纪时期的数学定理主要是关于三角函数、代数方程和不等式的定理。

其中最有名的是费马大定理，它是近400年来最著名的数学问题之一，直到20世纪才被彻底证明。

3. 近代近代数学快速发展，在这个时期提出了许多重要的数学定理。

例如：欧拉公式、斯托克斯定理、傅里叶级数和泰勒定理等。

4. 现代现代数学定理是在20世纪诞生的。

现代数学分支很多，因此现代数学定理也形形色色，其中有绝对收敛定理、费曼路径积分和文献引用的马尔可夫定理等。

二、数学定理的教学研究数学定理在数学教育中占有重要地位，它是数学的核心和基石。

好的数学教育需要包括对数学原理和定理的深入理解。

数学定理的教学研究主要包括以下几个方面：1. 教学方法数学定理是数学知识的核心，它的教学方法选择至关重要。

优秀的教师应该选择适合学生的教学方法来传授数学定理，既要注重理论性的证明，也要注重实际问题的应用。

2. 教学资源数学定理需要通过逐级推导和证明才能理解，因此教学资源的选择也很重要。

各种教材、视频和电子资源等的使用对提高学生的数学学习效果有着重要作用。

3. 学习评价数学定理的评价是数学教育重要的组成部分。

毕业论文浅析极限思想的产生与发展题目：数学与信息科学学院学院：数学与应用数学专业：2011级1班班级：季满姓名：20110501005学号：曹志军指导教师：2015年5月20日浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。

由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。

极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。

极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。

本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。

【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。

数学极限思想总结在数学中，极限是一个非常重要的概念，也是数学分析中的核心思想之一。

极限可以说是数学思想中的一座高峰，它无处不在，贯穿着整个数学的发展历程。

首先，极限思想的提出是为了克服一些数学问题中存在的困难。

许多问题在有限的条件下是无法解决的，需要考虑无穷大或无穷小的情况。

通过引入极限的概念，我们可以将这些无穷的情况变得有限，从而处理问题更加简便。

其次，极限思想对于数列和函数的研究起到了至关重要的作用。

数列和函数是数学中最基础的概念之一，通过极限思想，我们可以研究它们的性质和行为。

例如，通过极限思想，我们可以研究数列的收敛性和发散性，判断函数在某一点的连续性，进而求得它们的极值和最值等。

可以说，极限思想是数学分析的基础，也是数学研究的重要工具。

此外，极限思想与计算方法紧密相关。

通过极限思想，我们可以建立一些重要的计算方法，例如泰勒展开、泰勒级数等。

这些计算方法在数学和物理中有着广泛的应用，可以用来近似计算复杂的函数和曲线，从而解决实际问题。

不仅如此，极限思想还与无穷小和无穷大相关联。

极限思想将无限的概念抽象成了有限，使得我们可以通过一些数学手段来处理无穷大和无穷小的情况。

例如，利用极限思想，我们可以定义微分和积分，从而建立微积分的理论框架，解决一些求导、求积分等问题。

最后，极限思想在数学证明中也起着重要的作用。

在证明过程中，我们往往需要利用极限思想来推导出一些结论，以此来证明定理的正确性。

极限思想为我们提供了一种严谨、准确地证明数学命题的方法，使得数学证明更加严密。

总之，极限思想是数学中一种重要的思维方式和工具，贯穿于数学的各个领域。

它不仅帮助我们解决数学问题，还为数学的发展提供了理论支持和方法基础。

在实际应用中，极限思想也具有广泛的应用价值。

因此，研究和掌握极限思想对于学习数学和发展数学思维能力是至关重要的。

我们应该注重培养学生的极限思维，让他们学会运用极限思想解决实际问题，从而提高他们的数学素养和求解问题的能力。

浅谈函数极限求解方法学生：陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院1课题来源本课题属于纯理论的课题。

所用的方法是函数极限求解的基本方法，更确切的说，涉及到数学分析、微积分等学科中的极限求解，应用广泛。

2研究目的和意义极限是数学分析中重要的概念，它贯穿了数学分析的全过程，因此其求解方法也有很多种类型，因此作为理论研究具有一定的意义。

本课题可有助于学生深入的理解极限的概念，了解极限的思想以及不同的求解方法。

通过本课题的研究可以培养学生的总括能力。

3研究现状近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。

房俊、民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。

众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。

但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。

对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。

这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助4 研究内容与方法及拟解决的主要问题(1)利用极限的定义求极限。

定义 设函数f(x)在［b ，＋∞）上有定义，若存在常数A ，对任给ε＞0，存在N ＞0,当x ＞N 时，都有｜f(x)－A ｜＜ε，则称数A 为函数f(x)当x→＋∞时的极限，记作 f(x)＝A ，或 f(x)→A(x→＋∞).1自变量x→∞时f(x)的极限4 1 f(x)＝A 的定义数列｛a n ｝本身就是一个定义在自然数集上的函数，即a n ＝f(n)，若数列｛a n ｝ 的极限是A ，即 f(n)＝A .用ε－N 语言叙述就是，任给ε＞0，存在N ，当n ＞N 时，都有 ｜f(n)－A ｜＜ε.这里的n 是大于N 的一切自然数，而x→＋∞时f(x)的极限与n→∞时f(n)的极限不同之处x 取的是实数，n 取的是自然数.因此我们可以仿照数列极限的定义，给出x→＋∞时，函数f(x)极限的定义.说明 用定义求函数的极限是最基础的一项知识在大学里很重要要重点性的理解和记忆不能差不多就行。

极值的局部及整体几乎处处中心极限定理的开题报告开题报告：极值的局部及整体几乎处处中心极限定理1. 研究背景及意义在数学中，极值问题一直是研究的重要课题之一，其与概率论的关系密切。

中心极限定理是概率论的基本定理之一，用于描述随机变量和概率分布之间的关系。

而极值问题与中心极限定理结合起来，可以得到一些极有价值的结果和应用。

例如，当我们考虑一些大规模的随机问题时，中心极限定理告诉我们，其极限分布可以近似于正态分布，而对于这些随机问题中的极值问题，也可以使用正态分布来近似描述其分布情况。

因此，研究极值问题的局部及整体中心极限定理，不仅有助于深入理解极值问题及其在概率论中的地位，也有助于推广中心极限定理的应用范围。

2. 研究内容及方法本研究计划采用数学分析的方法，研究极值的局部及整体中心极限定理。

具体研究内容包括以下几个方面：(1) 极值统计量的定义和性质；(2) 局部中心极限定理和整体中心极限定理的定义和证明；(3) 局部及整体中心极限定理的应用研究；(4) 数值模拟及实例分析。

3. 研究计划(1) 阅读有关文献，对极值问题及中心极限定理的基本概念和定理进行深入了解，并结合实例进行分析；(2) 研究极值统计量的定义和性质，了解其在实际问题中的应用；(3) 学习局部中心极限定理和整体中心极限定理的证明方法，并遵循证明的一般步骤进行详细证明；(4) 探究局部及整体中心极限定理的应用，考虑综合应用数学分析和计算机模拟等方法进行研究；(5) 运用已有的统计学和概率论软件，比如MATLAB和R等进行数值模拟，进一步检验定理的正确性和可行性；(6) 结合实例分析，对研究结论进行总结，探讨今后的研究方向。

4. 预期成果及意义本研究的预期成果包括：(1) 对极值的局部及整体中心极限定理进行深入探究，得到完整、系统的结论；(2) 对定理的可行性及应用价值进行检验；(3) 提供实例分析，并探讨其在实际应用中的适用性；(4) 为进一步推广中心极限定理的应用提供理论基础。

数学文化开题报告(一)数学文化开题报告研究背景•数学作为一门科学，有着悠久的历史。

•数学不仅是一种工具和方法，更是一种文化现象。

研究目的•探究数学在不同文化中的发展状况和影响力。

•分析数学文化对社会、教育和科技的作用。

文化背景下的数学•数学在古希腊文化中的重要地位。

–毕达哥拉斯学派的数论研究。

–柏拉图的数学观念对今日数学的影响。

•中国古代数学的独特发展。

–《九章算术》等古代数学著作的创作。

–古代中国数学家的贡献与成就。

•流行文化中的数学元素。

–数学题材的文学作品和电影作品。

–数学游戏和数学题目的普及。

数学文化对社会的影响•数学在科技领域的应用。

–现代通信技术和密码学中的数学应用。

–数学模型在经济学、物理学等领域的重要地位。

•数学对教育的作用。

–数学教育的重要性和培养创造性思维的作用。

–数学普及的必要性和挑战。

•数学文化对社会认知的影响。

–数字世界中的数学思维。

–数学文化对人类思维方式的塑造。

研究方法与意义•定性研究方法的应用。

–文献研究和案例分析。

–数学文化调查和问卷调查。

•结果分析与讨论。

–数学文化的多样性和丰富性。

–数学文化对个体和社会的积极影响。

•对社会的启示与建议。

–加强数学教育和数学文化的普及。

–关注数学文化与社会的互动关系。

结论数学文化作为一种特殊的文化现象，不仅代表着人类创造力和思维方式的发展，还对社会、教育和科技产生着深远的影响。

通过研究数学文化，可以更好地理解数学的本质和人类的智慧。

因此，加强数学教育和数学文化的普及，对于推动社会进步和培养人才具有重要意义。

数学文化开题报告（续）研究背景•数学在不同文化中的发展状况和影响力。

•数学文化对社会、教育和科技的作用。

研究方法与意义•定量研究方法的应用。

–统计学分析和数学模型建立。

–数学文化指标的制定和评估。

•结果分析与解读。

–数学文化在不同国家和地区的差异。

–数学文化与社会发展的相关性。

•对社会的启示与建议。

–加强数学文化交流与合作。

《中国古代数学思想》读书笔记（14）第四章：数学思想的理论奠基——刘徽的数学思想。

本篇记录此章第3节的第1、2部分。

4.3 极限（无限）思想——前无古人的算法刘徽是把极限思想具体化为数学方法并在数学中加以运用的第一人，这一点是具有世界历史意义的。

按：如前所述，这种说法是不对的。

欧多克索斯和欧几里得的穷竭法是对极限思想更严密的运用，他们和阿基米德都在刘徽之前。

在《九章算术》注中，可以说在所有需要以极限思想来解决的问题他都使用了明确的极限方法。

我们以圆田术注（即著名的割圆术）、刘徽原理证明和开方不尽数的处理为例探讨刘徽的极限思想。

1、割圆术方田章圆田术曰：“半周半径相乘得积步。

”刘徽在后面写下注文：“又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。

若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。

割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

觚面之外，又有余径。

以面乘余径，则幂出觚表。

若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。

表无余径，则幂不外出矣。

以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。

故以半周乘半径而为圆幂。

”从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理，求出正12边形、24边形……每边的长，这种边数加倍的作法叫做“割”。

边数越多，正多边形与圆的差就越少，最后分到不可再分，多边形就与圆重合，没有误差了。

按：这是个好思想，但绝不是独一无二的思想。

作者以为别人没想到？《几何原本》第12篇的命题2是：圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。

证明用的是穷竭法，就是把圆内接多边形的边数不断加倍，证明圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可以比任何给定的量还要小。

见我的《古今数学思想》读书笔记的第11篇。

欧几里得不但想到了割圆术，而且对此给出了精确的数学描述，比刘徽高明很多！“割之又割，以至于不可割”非常形象地表现出庄子所说“日取其半，万世不竭”的极限思想。

按：这不是自打耳光？不可割到底是可以达到，还是永远达不到？作者没发现这两种说法是正相矛盾的吗？还隐含了“无论怎样割——无论多边形的边取得多么多，实际上都不能与圆重合；只是到了‘不可割’的情况即边数无限增多时，多边形以圆为极限”。