求函数极限方法的探讨 毕业论文

极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。

它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。

首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。

极限可以分为左极限和右极限。

设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。

同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。

当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。

极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。

极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。

它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。

本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。

这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。

在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。

本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。

关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。

在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。

求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。

下面我将介绍几种常用的求极限的方法。

一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。

如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。

二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。

夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。

三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。

通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。

四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。

具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。

通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。

五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。

通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。

在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。

求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。

通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。

在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。

那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。

我们来说一说函数极限的定义。

对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。

要求函数的极限，就是要找到这个L。

1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。

如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。

2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。

根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。

3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。

夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。

4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。

通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。

除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。

2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。

3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。

4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。

5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。

求极限的方法摘 要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。

关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分 一 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。

高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。

由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。

极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。

反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。

针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。

二 具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

JISHOU UNIVERSITY本科生毕业论文题 目：求函数极限的方法作 者： 学 号： 所属学院： 专业年级：指导教师：职 称：完成时间：独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

论文题目：作者签名：日期：年月日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

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(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 求函数极限的方法 (2)2.1 利用定义求极限 (2)2.2 利用迫敛性求极限 (4)2.3 利用归结原则求极限 (4)2.4 利用洛比达法则求极限 (5)2.5 利用泰勒公式求极限 (7)2.6 用导数的定义求极限 (8)2.7 利用定积分求极限 (9)2.8 利用级数收敛的必要性求极限 (10)2.9 利用Stolz公式求极限 (10)3 总结 (13)参考文献 (13)求函数极限的方法欧阳枭（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000 ）摘要：函数极限是高等数学的重要组成部分，它是微积分的理论基础，所以求函数极限成为这一部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多种求法，比如: 利用函数极限的定义、利用泰勒公式、利用洛必达法则、利用级数收敛性、利用Stolz公式等.关键词: 函数极限; 洛必达法则; 泰勒公式; 级数收敛性; Stolz公式.The Counting Methods of Function LimitOuyang Xiao( College of Mathematics and Statistics, Jishou University Jishou Hunan 416000 ) Abstract:Function limit which is an important part of advanced mathematics, is the theoretical basis of calculus, Therefore, counting the function limit is a top priority for it. The flexibility to master the counting methods of the function limit is the foundation of learning advanced mathematics well. There are various ways to counting the function limit, such as using the definition of function limit, the Taylor's formula, the L'Hopital's rule, the series convergence, the Stolz formula and so on.Key words:The function limit; the L'Hopital's rule; the Taylor's formula; the series convergence; the Stolz formula1 引言在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.2 求函数极限的方法2.1 利用定义求极限定义2.1.1(x 趋于a 时的函数极限)]4[：函数()x f 在点a x =的空心邻域内有定义，A 是一个确定的数，若对任意的正数0>ε，存在0>δ，使得当δ<<a x －0时，都有()ε<A x f －，则称x 趋向于a 的极限存在，且为A ，记作()A x f ax =→lim .下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意δ的值是如何确定的，它和ε有什么关系.例2.1.1 证明 ()4221=+x x →lim证： ε∀＞0， ()12422－－x x =+＜ε成立，解得 1-x ＜2ε 取,2εδ=于是存在,2εδ=:x ∀0 ＜1－x ＜δ ,有()422－+x ＜ε故 ()4221=+x x →lim注：一般δ的取值要依赖于ε，但它不是由ε唯一确定的.在上例中还可以把δ取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.定义2.1.2(x 趋向∞时的函数极限)]4[：设f 为定义在[)∞+,a 上的函数，A 为定值，若对任给正数ε，存在正数M (≥a ）使得当x ＞M 时有 ()A x f －＜ε.则称函数f 当x →∞+时以A 为极限，记作()A x f x =+∞→lim 或()()∞→→+x A x f .x 趋向于∞-时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的x ＞M 改为M x －<即可.下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.例2.1.2 证明 ∞→+n lim n n n n 23122++－=31 分析 这是一个关于自变量n 趋向于无穷大的函数极限，n 相当于定义中的x ，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限.证： ()2221153323332n n n n n n n +-=++－－， 当 2,530,n n >->0332322>>+n n n n －，有()222115513239333n n n n n n nn n +=<+－－5－≤－， 0>ε∀，⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎩⎨⎧=∃ε1,2max N 当N n >时，有2211,323n n n n ε+-<+－ 故 +∞→n lim n n n n 23122++－=31注 1 在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的ε来确定N ，同时要注意此题中的N 不一定非要是整数，只要是正数即可.注 2 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.2.2 利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理]4[：若(),0a U x ∈∀有()()(),x h x g x f ≤≤且()().lim lim b x h x f ax ax ==→→ 则()b x g ax =→lim .例 2.2.1 求极限⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 222...2211lim 分析： 即∑=++=nk n kn n k C 12，易知⎭⎬⎫⎩⎨⎧++k n n k 2关于k 单调递增. 即得 nn n n C n n n n ++<<++2221当时+∞→n ，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩. 解： 对∑=++nk k n n k12各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变. 就得如下不等关系：()()()121122121212+++=++<<++=++∑∑==n n n n n n k C n n n k n n nk n n k 令时+∞→n ，上式左、右两端各趋于21，得 21...2211lim 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2.3 利用归结原则求极限归结原则]4[ 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例 2.3.1 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭分析： 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解： 令 ()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim x u x e →+∞=；()lim 1x v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'l i m n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.4 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心邻域()00Ux 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例 2.4.1 求极限21cos limtan x xxπ→+解： 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得:21cos limtan x xxπ→+2sin lim 2tan sec x xx xπ→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12=例 2.4.2 求极限3lim xx e x→+∞解： 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'x x e e =，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得：32lim lim 3x xx x e e x x→+∞→+∞=，由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：32lim lim lim lim 366x x x x x x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞ 注 1 如果()()0'lim'x x f x g x →仍是00型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某邻域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()0lim x x f x g x →不存在．注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件．比如这个简单的极限sin lim1x x xx→∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos lim lim 1x x x x xx →∞→∞++=，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．2.5 利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为常用的展开式]4[：1、)(!!212n nxx o n x x x e +++++= 2、)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x4、)()1(2)1ln(12n nn x o nx x x x +-++-=+- 5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα6、)(x x 1 112n n x o x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例 2.5.1 求极限420x 2cos lim 2x x ex -+→分析：当0→x 时，此函数为0型未定式，满足洛必达法则求极限.若直接用洛必达法则就会发现计算过程十分复杂，稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开，再求极限就会简洁的多.解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+++=)(!4!21cos )(82144244222x x x x x x x e x οο因此 )(62cos 4422x x x ex ο+=-+所以 61)(6lim 2cos lim4440422=+=-+→→x x x x x ex x x ο 2.6 用导数的定义求极限常用的导数定义式]7[：设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式． 例 2.6.1 求极限22limx x p p x q q→+-+- ()0,0p q >>分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解： 令()2f x x p =+，()2g x x q =+ 则220l i mx x p px q q→+-+-()()()()000lim 00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =qp=． 2.7 利用定积分求极限由定积分的定义]7[知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法．例 2.7.1 求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦解： 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111lim1nn i n i n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑． 不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()12111d x x =++⎰1011x=-|+12=2.8 利用级数收敛的必要性求极限给出一数列n u ，对应一个级数∑∞=1n n u ，若能判定此级数收敛，则必有0=∞→n x u lim .由于判别级数收敛的方法较多，因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较为方便.例 2.8.1 2!lim n n n n n→∞求解：设2!n n n n u n =，则级数∑∞=1n n u 为数项级数.由比值审敛法：1112(1)!lim lim(1)2!n nn n n n n n u n n u n n +++→∞→∞+=+ lim 2()1nn n n →∞=+1lim 21(1)n n n→∞=+ 12<=e所以 12!n n n n n∞=∑ 收敛，所以 2!lim 0n n n n n→∞=2.9 利用Stolz 公式求极限Stolz 公式和洛必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理：Stolz 定理1（∞∞）]4[：已知两个数列｛n x ｝、{n y },数列{n x }严格单调上升，而且n x →+∞，当n →+∞,+∞→n limnn n n x x y y --++11=l ,其中l 为有限数或为＋∞或－∞则lim n →+∞nn x y＝l ；Stolz 定理2（0）]4[：已知两数列{n x }、{n y }，n y →0当n →+∞；数列{n x }严格单调下降而且n x →0当n →+∞；+∞→n limnn nn x x y y --++11= l ，其中l 为有限数或为＋∞或－∞,则l x y nnn =+∞→lim Stolz 定理的函数形式： Stolz 定理3（∞∞型）]4[：若T>0为常数，1) ()x g <()T x g +,∀0>x ,2) ()x g →+∞,当x →+∞且()x f ,()x g 在[a, +∞]内闭有界，即∀b>a,()x f ，()x g 在[a ,b]上有界，3) +∞→x lim)()()()(x g T x g x f T x f -+-+＝l .则+∞→x lim)()(x g x f ＝l Stolz 定理4（0）]4[：若T>0为常数， 1)0<()T x g +<()x g ∀0>x ， 2)∞→+x lim ()x f =0, +∞→x lim ()x g =0，3) +∞→x lim)()()()(x g T x g x f T x f -+-+＝l .则+∞→x lim()()f x lg x =,其中l ＝∞+或有限数或∞- 例 2.9.1 设s s n n =∞→lim 求ns n s s nn ln 121lim21+++∞→证明： 因为{}n ln 单调递增且趋于∞+又 1111lim lim 1ln(1)ln ln(1)n n n n s s n sn n n +++==+-+→∞→∞故由Stolz 定理知:ns n s s n n ln lim12121+++∞→=s 例2.9.2 若()x f 在（a,∞+）内有定义，而且内闭有界，即任意[βα,]⊂（a,∞+）,()x f 在[βα,]上有界，则1）+∞→x limxx f )(＝+∞→x lim [()1+x f - ()x f ] 2) +∞→x lim (()x f )x1= +∞→x lim)()1(x f x f +,其中（()x f >c>0）. 证明：1）从题意知 令()x g =x ,则()x f ,()x g 都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理，+∞→x limxx f )(＝+∞→x lim x x x f x f －－11++)()(＝+∞→x lim [()1+x f - ()x f ], 2) 令y=(()x f )x1,则y ln =x1()x f ln , y ln =+∞→x limx 1()x f ln = +∞→x lim xx x f x f -+-+1)(ln )1(ln ＝+∞→x lim ln )()1(x f x f +，由=y x ln 的连续性，所以y x ∞→+lim =+∞→x lim)()1(x f x f + 得证.从上可以看出利用Stolz 定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点.3总结本文比较全面地总结了求函数极限的方法，包括利用函数极限的定义、利用迫敛性、利用归结原则、利用洛比达法则、利用泰勒公式、利用导数的定义、利用定积分、利用级数收敛的必要性、利用Stolz公式，从而帮助我们解决求各类函数极限过程中所遇到的问题.对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，但需要注意的是，实际求函数极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用.参考文献:[1] 龚思德、刘序球、张广梵.微积分学习指导[M].天津:南开大学出版社.1997.[2] 丁家泰.微积分解题方法[M].北京:北京师范大学出版社.1981.[3] 朱匀华.微积分入门指导与思想方法[M].广州:中山大学出版社.1986.[4] 华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)[M].北京:高等教育出版社.1997.[5] 温启军．高等数学教学的几点思考[J].长春大学学报.2003：13（5），19～20.[6] 陈刚、米平治.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学.2001：17（3），69～71.[7] 杜吉佩、李广全．高等数学[M].北京:高等教育出版社.2005.[8] 胡适耕.大学数学解题艺术[M].长沙:湖南大学出版社.1982.[9] 夏滨.利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨[J].现代企业教育杂志.2008.[10] 蒋志强.函数极限的几种特殊求法[J].牡丹江教育学院学报.2009：5，122～123.。

共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生：陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要：极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however, Taylor shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics , and thus simplify the calculation关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式；单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law; integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。

关于求函数极限方法的讨论求函数极限是微积分中的一大重要概念，它揭示了函数在其中一点或者无穷远处的趋势和特性。

随着微积分的不断深入发展，人们提出了多种方法来求函数的极限，其中最为常用的方法有极限定义法、夹逼准则、洛必达法则和泰勒展开等。

在本文中，我们将对这些方法进行讨论。

首先，我们来介绍极限定义法。

这是我们学习极限概念的第一个方法，它是基础也是最为直观的方法之一、极限定义法通过对函数在接近其中一点时的变化情况进行分析，可以求得函数在该点的极限值。

具体而言，根据定义，对于给定的函数f(x)和一个点a，我们可以说当自变量x足够接近点a时，函数f(x)的值也会趋近于其中一个常数L。

数学上可以表示为lim┬(x→a) f(x) = L。

在这个过程中，我们需要通过不断逼近x的过程来验证极限是否存在，具体步骤如下：1.对于任意给定的ε>0，我们需要找到一个相应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε成立。

2.如果能够满足上述条件，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。

极限定义法虽然直观，但是在实际计算中有时候较为繁琐。

因此，人们提出了夹逼准则。

夹逼准则是一种基于数列的概念来讨论函数极限的方法，它常用于解决一些复杂函数的极限问题。

具体而言，如果函数f(x)在[a,b]上的所有点上的值都位于两个函数g(x)和h(x)所包围的范围内，并且当x趋近于a或b时，g(x)和h(x)的值都趋近于同一个常数L，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。

夹逼准则的应用可以简化问题，使得我们可以更轻松地求出函数的极限。

另一个求极限的重要方法是洛必达法则。

洛必达法则是一种通过对函数的导数进行分析来求得函数的极限值的方法，它常常用于解决一些涉及到无穷大或无穷小量的极限问题。

具体而言，对于一个函数的极限lim┬(x→a) (f(x)/g(x))，如果分子和分母在x趋近于a时都收敛到0或者∞，且g'(x) ≠ 0，那么可以通过对函数的导数进行求解来求出该极限的值。

函数极值的求解毕业论文函数极值的求解极值问题在数学中是一个重要的研究方向，也是应用最为广泛的数学概念之一。

在数学建模、优化问题等领域中，极值问题的求解具有重要的实际意义。

本文将介绍函数极大值和极小值的定义及求解方法，并应用实例进行论述。

一、函数极值的定义1. 极大值和极小值在数学中，给定一个定义在某个区间上的函数f(x)，如果在该区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≤f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极大值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极大值。

同样地，如果在给定的区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≥f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极小值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极小值。

二、函数极值的求解方法求解函数极值的方法主要有导数法和二阶导数判别法两种方法。

1. 导数法导数法通过求取函数的导数，来寻找极值点。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数，并令一阶导数等于零。

得到一个或多个代数方程。

（2）解出这些代数方程，得到所有的极值点。

（3）代入原函数，求出这些极值点对应的函数值，并比较它们的大小，得到函数的极大值和极小值。

2. 二阶导数判别法二阶导数判别法通过二阶导数的值来判断函数的极值情况。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数和二阶导数。

（2）令一阶导数等于零，解出所有的极值点。

（3）将这些极值点代入二阶导数的表达式中，判断二阶导数的正负情况：- 若二阶导数大于零，则所代表的极值点为函数的极小值点。

- 若二阶导数小于零，则所代表的极值点为函数的极大值点。

- 若二阶导数等于零，则无法判断该点是否为极值点，需要进一步分析。

三、函数极值求解的实例分析下面以一个简单的实例来说明函数极值的求解过程。

例：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的极值点和极值。

解：首先求函数的一阶导数：f'(x) = 2x - 2令导数等于零，得到极值点的横坐标x：2x - 2 = 0x = 1将x = 1代入原函数f(x)中，得到极值点的纵坐标：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0所以函数f(x)在x = 1处存在一个极小值点，极小值为0。

极限高等数学论文1600字_极限高等数学毕业论文范文模板限高等数学论文1600字(一)：高等数学极限求法探讨论文摘要等数学与初等数学的最大区别在于研究对象由静态转为动态，极限就是很好的体现。

极限是微积分的基础，是一种重要的思想和方法，要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

这就要求教师结合高职学生特点通过教学方式和教学手段的改进来引导学生用运动的观点去理解问题，本文结合教学经验总结归纳出极限的常用求解方法，以期有效提高学生的教学效果。

关键词高等数学；函数极限；求解方法一、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。

首先对函数实行各种恒等变形。

例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子、分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

二、利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。

如果？滋=g（x）在点x0连续？滋=g （x0），而y=f（x）在点x0连续，那么复合函数y=f（g（x））在点x0连续。

即■f（g（x））=f（g（x■））=f（■g（x））也就是说，极限号■可以与符号f 互换顺序。

三、利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分界点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

四、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

如果■f（x）=0，g（x）在（x0，？啄）内有界，那么■f（x）？g（x）=0这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

五、利用两个重要极限来求极限两个重要极限是■■=1和■（1+■）=■（1+■）■=■（1+x）■=e■，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

求极限的方法摘要求数列和函数的极限是数学分析的基本运算。

求极限的主要方法有用定义,四则运算,两边夹法则,函数连续性等。

除这些常规方法外,还有许多技巧,这些技巧隐含在函数的相关理论中,对这些技巧进行探讨归纳,不仅有教材建设的现实意义,而且便于解决极限相关问题。

在这里简单综述了一些常用的求极限的方法，目的在于大家更好地学习极限，并为以后的学习打下坚实的基础。

关键词极限洛必达法则重要极限等价无穷小The limit of the methodAbstract For the sequence and function limit is the basic operation mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only have the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some commonly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation.Key word Limit L'Hospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal引言 极限是研究变量变化趋势的基本工具，《数学分析》中许多基本概念，如连续，导数，定积分，无穷级数都是建立在极限的基础上，极限方法又是研究函数的一种最基本的方法，因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义。

求函数极限的方法总结论文利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

函数极限性质的合理运用。

常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。

首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。

3、泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。

毕业论文（设计）任务书目录摘要 (5)Astract: (6)一、................................................................. 引言 7二、相关定义与定理 (7)三、极限的几个重要性质 (10)1、收敛数列的一些性质 (10)2、函数极限的相关性质 (10)四、极限的方法与技巧及举例说明 (11)1、................................................... 积分定义法求极限 112、....................................................... 对数法求极限 113、............................................... 利用等价无穷小求极限 124、............................................. 利用两个重要极限求极限 125、......................................... 利用数列与级数的关系求极限 136、............................................... 利用泰勒展开式求极限 137、....................................................... 单调有界定理 14&递推关系法 (15)9、....................................................... 先求和后求限 1510、........................................................ 利用不等式 1611、........................................................ 洛必达法则 1612、中值定理法 (17)13、两边夹法则 (18)14、利用极限的四则运算法则求极限 (18)15、施笃兹（stolz）定理 (19)16、E uler 常数法 (19)五、总结 (20)参考文献 (20)致谢 (21)求极限的方法与技巧龙丽丽摘要:极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数、定积分都是建立在极限概念的基础上的。

浅析函数极限的求法摘要极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部内容之中,因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast]9[.Key words:limit; derivative; Variable substitution; L’hospital’s rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type目录1 前言 ......................................................................................................................................... -2 - 2函数极限的概念及性质........................................................................................................... -3 -2.1函数极限的概念............................................................................................................ - 4 -2.2函数极限的性质............................................................................................................ - 5 - 3函数极限的求解方法............................................................................................................... - 5 -3.1 利用两个准则求极限................................................................................................... - 6 -3.2 利用极限的四则运算求极限....................................................................................... - 7 -3.3 利用两个重要极限公式求极限................................................................................... - 8 -3.4 利用洛必达法则求极限............................................................................................... - 8 -3.5 利用函数连续性求极限............................................................................................. - 10 -3.6 通过等式变形化为已知极限..................................................................................... - 10 -3.7 利用换元法求极限..................................................................................................... - 11 -3.23 利用自然对数法求极限................................................................................... - 11 -3.8 利用因式分解法求极限............................................................................................. - 12 -3.14 利用压缩定理.......................................................................................................... - 15 -4 求极限的一般流程................................................................................................................ - 18 - 结论 ........................................................................................................................................... - 21 - 参考文献.................................................................................................................................... - 22 - 致谢 ........................................................................................................................................... - 23 -1 前言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态]1[.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载,例如，魏晋时期中国数学家刘徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算极限时游刃有余.2函数极限的概念及性质2.1函数极限的概念定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数M ()0a ≥，使得当x M >时有 ()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞= 或 ()()f x A x →→+∞定义 2 （函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()0'0;U x δ内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得00x x δ<-<时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作()0lim x x f x A →= 或 ()()0f x A x x →→定义3设函数f 在()0'0;U x δ+（或()0'0;U x δ-）内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作()0lim x x f x A +→= （()0lim x x f x A -→=） 或()()0f x A x x +→→ （()()0f x A x x -→→）右极限与左极限统称为单侧极限. f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为()()000lim x x f x f x +→+= 与 ()()000lim x x f x f x -→-=.2.2函数极限的性质定理1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界.定理2（局部保号性）若()0lim 0x x f x A →=> （或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()00x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理3（保不等式性） 设()0lim x x f x → 与 ()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()0'0;U x δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤定理 4 （迫敛性） 设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()0'0;U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则()0lim x x h x A →=定理5（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g •当0x x →时极限也存在.3函数极限的求解方法3.1 利用两个准则求极限(1)极限的迫敛性[1]（夹逼原理），对数列和函数同样适用：设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，且在某)';(00δx U 内有)()()(x g x h x f ≤≤则A x h x x =→)(lim利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数， )()()(x g x h x f ≤≤. 例3.1求cos limx x xx→∞-解： 因为1cos 1x -≤≤，所以当x ＜0时 11cos 1111x x x x x x x x x+--+=≤≤=- 而11lim 1lim 11x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由迫敛性定理得，cos lim x x xx→∞-=1例 3. 2 求2sin lim4x x x x →+∞-解： 因为当x ＞2时，222sin 444x x x xx x x -≤≤--- 而221lim lim0441x x x x x x→+∞→+∞--==--，2lim 04x x x →+∞=- 由迫敛性定理知 2sin lim 4x x xx →+∞-=0（2）单调有界定理[2]设()f x 为定义在()00U x +[或()00U x -]上的单调有界函数，则()0lim x x f x +→存在[或()0lim x x f x -→存在]3.2 利用极限的四则运算求极限极限的四则运算法则[4]：若A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0（1）B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（2）B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0（3）若0≠B 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 （4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于-∞→+∞→∞→x x x ,,时也同样成立通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.例 3.3 求极限()22lim 2sin cos x x x x π→--解：()22lim 2sin cos x x x x π→--=22222lim 2lim sin lim cos lim lim x x x x x x x x x πππππ→→→→→⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭=222sin cos212224ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3.4 求极限121lim 221----→x x x x解：121lim221----→x x x x =)12(lim )1(lim 2121----→-→x x x x x =20=0例3.5 求极限2211lim 21x x x x →---解：2211lim 21x x x x →---=()()()()111lim121x x x x x →-+-+=()()112lim213x x x →+=+例 3.6求极限x →解：()()44244x x x x →→-=-=422x →2243+=3.3 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式[2]：（A ）1sin lim0=→x x x (B)e xx x =+∞→)11(lim但我们经常使用的是它们的变形：1)()(sin lim)'(0)(=→x x A x ϕϕϕ e x B x x =+∞→)()())(11(lim )'(ϕϕϕ例3.7 求极限20cos 1limxxx -→ 解： 20cos 1lim x x x -→=21)22sin(21lim 20=→x xx 例3.8 求极限xx x 10)21(lim +→解： xx x 10)21(lim +→=22210)21(lim e x xx =+⋅→3.4 利用洛必达法则求极限型不定式极限定理：若函数f 和g 满足： （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某空心邻域)(00x U 内两者都可导，且0)('≠x g ； （3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==→→)(')('lim )()(lim00∞∞型不定式极限 定理：若函数f 和g 满足： （1）∞==++→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；（2）在点0x 的某右空心邻域)(00x U +内两者都可导，且0)('≠x g ； （3）A x g x f x x =→)(')('lim（A 可为实数，也可为∞±或∞），则 A x g x f x g x f x x x x ==++→→)(')('lim )()(lim 00不定式极限还有∞-∞∞∞⋅∞,,0,1,000等类型，经过简单变换，它们一般均可化为00型或∞∞型的极限. 例3.9 求极限x x x +→0lim解： 由对数恒等式可得x x x e x ln =xx x +→0lim =xx x eln lim 0+→01ln lim ln lim 0==++→→xxx x x x 1lim 00==∴+→e x x x例3.10 求极限02cos 4sin 2lim2sin x x x x x→---解：02cos 4sin 2lim2sin x x x x x →---=02sin 4cos lim 2cos x x xx→---=-43.5 利用函数连续性求极限（1）若)(x f 在0x x =处连续，则)()(lim 00x f x f x x =→（2）若)]([x f ϕ是复合函数，又a x x x =→)(lim 0ϕ且)(u f 在a u =处连续，则)()](lim [)]([lim 0a f x f x f x x x x ==→→ϕϕ这种方法适用于求复合函数的极限.如果)(x g u =在点0x 连续00)(u x g =，而)(u f y =在点0u 连续，那么复合函数)]([x g f y =在点0x 连续.即)]([)](lim [)]([lim 00x g f x g f x g f x x x x ==→→.例3.10 求极限x x x)11ln(lim +∞→解： 令u y ln =，x xu )11(+=因为u ln 在点e x u x x =+=∞→)11(lim 0处连续所以x x x )11ln(lim +∞→=])11(lim ln[x x x+∞→=1ln =e3.6 通过等式变形化为已知极限要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的等式变形，得到已知极限的新变量. 例3.11 求极限1lim++++∞→x xx x x解： 1lim++++∞→x xx x x =xx x xx 11111lim 73++++∞→=03.7 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.例3.12 求极限xx x x x ln 1lim 1-→解： 令1-=x x t ，则)1ln(ln +=t x xx x x x x ln 1lim 1-→=111lim )1ln(lim 00=+=+→→t tt t t t3.8 利用自然对数法求极限自然对数法：把形如)()(x g x f 通过恒等变形写成)(ln )(x f x g 的形式,改为求0或∞∞不定式的极限. 例3.13 求极限xx x x cos 110)sin (lim -→解： 用自然对数法，令y=xxx cos 11)sin (- 取自然对数得xxx y sin lncos 11ln -=2sin ln limsin ln cos 11lim200x x xxxx x x →→=- =x x xx x x x x 20sin cos sin lim -⋅→ =3020sin cos lim sin sin cos lim x xx x x x x x x x x -=-→→=313sin lim 20-=-→x x x x31cos 110)sin (lim --→=∴e xx xx3.9 利用因式分解法求极限要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限.例3.14 就极限2sin 3sin 1sin 3sin 4lim 222+---→x x x x x π解 ： 222224sin 3sin 1limsin 3sin 2(4sin 1)(sin 1)lim(sin 2)(sin 1)4sin 1lim5sin 2x x x x x x x x x x x x x πππ→→→---++-=--+==--=3.10 利用等价无穷小量求极限当0→x 时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价，x x sin ~，x x arcsin ~，x x tan ~，x x arctan ~，1~-x e x ，)1ln(~x x +，a x a x ln ~1-，x x αα~1)1(-+设函数h g f ,,在)(00x U 内有定义，且有)(~)(x g x f )(0x x →.(1)若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A x h x g x x =→)()(lim 0(2)若B x f x h x x =→)()(lim，则B x g x h x x =→)()(lim 0注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做.例3.15 求极限3340)2(sin lim x x x x +→解： 3340)2(sin lim x x x x +→=88lim )2(lim33403340=+=+→→x x x x x x x x 例3.16 x →α的值，使0x →时为同阶无穷小量解：1sin cos x x ⋅～x ()0x →所以，01x →=，故当α=1时x α当0x →时为同阶无穷小量3.11 利用积分中值定理求极限一般根据积分第一中值定理[4]：若f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限.例3.17 求极限⎰+→103011lim dx x εε]3[ 解： 由积分中值定理⎰+10311dx x ε=113+εα， )10(<<α，111lim 11lim 301030=+=+→→⎰εαεεεdx x3.12利用定积分求和式的极限利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数)(x f ，把所求极限的和式表示成)(x f 在某区间],[b a 上的等分的积分和式的极限[5].例3.18 求极限)12111(lim nn n n n ++++++∞→解： n n n n ++++++12111 =]11211111[1nn n n n ++++++ =∑=⋅+nk n nk 1111○1 令)(x f =10,11≤≤+x x，则由定积分定义知 ⎰∑=∞→⋅+=+101111lim 11nk n n nk dx x ○2 又⎰=+102ln 11dx x○3 由○1，○2，○3得)12111(lim nn n n n ++++++∞→ =2ln3.13 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n n u 收敛，则)(0∞→→n u n ，运用这个方法首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后得出它的通项极限[6].例3.19 求极限2)!(lim n n nn ∞→解： 设2)!(n n a nn =则n n n nn n n n n n a a 2211)!(])!1[()1(lim lim ⋅++=+∞→+∞→=n n nn )11(11lim+⋅+∞→=0<1由比值判别法知∑∞=1n n a 收敛由必要条件知2)!(lim n n nn ∞→=03.14 利用泰勒公式求极限泰勒公式是一大难点，在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒 公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式[7].实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用. 泰勒定理[8]：若)(x f 在0=x 点有直到1+n 阶连续导数，那么)(!)0(!2)0('')0(')0()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++++=1)1()!1()()(+++=n n n x n f x R ξ （其中ξ在0与1之间）例3.20 求极限4202cos limx e x x x -→-解： 泰勒展开式)(!4!21cos 442x O x x x ++-= )()2(!21)2(1422222x O x x ex +-+-+=-于是)(121cos 4422x O x e x x +-=-- 所以4202cos limx e x x x -→-=121)(121lim444-=+-→x x O x x3.15 利用压缩定理定理3.15（压缩定理）：1 对于任意数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得n N ∀∈，恒有11n n n n x x r x x +--≤-，01r <<， 则数列{}n x 收敛2 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：1()(1,2,3)n n x f x n +==⋅⋅⋅，其中f 为某一可微函数，且r R ∃∈，使得 '()1()f x r x R ≤<∀∈，则{}n x 收敛。

绪论极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.第一章 函数极限的概念1.1 函数极限的概念1.1.1 x →∞时函数的极限设函数f 定义在[),a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 趋于+∞图象上可见，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数x 趋于+∞时有极限.一般地，当x 趋于+∞时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M >时有则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或 ()f x A → ()x →+∞定义 2 设f 为定义在](,a -∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M <-时有则称函数f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →-∞= 或 ()f x A → ()x →-∞则称常数A 为函数()x f 当∞→x 时的极限，记作()()()lim x f x A f x A x →∞=→→∞或当若f 为定义在()U x 上的函数，则+lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.定理1 +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.1.1.2 x →0x 时函数的极限设f 为定义在0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数.现在讨论当x 趋于00()x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A .这类函数极限的精确定义如下：定义4（函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()'00;δx U时有则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x xf x A →= 或 0()()f x A x x →→.注：1.0ε>是可以任意给的，在确定δ的过程中又看成是个定数； 2.δ与ε有关，但与x 无关，并且不唯一；3.极限()0lim x x f x →是否存在，与()f x 在点0x 是否有定义以及()0f x 的值为多少无关；4.0lim ()x x f x A →=的前提：()f x 在某()'00;δx U 内有定义.定义5 设函数f 在()()()'0'00;;U x U x δδ+-或内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当()0000x x x x x x δδ<<+-<<或时有则称A 为函数f 当()00x x x +-趋于时的右（左）极限，记作()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()0f x A x x +→→ ()()()0f x A x x -→→. 右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为：()()()()0000lim 0lim x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=与 极限存在的充要条件：()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔== 关于函数极限()0lim x x f x →与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：定理2 ()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.第二章 函数极限的求解方法2.1 利用函数极限的定义求极限分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取0ε>；其次是写出不等式lim ()x x f x A →=.由函数极限的εδ-定义得：分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出M 的值.分析：要验证这道题不仅要找到M 的值，还要利用函数的左、右极限的定义.证 ： 任给ε>0,由于而此不等式的左半部分对任何x 都成立，所以只要考察其右半部分x 的变化范围.这就证明了1）.类似地可证2）.注： +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==（f 为定义在()U ∞上的函数）所以当x →∞时arctan x 不存在极限.一般来说应尽可能将()f x 的表达式简化.值得注意的是，有时()f x 不能简化，反倒是可以把A 变复杂，写成与()f x 相类似的形式.以要用单侧极限的定义进行求解.()221xε-<时，就是小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.2.2 利用函数极限的性质求极限定理3 （1）若()f x 在0x x =处连续，则()()00lim x x f x f x →=（2）若()f x ϕ⎡⎤⎣⎦是复合函数，又()0lim x x x a ϕ→=且()f u 在u a =处连续，则()()()()00lim lim x x x x f x f x f a ϕϕ→→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.在u e =处连续，所以由定理3（2）知 ：2.3 利用函数极限的四则运算求极限定理4（四则运算法则） 若极限()()0lim lim x x x xf xg x →→与都存在，则函数,f g f g ±⋅当0x x →时极限也存在，且1）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦；2）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅⎡⎤⎣⎦；又若()0lim 0x x g x →≠，则0/f g x x →当时极限存在，且有4）()()0lim lim x x x xc f x c f x →→⋅=⋅ (C 为常数） 上述的性质对于0,,,x x x x x ±→∞→+∞→-∞→时也同样成立.计算.解： 当10x +≠时有故所求的极限等于分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是1→x 时，分子、分母的极限都是零注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在.2.4 利用迫敛性定理求极限定理5 设()()0lim lim ,x x x x f x g x A →→==且在某()0'0;U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤ 则有()0lim x x h x A →=.分析：应用迫敛性的定理进行计算.解：因为1cos 1≤≤-x ，所以当0x <时分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数[]y x =有所以应用这个可以进行计算.故由迫敛性得小结：利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限.2.5 利用两个重要极限求极限（1我们经常使用的是它们的变形：（1）的特点：（01）分子、分母的极限值为0；（02）分子是分母的正弦函数. （2）的特点：（01）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e ； （02）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数.例12 求下列函数极限1)0sin 2lim x x x →; 2)0tan lim x x→; 3)1lim sin x x →+∞; 4)()10lim 1(x x x αα→+为给定实数）. 解：1）0sin 2lim x x x →=02lim2122x x →=⨯= 2）0tan lim x x x →=0sin 1lim1cos x x x x→⋅= 3）令1y x =，于是当x →∞时，0y →,从而1lim sin x x x →+∞=0sin lim1y y y→=. 4） ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦. 例13 求下列函数极限x a x x 1lim )1(0-→、 bxaxx cos ln cos ln lim )2(0→、. 分析：首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点.)1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u au x a a u x u a x x+=-+==-于是则）令解：（a u au u a u a u xa u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当)]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim)2(0-+-+=→bx ax x 、原式1cos 1cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x1cos 1cos lim 0--=→ax bx x=2022sin 2lim2sin 2x a xb x→-- 2222022sin 222lim sin 222x a x a b x x ba x xb x →⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭22b a=.2.6 利用无穷小量的性质求极限2.6.1利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义6 设f 在某()00U x 内有定义，若 ()0lim 0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.若函数g 在某()00U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量. 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1.两个(相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 定理6 设函数()f x 、()g x 满足：()()0lim 0x x g x f x →=.2.6.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定义7 设函数f 在某()00U x 内有定义.若对任给的0G >，存在0δ>，使得当()()()0000;x U x U x δ∈⊂时有则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞，记作 ()0lim x x f x →=∞.若（1.2）式换成“()f x G >”或“()f x G <-”，则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞或-∞，记作()0lim x x f x →=+∞ 或 ()0lim x x f x →=-∞.定义8 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理7 （I ）若：∞=)(lim x f ，则 0)(1lim=x f . (II) 若: 0)(lim =x f 且 ()0f x ≠ 则 ∞=)(1lim x f . 例15 求下列极限(1) 51lim+∞→x x (1)11lim 1-→x x .解:(1)由∞=+∞→)5(lim x x ,故 051lim=+∞→x x . (2)由0)1(lim 1=-→x x ,故 11lim 1-→x x =∞.注：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00U x 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.2.6.3 利用等价无穷小替换求极限定理8 设函数()00,,f g h U x 在内有定义，且有()f x ()g x ()0x x →.(1）若()()()()0lim ,lim x x x x f x h x A g x h x A →→==则；注：设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~ββαα， ''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim= ''lim βα.解：由于()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →.故有定理8得例17 求极限2220sin cos 1limx x x x -→ .分析：本题切忌将2cos x和2sin x 用2x 等价替换.解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=0lim x →212)(2222=x x x 注：1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换.2、常用的等价无穷小量. 当0x →时，有xsin x ，tan x x ，211cos 2xx -，()ln 1x x +，arcsin x x ，1ln x a x a -，arctan xx ，e xx ，()11ax ax +-()0a ≠.2.7 用左右极限与极限关系求极限适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形.定理9 函数极限)(lim 0x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0x f x x -→及右极限)(lim 0x f x x +→都存在且都等于A .即有⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→=)(lim 0x f x x +→=A.例18 设)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤--1,10,0,212x x x x xx x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1x f x →.分析：此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来. 解：()()0lim lim 12x x x f x e ---→→=-1=()00lim lim x x f x ++→→⎛⎫=)0lim 1x +→=1=由1)(lim )(lim 0-==+-→→x f x f x x1)(lim 0-=∴→x f x不存在由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1211111x f f f x x f x xx x x f x x xx x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++---注：此方法一般适用于分段函数.2.8 利用函数的数学公式、定理求极限2.8.1利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限） 定理10 若A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)()(lim )()(lim ()()(lim )(0)()()(0)(lim ,0)(lim )('''''0000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对0x x →时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该定理对00型或∞∞型均成立.注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为∞∞,00时不可求导.2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误.4、当)()(lim ''x g x f a x → 不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法.例19 求下列函数的极限①)1ln()21(lim 2210x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim>>+∞→x a x xax解：①令()f x = 21)21(x e x +-, ()g x = l )1n(2x + 21')21()(-+-=x e x f x , 2'12)(xxx g +=222"23")1()1(2)(,)21()(x x x g x e x f x+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0(''====g g f f 但2)0(,2)0(""==g f从而运用罗比塔法则两次后得到122)1()1(2)21(lim 12)21(lim )1ln()21(lim22223022102210==+-++=++-=++--→-→→x x x e x xx e x x e xx xx xx . ② 由∞=∞=+∞→+∞→a x x x x lim ,ln lim ，故此例属于∞∞型，由罗比塔法则有： )0,0(01lim 1lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x ax a x a x .2.8.2 利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式：1、)(!!212n nxx o n x x x e +++++= 2、)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n nn x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n nn x o nx x x x +-++-=+- 5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα6、)(x x 1 112n n x o x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例20 求)0(2lim>+-+→a xxa x a x解:利用泰勒公式，当0→x 有)(211x o xx ++=+ 于是 xxa x a x +-+→2lim=xax a x a x )121(lim 0+-+→=x x o a x x o a x a x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--++→)(211)()2(211lim=ax x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )(2lim00=+=+⋅→→2.8.3 利用拉格朗日中值定理求极限 定理11 若函数f 满足如下条件：(I) f 在闭区间[],a b 上连续 (II)f 在(),a b 内可导 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f .例21 求 xx e e xx x sin lim sin 0--→.分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“0”型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容易，更简单.解:令x e x f =)( 对它应用拉格朗日中值定理得)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f xx e e xx x e x f =)(' 连续1)0())sin ((sin lim ''==-+∴→f x x x f x θ，从而有 1sin limsin 0=--→x x e e xx x .2.9利用分子或分母有理化求极限若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则.2.9.1.约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例22 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x x x x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x .2.9.2通分法（适用于∞-∞型） 例23 求 )2144(lim 22x xx ---→. 解:原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x .例24求极限20x →.解：20x →=21x x→=)221limx x x →=)lim1x →=2.2.10 利用定积分求极限定义9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在闭区间[],a b 内任意插入1n -个分点将[],a b 分成n 个区间[],x i i x x -，记i x ∆1i i x x -=-()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，[]1,i i x x ξ-∀∈，作乘积()i f ξi x ∆ ，若这些乘积相加得到和式()1ni i f ξ=∑i x ∆ ，设max λ={}:1i x i n ∆≤≤，若0lim λ→()1nii f ξ=∑i x ∆极限存在唯一且该极限与区间[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即 ()baf x dx ⎰=0limλ→()1nii f ξ=∑i x ∆否则称()f x 在[],a b 上不可积.注：（1）由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号.（2）若()ba f x dx ⎰存在，区间[],ab 进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在思考题中经常出现，我们要好好理解.（3）定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.定积分的极限有两个特性：第一，定积分是无穷项和式的极限，容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零，否则和式极限不存在.第二，定积分与某一连续函数有紧密的关系，它的一般项受到这一连续函数的约束，它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割，各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累积.例25 利用定积分求极限：1111lim 1232n J n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪+++⎝⎭ 分析：此极限的求解，不容易直接用极限的定义解决，因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题，因此这里不合适，重要极限的结论显然也在这里没有用处，因为形式上根本不同；在考虑洛必达法则，它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限，也不可能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题，通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式，以简化形式从而求解，看来这里也不适用.再看用迫敛性：1111221221n nn n n n n =≤++⋅⋅⋅+≤+++，又lim11n nn →∞=+所以迫敛性失效.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的，事实上，它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的，那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这道题.解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分.为此作如下变形：111lim 11nn i J n i→∞==⋅+∑. 不难看出，其中的和式是函数()11f x x=+在区间[]0,1上的一个积分和（这里所取的是等分分割，11,,,1,2,i i i i i x i n n n n ξ-⎡⎤∆==∈=⎢⎥⎣⎦···，n ），所以()1100ln 1ln 21dxJ x x==+=+⎰ . 当然，也可把J 看作()11f x x=+在[]1,2上的定积分，同样有2312ln 21dx dx J x x ===⋅⋅⋅=-⎰⎰ .2.11 利用单调有界原理求极限定理12 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.定理13（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 例26 设21=a ，n n a a 21=+，n =1,2,⋅⋅⋅,求lim n n a →∞.分析：用单调有界原理求极限首先要证明是有界的单调数列. 解：（1）先证{}n a 是有界数列.事实上，n +∀∈N 由12n a <<现用数学归纳法证明如下：当1k =时，1a =12<<成立. 设n k =时结论成立，即12k a <<，则当1n k =+时，11222k a +<=<= 故12,n a <<∀n +∈N（2）再证{}n a 严格单调递增.由于12n a <<，故11n n n a a +==>，因此{}n a 严格单调递增.由单调有界定理知lim n x a →∞存在.（3）设lim n n a →∞=a ，则对nn a a 21=+两边取极限得1lim nn n a +→∞= a =解之得2a = 或 0a =（不合题意，舍去），故lim n n a →∞=2.注：（唯一性定理）数列收敛，极限唯一.2.12 多种方法的综合运用上述介绍了求函数极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。

求函数极限的几种特殊方法摘要：求解函数极限为高等数学研究的基本内容之一，但由于函数种类之多，所以求解函数极限的方法也很多，下面主要是通过举例介绍求解函数极限的几种特殊方法. 关键词：函数 极限 特殊求法函数是高等数学研究的基本对象之一,可是极限是其研究的重要工具，所以是大家所必须掌握的内容之一,但由于函数的种类繁多，因而在如何求解函数的极限问题上尤为困难，故掌握一定的求解函数极限的方法是十分必要的.下面是通过举例来介绍几种求解函数极限的特殊方法，试图扩大大家对求解函数极限进一步的认识.一、利用洛必达法则求解函数极限定理一 若函数()f x 和()g x 满足： （1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）在0()o U x 内两者都可导，且'()0g x ≠； （3）0'()lim '()x x f x A g x →=（A 为任意的实数，包括±∞或∞） 则 ：0()'()limlim ()'()x x x x f x f x A g x g x →→==. 定理二 若函数()f x 和()g x 满足： （1）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞；（2）在0()o U x 内两者都可导，且'()0g x ≠； （3）0'()lim '()x x f x A g x →=（A 为任意的实数，包括±∞或∞） 则：0()'()limlim ()'()x x x x f x f x A g x g x →→==. 洛必达法则常用来求不定式的极限，上面两个定理分别介绍了用洛达法则求关于00型和∞∞型不定式极限，对于其他形式的不定式极限，可以由这两种形式通过取对数或取倒数进行转化而得到，在此不对其他形式的定理进行详述.但是在利用洛必达法则求解函数极限时要注意，洛必达法则是用来求解不定式的函数极限，对于不是不定式形式的函数极限，我们则不能采用洛必达法则进行求解.例1：求下列函数的极限 ①222sin ()sin 5lim1xx x x eππ→--; ②2ln 5lim()xx x →∞+;③320lim (ln )x x x +→. 解：① 本题为0型的不定式的极限，根据洛必达法则可以求得.222sin ()sin 5lim1xx x x eππ→--2sin ()()sin 5lim1xx x x xeπππ→-+=-2sin 2()sin 5lim1xx x xeπππ→-=-2sin sin 55()cos52lim2sin cos xx x x x x xeπππ→+-=10cos525()sin 52lim2cos 2x x x xxπππ→--=10π=-.② 本题为0∞型的不定式极限，可以通过取对数进行转化为∞∞型的极限来求解，以便使此问题得到简化. 因为2ln ln(xx +=所以2ln lim ln(2lim xx x x →∞→∞+=2lim x x→∞=2=因此得22ln lim()xx x e →∞=故22ln 5lim()5xx x e →∞=.③ 本题为0⋅∞型的不定式极限，因此可以通过取倒进行转化为∞∞型的函数极限，进而简化问题. 所以得23230003(ln )2lim (ln )lim lim ln 13x x x x x x x x x +++→→→==- 400312ln 2lim lim 1333x x x x x x ++→→=-=-- 3021lim()033x x +→=--=. 例2：求sin 301lim arcsin x x x e x -→-.分析：洛必达法则是求极限的一种有效方法，但有时计算过程较为麻烦，要注意及时化简并与求极限的其他方法相结合（如等价无穷小代换等），以便简化运算.解：此题是一个0型的不定式，可以先进行等价无穷小代换因为1~(0)x e x x -→所以sin 1~sin (0)x x e x x x ---→,又因为arcsin ~(0)x x x → ,所以33arcsin ~(0)x x x →所以sin 33001sin lim lim arcsin x x x x e x x x x -→→--=201cos lim 3x x x →-= 0sin lim6x x x →=0cos lim 6x x →=16=.例3： 如果函数f 在点a 处具有连续的二阶导数，证明：2()()2()lim''()h f a h f a h f a f a h→++--= 分析：这是一个0型的不定式极限，可以先运用洛必达法则进行求解，再运用导数的定义求导.解： 原式=0'()'()lim2h f a h f a h h →+--=01'()'()'()'()lim()2h f a h f a f a h f a h h →+---+- 1(''()''())2f a f a =+''()f a =. 二、 利用泰勒公式求解函数极限泰勒定理: 如果函数f 在点0x 处存在直到n 阶的导数，则有0()()(())n n f x T x o x x =+-，即(200000000''()()()()'()()()()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-）上式则称为函数()f x 在点0x 处的泰勒公式.当0x ＝0时，泰勒公式又称为麦克劳林公式.我们把(20000000''()()()()'()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-++-）叫做函数()f x 在点0x 处的泰勒多项式.泰勒公式的意义：泰勒公式给出了函数()f x 关于0x x -的一个n 次多项式()n T x ，它与函数()f x 的差0()(())n n R x o x x =-是比0()n x x -高阶无穷小，用它可以将一些特殊的函数展成一个形如0x x -的多项式的形式.例4：求下列函数的极限 ①2240cos lim x x x ex -→- ; ②40cos(sin cos limsin x x xx→-）.解：①为了比较简单的来求解此题的函数极限，我们可以运用泰勒公式进行求解，可是又因为考虑到极限的分母为4x ，所以说在运用麦克劳林公式表示极限的分子时应让4n =.因为245cos 1()224x x x x =-++ ,又因为2451()224xx x e x x =++++ ,所以224521()28x x x ex -=-++,故2240cos limx x x e x -→-24245540(1())(1())22428lim x x x x x x x x →-++--++= 4540()12lim x x x x→-+=112=-. ②本题主要运用到了两个初等函数的麦克劳林公式：352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=+++-+--24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+当0x →时sin ~x x ，则44(sin )~()(0)x x x οο→，又因为函数cos(sin x ）满足泰勒定理的条件，所以有：4241sin cos(sin 1sin (sin )224xx x x ο=-++）3342444111(())(())()23!243!x x x x x x x οοο=--++-++ 424151()224x x x ο=-++又由于244cos 1()2!4!x x x o x =-++因为42424415cos(sin )cos [1()][1()]2242!4!x x x x x x x o x ο-=-++--++44()6x x ο=+所以40cos(sin cos lim sin x x x x →-）4444400()1()16lim lim(66x x x x x x x οο→→+==+=）. 三、利用定积分的定义及其性质来求解函数极限定义：设f 为定义在[,]a b 上的一个函数，J 为一个确定的实数，如果对于任意的正数ε，总是存在着这样的一个正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上的任意选取的点集{i ξ},只要满足x δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑则称为函数f 在区间[,]a b 上可积，数J 称为f 在[,]a b 上的定积分，记作()ba J f x dx =⎰上式通常也写作1lim ()()nbi i aT i J f x f x dx ξ→==∆=∑⎰运用定积分的定义求函数极限，关键在于将极限式转化为积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的形式，从中判断出被积函数()f x 及其积分区间[,]a b .例5：求33341lim(123)n n n →∞++++. 分析：33341lim (123)n n n→∞++++可以转化成某种积分和的形式，即：33341lim (123)n n n →∞++++=311lim ()n n i i n n→∞=∑.解：由于33334111lim (123)lim ()n n n i i n nn n→∞→∞=++++=∑取分割1i x n ∆=，1[,]i i i in n nξ-=∈（其中1,2,3,i n =）由此我们可以看出来该和式为函数3()f x x =在区间[]0,1上的一个积分和， 所以14133334011lim(123)44n x n x dx n →∞++++===⎰. 例6：求112lim(()()())n n n g g g n nn→∞，其中函数()g x 在[]0,1上连续，且()0g x >. 分析：直接求很难求其极限，我们采用转化法，想法运用定积分来求解.解：令 112(()()())n n n a g g g n nn=，则有：112ln ln[()()()]n n a g g g n n n n =112[ln ()ln ()ln ()]n g g g n n n n=+++ 11ln ()n i i g n n==∑ 取分割1i x n ∆=，1[,]i i i i n n nξ-=∈，(1,2,,)i n =，由此我们可以看出该和式为函数()ln ()f x g x =在区间[]0,1上的一个积分和.∴ 1011lim ln lim ln ()ln ()n n n n i ia g g x dx n n →∞→∞===∑⎰∴ 10ln ()lim g x dxn n a e →∞⎰=即112lim(()()())n n n g g g n nn→∞10ln ()g x dx e ⎰=. 四、利用积分中值定理求解函数极限积分第一中值定理：若f 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈， 使得： ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理：若f 和g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变 则至少存在一点[,]a b ξ∈使得：()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰在这里我主要是探讨了运用积分第一中值定理来求函数极限.例7：求1lim 1nn x dx x →∞+⎰. 分析：常规思路是先求出11nx dx x +⎰的值，再求极限,但在此题中，运用求积分的方法很难求出11nx dx x +⎰的值. 解：令()1f x x =+、()n g x x =，可以知道()f x 和()g x 在区间[0,1]上是连续的，且()g x 在区间[0,1]上是不变号的.∴ 根据第一积分中值定理，存在这样的一点[0,1]ξ∈使得，11111n n x dx x dx x ξ=++⎰⎰∴ 1lim 1n n x dx x →∞+⎰11lim1n n x dx ξ→∞=+⎰1111lim.lim 1111n n n n ξξ→∞→∞==++++0=即 1lim 01nn x dx x →∞=+⎰. 例8：设f 在[0,)+∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=，证明 01lim ()xx f t dt A x →+∞=⎰.分析：本题是一道综合性很强的题目，考查的知识点范围广，难度较高，但只要认真分析，解决起来也是很简单的，运用积分中值定理是解决本题的关键.证明：由积分区域可加性有：00111()()()x xf t dt f t dt f t dt x x x =+⎰又 ∵ ()f x 在[0,)+∞上连续，根据连续函数的有界性我们可以知道()f x M ≤（M 为常数），又由定积分的性质，有00111()()0()f t dt f t dt x x x x x ≤≤==→→+∞， 而对于1()xf t dt x ，因为f 在[0,)+∞上连续，利用积分第一中值定理可以知道，存在这样的(x ξθ=-（01θ<<）有11()(()xf t dt x f x xξ= 而当x →+∞时，ξ→+∞ 又 ∵lim ()x f x A →+∞=∴ 11lim ()lim (()xx x f t dt x f x x ξ→+∞→+∞=lim ()(1lim ()x f f ξξξ→+∞→+∞==A =∴00111lim()lim ()lim ()x xx x x f t dt f t dt f t dt x x x →+∞→+∞→+∞=+⎰ 0A A =+=.命题得证.五、用欧拉常数求解函数极限已知111lim(1ln )23n n c n→∞++++-= （1） 我们把c 叫做欧拉常数.它最早是由瑞士数学家昂哈德·欧拉在1735年所定义的，其数值约等于0.57721.欧拉常数是一类特殊的常数，有着许多应用，在此运用欧拉常数来求一些特殊的极限.例9：求111123lim ln n n n→∞++++.分析：由极限的定义，根据（1）式可以知道1111ln 23n c n nε++++=++，其中lim 0n n ε→∞=，由此可以对本题进行变形求解.解：由于111lim(1ln )23n n c n→∞++++-=，有1111ln 23n c n nε++++=++，其中lim 0n n ε→∞=∴ 111123lim ln n n n→∞++++ln lim lim(1)lim 11ln ln ln n n n n n n c n c c n n n εεε→∞→∞→∞++++==+=+= 例10：已知12!n n n nn n eθ-+=⋅，其中01n θ≤≤，求1111(1)nin ii ei-=+∏.分析：本题从表面上看起来比较复杂，无从下手，可是只要仔细的分析，还是可以做出来的.解：由于111lim(1ln )23n n c n→∞++++-=有1111ln 23n c n nε++++=++，其中lim 0n n ε→∞=∴ 1111(1)nin ii ei-=+∏111(1)232231()()12n nn n en n-++++=+⋅111(1)23!(1)n nnn n en -++++=+n=12lim()1nnn c nne e enθε--→∞=⋅⋅⋅+1c--=.本文通过举例介绍了用五种特殊方法求函数极限，但求函数极限的方法并不止此五种，希望大家不要拘泥于此，应继续深化研究，扩大知识面.参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].三版.北京：高等教育出版社，2001.[2]刘敏思，何穗.数学分析选讲[M].武汉：华中师范大学出版社，2007.[3]刘玉琏等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.[4]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.[5]张学元.高等数学能力解题[M].武汉：华中理工大学出版社，2001.[6]吴炯圻.数学专业英语[M].北京：高等教育出版社，2005.[7]张敏捷.函数极限的几种特殊求法[J].黄石理工学院学报，2008，24(2):56-58.[8]储庆.例说求解极限的几种特殊方法[J].武汉电力职业技术学院学报，2008，6(4):3-4.[9]司清亮.极限求法分析[J].新乡师范高等专科学校学报，2002，16(4):3-4.[10]杨建荣.谈求极限的主要方法[J].科技信息，2007，30:533-561.Getting Function Limit Of Some Special Methods Name:Liangrui Student Number:200729010119 Advisor:Liujing Abstract Getting function limit is one of basic content in researching of mathematical analysis. there are many methods to get the limit of functions, As there are many kinds of functions. Now ,we will introduce some special methods to get function limit.Key words function limit special methods。