极限思想的产生与发展 毕业论文

极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。

关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。

是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。

极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。

这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。

公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。

对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。

刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。

极限思想的产生和发展摘要：极限谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。

本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。

关键词：极限思想产生发展完善思维功能1.极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

2.极限思想的发展正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。

这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

3.极限思想的完善到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。

其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。

”它接近于极限的正确定义。

然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。

事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。

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大学极限数学论文2700字(一)：关于高等数学极限部分教学的几点改进论文极限既是整个高等数学的基础，也是学生在学习高等数学中接触的第一个和初高中掌握的概念形式不同的知识点。

如果极限的概念和应用掌握不好，一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。

本文根据极限部分知识特点，针对极限概念引入及极限求解等方面给出了相关的教学改进建议，以达到引起学生兴趣，便于学生理解和应用的目的。

高等数学是指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。

广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡极限作为高等数学中最先引入的知识点，既是难点也是重点，如果极限的概念和应用掌握不好。

一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。

同时，除本科数学专业开设数学分析课程外，很多学习高等数学课程的专业并非数学类专业，因此学生本身的不重视加上课程有一定难度，经常会导致学生成绩不理想的结果，因此对于高等数学基本概念，极限的引入与展开是一个值得深入探索的课题。

我国高校高等数学课程的教学水平各不相同，根据以往的研究？l现，目前在高等数学课程的开设方面，仍然存在着许多问题，就课程的内容而言，高等数学课堂上教师在教学中向学生灌输大量的“定义、定理、推导、证明、计算”等，而对于概念的深入思考却十分欠缺，导致概念与习题不能有效的对接，学生忽略对于理论本身的理解，进而在遇到更复杂的知识点时难以掌握，只能靠硬背来学习数学。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： ，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3） 函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。

分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (5)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (9)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help. Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。

极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板极限思想数学论文2200字(一)：极限思想在数学解题中的运用论文摘要：极限思想是近代数学的重要思想，是一种利用极限的概念去分析问题和解决问题的思想方法。

对于某些数学问题，能够灵活运用极限思想往往能够化繁为简，事半功倍。

本文通过类比的方法来探究利用极限思想的方法与常规的解题方法之间的区别，然后分别举例来说明在解决函数、数列、不等式的问题时，利用极限思想的解法的优势所在。

关键词：极限思想；函数；数列；不等式所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可以概括为：首先，对于被考察的未知量，设法构造一个与它相关的变量；然后，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后，用极限计算来得到这个结果。

极限思想是近代数学的一种重要思想，其由来可以追溯到古代，例如魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，其实就可以看作是一种比较原始的极限思想。

而随着微积分的诞生，极限思想也得到了进一步的发展和完善。

极限思想作为微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

可以说，数学分析就是以极限概念为重要基础，以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

除此之外，极限思想在解决一些抽象、复杂或是计算量大的问题时有着出色的表现，往往在常规的解法山穷水尽之时，利用极限的思想方法柳暗花明。

一、极限思想在函数中的应用1.利用极限思想巧解函数图像问题根据所给函数的解析式找出对应的函数图像是高考数学中的一类常见问题，一般的常规解法是研究函数的零点，通过解方程或是画出函数图像找出交点的个数，进而得到函数的零点个数，最后结合所给图像得出正确答案。

而如果利用极限思想来解决这类问题，往往可以事半功倍。

例1函数y=2x-x2的图像大致是()pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292常规解法：首先，研究函数的零点。

学号密级******本科毕业论文极限的产生、发展与应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：***指导教师：***二○一五年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYGeneration, Development andApplication of LimitCollege :School of MathematicsSubject :Mathematics and Applied MathematicsName : ***Directed by : ***May 2015郑重声明本人呈交的学位论文,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,所有数据、图片资料真实可靠.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.本人签名：日期：摘要本文通过论述极限的产生、发展、应用等方面解释了极限思想,重点介绍了极限在高等数学方面的应用.微积分是以极限为基础的,因而应用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.为今后更好的学习微积分打下坚实的基础.关键词：极限;产生;发展;应用;微积分ABSTRACTThe through discusses the limit of the emergence, development and application of explains limit thought, introduced with emphasis the application of limit in higher mathematics. Calculus is based on the limit, and the limit of the thought method is continuous function, derivative and definite integral, series convergence and divergence of concept. To lay a good foundation for the future to better learning calculus.Key words : The limit;production;development;application;calculus目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章引言 (1)第2章极限的产生和发展 (3)2.1极限的产生 (3)2.1.1中国早期极限思想 (3)2.1.2外国早期极限思想 (4)2.2 极限的发展 (5)第3章极限的应用 (7)3.1极限的早期应用 (7)3.2极限思想在高等数学教学中的应用 (7)3.2.1极限思想在微积分概念中的体现. (8)3.2.2极限思想在微积分解题中的应用 (9)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第1章 引言极限是整个微积分教学中的理论基础,它同时又是极限理论中的基本概念,对于极限理论的理解和掌握的熟练程度,将直接影响到后续数学课程的学习,尤其是对微积分的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折点,极限概念描述的变量是：从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变的哲学辩证过程,这里所描述的变量的概念与初等数学中的变量的概念有着非常大的区别,因而对学生来说掌握起会有一定的困难,但是如果能从极限发展的历史中了解极限思想和极限理论的形成过程,这对于我们弄清极限概念的描述和逻辑表述形式以及对极限理论的理解、掌握和应用会起到至关重要的作用.极限包括有：数列极限和函数极限.当把数列看成是以自然数为自变量的函数时,数列极限也就被看作是函数极限.所以现代数学对数列极限和函数极限是这样定义的:设{}n a 为实数数列,a 为定数.如果对于给定的任意数0>ε,总存在N (自然数),使得n>N 时,ε<-a a n 恒成立,称数列{}n a 的极限是a ,记作a a n z n =→lim 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一,就是十七世纪英国的牛顿和德国的莱布兹以其卓越的天才,明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系,从而真正建立了微积分的基本定理,并且系统地总结出一套比较准确的关于无穷小的算法,这的确算的上是微积分发展史上的头等重大的事件.但作为微积分基础的极限论的起源,我们可以追溯到春秋战国时期.早在春秋战国时期也就是公元前770年到公元前前221年，我国道家学派的代表人物庄子就有了极限思想,《庄子》“天下篇”中曾记载说,把一尺长的捶,每天取下前一天所剩的一半,照这样重复的不断取下去,我们永远也不可能把整个捶取完.这个具体的例子反映了我国古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也为我们提供了一个“无穷小量”的实际例子.这个经典的论断,至今在微积分的教学中还经常被使用.极限理论在高等数学中占有非常重要的地位,以极限为基础理论发展起来的微积分成为了各学科的一把利剑,解决了数学、物理等各领域中初等数学无法解决的问题,同时，极限思想从上世纪开始成为经济学家的有力工具.第2章极限的产生和发展2.1极限的产生19世纪法国伟大的数学家庞加莱曾经说过,能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人.我们所学的一切数学概念都来自于社会实践,来源于我们的现实生活,这些思想的火花被数学家们捕捉到以后,经过千锤百炼,被提炼成概念.再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善以及实践,最终形成经典的理论.毫无疑问地说,数学中的概念、定理等都会经历这个过程.极限也是社会实践的产物.极限思想的起源，我们可以追溯到古代,比如：刘徽的割圆术、古希腊人发现的穷竭法、阿基米德的圆周率计算等等,这些都蕴含着古代朴素的、直观的极限思想.古代朴素的极限思想主要是指：先通过整体细分,然后按照某种规律或发展趋势逼近终极状态,最后通过近似获得整体值的一种思想.2.1.1中国早期极限思想在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期(公元前770一前221)，我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的,一尺长的木棍,第一天取掉它的一半,还剩下它的二分之一尺,第二天再在这剩余的二分之一尺中在取掉一半,还剩下它的四分之一尺…….按照这样的方法一直取下去,木棍的长度会越来越小,但是无论剩余的木棍多小,永远也分不完.以至于到最后木棍长度几乎接近于零,但又永远不会等于零.这就出现了我国早期极限思想.当然在道家学派思想出现以前也曾出现了一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如：墨家观点就与庄子的观点不同,墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出来：将一线段按一半一半地无限分割下去,必将会出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.而墨家思想与名家关于极限思想的观点也有不同,名家则提出了“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”思想,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.以我们现在的想法看来,先秦诸子中的名、墨两家,对宇宙的无限性以及连续性认识已经非常深刻了,但是在那时候这些认识还是片断的、零散的,然而这些极限思想的萌芽,为极限概念的产生提供了丰厚的沃土.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽创立了有名的“割圆术”,当他在注释《九章算术》时,他将极限思想创造性的应用到了数学领域.下面就割圆术的具体方法做以下介绍：一个圆周不断地进行分割,圆周分割得越细,圆内接多边形的边数越多,它的内接正多边形的周长就越是接近该圆周.按照这种思路不断地分割下去,一直到该圆周无法再进行分割为止,当分割到了圆内接正多边形的边数无限多的时候.该圆的周长就与该圆周几乎重合了.通过这种分割方法,刘徽得到了圆内接正3027边形的面积.通过这个过程,他求出了我国最早的圆周率,该圆周率为 3.1416,这个数值也是当时世界上最早的也是最准确的圆周率数据.后来刘徽把这种思想方法推广到了更多的有关圆的计算.刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章.后来我国数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念打好了基础.在中国数学的发展史上，庄子、墨子、惠施、刘徽等天才数学家的数学研究和成就远远比不上与他们同时期的西方数学家(如：阿基米得、欧几里德等数学家).原因在于我国古代经济的困顿使得只有很少人来学习文化知识,自然学数学的人也就更少了,数学理论研究并没有受到相应的重视.农业社会的经济特点限制了古代人们对自然的探险与对理论的求索,从而也阻止了数学向理性发展的可能.中国几千年的文化,成就了许多的思想家、军事家和文人,其中也不缺少能工巧匠,唯独缺乏用符号与算式演绎事物内在规律和关系的数学家.由于中国古代的数学家们看重实用,因而古代数学只用于计算、测量等方面,并没有上升到理论的高度,因而也没有形成系统的理论体系.中国古代很多思想止于数学大门之外,令人非常惋惜[1].2.1.2 外国早期极限思想尽管刘徽是第一个创造性地将极限思想应用到数学领域的科学家.但是他的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.古希腊数学之神阿基米德所运用的穷竭法也蕴含了极限思想.直到16世纪时, 荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中,斯泰文改进了古希腊人的穷竭法.他借助几何直观运用极限思想的方法来思考问题, 放弃了古希腊人归谬法的证明. 也就是就这样,荷兰数学家斯泰文在无意中将极限发展成为一个实用概念.2.2 极限的发展极限的理论形成于西方,它的概念发展经历了由缓慢到快速发展的过程.古希腊时期就有了极限思想,古希腊人的穷竭法包含了极限思想.然而在十六世纪以前,关于极限的描述都是零散的、不完整的.直到十六世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,他借助于几何直观的方法用极限思想来思考问题,放弃了古希腊数学家用归谬法对极限的证明的方法,虽然斯泰文将极限概念向前推进了一步,但是极限思想仍只停留在思想的层面,并没有形成系统的极限理论体系.数学的发展与当时的社会背景密切相关,此时的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力发展和技术中存在着大量的问题, 只用初等数学的方法已没有办法解决这些问题,所以迫切地需要数学家们突破只研究常量的传统范围,希望他们能够提供用以描述和研究运动、变化过程的新方法.正是因为这样的社会背景,加快了极限的发展、完善与微积分的建立.同时,微积分也形成系统的理论体系.进入十七世纪后,由于极限的没有准确的概念,所以牛顿在建立微积分的过程中,也就无法确定无穷小的身份.在利用无穷小进行运算时,无穷小量到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.然而真正意义上的极限概念是由英国数学家约翰瓦里斯提出,他认为当变量无限逼近的一个常数时,它们的差是一定是一个给定的任意小的量.在这个过程中,他把两个无限变化的过程表述了出来,揭示了极限思想的核心内容.在十九世纪,法国伟大的数学家柯西在《分析教程》中比较完整的揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.柯西在此时已经用数学语言能准确的表达极限的思想,但是这种极限思想的表达还是定性的、描述性的.直到后来,经过德国数学家维尔斯特拉斯给出极限的定量的定义,极限的概念才得以完善,这也为微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何 0>ε,总存在自然数N ,使得当N >n 时,不等式ε<-A a n 恒成立”.德国数学家维尔斯特拉斯给出的极限概念,深入的刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为了数学的语言.他用数学的方法描述完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中开始占有了属于它的合法地位,在我们高等数学的数学分析书籍中,这种描述一直沿用至今.[2]第3章 极限的应用3.1极限的早期应用在古希腊,“穷竭法”是研究一类数学问题的一种特殊方法.在公元三世纪,古希腊诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时,提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数的方法,并把内接正多边形的面积来表示圆面积,该方法即“穷竭法”.他认为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”.然而这是一种粗糙的极限论思想,虽然这种方法获得的结果是正确的,但在逻辑上却是有问题的,我们谁也保证不了无限扩大后的正多边形的边会不会与圆周重合? 这个疑问就是古希腊数学家们的“关于无限的困惑”.这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,所以说“差”被“穷竭”的说法是不合适的.但用我们用现在极限理论的观点来看这个过程,这个被构成了的“无穷小量”,它在不断趋向于零.尽管如此,“穷竭法”仍然被认为是人类最早运用极限论的观点去思考数学问题的方法.数学家家阿基米德后来用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后又用归谬法加以证明,他在逻辑上证明了结果的正确性.他的发现如下：第n 个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值ns 43⋅,随着n 的增大,这个差值会越来越小,直到这个差值不可能是一个的大于零的常数为止,但这个差值也不可能是小于零的常数,根据归谬法我们可以知道,这个差值为n s 43⋅,并且这个差值只可能等于零.在此时,古希腊数学家阿基米德提出了一个相当于现在无穷小量的概念,为近代的极限理论打下了良好的基础. 我国古代数学早期的极限思想应用历史悠久.公元三世纪,魏晋数学家刘徽的“割圆术”就运用了极限论的初步思想,解决了求圆周率的实际问题.它的“割圆术”与古希腊人的“穷竭法”思路一致,他是中国数学史上第一个将极限思想运用于数学计算的人,这与现在极限论的观点是十分相近的.3.2极限思想在高等数学教学中的应用高等数学主要的研究内容为函数的微分与积分,它的研究方法为极限,这也是高等数学相比于初等数学的显著标志.极限思想贯穿于高等数学的始终,是高等数学的一种重要思想方法,我们可以说没有极限就没有微积分,极限和极限思想在微积分中占据着核心的地位.3.2.1极限思想在微积分概念中的体现.体现一：连续函数概念的建立函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析.例如,函数2)(x x f y ==的图像是一条抛物线,图像上个点相互“连接”而不出现“间断”,构成了曲线“连续”的外观.而符号函数x sgn y =的图像也直观的地告诉我们,它的“连续”在0=x 处遭到破坏,也就是说在这一点出现了间断.用分析的观点来看,函数)(x f 在某点0x 处是否具有“连续”特性,就是指当x 在0x 附近做小变化时,)(x f 是否也在)(0x f 附近做微小变化.借助于已经学过的函数极限工具,就是看当自变量x 趋于0x )(0x x →时,因变量y 是否趋于)(0x f ))((0x f y →定义：设函数)(x f 在点0x 的某个领域中有定义,并且成立)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数)(x f 在点0x 连续,而称0x 是函数)(x f 的连续点.体现二：导数概念的建立导数是微积分中的重要基础概念,导数是函数的局部性质。

本科毕业论文（设计）极限思想及其应用学生姓名：孙金龙学号：071611140系部：应用数学系专业：金融数学指导教师：刘炎提交日期：2011年3月21日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。

2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。

3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。

4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。

5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定。

学生签名：时间：年月日摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。

极限思想的产生和发展微积分的建立跟极限思想的发展有着十分密切的联系。

自进入16世纪之后，欧洲就处于资本主义的萌芽时期，极大地发展了自身的生产力。

于是，在生产以及科学技术等方面均出现了许多诸如变力做功问题、最值问题、曲线的切线问题、力学中的速度问题等关于变量的问题。

这些问题已经不再是初等数学能够解决的，解决它们所需要的是全新的数学思想、数学方式方法等，必须要成功突破传统的常量研究范围，开发出可以用于对运用以及变化过程进行研究描述的新工具。

同时，这些问题的出现为发展极限思想提供了良好契机。

一、产生极限思想所有科学的思想方法均是源自人们对于社会实践的体验以及总结，极限思想也不例外。

极限思想的产生可以追根溯源到古代，在我国，极限思想于春秋战国时期就已萌芽，然而纵观史料，极限思想被局限于哲学的领域，并没有被运用到数学当中去，于是应用极限的方法对数学问题进行研究就更是无从谈起。

一直到后来的公元3世纪，我国魏晋时期的著名数学家刘徽对《九章算术》进行注释，并在其中创设出了“割圆术”。

刘徽的极限思想是这样表述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。

因此，刘徽是在数学领域运用极限思想的第一人。

这种关于无限接近的思想正是后来极限概念得以建立的重要基础。

刘徽所创设的“割圆术”是对原始极限思想的一种有效运用。

在古希腊有着一种穷竭法，这其中也包含了极限的思想，但是希腊人对于极限是相当恐惧的，所以他们并不会明显地去求极限，而是依据归谬法这一间接的证明法完成对极限相关思想的论证。

直到16世纪荷兰的数学家斯泰文在对三角形的重心这一问题进行研究时对古希腊人的穷竭法做出改进，他思考问题所采用的是几何直观，并合理运用极限思想，撇开了对归谬法的运用。

因此，极限在斯泰文的研究之下演变成了一个实用的概念。

二、发展极限思想微积分的建立对极限思想的深层次发展起到了一定程度的促进作用。

最初，莱布尼茨、牛顿建立微积分所依据的是无穷小这一概念，但是后面遭遇了逻辑难题，因而在他们研究的晚期，他们都对极限思想有一定程度的接受。

分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)极限思想的产生与发展姓名学号年级专业数学与应用数学系(院) 理学院指导教师2012年12月17日摘要极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。

关键词：极限思想；产生；发展；完善；应用ABSTRACTLimit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development research, and its applicationin inmathematical analysis explores.Key words: Limit thought；geneeration；development；perfection；application目录1.引言 (1)2. 极限思想的产生与发展 .......................................................... 错误!未定义书签。

极限高等数学论文1600字_极限高等数学毕业论文范文模板限高等数学论文1600字(一)：高等数学极限求法探讨论文摘要等数学与初等数学的最大区别在于研究对象由静态转为动态，极限就是很好的体现。

极限是微积分的基础，是一种重要的思想和方法，要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

这就要求教师结合高职学生特点通过教学方式和教学手段的改进来引导学生用运动的观点去理解问题，本文结合教学经验总结归纳出极限的常用求解方法，以期有效提高学生的教学效果。

关键词高等数学；函数极限；求解方法一、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。

首先对函数实行各种恒等变形。

例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子、分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

二、利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。

如果？滋=g（x）在点x0连续？滋=g （x0），而y=f（x）在点x0连续，那么复合函数y=f（g（x））在点x0连续。

即■f（g（x））=f（g（x■））=f（■g（x））也就是说，极限号■可以与符号f 互换顺序。

三、利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分界点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

四、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

如果■f（x）=0，g（x）在（x0，？啄）内有界，那么■f（x）？g（x）=0这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

五、利用两个重要极限来求极限两个重要极限是■■=1和■（1+■）=■（1+■）■=■（1+x）■=e■，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

探究极限思想的起源与发展——感悟数学之美摘要：对极限思想的起源与发展进行探究，将极限的发展历程分为三个阶段，具体介绍了每个阶段的代表人物以及阶段特点，重点放在极限概念的演变上。

最后结合探究极限发展历程的经历，提出自己对数学之美的感悟。

关键词：极限思想；起源；发展如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。

极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的想象。

“挑战极限，超越自我”曾是我们高三时期激励自己努力学习的铮铮誓言。

然而这只是生活中我们对极限的理解，还很幼稚很肤浅，与数学上所讲的“极限”还有很大的区别。

结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的起源与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究。

我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步发展完善阶段。

数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。

”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以上溯到2000多年前。

这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。

其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。

也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。

极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。

阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯1不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。

然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。

存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)3.1极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)3.3数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)4.1极限思想在割圆术中的应用 (8)4.2极限思想在开方方面中的应用 (8)4.3极限思想在微积分中的应用 (10)4.4极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。

极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。

本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。

关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。