高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课时作业 新人教A版选修11

§2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫62，0C.⎝⎛⎭⎫52，0D ．(3，0) 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] B[解析] 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] C[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4， 则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( ) A.32B ．5C ．7D.12考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] D[解析] 根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12. 4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3. 5．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 已知曲线方程判断曲线的形状[答案] C[解析] 因为mn <0，所以m ，n 均不为0且异号，方程mx 2＋ny 2＝1，可化为x 21m ＋y 21n＝1，因为1m 与1n 异号，所以方程x 21m ＋y 21n＝1表示双曲线，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则其方程可化为x 21m ＋y 21n＝1，可知1m 与1n异号，则必有mn <0，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的必要条件．综上可得，“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支[答案] D[解析] 由|MA |－|MB |＝6，且6<|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16.故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．8．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B.12C ．2D ．4 考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] A[解析] 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |PF 1|·|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，∴12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1.二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] y 2－x 23＝1 [解析] 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] (2，＋∞)[解析] 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] x 216－y 29＝1 [解析] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得1QF k ·2QF k ＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解 已知双曲线x 216－y 29＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0， 不合题意，舍去，∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] D[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点．(1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为⎩⎨⎧ 12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF→|·|FQ →|cos θ＝m ， 所以tan θ＝46m. 又6<m <46，所以1<tan θ<4，即tan θ的取值范围为(1,4)． (2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c. 又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2， 解得x 1＝64c ， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12， 于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k <1.解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R ，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·福建高考)若双曲线E：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为=2a，所以-=±6，所以=9或-3(舍去).【补偿训练】设点P是双曲线-=1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________. 【解析】由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.故|PF2|=4或|PF2|=16.答案：4或162.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A.-=1(x≥2)B.-=1(x≤2)C.-=1D.-=1【解析】选C.由已知N(4，0)，内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PN|=|PM|-4，外切时，有|PN|=|PM|+4，故||PM|-|PN||=4，因此2a=4，2c=8，所以b2=12，点P的轨迹是双曲线-=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选A或B.3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为( )A.1B.-1C.D.-【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-y2=1，即-=1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在y轴上，所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.【误区警示】本题有两处易错：一是a2，b2确定错误，应该是a2=-，b2=-；二是a，b，c的关系式用错.在双曲线中应为c2=a2+b2.4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ 的周长为( )A.19B.26C.43D.50【解析】选B.如图,由双曲线的定义可得将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,所以△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.5.(2015·开封高二检测)双曲线-=1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(-5，0)的距离为( )A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】选D.由题知a2=16，b2=9，所以c2=25.又焦点在x轴上，所以焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，||PF1|-|PF2||=2a=8，||PF1|-15|=8，所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8，所以|PF1|=23或|PF1|=7.【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点①若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；②若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|-|PF2||=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c-a).二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知△ABC的顶点B(-2，0)，C(2，0)，并且sinC-sinB=sinA，则顶点A的轨迹方程是________. 【解析】设△ABC外接圆半径为R，则由：sinC-sinB=sinA，得：-=·，即|AB|-|AC|=2.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.因为2a=2，c=2，所以a2=1，b2=c2-a2=3.故点A的轨迹方程为x2-=1(x>1).答案：x2-=1(x>1)7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT 交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=________.【解析】设F2为椭圆右焦点，则|OM|=|PF2|，|PF|-|PF2|=6.因为FT是☉O的切线，所以|FT|=4，所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4，所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4=4-(|PF|-|PF2|)=1.答案：1【补偿训练】若双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________.【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=±2，①|MF1|+|MF2|=2，②②2-①2得，4|MF1|·|MF2|=4a-4m，所以|MF1|·|MF2|=a-m.答案：a-m8.已知双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-4)，，则双曲线的标准方程为________. 【解析】若曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：-=1(a>0，b>0)依题意得令m=，n=，则方程组化为：解这个方程组得即a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为-=1.若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，依题意得此时无解. 综上可得，所求双曲线的标准方程为-=1.答案：-=1【一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0)，依题意得解得故所求双曲线方程为-+=1即-=1.答案：-=1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线C：+=1(t≠0，t≠±1).(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线.(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|>1时，t2>0，t2-1>0，曲线C为椭圆；当0<|t|<1时，t2-1<0，曲线C为双曲线.(2)当|t|>1时，t2-1>0，曲线C是椭圆，且t2>t2-1，因而c2=t2-(t2-1)=1.所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).当0<|t|<1时，双曲线C的方程为-=1.因为c2=t2+(1-t2)=1，所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点.10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线-=1的两焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且·=0，求M点到x轴的距离.(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·=0，则MF1⊥MF2，设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线定义知，m-n=2a=8，①又m2+n2=(2c)2=80，②由①②得m·n=8，所以mn=4=|F1F2|·h，所以h=.(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)，由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14(舍去).所以所求双曲线C的方程为-=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为( )A.6B.12C.12D.24【解析】选B.由已知得2a=2,不妨设P为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.又|F1F2|=2c=2.由余弦定理得cos∠F1PF2==0.所以三角形为直角三角形.=|PF1|·|PF2|=12.2.(2015·武威高二检测)已知向量a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且a∥b,则点P(x,y)的轨迹不可能是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.双曲线【解析】选C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故x2+ky2=1,当k=1时,点P(x,y)的轨迹为圆;当k>0,且k ≠1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k<0时,点P(x,y)的轨迹为双曲线.当k=0时,点P(x,y)的轨迹为两条直线x=±1,故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点是(0，2)，椭圆-=1的焦距等于4，则n=________.【解析】因为双曲线的焦点为(0，2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为-=1，即a2=-3m，b2=-m，所以c2=-3m-m=-4m=4，解得m=-1，所以椭圆方程为+x2=1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2=n-1=4或1-n=4，解得n=5或-3(舍去).答案：54.(2015·盐城高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________.【解析】设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|，所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF1|=5，故所求最小值为9.答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)5.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程. 【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.①又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以·=0,即-c2+25=0.解得c2=25.②又c2=a2+b2,③所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.6.(2015·益阳高二检测)双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积.【解析】如图，由双曲线方程-y2=1，可知：a2=4，b2=1，c2=a2+b2=5.即a=2，c=.由双曲线定义，有|PF2|-|PF1|=2a，所以|PF2|=4+|PF1|.由∠F1PF2=90°，在直角△F1PF2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2)2，即|PF1|2+4|PF1|-2=0，由|PF1|>0，所以|PF1|=-2，可得|PF2|=+2，所以Rt△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1.。

§3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1．知识与能力目标：掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．过程与方法目标：体会推导双曲线标准方程的方法、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．情感态度价值观目标：培养发散思维的能力，感受曲线的美二．教学重难点重点：双曲线标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及双曲线方程的求解三．教学过程（一）复习旧知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系问题:平面内与两定点F1、F2的距离的差是常数的点的轨迹是什么?（二）双曲线的定义计算机模拟双曲线定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1、F2——双曲线的焦点.双曲线定义的符号表述：P={M | | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c)}问题1：|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？问题2：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？（三）双曲线的标准方程的推导类比椭圆，找到推导双曲线方程的方法求曲线方程的步骤：2.设点:3.列式:4.化简:双曲线的标准方程:焦点在 x 轴上焦点在y轴上呢？问题：如何判断焦点在哪个轴上？（看符号）牛刀小试求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标。

22(3) 25x-9=-225y22(4) -2=1x y例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差绝对值等于6，求双曲线的标准方程.练习1：（1）a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________.（2）焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 _______________.四.课堂小结五.作业课本 P121 1P127 7。

§ 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|²|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得． 2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|²|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k <1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝ r 1－r 2 2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－ ±15 2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝| ±15－0 2＋ 4＋3 2－ ±15－0 2＋ 4－3 2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12²|BC |2R ，又|BC |＝8，所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a －y 2b＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a －y 21b＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

课时作业13 双曲线及其标准方程时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．(2020·安徽高考)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右核心坐标为( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，0 B .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，0C .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，0 D .()3，0解析：∵双曲线方程为x 2－2y 2＝1，∴a＝1，b ＝22，得c ＝a 2＋b 2＝12＋222＝62， ∴它的右核心坐标为(62，0)，故C 正确．答案：C2．k>1，那么关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．核心在x 轴上的椭圆 B ．核心在y 轴上的椭圆C ．核心在y 轴上的双曲线D ．核心在x 轴上的双曲线解析：原方程化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1，∵k>1，∴k 2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为核心在y 轴上的双曲线．答案：C3．假设双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的核心在y 轴上，那么m 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(－1,2)解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4<0m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<m<2m<－1.即－2<m<－1. 答案：B4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的核心，那么实数n 的值是( ) A ．±5 B ．±3C ．5D ．9 解析：由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n＝±3.答案：B5．已知双曲线中心在原点且一个核心为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，那么双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝1 解析：∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)， ∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个核心为F 1(－5，0)， ∴另一个核心为F 2(5，0)．∴2a＝||PF 1|－|PF 2||＝|5＋52＋16－5－52＋42|＝2.∴a＝1. 又∵c＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 答案：B6．双曲线x 2n－y 2＝1(n>1)的两核心别离为F 1、F 2.P 在双曲线上，且知足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，那么△PF 1F 2的面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，那么|PF 1|－|PF 2|＝2n. 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1.因此|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∠F 1PF 2＝90°.因此S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案：B二、填空题(每题8分，共24分)7．已知双曲线x 216－y 220＝1上一点M 到它的一个核心的距离等于6，那么点M 到另一个核心的距离为________．解析：由题意可知，a ＝4，b ＝20，设核心为F 1，F 2且 |MF 1|＝6，那么|MF 2|－|MF 1|＝±2a＝±8，∴|MF 2|＝6＋8＝14或|MF 2|＝6－8＝－2(舍去)．答案：148．双曲线x 2－y 2k＝1的一个核心是(2,0)，那么实数k 的值为________． 解析：由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3.答案：39．假设椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a>0，b>0)有相同的核心F 1、F 2，P 为椭圆与双曲线的公共点，那么|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：椭圆的核心为(±m －n ，0)，双曲线的核心为 (±a ＋b ，0)，∴m －n ＝a ＋b.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① ||PF 1|－|PF 2||＝2a ②①2－②2有|PF 1|·|PF 2|＝m －a.答案：m －a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个核心别离为F 1，F 2，动点P 知足|PF 1|－|PF 2|＝4. 求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1得 |F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为核心， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，故其方程x 24－y 212＝1(x≥2)． 图111．(15分)如图1，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，那么有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为核心的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x≤－32)．12．(15分)已知曲线C ：x 2t 2＋y 2t 2－1＝1(t≠0，t≠±1)． (1)求t 为何值时，曲线C 别离为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的核心． 解：(1)当|t|>1时，t 2>0，t 2－1>0，曲线C 为椭圆； 当0<|t|<1时，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)当|t|>1时，t 2－1>0，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因此c 2＝t 2－(t 2－1)＝1.∴核心为F 1(－1,0)、F 2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1.∵c 2＝t 2＋(1－t 2)＝1，∴核心为F 1(－1,0)、F 2(1,0)． 综上所述，不管t 为何值，曲线C 有相同的核心．。

课时作业13 双曲线及其标准方程时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010·安徽高考)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C .⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D .()3，0 解析：∵双曲线方程为x 2－2y 2＝1， ∴a＝1，b ＝22，得c ＝a 2＋b 2＝12＋222＝62， ∴它的右焦点坐标为(62，0)，故C 正确． 答案：C2．k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：原方程化为y 2k 2－1－x21＋k ＝1，∵k>1，∴k 2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 答案：C3．若双曲线x 2m 2－4－y2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(－1,2)解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<m<2m<－1.即－2<m<－1.答案：B4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9解析：由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9. ∴n＝±3. 答案：B5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1 解析：∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)， ∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)， ∴另一个焦点为F 2(5，0)． ∴2a＝||PF 1|－|PF 2||＝|5＋52＋16－5－52＋42|＝2.∴a＝1.又∵c＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4. ∴双曲线方程为x 2－y24＝1.答案：B6．双曲线x 2n －y 2＝1(n>1)的两焦点分别为F 1、F 2.P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|， 则|PF 1|－|PF 2|＝2n. 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∠F 1PF 2＝90°. 所以S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知双曲线x 216－y220＝1上一点M 到它的一个焦点的距离等于6，则点M 到另一个焦点的距离为________．解析：由题意可知，a ＝4，b ＝20，设焦点为F 1，F 2且 |MF 1|＝6，则|MF 2|－|MF 1|＝±2a＝±8， ∴|MF 2|＝6＋8＝14或|MF 2|＝6－8＝－2(舍去)． 答案：148．双曲线x 2－y2k＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k 的值为________．解析：由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3. 答案：39．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)和双曲线x 2a －y2b ＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F 1、F 2，P 为椭圆与双曲线的公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：椭圆的焦点为(±m －n ，0)，双曲线的焦点为 (±a ＋b ，0)，∴m －n ＝a ＋b. ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① ||PF 1|－|PF 2||＝2a ② ①2－②2有|PF 1|·|PF 2|＝m －a. 答案：m －a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y216＝1得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 故其方程x 24－y212＝1(x≥2)．图111．(15分)如图1，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．12．(15分)已知曲线C ：x 2t 2＋y2t 2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点． 解：(1)当|t|>1时，t 2>0，t 2－1>0，曲线C 为椭圆； 当0<|t|<1时，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)当|t|>1时，t 2－1>0，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因而c 2＝t 2－(t 2－1)＝1. ∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y21－t 2＝1.∵c 2＝t 2＋(1－t 2)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)． 综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．。

§2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p >0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________． (5)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A ．45B ．23C ．47D ．127．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A (－1,0)和两动点P ，Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．413．求与圆(x －3)2＋y 2＝9外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.3 抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程答案1．相等 焦点 准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2向右(3)(－p 2，0) x ＝p2 向左(4)(0，p 2) y ＝－p2 向上(5)(0，－p 2) y ＝p2向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.]2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．C [容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]6．A [如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理， 得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝⎛⎭⎫32－32，所以x 1＝2. S △BCF S △ACF ＝12|BC |·d 12|AC |·d＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.] 7．y ＝3 解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P (x 1，x 21－1)，Q (x 2，x 22－1)，又A (－1,0)，P A ⊥PQ ，－*6]＝(－x ，－2－y )，PB →·PQ →＝0， 即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3. 10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.11．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． ① 直线方程变形为y ＝2x ＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB .②代入①，整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则|AB |＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝12或a ＝－4.∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解 设定圆圆心M (3,0)，半径r ＝3，动圆圆心P (x ，y )，半径为R ，则由已知得下列等式⎩⎪⎨⎪⎧|PM |＝R ＋3|x |＝R， ∴|PM |＝|x |＋3.当x >0时，上式几何意义为点P 到定点M 的距离与它到直线x ＝－3的距离相等， ∴点P 轨迹为抛物线，焦点M (3,0)，准线x ＝－3， ∴p ＝6，抛物线方程为y 2＝12x .当x <0时，|PM |＝3－x ， 动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x ＝3的距离，点P 轨迹为x 轴负半轴，当x ＝0时，不符合题意，舍去．∴所求轨迹方程为y 2＝12x (x >0)或y ＝0 (x <0)．。

2．3.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1[答案] B[解析] 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2．过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 [答案] D[解析] 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.3．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线[答案] C[解析] 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653[答案] B[解析] 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 5．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)[答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1， ∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C. 6．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.13 C.19 D.35[答案] B[解析] 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 7．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)[答案] A[解析] ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.二、填空题8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为________．[答案] 22或2[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2.9．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．[答案] x 216－y 29＝1 [解析] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 10．若双曲线x 216－y 2m＝1的焦距为10，则m ＝________. [答案] 9[解析] 由题意知，a ＝4，b ＝m ，c ＝5，又由a 2＋b 2＝c 2得，16＋m ＝25，∴m ＝9.11．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[答案] 2 3[解析] 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题12．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去x 轴的两个交点)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角．故△MF 1F 2为钝角三角形.。

课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线解析：F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．答案：D 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程，即x 21－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.答案：A4．下面各选项中的双曲线，与x212－y224＝1共焦点的双曲线是()A.x212＋y214＝1 B.y224－x212＝1C.x210－y226＝1 D.x210＋y226＝1解析：方法一因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线x212－y224＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.方法二与x212－y224＝1共焦点的双曲线系方程为x212＋λ－y224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．答案：C5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D．5解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|P A|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.解析：由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.答案：338．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34. 所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.答案：x214－y234＝1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，(1)方程表示双曲线？|能力提升|(20分钟，40分)11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图，设过M ，N 的直线与圆C 相切于R ，S ，则|PR |＝|PS |，|MR |＝|MB |，|SN |＝|NB |， 所以|PM |＝|PR |＋|RM | ＝|PR |＋|MB |， |PN |＝|PS |＋|SN | ＝|PS |＋|NB |，所以|PM |－|PN |＝|MB |－|NB | ＝2<|MN |，所以由双曲线定义知，P 点的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，因为2a ＝2，所以a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)． 故选A. 答案：A12．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．解析：由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。