2．2 双曲线
2．2.1 双曲线及其标准方程
【课标要求】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】
1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)
自学导引
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．
(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2
b 2
＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1 (a >0，b >0)
焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2
想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点
的位置？
提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点
在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
名师点睛
1．对双曲线定义的理解
(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．
(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．
(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．
(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”
2．双曲线的标准方程
(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．
(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．
(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．
(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准
方
程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.
题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭
⎫－16
3，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2
b
2＝
1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2
＝1(mn <0)或x 2m ＋
y 2
n
＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－
y 2
6－λ＝1(0<λ<6)．
解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－16
3，5在双曲线上， 所以⎩
⎨⎧
9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2
＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝－16，
b 2＝－9(舍去)．
若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
将P 、Q 两点坐标代入可得⎩
⎨⎧
22516a 2－9
b 2
＝1，25a 2－256
9b 2
＝1，
解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝9，
b 2＝16，
所以双曲线的标准方程为y 29－x 2
16＝1.
法二 设双曲线方程为x 2
m ＋y 2
n
＝1(mn <0)．
∵P 、Q 两点在双曲线上，
