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那么b2=c2-a2=25-16=9
x2 y2
因此，双曲线的标准方程为
1.
16 9
变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢？
2.若||PF1|-|PF2||=10呢？
x 2 y 2 1.( x 0) 16 9
轨迹不存在
题后反思：
求标准方程要做到 先定型，后定量。
3.若||PF1|-|PF2||=12呢？ 两条射线
2 m m 1
答案：m 1或m 2。
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0). 问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 Q AB 800
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8，
所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5
问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？ 如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的
双曲线的标准方程是什么？
y
y 2 x 2 1(a 0, b 0) a2 b2
F2
O
x
F1
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦
点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 其中c2=a2+b2.
射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2） x2 y2 1(mn 0) 是否表示双曲线？ mn
m 0
n
0
x 表示焦点在 轴上的双曲线；
m 0
n0Biblioteka 表示焦点在 y轴上的双曲线。
x2 y 2 1表示双曲线，求 m的范围。
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2y
M
F1 O F2 x
y2 x2
a2
b2
1(a 0,b 0)
y
M
F2 x
O
F1
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 y 2的系数是正的，则
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
Q 800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
0
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
双曲线的定义 双曲线的标准方程
应用
51页练习A组1、2； 56页习题2.3 A组1、2题。
F1
F2
二、双曲线标准方程的推导
① 建系
x 使 轴经过两焦点 F1, F2，y轴为线段 F1, F2
的垂直平分线。
F1
② 设点
y
M
O
F2 x
设 M (x, y)是双曲线上任一点，
焦距为2c(c 0) ，那么 焦点 F1(c,0), F2 (c,0)
的差的绝对值等于常数 2a 。
又设|MF1|与|MF2|
两边同时除以 a2 c2 a2 得： x2 y2 1
a2 c2 a2
由双曲线定义知：2c 2a 即： c a c2 a2 0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦
mn
题后反思：
1a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 先把非标准方程
2a 2,b 2, c 2 (2,0).(2,0)
化成标准方程， 再判断焦点所在
3a 2, b 2, c 6
(0, 6).(0, 6) 的坐标轴。
4a m,b n, c m n ( m n,0).( m n,0)
几点说明：
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a. (1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
（2）定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|？ ①当 2a=| | MF1|－|MF2| |=0时，
轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
F1
O
F2
②当2a=|F1F2|时
M
P
F1
F2
Q
| | MF1|－|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的
3
2
a2 5
3 b2
2
1 1
3a 2 b 2
令
m 1 ,n 1
a2
b2
则
532mm
3n 2n
1 1
解得
m n
1 1
3
故所求双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1. 3
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
③ 列式 MF1 MF2 2a 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
④化简
x c2 y2 x c2 y2 2a
将上述方程化为： x c2 y2 x c2 y2 2a
移项两边平方后整理得：cx a2 a x c2 y2
两边再平方后整理得： c2 a 2 x2 a 2 y 2 a 2 c2 a 2
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：椭圆的标准方程是怎样的? a b，c， 关系如何？
x2 y2 1(a b 0)或 y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 c2
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在在轴 x上， a 4, b 3；
x ②焦点在在轴 上，经过点 ( 2, 3), ( 15 , 2 ) .
3
答案: ① x 2 y 2 1
16 9
②
设双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
代入点 ( 2, 3), ( 15 , 2) 得
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 a, b, c及焦点坐标。
1 x2 y2 1
42
2 x2 y2 1
22
3 x2 y2 1
42
答案：
4 x2 y2 1(m 0, n 0)
