双曲线及其标准方程(1)

2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．第1课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣．重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a>b>0)； (2)焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，(a>b>0)． 3．a 、b 、c 之间有何种关系？a 2＝c 2＋b 2.探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B)活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？(几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解)请学生回答：1.不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a.3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线(一部分)．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F 1F 2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？。

双曲线及其标准方程式
双曲线是代数曲线中的一种，其标准方程常用于描述其形状。

标准方程式表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 （双曲线的方程式）
其中x和y是坐标系中的变量，a和b是正实数，而a>b。

双曲线通常是对称于x轴和y轴的，并且具有两个分支。

当a和b相等时，双曲线变成一个特殊的形状，称为单位双曲线。

单位双曲线的标准方程变为：
(x^2/a^2) - (y^2/a^2) = 1 （单位双曲线的方程式）
双曲线在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁学、光学和力学等领域中描述抛物面、光学器件的形状和物体的运动等。

双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。

学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。

双曲线的定义和双曲线的标准方程．（ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比． ）教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7双曲线 7 展示现实生活中的双曲线7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习一、 复习引入：前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。

问题 1：椭圆的定义是什么？（板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。

二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉教学方法： 启发式福建师大附中苏诗圣教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义7 例与练1、笔就画出了一条曲线。

请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。

进作图工具？ 3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图(古代建筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图)，这些古今中外与双曲线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。

双曲线及其标准方程
双曲线是平面上的一种曲线，它的标准方程可以表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1
其中，a和b是两个正实数，且a不等于b。

双曲线有两个分支，分别称为左右分支或上下分支，取决于标准方程中x和y的系数的正负关系。

在左右分支的情况下，a控制横轴方向上的扁平程度，b控制
纵轴方向上的扁平程度。

而在上下分支的情况下，a控制纵轴
方向上的扁平程度，b控制横轴方向上的扁平程度。

双曲线的焦点是曲线的特殊点，表示为(F1, F2)，位于曲线的
横轴或纵轴上。

焦点与曲线的距离称为焦距，用c表示。

焦距与横轴或纵轴的交点称为顶点。

双曲线也具有渐近线，即曲线无限延伸时，与曲线趋于平行的直线。

对于左右分支的双曲线，渐近线是曲线的对称轴，方程为y=0；对于上下分支的双曲线，渐近线是曲线的纵轴和横轴，方程分别为x=0和y=0。

双曲线在数学、物理学和工程学中都具有重要的应用，例如在椭圆偏振光、天体力学、电磁场分布等领域。

人教版高中数学第二册（上）8.3 双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c 的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体 ， 一根拉链，小夹子 教学过程： 一、复习提问 师：椭圆定义是什么？生：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆。

（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入 1、设问师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思考（老师在黑板上画出两个点21,F F ,使F 1在左侧,F 2在右侧.记21F F =2c,2c>0）。

师： 在椭圆里到两个定点的距离的和这个常数是正数，那么，平面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。

师：可能是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零） 师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F 1F 2的中垂线。

老师做出21,F F 的中垂线。

师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？ 生：在线段F 1F 2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F 1F 2的中垂线的左侧。

师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于非零常数的点的轨迹到底是是什么呢？我们一起做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成） 道具：一根拉链具体做法：老师在拉开的拉链两侧各取一点打结（实验前已经测量好，使两结之间的距离小于两定点间的距离），请两位同学协助将两点分别固定在定点F 1，F 2处，使拉链头在21,F F 的上方。