职高数学_拓展模块(高教湖南版)二年一期数学期中考试试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）。

A. √2B. πC. 0.101001…D. √-12. 已知 a = -3，b = 2，则 a - b 的值是（）。

A. -5B. 5C. 1D. -13. 下列函数中，是反比例函数的是（）。

A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = x - 14. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积是（）。

A. 24cm^2B. 32cm^2C. 36cm^2D. 40cm^25. 若 |x - 3| = 5，则 x 的值为（）。

A. 8 或 -2B. 3 或 -2C. 8 或 3D. -2 或 36. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C 的度数是（）。

A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°7. 下列各组数中，存在最大公因数的是（）。

A. 12和18B. 20和25C. 8和12D. 15和278. 已知 a、b 是方程 2x^2 - 5x + 2 = 0 的两个根，则 a + b 的值是（）。

A. 2B. 5/2C. 1D. 49. 若一个数的平方根是±3，则这个数是（）。

A. 9B. -9C. 9 或 -9D. 无法确定10. 在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（）。

A.（2，3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，-3）二、填空题（每题3分，共30分）11. 若 a = -4，b = 2，则 a^2 + b^2 的值是______。

12. 下列函数中，y = kx + b 是一次函数的条件是______。

13. 两个平行四边形的面积分别为24cm^2和36cm^2，它们的周长之比是______。

14. 若一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长是______cm。

温县职教中心 2020 年春学段 期中考试二 年级 数学 试题一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求） 1、已知数列 32n a n =+，则a 3=A . 10B . 11C . 13D . 15 2、下列各数列中，成等差数列的是........A . 0, 1, 3, 5, …B . 12, 13, 14, 15, …C .-3, 5, 8, 10, …D . -2, -2, -2, -2, …3、在等差数列﹛n a ﹜中，3885,63,a a ==则586a a += A . 58 B . 68 C . 70 D . 804、等比数列9，-3, 1，13-的公比为.....A . 13B . -13,C . -3,D . -135、()AB CA BC ++u u u r u u u r u u u r= （ ）A . CA u u u rB .AC u u u r C . 0D .6、若点A (3,-2），B (-2,5)，则向量AB u u u r等于.........A .（1, 7）B .（-5, 7）C .（5，-3）D .（5,-7） 7、点M （2,1）与点N （5，-1）的距离为（） A . 13 B . 14 C . 15 D . 16 8、过点P （-2，m ）和Q （m,4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A 1或3B 4C 1D 1或49、正三棱锥的高为3，底面边长为4，其体积为（ ） A 、2 B 、23 C 、3 D 、410、某班有男生23人、女生26人，从中选出一人担任班委，共有（）种选法。

A 、23 B 、26 C 、49 D 、16二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分，请把答案答题卷的横线上）。

11、数列-1,2,5,8,14,17,20共有______项，其中第一项（首项）为______.12、已知等差数列﹛n a ﹜中，23n S n n =-，则2a =______.13、数16与4的等比中项为_______.14、由1,2,3,4,可组成______个无重复数字的四位数．15、-→MN +→MP +→QN =→PQ ________.16、已知 6,5,,60a b a b →→==<>=o 则a b →→•= . 17、 已知a (1,3),b (x,1),→→=-=-且a →//b →，则x=18、 圆柱底面半径为4，高为3，其全面积为 .19、已知a →=（－1，2），b →=（3，y ）；若a →⊥b →，y= . 20、直线x+2y+3=0和2x+y+1=0的位置关系是 三、解答题（本题共4个题，每题5分，共20分，解答须写出文字说明或演算步骤）21、在等差数列﹛n a ﹜中，2a =3，8a =17，求4a .22、设 a →=(－2，6), b →=(－x,3x)且3a b →→•=24 求x 的值.23、已知球的截面圆面积为144∏2cm ，球心到截面的距离为5cm.求球的半径及球的表面积。

2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。

2022-2023学年湖南省益阳市南县职业中等专业学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}1．（4分）设全集U =N ，集合A ={1，2，3}，B ={2，3，4}，则A ∩∁U B =（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（4分）“x >-2”是“x >4”的（ ）A ．4x +3y -7=0B ．3x -4y -1=0C ．4x +3y -1=0D ．3x -4y -7=03．（4分）过点P （1，-1）且与直线3x -4y +6=0平行的直线方程是（ ）A ．[0，4]B ．[0，3]C ．[1，4]D ．[1，3]4．（4分）函数f （x ）=log 2x （x ∈[1，16]）的值域为（ ）A ．24πB ．48πC ．48D ．245．（4分）若一个圆柱的底面半径是4，轴截面对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（ ）A ．22π81B ．45π81C ．10π81D ．8π816．（4分）若圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥的体积为（ ）√√A ．400B ．12C ．300D ．1207．（4分）有一组容量为400的样本数据，从大到小的顺序分成8组建立频率分布直方图，其中的[85，95）这一组对应的纵轴数值为0.03，则这一组的频数是（ ）8．（4分）函数f （x ）=Asinx +2（A 为常数）的部分图象如图所示，则A =（ ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22题为选做题．满分50分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A ．1B ．2C ．3D ．-1A ．垂直于同一直线的两条直线平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直9．（4分）下列命题中，正确的是（ ）A ．-32B ．-12C ．12D ．3210．（4分）sin 20°sin 10°-cos 20°cos 10°=（ ）√√11．（4分）在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如表所示：单次成绩（环）78910次数4664则该运动员成绩的平均数是（环）．12．（4分）已知向量a =(1，0)，b =(0，1)，c =(13，14)，且c =x a +y b ，则x +y = ．→→→→→→13．（4分）某学校高三年级有男生400人，女生300人．为了解该年级学生的学习情况，采用分层抽样法从男生中随机抽取了32人，则从女生中随机抽取的人数应为 ．14．（4分）将2，5，11三个数分别加上相同的常数m ,使这三个数依次成等比数列，则m = ．15．（4分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ．16．（10分）在等差数列{a n }中，设S n 为前n 项和，已知a 1=-9，S 4=-24。

高二第一学期期中考试数学试卷满分：120分 分数：一、选择题（每题3分，共45分） 1．在投掷骰子的试验中，可以定义许多事件，例如： 1C ={出现1点} 2C ={出现的点数小于1} 3C ={出现的点数小于7}4C ={出现的点数大于6} 5C ={出现的点数是偶数} 以上5个事件中的随机事件个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A ．0.45，0.45 B ．0.5，0.5C ．0.5，0.45D ．0.45，0.5 3．已知数列{}n a 中，12a =则8a 等于（ ） A ．-12 B ．12 C ．-16 D ．164．已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（ ）A ．4±B ．4-C ．4D ．55．sin 70cos 40cos70sin 40-=（ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．326．在ABC 中，内角A B C 的对边分别为a b c 已知2b = 5c = 3A π=，则a =（ ） A ．19B ．19C ．39D ．397．若tan α，tan β为方程23520x x +-=的两根，则()tan αβ+=（ ）A ．1-B ．13C ．1D ．13- 8．已知3cos 5α=-，且0απ<<，则sin 2α=（ ） A ．2425 B ．2425- C ．1516D ．1516- 9．已知中，a ＝4，b ＝4，∠A ＝30°，则∠B 等于A ．60°或120B ．30°或150°C ．60°D ．30° 10．在等差数列{}n a 中，若252,5a a ==，则数列{}n a 的通项公式为A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =-D ．21n a n =-11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1a = 3c = 6B π=，则ABC 的面积为（ ） A ．32 B ．34 C ．32D ．3412．把函数sin 2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x = 的图象，则()g x 的解析式为（ ） A ．()sin(4)12g x x π=- B ．()sin(4)6g x x π=- C ．()sin(4)3g x x π=- D ．2()sin(4)3g x x π=- 13．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ） A ．sin 2x y = B ．cos 2x y = C ．cos y x =D ．cos 2y x = 14．sin15sin30sin75︒︒︒=（ ）A ．12B ．14C ．18D ．11615．对于锐角α，若tan 2α=，则2cos sin 2αα+等于（ ）.A ．35B ．53C ．1D ．35±二、填空题（每题3分，共30分）三、解答题（每题9分，共45分）29．已知函数()2sin cos 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调减区间.30．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设公比为正数的等比数列{}n b 满足23b a = 415b a =，数列{}n b 的通项公式．2023-2024学年度第一学期高二期中考试数学答案。

职高二年级数学测试卷一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．某段铁路共有7各站，共需要准普通客票种类数为（ ）A ．32个B ．42个C ．81个D ．64个2．一个小组有20个成员从中选择2人，分别担任正副组长，不同的选法种数是（ ）A ．380B ．190C ．100D ．403．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法总数为Q,则有（ ） A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能确定4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4448412C C CB ．44484123C C CC ．334448412A C C CD ．334448412A C C C 6．某乒乓球对有9名队员，其中有3名种子选手，先要挑选出5名参加比赛，必须有种子选手在内，那么不同的选手种数为（ ）种 A ．120B ．162C ．126D ．367．有8人已站成一排，现在要求其中4人位置不变，其余4人调换位置，则有（ ）种不同的调换方法 A ．1680B ．256C ．630D ．2808．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A ．7200B ．3600C ．2400D ．12009．在(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项的系数是 （ ）A. 第5项B. 第5、6项C.第6、7项D. 第7、8项 10.在(1+a x)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项,则a 的值( ) A.510 B.35 C.925 D.32511.若n )x2x 3-（展开式中的第9项为常数，则n 的值为（ ）A. 12B. 10C. 13D. 11 12. 3．103)1(xx -展开式的第7项的系数是 （ ）A 210B —210C 120D —120 13. 如图：用四种不同的颜色给标有数字的6个区域染色，要求相邻的区域不能染同色，则不同的染色方法有 （ ） A 、720 B 、240 C 、120 D 、9614．若2)n x的项是第8项，则展开式中含1x的项是（ ）A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项 15．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A 140种B 34种C 35种D 120种二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）16．73)2x (x +的展开式中第四项的二项式系数为 。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i2i z -=+，则z 在复平面对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线:80l x -+=的倾斜角为α，则α=（）A.30oB.60oC.120D.1503.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A.1122-++ a b cB.1122a b c ++C.1122a b c--+ D.1122a b c -+ 4.已知数列{}n a 为等差数列，*,,,N p q s t ∈.设甲：p q s t +=+；乙：p q s t a a a a +=+，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面宽EF 的长度约为（）1.414≈1.732≈2.449≈）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆221:()(3)9C x a y -++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（）A.2B. C.52D.37.若函数)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（）A.223B.45C.235D.56二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1210,,,x x x 的平均值为8，则数据121021,21,,21x x x --- 的平均值为1510.下列四个命题中正确的是（）A.过定点(1,1)P -，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.过定点(1,1)P -的直线与以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则直线的斜率k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.定点(1,0)Q 到圆22(1)(3)4x y ++-=2-D.过定点(1,0)Q 且与圆22(1)(3)4x y ++-=相切的直线方程为51250x y +-=或1x =11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AC AD λμ=+，λ、[]0,1μ∈，则（）A.当0λ=时，点P 到平面11A BCB.当0μ=时，点P 到平面11A BC 的距离为3C.当34μ=时，存在点P ，使得1BP PC ⊥D.当34λ=时，存在点P ，使得1⊥BC 平面PCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设()0.3,()0.4P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()P AB =______.13.斜率为1的直线与椭圆22143x y +=相交于A B 、两点，AB 的中点为(),1M m ，则m =______．14.已知公差不为0的等差数列 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；16.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =.（1）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 夹角的余弦值.17.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 的一条渐近线方程为y =，且2c =.（1）求E 的方程；（2）A ，B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求直线AB 的斜率的取值范围.18.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1112n n n n S S a a ++-=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若12,13n n a c a =-=+，数列{}n c 的前n 项和为n T .（ⅰ）求n T 取最大值时n 的值；（ⅱ）若m 是偶数，且2(1)nn n b a=-，求21mii b =∑.19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如1x ty =+表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆221:1C x y +=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点 不在直线族：2:Ω(24)4(2)0()a x y a a -++-=∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围和直线族Ω的包络曲线E ；（3）在（2）的条件下，过曲线E 上,A B 两点作曲线E 的切线12,l l ，其交点为P .已知点 ，若,,A B C 三点不共线，探究PCA PCB ∠=∠是否成立？请说明理由.湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】0.12【13题答案】【答案】43-##113-【14题答案】【答案】6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）23π（2）4【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）55【17题答案】【答案】（1）2213y x -=（2）()2,+∞【18题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）6n =；（ii ）284m m +.【19题答案】【答案】（1）221m n +=（2）2200,44x x y y >=（3）成立，理由见解析。

2024年下学期高二期中考试数学（答案在最后）命题人：得分：__________本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.第I 卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线120x y +-=的倾斜角是（）A.π4B.π2C.3π4D.π32.已知点B 是点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影，则OB等于（）A.5D.3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A.2219x y +=B.221819x y +=C.2219x y +=或221819y x += D.2219y x +=或221819x y +=4.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（）A.()2,1-- B.()(),21,∞∞--⋃-+ C.()1,2 D.()(),12,∞∞-⋃+5.在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（） A.612 B.68C.38D.56246.已知椭圆22:195x y C +=的右焦点为,F P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长的最大值为（）A.9+B.14C.7+D.15+7.已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（）A. B.6D.8.已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（）A.()211y x x =-+≠± B.()211y x x =+≠±C.()211x y y =-+≠± D.()211x y y =+≠±二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知()()3,4,6,3A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值可取（）A.13-B.13C.79-D.7910.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q 两点，若2PQ PF ⊥，且243PQ PF =，则（）A.4PQ a=B.13PF PQ= C.双曲线C 的渐近线方程为223y x =±D.直线PQ 的斜率为411.已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点,P Q 在1C 上，且直线PQ 的斜率为12-，则（）A.顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B.3C 的面积为1C 的4倍C.3C 的方程为2244195x y+=D.线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上第II 卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,1P 作直线l ，使它被直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为__________.13.直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.14.设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH 的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,1,0A B -，动点P 满足PA PB ⊥.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）将点A 和点B 并入点P 的轨迹得曲线C ，若过点()1,2Q 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.16.（本小题满分15分）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C '-'''中，,E F 分别是,AB BC 上的动点，且AE BF =.（1）求证：A F C E '⊥'；（2）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 所成夹角的正切值.17.（本小题满分15分）已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点.（1）若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD 为底面圆O 的内接正三角形，且ABD，点E 在母线PC 上，且1AE CE ==.（1）求证：直线PO ∥平面BDE ；（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19.（本小题满分17分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点O 为坐标原点，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ 上的中线长为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设1l 和2l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F .若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值.2024年下学期高二期中考试数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C 【解析】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选C.2.A 【解析】由条件知点B 的坐标为()3,4,0，所以5OB == .故选A.3.C 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时，长半轴长3a =，短半轴长1b =，方程为2219xy +=，当椭圆焦点在y 轴上时，短半轴长3b =，长半轴长9a =，方程为221819y x +=，所以椭圆方程为2219xy +=或221819y x +=.故选C.4.B 【解析】由条件()()210m m ++>可得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,∞∞--⋃-+.故选B.5.D【解析】设点P 在底面ABCD 内的投影为点O ，由题意知，4,2,PA AB PO====，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，所以(()()()214,0,,0,,,,0,22P A C D E ⎛- ⎪⎝⎭，(,0,22AE PC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以56cos ,24AE PC <>= .故选D.6.B 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为,4F AF AF ===''，则26PF PF a '+==，,PA PF AF APF ''-∴ 的周长6461010414AF PA PF AF PA PF PA PF AF =++=++-=++-+=+''='，当且仅当P 在AF '的延长线上时取等号.APF ∴ 的周长的最大值等于14.故选B.7.C 【解析】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于直线3y x =+的对称点为()1,P a b ，则21,23,22b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩得1,3a b =-=，即()11,3P -，点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图所示，点12,P P 都在直线CD 上，由对称性可知，12,DP DP CP CP ==，所以光线经过的路程2112PC CD DP P C CD DP PP ++=++==.故选C.8.A【解析】设(),M x y ，则211AM BM y yk k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选A.9.AC 【解析】当直线l 过线段AB 中点31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，有311022a -+=，得13a =-，当直线l ∥AB 时，有79a -=，得79a =-.故选AC.10.BC 【解析】由243PQ PF =，设23,4PQ m PF m ==，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则1142,52PF m a QF m a =-=-，而11PF QF PQ +=，解得23a m =，因此1124,33a a PF QF ==，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F Q PF = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，易知122F F c =，在12Rt PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则222222178,99c a b c a a ==-=，即3b a =，因此双曲线C的渐近线方程为3y x =±，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D 错误.故选BC.11.ABD 【解析】椭圆221:195x y C +=的焦点为()()2,0,2,0-，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()()0,2,0,2-，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C 的方程为2222195x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又222211221,19595x y x y +=+=，所以2222121209955x x y y -+-=，即()()()()12121212095x x x x y y y y +-+-+=，所以()121212121259y y y y x x x x x x -+⋅=-≠-+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确.故选ABD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.440x y +-=【解析】设直线1l 与直线l 的交点为(),82A a a -，则由题意知，点A 关于点P 的对称点(),26B a a --在直线2l 上，代入直线2l 的方程得()326100a a ---+=，解得4a =，即点()4,0A 在直线l 上，所以直线l 的方程为440x y +-=.13.0【解析】由22,2,y x y x =-⎧⎨=⎩可得2640x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有12126,4x x x x +==，所以124y y =-，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=.【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(),0F c到渐近线的距离为FH b ==，所以OH a ==，则直角FOH 的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH 的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB = ，可得12MF BF c ==，所以122a b cMF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C的离心率为c e a ===.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）法一：设(),P x y ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅=，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心，半径为1的圆去掉,A B 两点得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠.（2）由题设知曲线C 的方程为221x y +=，因为直线l 与曲线C 有只有一个公共点（如图），①若直线l 斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与曲线22:1C x y +=切于点B ，②当直线l 斜率存在且与曲线C 相切时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，1=，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16.【解析】（1）如图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==，且0m a ，所以()()()()0,,,,0,,,,0,,,0C a a A a a E a m F a m a -''，则()(),,,,,C E a m a a A F m a a '=--'=-- ，故()20C E A F am a m a a '⋅=-+-+'= ，所以C E A F ''⊥，即A F C E '⊥'.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF 面积()22112228BEFa a S m a m m ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时，()2max 8BEF a S = ，故,E F 分别为,AB BC 的中点，所以(),,0,,,0,,,22a a E a F a B a a a ⎭'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝，故0,,,,0,22a a EB a FB a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝''⎭⎝⎭ ，若(),,m x y z = 为平面B EF '的法向量，则0,20,2am EB y az am FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪''⎩令1z =-，得()2,2,1m =- ，又平面BEF 的法向量为()0,0,1n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-<>===⨯ ，设平面B EF '与平面BEF 所成夹角为θ，则1cos 3θ=，所以222sin 1cos 3θθ=-=，所以sin tan cos θθθ==B EF '与平面BEF所成夹角的正切值为.17.【解析】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设()()1122,,,A x y B x y .设直线l 的方程为50kx y k --=，因此点O 到直线l的距离为d =联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3k ∈⎣，当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OAB S取得最小值为，所以OAB S的取值范围为⎡⎣.（2）设直线方程为y x b =+，即()()1122,,,,x y b A x y B x y =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故Δ144480b =->，即3b <，又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=- ，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅= ，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()()()2121212123323(3)0y b y b y y y y b y y b ----+=-++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥，此时直线l的方程为9y x =-+或9y x =--18.【解析】（1）设AC BD F ⋂=，连接EF ，ABD为底面圆O 的内接正三角形，32,πsin3AC F∴==为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC==∴+=∴⊥，又3312,2,12223AF CF AO AF==∴=-===.AF AEAE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC∠∠∠∠=∴∴=∴⊥∽.PO⊥平面,ABD AC⊂平面,,ABD PO AC EF∴⊥∴∥PO，PO⊄平面,BDE EF⊂平面,BDE PO∴∥平面BDE.（2）1,2OF CF F==∴为OC中点，又PO∥,EF E∴为PC中点，2PO EF=，2PO PC∴==，以F为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x y z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则311 0,,0,,0,0,,,0,0,0,,0,0,,222222A B E D O P⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛----⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(33333133,,0,0,,,0,0,,,,0,,,022222222AB AE OP DO DA⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴====-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()3101,,,22OM OP DM DO OMλλ⎛⎫==∴=+=-⎪⎪⎝⎭.设平面ABE的法向量(),,n x y z=，则330,22330,22AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ 令1y =-，解得x z n ==∴=- ，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦，max (sin )1θ∴==，此时3133,,,0,1,2222DM MA DA DM ⎛⎛=-∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴点M 到平面ABE 的距离17214MA n d n ⋅===.19.【解析】（1）由题意，因为()(),0,0,,P a Q b POQ为直角三角形，所以PQ ==.又222e ,2c a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，()11,0F -，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()()()112220,,,,y k x k A x y B x y =+≠，联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222128820k x k x k +++-=，所以()()()()22222Δ8412828120k k k k =-+-=->，即2102k <<，且22121222882,1212k k x x x x k k-+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅= ，所以()()11221,1,0x y x y ---⋅---=，即12121210x x x x y y ++++=，所以()()1212121220x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得()()()2221212121140k x x k x x k ++++++=，即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+-+++= ⎪++⎝⎭，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.（3）由题意，()21,0F ，设直线1l 的方程为()()()33441,,,,y m x C x y D x y =-，则直线2l 的方程为()()()556611,,,,2y x E x y F x y m=--，联立()221,21,x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()2222124220m x m x m +-+-=，所以22343422422,1212m m x x x x m m -+==++，所以()234222,121212M M M x x m m x y m x m m +===-=-++，所以2222,1212m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理联立()221,211,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得()222122140m x x m +-+-=，所以2565622214,1212m x x x x m m-+==++，所以()562211,1212212N N N x x m x y x m m m +===--=++，所以221,1212m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MN 的中点1,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以22112111212412212282OMN M N m m S OT y y m m m m =-===⨯+++，当且仅当12m m =，即22m =±时取等号，所以OMN 的面积最大值为28.。

中等职业学校期中考试第1页（共4页） 第2页（共4页）密封线内不要答题2020-2021学年度第一学期期中考试《 数学》试题出卷人： 使用班级：一、 选择题 （每题 3 分，共计 30 分）1. 过点P （1,2）且与直线x-3y+1=0平行的直线方程是 （ ） A ． x-3y+5=0 B. x-3y+6=0 C. 3x-y-1=0 D. 3x-y+1=02.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a 的值为( )A.2B.-3或1C.2或0D.1或0 3.过点（2,0），（5,3）的直线斜率是 （ ） A ．1 B. -1 C. 51D. 51-4.直线2x-y+C=0与直线4x-2y+4+0的距离为5，则C 等于 （ ） A ．7 B.-3 C. -3或7 D. -7或35.圆0422=-+++Ey Dx y x 的圆心为（-1,2），则圆的半径为 （ ）A. 7B. 9C. 2D. 36.线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面的位置关系是 （ ） A ．α⊂AB B.α⊄AB C.由线段的长度而定 D.以上都不对7.“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的 （ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.若将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则A 、C 两点间的距离等于（ ） A 2 B 2 C 3 D. 39. PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是（ ）A 、PA ⊥BCB 、BC ⊥平面PAB C 、AC ⊥PCD 、PC ⊥BC 10.线段AB 的长为2（A ∈α），它在平面内的射影长为1，则线段AB 所在的直线与平面α所成的角是（ ）° C 、120° D 、150°二、 填空题 （每题 5 分，共计 20 分）11. 三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=0,2x-y=10交于一点，则a 的值为_______.12.直线3x-y+2=0的斜率为__________.13.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知1==AD AB ，21=AA 则直线1BD 与平面ABCD 所成的角的大小是________ .14. 已知角α的终边上的一点()4,3P -,则sin α=______，ABCD 1A 1C 1B 1D临沂市理工学校第 3 页（共 4 页） 第 4 页（共 4 页）cos α=______，tan α=______三、解答题 （每题 10 分，共计 50 分）l -1，直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. 3.14C. √2D. 2/32. 已知 a > 0，且 a - b = 3，ab = 2，则 a + b 的值为（）A. 2B. 5C. 8D. 113. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形4. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x²B. y = 2xC. y = |x|D. y = x³5. 下列各式中，等式成立的是（）A. a² = aB. (a + b)² = a² + b²C. (a - b)² = a² - 2ab + b²D.(a + b)(a - b) = a² - b²6. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 257. 下列各图中，符合勾股定理的是（）A. 图1B. 图2C. 图3D. 图48. 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A(2, -3)，则该函数的解析式为（）A. y = 2x - 3B. y = -2x + 3C. y = 2x + 3D. y = -2x - 39. 在直角坐标系中，点 P(-2, 3) 关于 x 轴的对称点坐标为（）A. (-2, -3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (2, 3)10. 下列命题中，正确的是（）A. 任何实数都是无理数B. 任何有理数都是整数C. 任何整数都是无理数 D. 任何无理数都是实数二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知a² - 4a + 3 = 0，则 a 的值为 _______。