线性空间的定义

线性空间与线性映射的基本理论线性空间是数学中一种重要的结构，广泛应用于线性代数、函数分析等领域。

线性映射作为线性空间之间的一种变换方式，对于研究线性空间的性质及其应用有着重要的作用。

本文将介绍线性空间与线性映射的基本理论，包括定义、性质以及相关定理的证明。

一、线性空间的定义与性质线性空间是指一个具有加法运算和数乘运算的集合，且满足一定的公理。

设V为一个集合，如果满足以下条件：1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，存在一个元素u+v∈V，使得加法对于V中元素的操作满足交换律、结合律和存在零元素的性质。

2. 数乘运算：对于任意的α∈F（其中F为一个数域）和u∈V，存在一个元素αu∈V，使得数乘对于V中元素的操作满足结合律、分配律和单位元素的性质。

3. 加法单位元：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u。

4. 相反元素存在：对于任意的u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0。

5. 数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。

若V满足上述条件，则称V为线性空间，V中的元素称为向量。

线性空间的定义体现了加法和数乘运算的基本性质。

二、线性映射的定义与性质线性映射是指将一个线性空间的向量映射到另一个线性空间的映射。

设V和W为两个线性空间，f: V→W是一个映射。

如果满足以下条件：1. 直线性：对于任意的u、v∈V和任意的α、β∈F，有f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)。

2. 零元映射：f(0_V)=0_W，即零向量在V中的映射值为0_W。

则称f为从V到W的线性映射。

线性映射的定义保持了线性空间的运算性质，即通过映射后仍然保持加法和数乘的运算性质。

三、线性映射的性质与定理1. 线性映射的零核与满射性质：设f: V→W是一个线性映射，则f是满射（surjective）当且仅当它的像空间W即为整个目标空间W；f是单射（injective）当且仅当它的核空间（即所有映射为零向量的V中的向量构成的集合）为零空间{0_V}。

第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。

两种运算要封闭，八条公理要齐备。

V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。

V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。

满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。

常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。

（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。

（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。

[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。

（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。

当n m =时，记为()F M n m ⨯。

（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。

⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。

⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。

⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。

记为V dim 。

⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。

()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。

记为(n a a a ,,21 )。

⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。

第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。

我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。

现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。

§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。

线性空间和其基础性质的定义及应用线性代数是一门数学分支学科，主要研究向量空间及其上的运算。

线性空间的概念是线性代数的基础，而许多重要的数学分支学科，如微积分、偏微分方程和量子力学都是基于线性空间理论的。

本文将对线性空间及其基础性质的定义进行阐释，并探讨线性空间在不同领域中的应用。

一、线性空间的定义线性空间是一个向量空间，其基本性质是空间中的所有元素均具有标量乘法（scalar multiplication）和向量加法（vector addition）两种基本运算：1. 标量乘法：对于任何标量（即实数或复数）α和向量v，有唯一一个向量αv，2. 向量加法：对于任何两个向量u和v，有唯一一个向量u+v，3. 满足以下八条性质：（1）线性空间中的任意向量u和v都有一个和，称为它们的和u + v。

（2）+ 运算满足交换律，即 u + v = v + u（3）+ 运算满足结合律，即 (u + v) + w = u + (v + w)（4）存在零向量，即 u + 0 = u,对于所有的向量u;（5）对于每个向量u，存在一个与u相反的向量—u，使得 u + (-u)=0;（6）标量乘法满足结合律, 即α(βv) = (αβ)v。

（7）标量乘法对向量加法的分配律，即α(u+v)= αu + αv。

（8）标量乘法对标量加法的分配律，即(α + β)v= αv+ βv。

（其他一些基本术语）向量的线性组合 ( linear combination) 是指对向量进行加权求和v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn ,其中 ci 是标量。

向量空间的维数是指向量集合中，所需最小基的数量，记作dim(V)。

二、线性空间的应用线性空间是许多数学分支学科的基础，在多个应用场景中都有广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例。

1. 物理学中的线性空间：量子力学中有一个重要的概念是哈密顿算符（Hartniltonian Operator），它是线性空间中的一个算子，用于对系统的总能量进行量化。

§6.2 线性空间的定义
线性空间是数学中一个非常重要的基础概念，也被称为向量空间。

它是由一组称作向量的元素所构成的集合，并且这个集合也需要满足一定的运算规则。

具体来说，线性空间必须满足以下条件：
1. 加法性质：对于任意的 a、b 属于线性空间 V，其和 a+b 也属于 V。

6. 存在零元素：线性空间中必须存在一个元素 0，使得对于任意的 a 属于 V，有a+0=0+a=a。

以上这些条件都是线性空间必须满足的性质，只有同时满足以上所有条件，才能称为线性空间。

线性空间不仅可以是实数域上的，也可以是复数域或其他的数域，只要满足上述条件就行。

此外，线性空间的向量元素也可以是多维的，相应地，加法和数量乘法也要进行多维的运算。

总之，线性空间是数学中的一个非常重要的概念，它是在广泛的应用领域中得到了广泛的应用，包括物理、经济、计算机科学等领域，是许多高等数学学科的基础，深入理解并掌握线性空间的性质和应用，对于建立和发展许多数学理论和应用具有重要的意义。

线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。

本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。

一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。

一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。

2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。

3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。

4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。

5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。

6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。

7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。

8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。

二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。

对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。

2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。

3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。

三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。

2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。

3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。

4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。

如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。