第2章习题解答
2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V
a ρρρρ
=，
()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。
解：2π20000
2d d d d π3
l
a
V V
Q V z la a
ρρ
ρρρϕρ=
==⎰
⎰
⎰⎰
2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求
其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2
04πS Q
R ρ=
面电流密度为 002
00
sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ
ρρωθωθ=⋅==
= 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ϕ=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试
求0S J 。
解：每根导线的体电流密度为 00
22
4π(/2)πI I J d d
=
= 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I
J Jd d ==
因此，等效面电流密度为 04πS I
J e d
ϕ=
2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的
点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为
12
214πq F x
ε=
实验电荷受0q 的排斥力为
022
1
4π()q F d x ε=
-
要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022
211
4π4π()
q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01
22=+=
如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01
22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不
是排斥力，而是吸引力。
2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电
场为
(
)
()(0
00
2
22
0000111114π4π4π222218
2πx y
y
x
x
y
q q q E e e e e a a q e e εεεε⎛
⎫=+++ ⎪
⎝⎭+=+
2.9半径为0R 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为0S ρ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均
匀分布在半径为0R 的半球内，再求球心处的电场强度。 解：面电荷密度产生的电场强度为
()()0
30
1d 4πS S r r E r S r r ρ
ε'
'-'=
'
-⎰
根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z 方向。由于2
0d sin d d S R θθϕ''''=，那么
()2π
π/2
200
d sin d 4π4S S z
z
E r e e ρρϕθθεε'''=-=-⎰
⎰
如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为
200033
000
2π32π/32π/3S S R Q
R R R ρρρ=== 把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为d r '的球壳产生的电场强度为
()0
d d 4z E r
e r ρ
ε'=-
那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为
()0
000
00
3)d 444R S z
z
z E r e r e R e ρρρ
εεε'=-=-=-⎰
2.14 如题2.14图所示，两个半径分别为a 和b ()b a >的球面之间均匀分布着
体电荷，电荷密度为0ρ。两球面的球心相距为d ，且d a >。试求空腔内
的电场。
解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为0ρ和0ρ-的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为0ρ、
半径为b 的大圆球产生的场和电荷密度为0ρ-、半径为a 的小圆球查收的场的叠加。由高斯定理，大
圆球产生的电场为
0233b b
b b Q E r r r ρεε
=
=- 而小圆球产生的电场为 0233a a
a b Q
E r r r ρεε
==- 因此合成场为 000333b a E r r d ρρρεεε
=
-= 2.22 如题2.22图所示，在半径为a 的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b 的圆柱形空腔。
两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为d ，且d b >。当导体通以均匀分布的电流I 时，试求空腔内的H 。
解：假设导体中的电流是z e +方向的。由于导体的电流密度为()
220/π2J I a b =-，所以可以把空腔看成
是两个电流密度也为0J 的z e -方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为a ，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律，可以分别得到大圆柱在两个空腔内产生的磁场以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到
左腔内 H H H H =++左右大
()()()()()()()()()()()22222
2222222222222π22π22π22π2x y x y x y x y I I
e y e x e y e x d a b a b I b e y e x d a b x d y
x d b I yb e e d a b x d y x d y ⎡⎤=
-+--++⎣
⎦--⎡⎤--+-⎣⎦--+⎧⎫⎡⎤-⎪⎪
=+-⎢⎥⎨⎬--+-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
