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第二章习题解答【习题2.1】101929=.=101.6102.0810e qR R mq e Cp m Ce e 解：电偶极矩p 其中 1.3可得电偶极矩p 的大小其方向为从负电荷指向正电荷，即从氯离子指向氢离子。
---´== =醋【习题2.2】解1解：由例2.2得，电偶极子所产生的电场为533()1[]4e e P R RP E RRπε=-0()R R << ……………………①其中 0e P qR = ，0R方向从负电荷指向正电荷，R是从电偶极子指向电场中任一点的矢量，起点在正负电荷连线的中点。
（如图）本题 100 1.310R m -=⨯ 1010010R m -=⨯满足 0R R << ．将①式整理：32013[()]4e e E P R R P RRπε=-令 ()e m k P R R P =-（23k R=）则 304m E Rπε=…………………………②欲求E的最大值，求出m最大值即可．222222[()]()2()()e e e e e e m k P R R P k P R R P k P R P R =-=+- 2222(2)()e e k R k P R P =-+2224296()()e e R P R P R R=-+ 2223()e e P R P R=+其中 00cos e P R qR R qR R θ== ， （θ是0R 和R之间的夹角）易见，当cos 1θ=，即0θ=时，2m可取最大值22222m ax 234e e e m R P P P R=+=则 m=2e P 代入②式得 m a x33m ax042e P mERRπεπε==将习题2.1中的结论 e P=2.082910c m -⨯⋅ 代入得29112103max2.08102 3.148.910(10010)EV m ----⨯=⋅⨯⨯⨯⨯⨯513.710V m-≈⨯⋅距离自由电子处的电场 191712121020 1.6101.41044 3.148.910(10010)e E V mV mRπε-----⨯==⋅≈⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯故 距离电偶极子处的电场最大值为 513.710V m -⨯⋅ 距离自由电子处的电场为 711.410V m -⨯⋅【习题2.2】解2解：设矢量0R e的方向从电荷C L -指向电荷H +R n 是从由C L - H +构成的电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正负电荷连线的中点，且0R 〈〈R. （ e , n 为单位矢量，θ是e , n的夹角）（1）003303cos 1[]4qR qR E n e R R θπε=- (41P )由向量减法的三角形法则及余弦定理得：=03024qR R πε⎛⎫⎪⎝⎭E =由上题得290( 2.110)e p qR cm -==⨯因此，当0θ=或θπ=时E有最大值， 03024qR E R πε==50302 3.7104qR V M R πε=⨯ （2）7201() 1.4104q R VE M R R πε==⨯【习题2.3】证明： 电偶极距qRe p =其方向为从负电荷指向正电荷。
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。
和向量错误！未找到引用源。
垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ） 所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
电磁场与电磁波第二版课后答案第一章：电荷和电场1.1 选择题1.电场可以向量形式来表示。
2.使得电体带有不同种类电荷的原子或分子是离子化。
3.在法拉弹规定空气是电介质。
4.电荷量的基本单位是库仑。
5.元电荷是正负电荷的最小电荷量。
6.在电场中电荷所受力的方向完全取决于电荷性质和场的性质和方向。
7.电势能是标量。
8.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
9.电场E的国际单位是NC−1。
10.电场强度受逼迫电荷的正负种类影响，但与电荷的量无关。
1.2 填空题1.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
2.计算质点电荷q在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{q}{r^2}\\vec{r}$。
3.计算正半球壳在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{Q}{r^2}\\vec{r}$。
4.位置在球心，能量源是正半球壳带点，正半球在转轴一侧电势能是0。
5.半径为R的均匀带点球壳，带电量为Q，求通过球心的电束强度的公式是$\\frac{Q}{4\\pi\\epsilon_0R^2}$。
1.3 计算题1.两个带电量分别为q1和q2的点电荷之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{q_1q_2}{4\\pi\\epsilon_0r^2}\\vec{r}$。
2.一个电荷为q的质点，和一个均匀带有电量Q的半球壳之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{qQ}{r^2}\\vec{r}$。
第二章：电磁感应和电磁波2.1 选择题1.电磁感应是由磁通变化产生的。
2.电磁感应一定要在导电体内才能产生电流是错误的。
√3.在电磁感应现象中，即使磁通量不变时导体电流也会产生改变。
4.电磁感应现象是反过来实现的。
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电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为$\rho=-\frac{4\epsilon U}{d}-4\times 10^{-3}x-2\times 10^{-3}$，式中阴极板位于$x=9$，阳极板位于$x=d$，极间电压为$U$。
如果$U=40V$，$d=1cm$，横截面$S=10cm^2$，求：（1）$x$和$x=d$区域内的总电荷量$Q$；（2）$x=d/2$和$x=d$区域内的总电荷量$Q'$。
解（1）$Q=\int\limits_{0}^{9}\rhoSdx+\int\limits_{d}^{9}\rho Sdx=-4.72\times 10^{-11}C(3d)$2）$Q'=\int\limits_{d/2}^{d}\rho Sdx=-0.97\times 10^{-11}C$2.2 一个体密度为$\rho=2.32\times 10^{-7}Cm^3$的质子束，通过$1000V$的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为$2mm$，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解：质子的质量$m=1.7\times 10^{-27}kg$，电量$q=1.6\times 10^{-19}C$。
由$1/2mv^2=qU$得$v=2mqU=1.37\times 10^6ms^{-1}$，故$J=\rho v=0.318Am^2$，$I=J\pi (d/2)^2=10^{-6}A$2.3 一个半径为$a$的球体内均匀分布总电荷量为$Q$的电荷，球体以匀角速度$\omega$绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为$z$轴。
设球内任一点$P$的位置矢量为$r$，且$r$与$z$轴的夹角为$\theta$，则$P$点的线速度为$v=\omega\times r=e_\phi \omegar\sin\theta$。
电磁场与电磁波理论第二版徐立勤,曹伟第2章习题解答第2章习题解答2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0Va ρρρρ=，()0a ρ≤≤。
试求总电量Q 。
解：2π200002d d d d π3laV VQ V z la aρρρρρ?ρ===?2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。
当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其表面上的面电流密度。
解：面电荷密度为 204πS QR ρ=面电流密度为 00200sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθρρωθωθ=?=== 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。
已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。
解：每根导线的体电流密度为 00224π(/2)πI I J d d== 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为04πS IJ Jd d ==因此，等效面电流密度为04πS IJ e d=2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。
为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。
当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。
由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为实验电荷受0q 的排斥力为要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由00222114π4π()q q x d x εε=-，可以解得如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.0122=+=。
只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。
2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。
解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电场为2.9半径为0R 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为0S ρ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为0R 的半球内，再求球心处的电场强度。
电磁场与电磁波第二章课后答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章 静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。
通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。
关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可以从简。
重要公式真空中静电场方程：积分形式：⎰=⋅SS E 0d εq⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E已知电荷分布求解电场强度：1，)()(r r E ϕ-∇=； ⎰''-'=V Vd )(41)(|r r |r r ρπεϕ2，⎰'''-'-'=V V 3d |4))(()(|r r r r r r E περ3，⎰=⋅SS E 0d εq高斯定律介质中静电场方程：积分形式：q S=⋅⎰ d S D⎰=⋅ll E 0d微分形式：ρ=⋅∇D0=⨯∇E线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：εqS=⋅⎰ d S E⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E静电场边界条件：1，t t E E 21=。
电磁场与电磁波第四版第二章部分答案习题二无限长线电荷通过点且平行于z轴，线电荷密度为ρ?,试求点P(x,y,x)处的电场强度E。
解：线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关，设P位于z=0的平面上。
则R=ex x?6 +ey y?8 , R = (x?6)2+(y?8)2ex x?6 +ey y?8 ReR== R (x?6)2+(y?8)2则P点的E为ρ?ρ?ex x?6 +ey y?8 RE=eR=?=? 222πε0RR2πε0R2πε0(x?6)+(y?8)2．10半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷ρ?，如图所示。
试求垂直于半圆环所在轴线的平面上z=a处的电场强度E(0,0,a)。
解：′P(0,0,a)的位置矢量是 =eza,电荷元ρ?dl=ρ?ad?, =eacos?+x′rrρ?eyasin?′′′ ? =ea?eacos??easin? zxy′rr= a2+ acos?′ 2+ asin?′ 2= 2aez? exacos?′+eyasin?′ dE=d?=d?4πε0 2a 3a8 2 πε0ρ?E 0,0,a = dE = =ρ?8 2 aπε0? ρ?a rr′ez? exacos?′+eyasin?′ d? π2π?2ρ?(ezπ?ex2)8 2 aπε0一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为ρs。
试证明：垂直于平面的z轴上z=z0处的电场强度中，有一半是平面上半径为 3z0的圆内的电荷产生的。
解：取面积元ds′=r′d?′dr′,dq=ρsds′=ρsr′d?′dr′,电荷元在z=z0处产生的电场强度dE=ρsr′d?′dr′4πε0ezz0+err′ z0322+r′ 2 d?′整个平面在z=z0处的电场强度为E=ρsz0=?ez2ε0当r ∞时，E=exρs2ε0ρs4πε0r2πezz0+err′′′rdr 3002z02+r′ 21 z02+r2ρs1+ez2ε02,当r= 3z0时，E′=ezρs4ε0=E21半径为a的导体球形体积内充满密度为ρ r 的体电荷。
1-1. (1) 叙述库仑定律，并写出数学表达式。
(2)电荷之间的作用力满足牛顿第三定律吗？请给出证明。
解：（1）库仑定律内容为：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量q 和'q 的乘积成正比，与它们之间距离R 的平方成反比。
作用力的方向沿两者连线的方向。
两点电荷同号时为斥力，异号时为吸力。
所以：（2）电荷之间的作用力不满足牛顿第三定律，请看下面的例证：1q 以速度1v 运动，q 2以速度2v运动。
如图1-2所示。
此时，2q 在1q 处产生有电场2E和磁场2H 。
而1q 在2q 处也产生电场1E和磁场1H 。
但因2q 在1q 处产生的磁场方向与1v 平行。
故由洛仑兹公式知，q 1所受的力为 )(2120112121N E q H v q E q F=⨯+=μ 只有电场力。
但q 1对q 2的作用力为：10221112H v q E q Fμ⨯+= (N) 既有电场力，又有磁场力，所以两者不相等。
1-2 （1） 洛仑磁力表达式中，哪部分做功，哪部分不做功，为什么？ (2) 洛仑兹力满足迭加原理吗？为什么? 解： (1) 洛仑磁力公式为H v q E q F0μ⨯+= （N ）洛仑兹力做的功为⎰⋅=csd F W,其中dt v s d = 所以有：⎰⋅=cs d F W=⎰∆⋅tdt v F=⎰∆⨯+tdt v H v q E q)(0μ=⎰⎰∆∆⋅⨯+⋅ttdt v H v q dt v E q)(0μ=⎰∆⋅tdt v E q(J)其中使用了矢量恒等式()()BA C CB A ⨯⋅=⨯⋅所以，洛仑兹力作的功为⎰∆⋅=tdt v E q W=)(J sd E qC⎰⋅所以，洛仑兹力中，因为E q 与电荷的做功无关。
而H v q0μ⨯部分总是与电荷的运动方向垂直，故E q 部分做功，而H v q0μ⨯部分不做功。
（2）因为电荷受力与E 和H间都是线性关系，所以，洛仑兹力满足迭加原理。
第二章静电场重点与难点电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。
通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。
至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。
关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。
至于电容与部分电容一节可以从简。
重要公式真空中静电场方程:积分形式:微分形式:已知电荷分布求解电场强度:1,;2,3, 高斯定律介质中静电场方程:积分形式:微分形式:线性均匀各向同性介质中静电场方程:积分形式:微分形式:静电场边界条件:1,。
对于两种各向同性得线性介质,则2,。
在两种介质形成得边界上,则对于两种各向同性得线性介质,则3,介质与导体得边界条件:;若导体周围就是各向同性得线性介质,则;静电场得能量:孤立带电体得能量:离散带电体得能量:分布电荷得能量:静电场得能量密度:对于各向同性得线性介质,则电场力:库仑定律:常电荷系统:常电位系统:题解2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。
解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。
那么,由,同时考虑到,求得可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q1与q2得连线上,且与点电荷相距。
2-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:试求位于点得电场强度。
解 令分别为三个电电荷得位置到点得距离,则,,。
利用点电荷得场强公式,其中为点电荷q 指向场点得单位矢量。
那么,在P 点得场强大小为,方向为。
在P 点得场强大小为,方向为。
在P 点得场强大小为,方向为 则点得合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-3 直接利用式(2-2-14)计算电偶极子得电场强度。
解 令点电荷位于坐标原点,为点电荷至场点P 得距离。
再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P 得距离。
两个点电荷相距为,场点P 得坐标为(r,,φ)。
根据叠加原理,电偶极子在场点P 产生得电场为考虑到r >> l ,= e r ,,那么上式变为式中以为变量,并将在零点作泰勒展开。
由于,略去高阶项后,得利用球坐标系中得散度计算公式,求出电场强度为θr e e E 3030204sin 2cos 1cos 14r ql r ql r r l r q πεθπεθθπε+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-= 2-4 已知真空中两个点电荷得电量均为C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。
试求:①P 点得电位;②将电量为C 得点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时,外力必须作得功。
解 根据叠加合成电位为因此,将电量由无限远处缓慢地移到点,外力必须做得功为 2-5 通过电位计算有限长得电场强度。
解 建立圆柱荷沿z 轴放置,y习题图2-5与无关。
为了简单起见,令场点位于yz 平面。
设线电荷得长度为,密度为 ,线电荷得中点位于坐标原 点,场点得坐标为。
利用电位叠加原理,求得场点 得电位为式中。
故因,可知电场强度得z 分量为电场强度得r 分量为()()⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-=222202224r L z L z r L z rl περ- ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=2202122114r L z rL z r L z r l περ式中,那么,合成电强为当L →∞时,,则合成电场强度为可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6 已知分布在半径为a 得半圆周上得电荷线密度,试求圆心处得电场强度。
解 建立直角坐标,令线电荷位于xy习题图2-6平面,且以y 轴为对称,如习题图2-6所示。
那么,点电荷在圆心处产生得电场强度具有两个分量E x 与E y 。
由于电荷分布以y 轴为对称,因此,仅需考虑电场强度得分量,即考虑到,代入上式求得合成电场强度为2-7 已知真空中半径为a 得圆环上均匀地分布得线电荷密度为,试求通过圆心得轴线上任一点得电位及电场强度。
解 建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7所示。
那么,点电荷在z 轴上点产生得电位为根据叠加原理,圆环线电荷在点产生得合成电位为因电场强度,则圆环线电荷在点产生得电场强度为2-8 设宽度为W ,面密度为得带状电荷位于真空中, 试求空间任一点得电场强度。
解 建立直角坐标,且令带状电荷位于xz 平面内,如习题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为得无限长线电荷,其线密度为。
那么,该无限长线电荷产生得电场强度与坐标变量z 无关,即式中习题图2-8y y(a)(b))习题图2-7y得 那么⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y w x y w x yw x yw x s s 2arctan 2arctan 222ln 4022220περπερy x e e 2-9 已知均匀分布得带电圆盘半径为a ,面电荷密度 为,位于z = 0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘 轴线上任一点电场强度。
解 如图 2-9所示,在圆盘上取一半径为,宽度为得圆环,该圆环具有得电荷量为。
由于对称性,该圆环电荷在z 轴上任一点P 产生得电场强度仅得有分量。
根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P 产生得电场强度得分量为那么,整个圆盘电荷在P 产生得电场强度为2-10 已知电荷密度为及得两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面,试求及区域中得电场强度。
解 无限大平面电荷产生得场强分布一定就是均匀得,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。
因此,位于x = 0平面内得无限大面电荷,在x < 0区域中产生得电场强度,在x > 0区域中产生得电场强度。
位于x = 1平面内得无限大面电荷,在x < 1区域中产生得电场强度,在x > 1区域中产生得电场强度。
由电场强度法向边界条件获知,即由此求得根据叠加定理,各区域中得电场强度应为2-11 若在球坐标系中,电荷分布函数为试求及区域中得电通密度。
解 作一个半径为r 得球面为高斯面,由对称性可知式中q 为闭合面S 包围得电荷。
那么在区域中,由于q = 0,因此D = 0。
习题图2-9y在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此,在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此,2-12 若带电球得内外区域中得电场强度为试求球内外各点得电位。
解在区域中,电位为在区域中,2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间得电荷密度。
解利用高斯定理得微分形式,得知在球坐标系中那么,在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-14 已知真空中得电荷分布函数为式中r为球坐标系中得半径,试求空间各点得电场强度。
解由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15 已知空间电场强度,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间得电位差。
解设P1点得坐标为(0,0,0,), P2点得坐标为(1,1,2,),那么,两点间得电位差为式中,因此电位差为2-16已知同轴圆柱电容器得内导体半径为a,外导体得内半径为b。
若填充介质得相对介电常数。
试求在外导体尺寸不变得情况下,为了获得最高耐压,内外导体半径之比。
,则同轴线内电场强度。
为了解已知若同轴线单位长度内得电荷量为q1使同轴线获得最高耐压,应在保持内外导体之间得电位差V不变得情况下,使同轴线内最大得电场强度达到最小值,即应使内导体表面处得电场强度达到最小值。
因为同轴线单位长度内得电容为则同轴线内导体表面处电场强度为令b 不变,以比值为变量,对上式求极值,获知当比值时,取得最小值,即同轴线获得最高耐压。
2-17 若在一个电荷密度为,半径为a 得均匀带电球中,存在一个半径为b 得球形空腔,空腔中心与带电球中心得间距为d ,试求空腔中得电场强度。
解 此题可利用高斯定理与叠加原理求解。
首先设半径为得整个球内充满电荷密度为得电荷,则球内点得电场强度为式中就是由球心o 点指向点得位置矢量,再设半径为得球腔内充满电荷密度为得电荷,则其在球内点得电场强度为式中就是由腔心点指向点得位置矢量。
那么,合成电场强度即就是原先空腔内任一点得电场强度,即式中就是由球心o 点指向腔心点得位置矢量。
可见,空腔内得电场就是均匀得。
2-18 已知介质圆柱体得半径为a ,长度为l ,当沿轴线方向发生均匀极化时,极化强度为,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生得电场强度。
解 建立圆柱坐标,且令圆柱得下端面位于xy 平面。
由于就是均匀极化,故只考虑面束缚电荷。
而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。
已知面束缚电荷密度与极化强度得关系为式中e n 为表面得外法线方向上单位矢量。
由此求得圆柱体上端面得束缚电荷面密度为,圆柱体下端面得束缚面电荷密度为。
由习题2-9获知,位于xy 平面,面电荷为得圆盘在其轴线上得电场强度为因此,圆柱下端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为那么,上下端面束缚电荷在z 轴上任一点产生得合成电场强度为习题图2-18习题图2-172-19 已知内半径为a ,外半径为b 得均匀介质球壳得介电常数为,若在球心放置一个电量为q 得点电荷,试求:①介质壳内外表面上得束缚电荷;②各区域中得电场强度。
解 先求各区域中得电场强度。
根据介质中高斯定理在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为再求介质壳内外表面上得束缚电荷。
由于,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大得厚度为d 得介质板放在均匀电场中,周围媒质为真空。
已知介质板得介电常数为,均匀电场得方向与介质板法线得夹角为,如习题图2-20所示。
当介质板中得电场线方向时,试求角度及介质表面得束缚电荷面密度。
解 根据两种介质得边界条件获知,边界上电场强度切向分量与电通密度得法向分量连续。
因此可得 ;已知,那么由上式求得已知介质表面得束缚电荷,那么,介质左表面上束缚电荷面密度为10021020211cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为100220202222cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n 2-21 已知两个导体球得半径分别为6cm 及12cm,电量均为C,相距很远。
