第一章 习题解答
1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a
C =5x a -2z
a
求：错误!未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。A ·B 和A ⨯B
错误!未找到引用源。A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；
错误!未找到引用源。A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C
解：错误!未找到引用源。
A a =
A A
=
（x a +2y a -3z a ） 错误!未找到引用源。cos AB θ=A ·B /A B
AB θ=135.5o
错误!未找到引用源。A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。A ·（B ⨯C ）=-42
（A ⨯B ）·C =-42
错误!未找到引用源。A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a
（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a
1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2
y =c
1.6求数量场ψ=ln （2
x +2
y +2
z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2
z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2
z =14
1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3
y +z
e 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z
ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z
e z a 得
ψ∇=-24x a +72y a +z a
1.10 在圆柱体2
x +2
y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为
A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)
错误!未找到引用源。验证散度定理。
解：错误!未找到引用源。⎰•s d A
=
A d S •⎰曲
+A d S •⎰xoz
+A d S •⎰yoz
+A d S •⎰上
+A d S •⎰下
A d S •⎰曲
=2
32(3cos 3sin sin )z d d ρ
θρθθρθ++⎰曲
=156.4
A d S •⎰xoz
=(3)y z dxdz +⎰xoz
=-6
A d S •⎰
yoz
=-
23x dydz ⎰
yoz
=0
A d S •⎰上
+A d S •⎰下
=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下
=
27
2
π ⎰•s d A
=193
错误!未找到引用源。dV A V
⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V
d d dz ρθρθ+⎰=193
即：⎰•s
s d A
=dV A V
⎰•∇
1.13 求矢量A =x a x+y a x 2
y 沿圆周2x +2y =2
a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：⎰•l l d A =2
L
xdx xy dy +⎰=44a π
A ∇⨯=z a 2y
⎰•⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin S
d d θ
ρρρθ⎰=44a π 即：⎰•l
l d A =⎰•⨯∇S
s d A
，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误!未找到引用源。u=xyz+2
x
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy
错误!未找到引用源。u=42
x y+2
y z -4xz
u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z
∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42
x +2yz)+z a (2y -4x)
错误!未找到引用源。u ∇=x
a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u
z
∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y
1.16 求下列矢量场在给定点的散度
错误!未找到引用源。A •∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z ∂∂=32
x +32y +3(1,0,1)|-=6
错误!未找到引用源。A
•∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2
1.17求下列矢量场的旋度。
错误!未找到引用源。A ∇⨯=0
错误!未找到引用源。A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： 错误!未找到引用源。P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'
r ； 错误!未找到引用源。从Q 点到P 点的距离矢量R ； 错误!未找到引用源。r ∇⨯和r
•∇； 错误!未找到引用源。1()R
∇。
解：错误!未找到引用源。r =x a x+y a y+z a z;
'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’
错误!未找到引用源。R =r -'
r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）
