第五讲 二体轨道力学和运动方程

➢ 地心黄道坐标系
坐标原点：地球质心
−

0
地心赤道坐标系
( , , )
( , , )
=
黄赤交角
1
0
= 0
0
0
−

坐标系统和时间系统
地心坐标系
标准历元地心平赤道惯性坐标系
一种既具有均匀时间尺度又能反映地球自转特性的时间系统，其以原子
时的秒长为时间计量单位。协调世界时通常作为探测器从地面发射和飞行
跟踪的时间纪录标准。
儒略日 （Julian Date，JD）
一种以天数为单位计算两个日期之间相隔天数的记时法，其起始点为
公元前4713年1月1日世界时的12:00。由于儒略日的记数位较长，国家天
rE5 RM rE4
RM RY x p RX y p
RM 为极移旋转矩阵
x
p
, y p 为地极的瞬时坐标，由IERS的公报提供。
坐标系统和时间系统
J2000地心惯
性坐标系1
岁差
协议地球坐标系
瞬时平赤道地心惯性坐标系ຫໍສະໝຸດ 自转轴章动地球极移
地心固连坐标系
心动力学时采用国际原子时定义的秒长，主要用于太阳系中天体的星历描述。
坐标系统和时间系统
时间系统
世界时（Universal Time，UT）
基于地球自转运动的时间系统，对地球自转轴的极移效应进行修正后的世界
时称为一类世界时（UT1），一类世界时能够真实反映地球自转的统一时间。
协调世界时（Coordinated Universal Time，UTC）
器惟一可能的运动轨道。
➢ 中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。

G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1

G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg


GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)

r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到

由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道

二体问题

研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力

人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。

2、星下点轨迹
倾角为60度，周期为90分钟的星下点轨迹
2、星下点轨迹
（6）回归轨道
卫星连续两次过升交点称为卫星运行一圈
如果卫星每运行一定圈数后，星下点轨迹便重叠起来，
则这类轨道称为“循环轨道”或“回归轨道”
2、星下点轨迹
1+1+ 3+23+ 12+-
2+
3--
3--
1+
2-
3+
1-
2+
此时卫星轨道运动问题即为二体问题,二体运动方程：
d2r G( M m ) u r 3 r 2 3 dt r r
1、二体运动
（2）二体运动方程的解
能量常数：
v2 u 2 r
角动量常数(动量矩常数)： h r v 拉普拉斯常矢量： L v h u r 三个常数的关系： 轨道方程：
引力位函数 位 （ 势 ） 函 数 ： 若 矢 量 场 R （ X,Y,Z ） 是 某 一 标 量 函 数 φ （x,y,z）的梯度，即 R grad
( , , ) x y z i j k x y z
2、星下点轨迹
（3）无旋地球上的星下点轨迹 不考虑摄动的情况下，无旋地球上航天器的星下点轨迹是 一个大圆，航天器一次次重复相同的地面轨迹 赤经赤纬坐标系中航天器地面轨迹的方程是：
arcsin(sini sin u ) arctg(cositgu ) u w f
其中， 是赤纬， 是赤经 无旋地球上的星下点轨迹只和轨道要素i和u有关
2、星下点轨迹
（4）旋转地球上的星下点轨迹
不考虑摄动的情况下，旋转地球上的星下点轨迹和无旋地球

双星系统的运动规律可以用牛顿的万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题

地球引力 地球引力(1) 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心 力
地球引力(2) 地球引力(2) － 地球的非球形引力或称地球形 Mm G r 状摄动力
2
日、月及其它天体的引力 大气阻力 太阳光压 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）
在各种作用力对卫星运行轨道的影响 地球引力场的影响为主， 中，地球引力场的影响为主，其它作用力 的影响相对要小的多。 的影响相对要小的多。若假设地球引力场 的影响为1，其它引力场的影响均小于10的影响为 ，其它引力场的影响均小于 5。 。
升交点赤经Ω 升交点赤经 轨道倾角 轨道倾角i
定义： 定义：在升交点处 定义： 定义：升交点的赤 轨道正方向（ 轨道正方向（卫星 经 运动方向） 运动方向）与赤道 近地点角距ω 近地点角距 正方向（ 正方向（赤经增加 方向）之间的夹角。 方向）之间的夹角。 定义： 定义：从升交点的 地心矢径起算， 地心矢径起算，逆 r 时针方向（ 时针方向（从 N正 方向看） 方向看）旋转至近 长半径a 长半径 地点的地心矢径所 经过的角度。 经过的角度。 定义： 定义：轨道长轴的 一半， 一半，也称作长半 轴或半长轴
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律 卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 ） 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。 为卫星 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 的地心距离， 为开普勒椭圆的长半径， 为开普勒椭圆的偏心 为开普勒椭圆的长半径 为真近点角， 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 为真近点角 点的位置，是时间的函数。 点的位置，是时间的函数。 m b a (1 − e 2 ) r= a f

r,
r
的表
达式依然成立，只是相应的六个不变根数 ci 变为 ci (t) ,称为瞬时根数或密切根数。
利用上述方程计算航天器轨道时，要根据航天器 轨道、本体参数、计算精度要求等因素选取运动方程 右端项，并选择合适的计算方法。
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轨道要素的摄动方程
分析摄动力引起卫星轨道要素的变化，用轨道要 素表示卫星的摄动方程，在天体力学中是著名的拉 格朗日行星运动方程。
➢ 确定停泊轨道、转移轨道、地球同步运行轨 道参数 ➢ 进入近地的停泊轨道，调整参数 ➢ 发动机点火从停泊轨道进入转移轨道 ➢ 发动机再次点火从转移轨道进入同步轨道
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太阳同步轨道
太阳同步轨道是指轨道面的进动与平太阳的周年 视运动同步的卫星轨道。地球扁率引起升交点赤经 的长期变化，变化率主要依赖于轨道倾角 i ，也与 半长轴 a 、偏心率 e 有关。对确定的 a 、e ，选择 i 使 等于平太阳的周年视运动，即 0.9856 ，就是 太阳同步轨道。
f ci
dci dt
gc1, c2 , c3, c4 , c5 , c6 , t
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r
r r3
F
F0
F
dr f 6 f dci
dt t i1 ci dt
r r
gc1,c2,c3,c4,c5,c6, t f c1,c2,c3,c4,c5,c6, t
r
f
/
t
g t
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二、飞行器轨道摄动
在二体运动的轨道分析中，假定卫星仅受到地 球引力的作用，可以得到卫星的轨道是一个不变的 椭圆，轨道要素是常数的结论。
但事实上卫星除受地球引力外，还有其他外力 作用于卫星，如地球非球形摄动，大气阻力摄动， 日月引力摄动，太阳辐射压力摄动，小推力摄动等 力学因素的影响。

• 也就是说作用于卫星的各种外力对卫星运动的影响是大不 相同的。其中地球引力（1）对卫星的运动起决定性作用， 而且在地球引力（1）的单独作角下卫星的运动轨道又是 可以精确计算出来的。我们将这种轨道称为人卫正常轨道。
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。

02
它涉及到经典力学、相对论力学 以及天体力学的相关知识，为航 天器轨道设计、行星探测和宇宙 航行等提供重要的理论支持。
轨道动力学的研究目的
揭示天体运动的规律和机制， 理解轨道参数变化对运动特性 的影响。
为航天器轨道规划和姿态控制 提供理论依据，提高航天器的 运行效率和安全性。
探索未知天体和宇宙现象，推 动天文学和宇宙科学的发展。
动量守恒定律
总结词
描述系统动量的变化规律，系统不受外力或合外力为零时，系统的动量保持不 变。
详细描述
动量守恒定律是物理学中的一个基本定律，它指出如果一个系统不受外力或合 外力为零，则系统的动量保持不变。在轨道动力学中，这个定律用于描述天体 的运动规律，特别是行星、卫星等天体的轨道运动。
角动量守恒定律
描述轨道力学中物体运动规律的方程式，包括轨道方程、速度方程和加速度方程等。
详细描述
轨道力学的基本方程是描述天体运动规律的数学表达式。这些方程包括轨道方程、速度方程和加速度方程等，它 们可以用来计算天体的位置、速度和加速度等运动参数。这些方程基于牛顿的万有引力定律和运动定律，是轨道 力学分析的基础。
03
有限元法的局限性
有限元法的计算量较大，需要消耗较多的计算资源和时间。此外，有限元法的精度受到离散化的影响， 对于某些特殊问题可能需要特殊的处理和建模技巧。
04
CATALOGUE
轨道动力学在工程中的应用
铁路轨道设计
总结词
轨道动力学在铁路轨道设计中发挥着 关键作用，确保列车安全、稳定地运 行。
详细描述
CATALOGUE
轨道动力学分析方法
解析法
01
解析法定义
解析法是一种通过数学公式和定理来求解轨道动力学问题的方法。它基