利用空间向量知识求空间中的二面角ppt课件

第8讲　向量法求空间角1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角.考试要求01聚焦必备知识知识梳理1.异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝___________________＝_________.2.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________________＝_________.3.平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝__________.提醒常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.( )夯基诊断×××√A(2)设M，N分别是正方体ABCD -A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________.(3)两个平面的法向量分别为n1＝(0，－1，1)，n2＝(1，0，－1)，则两个平面夹角的余弦值为________.02突破核心命题考 点 一异面直线所成的角D用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.反思感悟A考 点 二直线与平面所成的角例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.解：(1)证明：∵A1C⊥平面ABC，BC，AC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，A1C⊥AC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图，过点A1作A1D⊥CC1于点D，∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，向量法求直线与平面所成角的主要方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.反思感悟因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(2)由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，考 点 三　平面与平面的夹角例3　(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P A2C2D2为150°时，求B 2P.别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为AB＝2，AA1＝4，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3，所以A2(2，2，1)，B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，D2(2，0，2)，反思感悟利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤(1)证明：EF∥平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D -AO -C的正弦值.所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(3)以B为原点，BA所在直线为x轴，03限时规范训练(五十四)(1)求异面直线A1B与AC1夹角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值.。

二面角二面角的求解方法（范围： ）一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B -PC -D 的大小。

变式：如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，⊥ABC=30°，求二面角P -BC -A 的大小。

p ABCDL HjA BC DPH ABCD A 1 B 1C 1D 1EOPOBA变式1、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.变式2、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小变式3、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.PlCBAB 1AA 1BLE FCDPMBA四、射影法（无棱二面角）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。