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第4讲拟合与回归

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数学建模——线性回归分析实用精品教案

数学建模——线性回归分析实用精品教案

数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。

详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。

二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。

2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。

3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。

三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。

教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。

2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。

（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。

（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。

3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。

六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。

2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。

线性回归精确分析讲课文档

线性回归精确分析讲课文档
– 利用满足一定条件的样本数据进行回归分析
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
11
第十一页，共76页。
一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
18
第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
第二十三页，共76页。
23
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方 程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
6
第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大

最小二乘法数据拟合与回归

最小二乘法数据拟合与回归

最小二乘法数据拟合与回归简介：本文主要对PRML一书的第一章总结，结合moore关于回归的课件Predicting real-valued outputs: an introduction to regression。

什么是回归(regression)?1. 单一参数线性回归如上图考虑用一条过原点的直线去拟合采样点，y=wx,那么未知参数w取什么值可以使得拟合最好的，即整体拟合误差最小，这是一个最小二乘法拟合问题。

目标是使得(Xi-Yi)^2的总和最小。

2. 从概率的角度考虑上面的问题就是说我们假定模型是y=wx但是具体的(Xi,Yi)对应生成的时候按照高斯分布概率模型，以WXi为中心,方差未知。

具体每个采样点之间是独立的。

上面提到我们的目标是通过样本集合的实际观察值去预测参数W的值。

怎样预测W的值呢，有两个思路即上面提到的•MLE 最大似然法即参数W取什么样的值能够使得我们已经观察到的实际样本集合出现的概率最大。

ArgMax(P(Y1,Y2…Yn|X1,X2…Xn,W))，但是这样是不是有点奇怪，我们的目的其实是从观察的样本中估算最可能的W，ArgMax （W|x1,x2…xn,y1,y2…yn)可以看到优化的目标其实和最小二乘法是一样的。

•MAP 采用贝叶斯规则,后面再讲。

3.多项式曲线拟合贯穿PRML第一章的例子是多项式曲线拟合的问题（polynomial curve fitting)。

考虑order为M的多项式曲线，可以表述为下面的形式:曲线拟合的目标可以表述为优化是的下面的E(W)最小化(当然你可能会选取不同的error function这只是其中一种而已):对于取到最小值的我们表示为，最优的最小距离是。

如果我们选择不同的order值即M不同的多项式曲线去拟合，比如取M=0，1，3，9最小二乘法拟合的结果如下图:可以看到M=9的情况，曲线和采样观察点拟合的很好但是却偏离了整体，不能很好的反映,这就是传说中的over fitting过度拟合问题。

第04章 多元回归分析1

第04章 多元回归分析1

∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0

线性回归分析教案

线性回归分析教案

线性回归分析教案一、引言线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个连续型变量之间的线性关系。

在实际应用中，线性回归广泛用于经济学、社会学、医学等领域，用于预测和解释变量之间的关系。

本教案将介绍线性回归的基本原理、模型设定和参数估计方法，以帮助学生深入理解线性回归的概念和应用。

二、教学目标1.了解线性回归的基本原理和假设。

2.学习线性回归模型的设定和参数估计方法。

3.能够使用统计软件实现线性回归模型的计算。

4.掌握线性回归模型的解释和预测能力。

5.理解线性回归模型的运用场景和限制条件。

三、教学内容1.线性回归的基本原理1.1 线性关系的定义1.2 线性回归模型的基本假设1.3 线性回归模型的优点和局限性2.线性回归模型的设定2.1 简单线性回归模型及其参数估计2.2 多元线性回归模型及其参数估计2.3 线性回归模型的变量选择方法3.线性回归模型的参数估计3.1 最小二乘法估计3.2 参数估计的性质和假设检验3.3 模型评估和诊断4.线性回归模型的解释和预测4.1 理解回归系数的含义4.2 判断模型对观测数据的拟合程度4.3 利用回归模型进行预测五、教学方法1.理论讲解与示范通过讲解线性回归的基本原理和模型设定，带领学生了解线性回归模型的概念和应用。

同时，通过实例演示和统计软件的使用展示线性回归模型的计算过程。

2.实践操作与练习在课堂上，安排学生利用统计软件进行线性回归模型的实际计算，并结合具体数据集进行模型拟合和预测操作。

通过实际操作提高学生对线性回归模型的应用能力。

3.案例分析与讨论将一些实际问题、经济数据或社会调查数据与线性回归模型结合，引导学生对模型结果进行解读和讨论，提高学生对模型解释和应用的理解。

六、教学评估1.课堂小测验在课程结束前进行一次小测验，考察学生对线性回归的理解程度和应用能力。

2.作业和项目布置线性回归相关的作业和项目，要求学生独立完成线性回归模型的建立和分析，以检验学生对所学知识的掌握程度。

Logistic回归的实际应用

Logistic回归的实际应用

Logistic回归的介绍与实际应用摘要本文通过对logistic回归的介绍，对logistic回归模型建立的分析，以及其在实际生活中的运用，我们可以得出所建立的模型对实际例子的数据拟合结果不错。

关键词：logistic回归；模型建立；拟合；一、logistic回归的简要介绍1、Logistic回归的应用围：①适用于流行病学资料的危险因素分析②实验室中药物的剂量-反应关系③临床试验评价④疾病的预后因素分析2、Logistic回归的分类：①按因变量的资料类型分：二分类、多分类；其中二分较为常用②按研究方法分：条件Logistic回归、非条件Logistic回归两者针对的资料类型不一样，后者针对成组研究，前者针对配对或配伍研究。

3、Logistic回归的应用条件是：①独立性。

各观测对象间是相互独立的；②Logit P与自变量是线性关系；③样本量。

经验值是病例对照各50例以上或为自变量的5-10倍（以10倍为宜），不过随着统计技术和软件的发展，样本量较小或不能进行似然估计的情况下可采用精确logistic回归分析，此时要求分析变量不能太多，且变量分类不能太多；④当队列资料进行logistic回归分析时，观察时间应该相同，否则需考虑观察时间的影响（建议用Poisson回归）。

4、拟和logistic回归方程的步骤：①对每一个变量进行量化，并进行单因素分析；②数据的离散化，对于连续性变量在分析过程中常常需要进行离散变成等级资料。

可采用的方法有依据经验进行离散，或是按照四分、五分位数法来确定等级，也可采用聚类方法将计量资料聚为二类或多类，变为离散变量。

③对性质相近的一些自变量进行部分多因素分析，并探讨各自变量（等级变量，数值变量）纳入模型时的适宜尺度，及对自变量进行必要的变量变换；④在单变量分析和相关自变量分析的基础上，对P≤α（常取0.2，0.15或0.3）的变量，以及专业上认为重要的变量进行多因素的逐步筛选；模型程序每拟合一个模型将给出多个指标值，供用户判断模型优劣和筛选变量。

计量经济学4 多元回归分析：推断


1.701
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ ) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure log( wage (0.104) (0.007) n 526, R 0.316
2
(0.0017)
(0.003)
标准误
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
4.2.3 双侧对立假设
H1 : j 0 (4.12)
当经济理论（或常识）没有很好的说明j的 符号时，这是一个恰当的对立假设。即便知 道j在对立假设中的符号，采取双侧检验也 是明智的——避免根据回归方程中参数估计 值来提出对立假设。
双尾检验的拒绝法则：
tˆ c
j
(4.13)
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可以使用标准正态分布的临界值。
例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
在显著性水 平是1%时 统计上显著
在显著性水 平是5%时 统计上不显著
小结：t统计量检验显著性原理
如果H0成立， P{｜t｜>t /2}＝ {｜t｜>t /2}是小 概率事件，如果该事 件在一次抽样中就出 现，说明假设H0值得 怀疑，应当拒绝H0
／ 2
／ 2
0
-t／2
拒绝H0
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念

回归分析回归诊断

R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值
0.925064 0.855744
0.814528
0.192504 19
方差分析
回归分析 残差 总计
df 4
14 18
SS 3.077652 0.518811 3.596463
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 X Variable 4
还有模型的设定
标准的回归假定：
1，关于模型设定的假定 2，关于误差的假定 3，关于预测变量的假定
非随机的 其取值是误差取得的，但几乎不可能。测量误差将 影响到误差方差，相关系数，复相关系数及回归系数 的估计，其影响程度的大小取决于多个因素。 是线性无关的
4，关于观测的假定 所有观测是同样可靠性
数据的诊断 异常值 强影响点 假定是否满足
y
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
8
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
不存在影响
8
值的趋势
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为 了定量地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种 尺度，基于置信域的尺度，基于似然函数的尺度 等等。

计量经济学4

计量经济学4计量经济学九章讲解,内容详细,讲解细致,一定让你看的过瘾,搞定计量经济不再难!!一元线性回归Chapter 4Linear Regression with One Regressor一元线性回归一元线性回归使我们可以估计、推断总体回归线的斜率系数。

我们的最终目标是估计自变量X发生一个单位的变化，会导致因变量Y发生多少的变化。

为使问题简化，下面我们分析只有两个变量的Y和X之间为线性关系的情形。

2总体回归线(The population一般意义上讲，对均值或者两个均值间进行的统计推断，与对线性回归的统计推断是类似的。

regression line)Test Score=β0+β1STR估计如何从数据中得到一个直线以用来估计总体回归线的斜率：使用普通最小二乘(ordinary least squares )。

使用OLS的好处与不足有哪些？如何检验斜率是否为零。

如何构建关于斜率取值的置信区间。

β1=总体回归线的斜率=假设检验ΔTest scoreΔSTR= STR变化一单位导致test score发生的变动2.我们希望知道总体参数β1的具体数值。

3.然而，我们并不知道β的数值是多少，因此要根1.为何β0和β1被称为总体参数？置信区间据数据对它进行估计。

3 4一元线性回归模型的术语Yi=β0+β1Xi+ ui, i= 1,…, n X是自变量(independent variable)或回归变量7个学区的假想观测值Yi=β0+β1X为总体回归线ui为第i 个观测的总体误差项( regressor)或右边变量。

Y是因变量(dependent variable)从属变量(regressand)或左边变量。

β0:总体回归的截距(intercept) β1:总体回归的斜率(slope) ui:误差项(error item)误差项构可能因遗漏因素或Y的测量误差引起。

遗漏因素指那些除了变量X之外的能够对Y产生影响的因素。

PMH典型方法第4讲


二、基于数据驱动的故障预测技 术
人工神经网络具有模仿连续非线性函数的能力， 并且能够从样本进行学习，因而在故障预测中得 到了广泛的应用 人工神经网络通过样本的学习可以掌握系统规律，无 需对测量信号作模型假设。由于神经网络具有很强的自 适应性学习能力和非线性映射能力，适合于实现预测器 的设计。 不足： 神经网络训练时需要大量数据样 本，且存在收敛速度慢、局部极小 点、网络结构难以确定等
粒子滤波器
通过非参数化的蒙特 卡罗模拟方法来实现贝 叶斯滤波，用样本形式 对先验信息和后验信息 进行描述
一、基于模型的故障预测技术
不足之处：
难以针对复杂动态系统建立精确的数学模型，在复杂 系统的故障预测问题中应用和效果受到了很大限制。
二、基于数据驱动的故障预测技 术
基于测试或者传感器数据进行预测的方法称为数据驱 动的故障预测技术。 特点：基于数据的故障预测技术不需要对象系统的先 验知识，以采集的数据为基础，通过各种数据分析处理方 法挖掘其中的隐含信息进行预测操作，从而避免了基于模 型和基于知识的故障预测技术的缺点，成为了一种较为实 用的故障预测方法 典型的基于数据驱动的故障预测方法有: 人工神经网络、模糊系统和其他人工智能计算 方法。
三、基于概率统计的故障预测技 术
回归预测法是根据历史数据的变化规律，寻找自变 量与因变量之间的回归方程式，确定模型参数，据此 做出预测。 回归分析法的主要特点是预测过程简单， 将预测对象的影响因素分解，考察各因素的 变化情况，从而估计预测对象未来的数量状 态。 缺点：回归分析法要求的样本量大并且有较 好的分布规律，当预测的长度大于占有的原始 数据长度时，采用该方法进行预测在理论上不 能保证预测结果的精度。
灰色模型
灰色预测按灰色系统理论建立预测模 型，根据系统的普遍发展规律，建立一般 性的灰色微分方程，通过对数据序列的拟 合，求得微分方程的系数，从而获得灰色 预测模型。
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图像
<0
>0
对数函数 基本形式： 线性化方法
x'= lgx , 则有y' = + x'
图像
0
<0
S 型曲线 基本形式：
线性化方法 令：y' = 1/y，x'= e-x, 则有y' = + x'
图像
多项式曲线 polyfit polyval
基本形式：
人口（亿人） 9.242 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.93 11.1026 11.2704 11.4333
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
通常选择的六类曲线如下：
（1）双曲线
x , 其中 x>0,a>0 （2）幂函数曲线 y=a
1 b a y x b
（3）指数曲线 y=a e bx 其中参数 a>0.
b/ x （4）倒指数曲线 y=ae 其中 a>0，
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
（6）S 型曲线 y
(7) 多项式
二、回 归
曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量 的一组数据，寻找因变量与自变量之间的一个函数， 使这个函数对那组数据拟合得最好。通常，函数的 形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决 定，要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中 的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已经完全 解决了，还有进一步研究的必要吗?
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
根据散点图或者经验公式，确定函数的形式。
函数的形式分成两种：线性的（可化为线性的）和非线性的
线性的：
y=a1x1+a2x2+ …+amxm ,
要求m<n(样本容量） 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 可化为线性的：确定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), 设 y=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 非线性的：y=f(x)
1 a be x
指数函数 基本形式： 线性化方法 两端取对数得：lny = ln + x 令：y' = lny，则有y' = ln + x 图像

<
负指数函数 基本形式： 线性化方法 两端取对数得：lny = ln + / x 令：y' = lny， x' = 1/x，则有y' = ln + x' 图像
物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系
方 设计了两个实验 ：酶经过嘌呤霉素处理；酶未 案 经嘌呤霉素处理。实验数据见下表:
底物浓度(ppm) 反应 速度
处理
0.02
76 47
0.06
97 107
0.11
12 3 13 9 11 5
0.22
15 9 13 1 15 2 12 4
0.56
19 1 14 4 20 1 15 8
1 2
ˆ 1/ ˆ 195 .8027 1 1
ˆ ˆ / ˆ 0.04841 2 2 1
线性化模型结果分析
1/y
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0
y
250
1 1 1 2 y x
200 150 100 50
1 x y 2 x
线性化方法 令：y' = y，x1=x, x2=x2, …, xn= xn 则有
图像

对于不能化为线性模型的非线性模型， 应直接用非线性最小二乘法处理
线性回归：regress
y 0 1 x1 ... p x p
1、确定回归系数的点估计值：
b=regress( Y, X )
ˆ 0 ˆ 1 b ... ˆ p
Y1 Y Y 2 ... Yn
1 x11 1 x 21 X ... ... 1 x n1
x12 x 22 ... xn 2
x1 p ... x 2 p ... ... ... x np ...
时间 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
人口（万 人）
115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756
1.10
20 7 16 0 20 0
未处理
67
51
84
86
98
/
220 200 180 160 140 120 100 80 60 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
• 可选的模型有：
• Michaelis-Menten模型
1 x y 2 x
• 指数增长模型
y 1 (1 e
混合反应模型
在同一模型中考虑嘌呤霉素处理的影响1 y ( 2 2 x2 ) x1
x =[0.0200 0.0200 0.0600 0.0600 0.1100 0.1100 0.2200 0.2200 0.5600 0.5600 1.1000 1.1000 0.0200 0.0200 0.0600 0.0600 0.1100 0.1100 0.2200 0.2200 0.5600 0.5600 1.1000 1.1000
优 化 属 性 设 置
案例
根据经验，人口增长的预测模型通常采用Logistic函数
A y (t ) Ct 1 Be
其中y( t )为t 时刻人口数，A，B，C为常数。试根据1975-2005 年的中国人口数据（见下页表），得出中国人口增长预测模型。
年份 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
人口（亿 人）
11.5823 11.7171 11.8517 11.985 12.1121 12.2389 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9988 13.0756
原始数据散点和折线图
13.5
13
12.5
12
中国人口（亿人）
11.5
11
10.5
10
9.5
9 1975
1980
1985
1990 时 间 （ 1975-2005年 ）
1995
2000
2005
year=renkou_data(:,1); t=renkou_data(:,2); y=renkou_data(:,4); fun=@(beta,t)[beta(1)./(1+beta(2)*exp(beta(3)*t))]; [beta,resid,J] = nlinfit(t,y,fun,[15,1,1]);
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
y=[76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200 67 51 84 86 98 115 131 124 144 158 160 162]
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人口（万人） 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333
2 x
)
线性化模型
1 x y 2 x
对1 , 2非线性
1 1 2 1 1 1 2 y 1 1 x x
对1, 2线性
经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果
参数 参数估计值（×10-3） 5.107 0.247 R2=0.8557 F=59.2975 置信区间（×10-3） [3.539 6.676] [0.176 0.319] p=0.0000
<
幂函数 基本形式：
线性化方法 两端取对数得：lg y = lg + lg x 令：y' = lgy，x'= lg x，则y' = lg + x'
图像
1 =1
0< < 1
=-1
<-1
-1< <0
双曲线函数 基本形式： 线性化方法 令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x'
ˆ1 a a ˆ2 ... ˆk a
残 差
雅 可 比 矩 阵
事先用m-文件 定义的非线性 函数
y, fun, b0, options)
回 归 系 数 初 值