山东省潍坊市2019-2020年度高二下学期期末数学试卷(理科)(II)卷

山东省潍坊市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r，则（ ）A ．a r∥b rB ．a r⊥b rC ．a r∥(a b -rr)D ．a r⊥( a b -rr)【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】∵向量a =r（1，﹣2），b =r（3，﹣1），∴a r和b r的坐标对应不成比例，故a r、b r不平行，故排除A ；显然，a r •b =r 3+2≠0，故a r 、b r不垂直，故排除B ；∴a b -=rr（﹣2，﹣1），显然，a r和a b -rr的坐标对应不成比例，故a r和a b -rr不平行，故排除C ； ∴a r•（a b -rr）＝﹣2+2＝0，故 a r⊥（a b -rr），故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 2．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.3．已知非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，则“22a b a b +=-v vv v ”是“a b ⊥v v ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥r r r r r r r r，可得选项.【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+r r r r r r r r r r r r r r r r ===，||||0a b =≠r r Q ，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥r r r r，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题. 4．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B 【解析】 【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．73【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k =（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.7．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()xf x y e=的导数为()()xf x f x y e'='-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对应的x 的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.8．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2 B．C ．4D ．8【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于OA ==OC =，所以OC OA >，所以原点到可行域上的点的最大距离为所以z 的最大值为()2228=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 10． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得[]()y f x =的值域.【详解】 因为12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），所以()21241324232424x x x x y =-⋅+=-⋅+，令2x t =（14t <<），则21()342f t t t =-+（14t <<），函数的对称轴方程为3t =，所以min 1()(3)2f t f ==-，max 3()(1)2f t f ==，所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选：B 【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．4根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省潍坊市2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设sin a xdx π=⎰，则二项式8(展开式的常数项是（ ） A ．1120B ．140C ．-140D ．-11202．函数()ln 2x xf x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++=3．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.根据2K 表得到下列结论，正确的是（）A ．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”4．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．12D ．255．已知复数2017i 12iz =-，则复数z 的虚部为 （ ）A ．25-B ．1i 5C ．15D ．15-6．已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-7．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．A ．420B ．180C ．64D ．259．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 10．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2B ．8C ．4D ．1011．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,则B ．若，，，则C ．若,,则D ．若,,则二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13． “2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是__________．14．设函数f(x)＝|x ＋a|，g(x)＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．121(1)2x x dx -⎰= . 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=，1CA CB CC ==，D 是1CC 的中点，则直线1AC 与BD 所成角的余弦值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()251,15N ，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（3）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望. 附：若()2,XN μσ，则()0.683P X μσμσ-≤<+≈，()220.954P X μσμσ-≤<+≈，()330.997P X μσμσ-≤<+≈.18．将正整数排成如图的三角形数阵，记第n 行的n 个数之和为n a .（1）设*13521()n n S a a a a n N -=+++⋅⋅⋅+∈，计算2S ，3S ，4S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.19．（6分）已知函数2()(1)2xf x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）.（1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.20．（6分）已知函数2012()(1)n n n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中,R n N λ∈∈.（1）若2λ=-，2019n =，求1352019a a a a +++⋯+的值； （2）若1λ=-，化简：2*1(),nkk n n k k k Cx f x n N -=∈∑.21．（6分）已知0a >，设命题p ：函数(32)xy a =-在R 上为减函数，命题q ：不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围. 22．（8分）已知函数1()21x f x a =+-是奇函数． （1）求a ；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【详解】分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，∴二项式为8⎛⎝，设展开式中第r 项为1r T +，(()88418812rrr r r r r r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝， 令40-=r ，解得4r =，代入得展开式中可得常数项为()4448121120C -⋅=，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 2．C 【解析】 f′(x)＝21lnxx -，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 3．C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断得解. 【详解】因为7.8 6.635> ，根据2K 表可知；选C. 【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 5．C 【解析】分析：由复数的乘除法法则计算出复数z ，再由定义可得．详解：2017(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i +-====-+--+，虚部为15． 故选C ．点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据复数运算法则化复数为简单形式(,)a bi a b R +∈，可得虚部与实部． 6．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211aa a =++． 解得12a = 故选B点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc iz a bi a b ++-+==++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程． 7．A 【解析】 【分析】通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】若0a b ≥≥，则a a b =≥；若0b a ≤≤，则0a a b =-≥≥；若0a b ≥≥，则0a a b =≥≥，可知充分条件成立；当3a =-，2b =-时，则a b ≥，此时a b <，可知必要条件不成立；a b ∴≥是a b ≥的充分不必要条件本题正确选项：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题. 8．B 【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法，根据乘法原理可得结论． 详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法 ∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案． 故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 9．B 【解析】 分析：数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1x xe a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1xx e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果.. 详解：因为()()0010,10,11xx xx x x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1xx e a xe x <-+有两个整数解，设()()()()22,'11x x xx x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+， 令()'020xh x x e =⇒--=，令()()2,'10xxg x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，又()()00,10g g ><，∴存在()00,1x ∈，使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减， 若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，故只需()()()()2222201112121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪⎪≥-=⎪-⎩，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ． 考点：圆的方程． 11．B 【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.详解：由题得0a b ⋅=，所以cos ,0a b a b =，所以||0a =或||0b =或a b ⊥，所以0a =或0b =或a b ⊥.因为0a =或0b =或a b ⊥是0a =的必要非充分条件, 所以“0a b ⋅=”是“0a =”的必要非充分条件. 故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法. 12．C 【解析】 【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案. 【详解】 对于选项A ，当,，有可能平行，也有可能相交，故A 错误； 对于选项B ，当，，，有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；对于选项C ，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C 正确；对于选项D ，当,,则或者，故D 错误；故答案为选项C. 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2,2340x R x x ∃∈++≤ 【解析】分析：根据“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝得结果. 详解：因为“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，所以“2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是2,2340x R x x ∃∈++≤点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. “,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，“,?x p ∃的否定为“,?x p ∀⌝.14． [－1，＋∞) 【解析】 【分析】对于x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，等价于()f x x a =+的图象在()1g x x =-的图象上方，根据数形结合可求出实数a 的取值范围. 【详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图，作出函数f(x)＝|x ＋a|与g(x)＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)． 【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 15．14π+ 【解析】21x -，则221x y +=（y≥0），∴12(1)x dx -⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰， 所以1201(1)2x x dx -+⎰=12(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分. 16．1010【解析】分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，从而即可计算.详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，D 是1CC 的中点，则1//DE AC ，∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，∴1,CD BD DE BE====，cos10θ∴==.故答案为10.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）约为51百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，9()8E Y=【解析】【分析】（1）样本的中位数为x，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；（2）由近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布()251,15N，可得51,15,281μσμσ==+=，由正态分布计算(2)P xμσ≥+对照题中所给数据可得答案.（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.【详解】解：（1）设样本的中位数为x，则2250450(40)0.510001000100020x-++⋅=，解得51x≈，所以所得样本的中位数约为51百元.（2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P xP xμσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28CP YC===，12353815(1)28C CP YC⋅===，21353815(2)56C CP YC⋅===，33381(3)56CP YC===，Y的分布列为()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）【点睛】本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.18．（1）423416,81,256,n S S S S n ====；（2）见解析．【解析】分析：直接计算23416,81,256S S S ===，猜想：4n S n =；（2）证明：①当1n =时，猜想成立. ②设()*n k k N =∈时，命题成立，即4kSk =③证明当1n k =+时，成立。

2020年山东省潍坊市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 3．设sin1a =,12sin 2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．已知平面向量(1,3),(2,0)a b =-=-v v，则2a b +=v v （ ）A ．32B ．3C ．22D ．55．b 是区间22,22⎡⎤-⎣⎦上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率为( ) A ．13B ．34C ．12D ．146．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定7．62x x ⎛⎝展开式中的常数项为A ．192-B ．160-C ．64D ．240 8．sin cos y x x =是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数9．若函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f′（x ）的图象如图所示，则y ＝f （x ）的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知2a e =，2b e = ，1123e⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，（e 为自然对数的底）则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．①③ C ．②③D ．①②③12．已知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x <<=（ ） A ．0.6826B ．0.1587C ．0.1588D ．0.3413二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________．14．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，其中AB ∥CD ，若1BC CD ==，60BAD ∠=︒，且侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________． 16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示） 附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，在矩形ABCD 中，2,AB BC E =为CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起到PAE ∆的位置，使得平面PAE ⊥平面ABCE ．（1）证明：平面PBE ⊥平面PAE ；（2）求平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值. 18．已知函数321()(1)42,(3f x x a x ax a =-+++为实数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2()(1)2ln 2f x a x x x >-+++在[1,]e 上恒成立，求a 的范围；19．（6分）已知2:,21p x R m x x ∃∈≤--+； :q 方程221x my +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q ∧为真，求m 的取值范围.20．（6分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x 之间的回归直线方程yb ˆˆˆx a =+；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22 8 30驾龄1年以上8 12 20合计30 20 50能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：()()()n ni i i ii1i1n n222i ii1i1x y nxy?x x y ybx nx?x xˆ====---==--∑∑∑∑，ˆa y bxˆ=-.()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821．（6分）已知椭圆C：22221x ya b+=＝1（a＞b＞0）的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212yx-=的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB⋅u u u v u u u v的取值范围.22．（8分）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD 的中点，且2,22PA AB AC BC====.（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB,求ANNB的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】分析：求导f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，从而判断出A的结论错误，而根据f（x）的值域便知f（x）和x轴至少一个交点，从而B的结论正确，而a=b=c=0时，f（x）=x3为中心对称图形，从而判断C正确，而根据极值点的定义便知D正确，从而得出结论错误的为A．详解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数；∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x）=0的另一根，设为x1；则x1＜x0，且x＜x1时，f′（x）＞0；即函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增,∴选项A错误；B．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f（x）的图象和x轴至少一个交点；∴∃x0∈R，使f（x0）=0；∴选项B正确；C．当a=b=c=0时，f（x）=x3，为奇函数，图象关于原点对称；∴f（x）是中心对称图形,∴选项C正确；D．函数在极值点处的导数为0,∴选项D正确．故选：A．点睛：本题利用导函数研究了函数的极值点，零点，对称性，单调性等性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.2．D【解析】由A，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与n 垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 3．A 【解析】 【分析】 先研究函数sin xy x=单调性，再比较大小. 【详解】2sin cos sin x x x xy y x x -'=∴=Q ,令cos sin t x x x =-，则sin t x x '=- 因此当(0,)2x π∈时0,0,0t t y ''<<<，即sin y x x =在(0,)2π上单调递减，因为11123>>，所以a b c <<，选A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 4．A 【解析】 【分析】先由,a b r r 的坐标，得到2a b +r r的坐标，进而可得向量的模.【详解】因为(1,3),(2,0)=-=-r ra b ，所以2(3,3)a b +=--r r，因此|2|a b +==r r故选A 【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型. 5．C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【详解】解：b 是区间⎡-⎣上的随机数.即b -≤≤由直线y x b =-+与圆221x y +=1≤，b ≤，区间长度为直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率12P ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解． 6．C 【解析】 【分析】利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ． 【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 7．B【解析】解：因为6621666226(1)()2(1)()()30,3--+---⎛∴=- ⎝=-∴-==rr r r r r r rrrT C x C x x r r则可知展开式中常数项为3321606-=-C ,选B 8．D 【解析】 【分析】整理1sin cos sin 22y x x x ==,即可判断选项. 【详解】由题,因为1sin cos sin 22y x x x ==,所以该函数是奇函数,周期为22T ππ==, 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用. 9．C 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可. 【详解】由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减， 当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除,A D ，且两个拐点（即函数的极值点）在x 轴上的右侧，排除B. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题. 10．A 【解析】 【分析】根据条件即可得出，a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 23，容易得出log 23＞log 2e ＞1，ln2＜1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵1122()23a bce e ===，，； ∴21221233a log eb lnc log log ====，，； ∵log 23＞log 2e ＞log 22＝1，ln2＜lne ＝1； ∴c ＞a ＞b ． 故选：A ． 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．11．C 【解析】 【分析】根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能； 满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405729P ==，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得434124144122rrr r r rr x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31422C -⋅=，故②正确；对③：由正态分布的特点可知11(10)(1)22P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题. 12．D 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以4x =为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值． 详解：∵机变量X 服从正态分布()4,1N ，，(5)0.1587P x >=，∴10.15872(34)?0.34132P x -⨯<<==.故选：D ．点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.6826 【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ∴(37)(5252)0.6826P X P X <≤=-<≤+=．答案：0.6826 14．(],3-∞- 【解析】 【分析】由题意得()min12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】由题意得()min12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为：(],3-∞-. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 15．34【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥于E ，求得12AE =，3DE =，11222AB =+⨯=，设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====，由题意得顶点P 在底面ABCD 的射影为O ，且1PO =，再根据体积公式即可求出答案． 【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，∵1BC CD ==，60BAD ∠=︒， ∴12AE =，3DE =，∴11222AB =+⨯=，设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====， ∵侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，∴顶点P 在底面ABCD 的射影到ABCD 各顶点的距离相等， 即为等腰梯形ABCD 的外接圆的圆心，即为点O ， ∴PO 为四棱锥的高，即PO ⊥平面ABCD ， ∴1PO =，∴该棱锥的体积()1112132P ABCD V -=⨯⨯+=，故答案为：4． 【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题． 16．2795【解析】 【分析】计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可得出()()()P AB P B A P A =的值.【详解】由题意可知110μ=，10σ=，事件AB 为90100ξ<≤，902μσ=-Q ，100μσ=-， 所以，()()()901002P AB P P ξμσξμσ=<≤=-<≤-()()220.950.682722200P X P X μσμμσμσσ-<≤+-=+=-<≤-=， ()()()()95901102222200P A P P P X ξμσξμμσμσ=<≤=-<≤=-≤+=<， 由条件概率公式得()()()27200272009595P AB P B A P A ==⋅=，故答案为：2795. 【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3σ原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）由题可得222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，由平面PAE ⊥平面ABCE ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面PAE ，从而证明平面PBE ⊥平面PAE ；（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面PAE 与平面PBC 的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：设22AB BC a ==，在矩形ABCD 中，由E 为CD 的中点，易求得：2AEBE a ==，所以222222224AE BE a a a AB +=+==． 所以AE BE ⊥．又因为平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE I 平面ABCE AE =， 所以BE ⊥平面PAE ．又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAE .（2）设2a =，取AE 中点F ，连接PF ﹐由PA PE =，得PF AE ⊥，所以122PF AE ==．又平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE I 平面ABCE AE =，故PF ⊥平面ABCE ．如图，以E 为坐标原点，分别以EA u u u r ，EB u u u r的方向为x 轴，y 轴正方向建立空间直角坐标系，依题意得：(0,0,0),(0,22,0),(2,2,0),2,0,2)E B C P .2,22,2),2,2,0)BP CB =-=u u u r u u u r，由（1）知BE ⊥平面PAE ，故可取平面PAE 的法向量为(0,1,0)m =r，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n BP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即22220220x y z x y -==不妨取1x =，得(1,1,3)n =--r，设平面PAE 与平面PBC 所成二面角为θ，11|cos |||||11m n m n ⋅θ==r r r r ，则110sin θ=，所以平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值为11011. 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空间向量解决问题的能力，属于中档题．18．（I ）见解析；（Ⅱ）11(ln 3,)44-+? 【解析】 【分析】(Ⅰ) 求得函数的导数()(2)(2)f x x x a ¢=--令()0f x '=，解得2x =或2a ，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．（II ）依题意有321(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 转化为211>ln 122a x x -+在[1,]e 上的恒成立，设211()ln 122g x x x =-+，[1,e]x ∈，利用导数求得函数()g x 的单调性与最大值，即可求解． 【详解】(Ⅰ) 由题意，函数321()(1)4+23f x x a x ax =-++， 则 2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a ¢=-++=-- 令()0f x '=，解得2x =或2a ，①当1a =时，有22a =，有2()(2)0f x x ¢=-?，故()f x 在R 上单调递增； ②当1a <时，有22a <，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,2)a -∞2a(2,2)a2(2,)+∞()g x '()g x极大 极小由上表可知()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； ③同②当1a >时，有22a >，有()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减；综上，当1a >时，()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减． （II ）依题意有321(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 即314>2ln 3ax x x x -+在[1,]e 上的恒成立， 故211>ln 122a x x -+在[1,]e 上的恒成立， 设211()ln 122g x x x =-+，[1,e]x ∈，则有max ()a g x >…（*） 易得2113()626x g x x x x -+¢=-+=，令()0g x '=，有230x -+=，3x =， (),()g x g x '随x 的变化情况如下表： x1(1,3)3(3,)ee()g x '()g x极大由上表可知，2max ()(3)(3)ln 3ln 312244g x g ==-?- 又由（*）式可知max 11()ln 344a g x >=-， 故a 的范围为11(ln 3,)44-+?． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 19．(]1,2. 【解析】试题分析：因为(]221,2x x --+∈-∞，可命题p 为真时2m ≤，又由命题q 为时()1,m ∈+∞，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：因为()(]222112,2x x x --+=-++∈-∞， 所以若命题p 为真，则2m ≤. 若命题q 为真，则101m<<，即()1,m ∈+∞.因为p q ∧为真，所以(]1,2m ∈. 20．（1）ˆ8.5125.5y x =-+；（2）66人；（3）有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．【解析】 【分析】（1）利用所给数据计算x 、,y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时ˆy的值即可； （3）由列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论． 【详解】（1）由表中数据知，3,100x y ==，∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，∴ˆ125.ˆ5ay bx =-=， ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+． （2）由（1）知，令7x =，则8.571ˆ25.566y=-⨯+=人. （3）由表中数据得()225022128850302030209K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 5.556 5.024≈>，根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关． 【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题． 21．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===，2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b ±=，224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0o，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-u u u r u u u r，当直线l 的倾斜角不为0o 时，直线l 可设为4x my =+，22224{(34)243603412x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-u u u u Q r u u r ，综上所述：范围为13[4,)4-. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 22．（1）证明见解析；（2）1ANNB=． 【解析】试题分析：（1）由2,22AB AC BC === ⇒ 222BC AB AC =+ ⇒所以AB AC ⊥ ⇒ AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ⇒ PA CD ⊥ ⇒ CD ⊥平面PAC ；（2）如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求得平面MAB 的法向量和1x =⇒ 1,1AN NB == ⇒1ANNB=． 试题解析： （1）连结AC ，因为在ABC ∆中， 2,2AB AC BC ===222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥．因为//AB CD ，所以AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC PA A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAC（2）如图以A 为原点， ,,AB AC AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0A P B C D -．因为M 是棱PD 的中点，所以()1,1,1M -．所以，设为平面MAB 的法向量，所以，即0{20x y z x -++==， 令1y =，则0{1 1x y z ===-，所以平面MAB 的法向量因为N 是在棱AB 上一点，所以设．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量，所以．解得1x =，即1,1AN NB ==，所以1ANNB= 考点：1、线面垂直；2、线面角.。

山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x，y满足约束条件2211x yy xy kx+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B．53C．2 D．73【答案】B【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111Bk k⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121kCk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z能取到最大值，则1k>，当12k<≤时，x在点B处取得最大值，即2221211k k⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k=；当2k>时，z在点C 处取得最大值，即421222121kk k-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k=（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2．30x y m-+=过双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FA FO=（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B．31C5D51【答案】B【解析】【分析】【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ） A ．6π或56π B ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案.【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π． 故选：D【点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )A ．1或1-B ．25或25-C ．1或25-D ．1-或25 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，3344m m -∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ．【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可． 5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】 【分析】 由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=， 故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故选：B.本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.6．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9- 【答案】D【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212x y +„，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-.故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．由101x x +>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12ln ln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．8．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

山东省潍坊市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．已知0,0,42a b a b >>+=，则11a b +的最小值是 A ．4 B ．92C ．5D ．9 3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2042)π+B ．(2022)π+C ．(4042)π+D ．(4082)π+4．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）附：若，则，.A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413 6．()32233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．37．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ）A ．22B ．16C ．15D ．118．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()2f 21x log x =+-，则()6f -=（ ） A ．2 B ．4C ．-2D ．-4 9．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．201910．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．714B ．4221C ．36D 1841 12．已知集合{}|1,M y y x x R ==-∈，{}2|log (1)N x y x ==-，则M N =（ ）A ．[1,1)-B ．()1,1-C ．[1,)-+∞D ．(,1)-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知1233,3,(){log (6),3,x e x f x x x -<=-≥则((15))f f 的值为 ． 14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________．15．如果曲线C 上的动点P 到定点0Q 的距离存在最小值，则称此最小值为点0Q 到曲线C 的距离.若点(),Q x y 到圆()2221x y -+=的距离等于它到直线10x +=的距离，则点(),Q x y 的轨迹方程是______. 16．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且15b a =，23b =，581b =-，132b b a +=，是否存在k ，使1k k S S +>，且12k k S S ++<？若存在，求k 的值．若不存在，则说明理由．18．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE .19．（6分）若一圆锥的底面半径为4，体积是16π.（1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为O ，并且OA 、OB 为圆锥的两个母线，求线段AB 长度为何值时，△OAB 的面积取得最大值？20．（6分）已知函数21()log 1x f x x+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论;(2)解不等式()1f x <-21．（6分）已知函数32()([1,2])f x x ax bx c x =+++∈-，且函数()f x 在1x =和23x =-处都取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．22．（8分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额X 服从正态分布()150,625N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间(]100,150内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若()~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=.（2）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列.（3）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B 【解析】试题分析：两边除以得，，故为直角三角形.考点：1.解三角形；2.对数运算.2．B【解析】【分析】 将代数式11a b+与代数式4a b +相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以2可得出答案．【详解】 因为1144()(4)4159b a b a a b a b a b a b++=+++≥+⋅= ，又42a b +=，所以119()2a b +≥， 当且仅当12,33a b ==时取""=，故选B ． 【点睛】 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．3．A【解析】【分析】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体.(212311424342022S S S S ππππ=++=⨯⋅+⨯+⨯=+. 故选：A .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.4．A【解析】【分析】 求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】363637374440434443409x ++++++++==, 2161699160916910099s ++++++++== 103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A. 【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n =． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =5．B【解析】 由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ， 则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为. 本题选择B 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.6．D【解析】【分析】对()f x 求导，判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，即可求出最大值。

山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.3．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.4．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1P1(1)3p - 2313p 则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 8．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C 【解析】 【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =±或y =.A 选项渐近线为3y x =±，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 12．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年山东省潍坊市数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知全集，，，则集合（ ） A ．B ．C ．D ．2．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ） A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p - 3．已知f （x 5）＝lgx ，则f （2）等于（ ） A ．lg2 B ．lg32 C ．lg132D ．1lg 254．设函数2()ln()f x e x =-，集合(){}(){}|,|A x y f x B y y f x ====，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．[,1]e -B ．(,1)e -C ．(,])e e -∞⋃D ．(,))e e -∞⋃5．设m R ∈，命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程2x m =有实根，则m 0≥ B ．若方程2x m =有实根，则m 0< C ．若方程2x m =没有实根，则m 0≥D ．若方程2x m =没有实根，则m 0<6．对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b >>，则11a b> C ．若，则a b b a < D ．若a b >，11a b>，则7．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()3sin cos f x x x x =+-的拐点是00(,())x f x ，则0tan x =（ ）A ．12B ．22C 3D ．18．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{|x x x ∀∈是无理数｝，2x 是无理数；②命题“∃0x ∈R，20013x x +>”的否定是“∀x∈R，2x ＋1≤3x”；③命题“若220x y +=,x R y R ∈∈,则0x y ==”的逆否命题为真命题；④ (2xx e e --'）=2。

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知数列{(1)(21)}nn -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S =（）A ．13-B ．12-C ．11-D ．10-4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．sin ||()2cos x f x x =+B ．sin ln ||()2cos x x f x x ⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（）A ．(0)(2020)(2019)f f f >>B ．(0)(2019)(2020)f f f >>C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷（理） 含答案数 学 （理）刘世荣 候永红注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷 选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}|15,1,2,3,1,2.3.1,3.1,2.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==1.已知全集==,则121122.,=1+,=A.2B 2 C.2D 2z z z i z z i i ⋅--设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则 . .33.1.ln ..3.x A y x B y C y D y x x x ==-==+下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是333334.:2,80,A.2,80 B.2,80C.2,80D.2,80p x x p x x x x x x x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是{}323305.9,3,111A.1B.C.1D.1222n a a S x dx q ===⎰等比数列中，前三项和则公比或-或6.83648A.B.C.D.7799n S =执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的＝(第6题)正视图俯视图侧视图{}{}7.3(|)1111A.B C.D 104312P B A =一个口袋中装有大小相同的1个红球和个黑球，现在有三个人依次去摸球，每个人摸出1个球，然后放回，若有两个人摸出的球为红色，则称这两个人是“好朋友”，记A=有两个人是好朋友,B=三个人都是好朋友，则 . .8. A.8+8 B.6+8C.4+8D.2+8ππππ如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为9.(11)(12)(21)(13)(22)(31)(14)(23)(32)(41)60A.(7,5)B (5,7)C.(2,10)D (10,1)⋅⋅⋅已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”是. .222210.2(0)1(,0)B D 1x y y px p F a b a bF 2=>-=>设抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为11.0A.36B 64 C.144D 256S ABC M SC SB AM SA S ABC ππππ-∙==-正三棱锥中，是的中点，，若侧棱的外接球的表面积为. .1112()()(1)1,()(),()()22A.(0,+)B.(1,+)C.(,0)D.(,1) x xe f x x R f f x R f x f e e +'∈=><∞∞-∞-∞.函数满足且在上的导函数则不等式为自然对数的底数的解集为第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.()()13.2,3,1,32,//,a b t t a b t ==+-=已知若则5214.(1)(1)5.ax x x a ++=已知的展开式中的系数为，则37015,11x y x y x y x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最大值是{}*20151.,2(),n n n n na n S a n N S a =+∈=16已知正项数列的前项和S 若则三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.22217.(12)1,,,,.,.42(I)tan (II)3ABC A B C a b c A b a c C ABC b π∆=-=∆本小题满分分 在中，内角所对的边分别为已知求的值；若的面积为，求的值.xx 第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.(I) 求该小区居民用电量的平均数；(II) 用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；(III) 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.19.(12)-//II 1,P ABCD ABCD PA ABCD E PD PB AEC E PD AP AD E ACD D AE C ⊥==---本小题满分分如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为侧棱上的一点，且平面.（I ）证明：为的中点；（）设且三棱锥的大小.D()()()()22222012C:10F A B 2M .MF FB 2 1.I II ,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆本小题满分分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心.若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由21.(12)1()ln(1).(I)()(1,(1))(II),()ln()()ln .x f x x xf x f x y x y x y x y x my m +=+++≤++本小题满分分已知求在点处的切线方程；若存在正实数使不等式成立，求实数的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。