人教版八年级上册数学教案：第十五章 分式

人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案第十五章分式15.1.1从分数到分式教学目标1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣XXX:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．问题2这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．问题3应怎样设未知数？如何根据等量干系列出方程？解：设江水的流速为XXX.依题意得：追问式子与分数有甚么相同点和分歧点？它们与你学过的整式有甚么分歧？问题4填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为cm.问题4填空：（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱描述器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱描述器中，水面高度为.追问1上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？追问2式子的特性？二、常识使用，巩固提高分式的定义：，，与以前学过的整式分歧，这些代数式有甚么配合一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那末式子叫做分式（fraction）.分式中，A叫做分子，B叫做分母.问题5我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1下列分式中的字母满足甚么条件时分式成心义？三、使用提高、拓展创新讲义128页操演1、2、3四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？五、布置作业：教科书题15.1第1、2、3题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（1）教学目标1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的根本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为的数，分数的值不变．问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4类比分数的根本性质，你能想出分式有甚么性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变．追问1如何用式子表示分式的基本性质？二、常识使用，巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.例2填空：问题5观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有甚么变化？类比分数的相应变形，你联想到甚么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．例3约分:追问1由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？追问2如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？三、应用提高、拓展创新教科书132页操演1四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式的根本性质时应注意甚么？（3）分式约分的关键是甚么？如何找公因式？（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？五、布置作业：教科书题15.1第4、6题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（2）教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.2．经由进程类比分数的通分来探究分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点正确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1通分：追问1分数通分的依据是什么？追问2如何确定异分母分数的最小公分母？问题2填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是甚么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.追问3两个分式的最简公分母是如何确定的？最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式算作一个团体，最后确定最简公分母．二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页练1四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的办法是甚么？五、布置作业：教科书题15.1第7题教后反思：15.2.1分式的乘除（1）教学目标1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1一个水平放置的长方体，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当内的水占容积的m时，水面的高度为多少？n（1）这个长方体的高怎么表示？（2）内水面的高与内的水所占容积间有何关系？内水面的高与高的比和内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖沓机和小拖沓机的事情效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3计较：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那末你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用笔墨语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有甚么区别和联系？五、布置作业：讲义第144页第1题；第145页第10、11题．教后反思：15.2.1分式的乘除（2）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计较，并解决一些实践问题．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分？问题2计较:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？二、知识应用，巩固提高例1计较：分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？解题战略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．例2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 XXX．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？考虑以下问题：①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？②如何表示这两块试验田的单位产量？③怎样确定哪类小麦的单位产量高？④你能列式表示（2）的问题吗？归结解题步调：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后经由进程计较解决问题．三、使用提高、拓展创新教科书138页练3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？五、布置作业：教材第144页第2题．教后反思：15.2.1分式的乘方教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方夹杂运算教学过程设计一、创设问题，激起兴趣例1计算：2x3x.5x-325x2-95x+3练1计算:2m2n5p2q5mnp（）1；223q3pq4mn2m2-n2（n-m）m+n（2）；222m（m-n）mn16-a2a-4a-2（3）2．2a+8a+2a+8a+16考虑你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？（a2a3a10）=？（）=？（）=？bbba猜测：n为正整数时?b你能写出推导过程吗？试试看．你能用笔墨语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n是正整数时，n这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．二、常识使用，巩固提高例2计较：例3计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练2计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式乘办法则计较的步调是甚么？它与整式的乘方运算有甚么区别和联系？（3）分式的乘方与乘除夹杂运算的运算顺序是甚么？五、布置作业：教科书题15.2第3（3）（4）题．教后反思：15.2.2分式的加减教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才干完成这项工程，两队配合事情一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年比拟，丛林面积增长率提高了多少？（1）甚么是增长率？（2）2010年、2011年的丛林面积增长率分别是多少？（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．二、常识使用，巩固提高例计算：11（2）+．2p+3q2p-3q三、应用提高、拓展创新讲义141页操演1、操演2练：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第4、5题．教后反思：15.2.2分式的夹杂运算教学目标1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．教学重、难点分式的混合运算．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．例1计算：这道题的运算顺序是怎样的？经由进程对例1的解答，同学们有何播种？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．二、常识使用，巩固提高例2计算：52m-4（） 1m+2+3-m；2-mx+2x-1x-4（2）-．x2-2xx2-4x+4x通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式夹杂运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计较；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．三、应用提高、拓展创新练1计算：四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第6题．教后反思：15.2.3整数指数幂教学目标1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．教学重、难点幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？问题2am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那末负整数指数幂am表示甚么？（1）根据分式的约分，当a≠时，如何计较a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n去掉，即假设这本性质对于像a数学中规定：当n是正整数时，a这就是说，XXXXXX33a5？（a≠，m，n是正整数，m >n）a5景遇也能使用，如何计较？1aaa是an的倒数．问题3引入负整数指数和指数后，am an am n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？问题4类似地，你可以用负整数指数幂或指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是不是还适用？（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；mnm n（4）a a a（m，n是整数）；XXXa（5）bnann（n是整数）．b二、知识应用，巩固提高例1计算：三、应用提高、拓展创新问题5能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；探索：XXX110 1101.0110 21001.00110 310001.000110 40.1归纳：如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个算起至小数点后第一个非数字前有几个，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．例2用科学记数法表示下列各数：（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.例3纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.2第7、8、9题教后反思：15.3分式方程（1）教学目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1为了解决弁言中的问题，我们得到了方程程，未知数的位置有甚么特点？追问1方程9060．仔细观察这个XXX30v30vx2x;2;1与上面的方程有甚么共2xx3x5x25x13x 3同特征？分母中含有未知数．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问2你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前研究的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．9060吗？30v30v问题3这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？问题2你能试着解分式方程（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质2可以在方程双方都乘同一个式子——各分母的最简公分母．追问你得到的解v=6是分式方程二、常识使用，巩固提高问题4解分式方程：9060的解吗？30v30v110=2.x-5x-25110的解吗？该如何验证呢？x=5是原2x5x25分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．追问2上面两个分式方程的求解进程当中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为追问1你得到的解x=5是分式方程（30-v）=60（30+v）甚么整式方程90的解v=6是分式方程整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程9060的解，而30v30v110的解？2x5x25原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右双方是不是相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为．显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？根本思绪将分式方程化为整式方程一般步调：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：因为去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，以是需要检修．三、使用提高、拓展创新例解下列方程：四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？五、布置作业：教科书题15.3第1（1）～（4）题．教后反思：15.3分式方程（2）教学目标1．会解较复杂的分式方程和较简朴的含有字母系数的分式方程．2．能够列分式方程解决简朴的实践问题．3．经由进程研究分式方程的解法，体会转化的数学思想．教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1解方程x3-1=.x-1（x-1）（x+2）解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验．用框图的方式总结为：二、知识应用，巩固提高例2解关于x的方程a+b=1（b1）.x-a例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步调有哪些？关键是甚么？解方程的进程当中要注意的问题有哪些？（3）列分式方程解使用题的步调是甚么？与列整式方程解使用题的进程有甚么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．教后反思：。

第十五章分式本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程．本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用．【本章重点】利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程．3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解．15．1分式2课时15．2分式的运算5课时15．3分式方程2课时15．1分式15．1.1从分数到分式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件．3．能用分式表示现实情境中的数量关系．【过程与方法】经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值．【情感态度与价值观】类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式．二、重难点目标【教学重点】分式的概念及分式有意义、无意义的条件．【教学难点】利用分式有意义的条件求未知数的值．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、分式的概念1．式子S a 、V S 以及引言中的9030＋v ，6030－v ，有什么特点？(1)它们与分数的相同点：形式相同都有分子和分母； (2)不同点：分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母.2．一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母.3．下列各式中，是分式的有①②④⑦.①2bs ；②3000300a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦45bc ；⑧－5. 二、分式AB的相关知识1．当B ＝0时，分式AB 无意义．2．当B ≠0时，分式AB有意义．3．当A ＝0且B ≠0时，分式AB 的值为零．4．当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x.解：(1)x ≠－2. (2)x ≠32.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0即x ＝±1.值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1； 无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1； 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式中，是分式的是( C ) A ．3x 2＋x －1 B ．x －23C.2x －3x －1D ．14(2x －1)2．分式xx 2＋1有意义，则x 的取值范围为( D )A ．x ≠1B ．x ≠－1C ．x ≠1或x ≠－1D ．全体实数3．若分式xx 2－16的值为0，则x 的值为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．1.2分式的基本性质(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解和掌握分式的基本性质．2．能运用分式的基本性质约分、通分．【过程与方法】经历观察、对比、猜想的过程，归纳出分式的基本性质，在理解分式基本性质的基础上对分式进行约分和通分，从中了解最简分式和最简公分母．【情感态度与价值观】通过对比归纳分式的基本性质的过程，养成对比的习惯，通过对分式进行约分和通分，加深对分式基本性质的理解．二、重难点目标【教学重点】分式的基本性质，最简分式．【教学难点】运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P129～P132的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷CB ÷C(C ≠0)，其中A 、B 、C 是整式．2．分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.3．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.4．最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空： (1)x y ＝x 2y ( )； (2)x 2－y 2xy 2＋y 3＝x －y ( )； (3)x －1y ＝( )xy2.【互动探索】(引发学生思考)根据分式的基本性质，当分式的分子(分母)乘或除以一个不等于0的整式时，分母(分子)该怎么变化？【分析】(1)因为xy 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需乘xy ，即x y ＝x ·xy y ·xy ＝x 2yxy 2.(2)因为x 2－y 2xy ＋y 3的分子x 2－y 2除以x ＋y 才能化为x －y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需除以x ＋y ，即x 2－y 2xy 2＋y 3＝(x 2－y 2)÷(x ＋y )(xy 2＋y 3)÷(x ＋y )＝x －yy 2.(3)因为x －1y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘xy ，即x －1y ＝(x －1)·xy y ·xy ＝x 2y －xyxy 2.【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y －xy【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时，注意分子、分母乘(除以)同一个不等于0的整式．【例2】约分：(1)2bcac ； (2)(x ＋y )y xy 2； (3)x 2＋xy (x ＋y )2. 【互动探索】(引发学生思考)分式的约分步骤→找出分子分母的公因式→化简为最简分式．【解答】(1)2bc ac ＝2bc ÷c ac ÷c ＝2b a .(2)(x ＋y )y xy 2＝(x ＋y )y ÷y xy 2÷y ＝x ＋yxy .(3)x 2＋xy (x ＋y )2＝x (x ＋y )(x ＋y )2＝x x ＋y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)如果分子或分母是多项式，先分解因式再约分，约分的结果是最简分式或整式．【例3】通分：(1)x ac 与y bc ； (2)2x x 2－9与x 2x ＋6. 【互动探索】(引发学生思考)分式的通分步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式．【解答】(1)最简公分母是abc . x ac ＝x ·b ac ·b ＝bx abc . y bc ＝y ·a bc ·a ＝ay abc.(2)最简公分母是2(x ＋3)(x －3)． 2xx 2－9＝2x ·22(x ＋3)(x －3)＝4x2x 2－18. x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3)＝x 2－3x 2x 2－18. 【互动总结】(学生总结，老师点评)确定公分母时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．活动2 巩固练习(学生独学)1．分式3aa 2－b 2的分母经过通分后变成2(a －b )2·(a ＋b )，那么分子应变为( C )A ．6a (a －b )2(a ＋b )B ．2(a －b )C ．6a (a －b )D ．6a (a ＋b )2．约分：(1)2－a a 2－4； (2)9－a 2－a 2－3a ； (3)m 2－7m 49－m 2. 解：(1)－1a ＋2.(2)a －3a .(3)－m m ＋7. 3．通分： (1)12x 与1y ； (2)a2a ＋6与a －1a 2－9； (3)a －1a 2＋2a －3与1－a 2－4a ＋2a 2. 解：(1)12x ＝y 2xy ，1y ＝2x2xy.(2)a2a ＋6＝a (a －3)2(a ＋3)(a －3)＝a 2－3a 2a 2－18，a －1a 2－9＝2(a －1)2(a ＋3)(a －3)＝2a －22a 2－18. (3)a －1a 2＋2a －3＝2(a －1)2(a ＋3)(a －1)＝2a －22a 2＋4a －6，1－a 2－4a ＋2a 2＝1－a 2(a －1)2＝－12(a －1)＝－(a ＋3)2(a ＋3)(a －1)＝－a ＋32a 2＋4a －6.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除一、基本目标【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算．【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标【教学重点】分式的乘除法法则．【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y7x ÷⎝⎛⎭⎫－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？ 【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·⎝⎛⎭⎫－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算： (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a 的值．【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序．【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序．【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：⎝⎛⎭⎫a b 2＝a 2b 2；⎝⎛⎭⎫a b 3＝a 3b 3；⎝⎛⎭⎫a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x.【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算． 【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2b 2a 33； (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫－8xy 9a 2b ÷3x(－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4； (4)⎝⎛⎭⎫a －b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －a 3·(a 2－b 2)． 解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系． 【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.2分式的加减第3课时分式的加减一、基本目标【知识与技能】1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法．2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算．【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程，理解分式的加减法法则，在掌握分式通分的基础上，掌握异分母分式加减法的计算方法．【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则，养成类比思考的习惯，通过运用分式的加减法法则进行加减法运算，提高运算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的加减法法则．【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P139～P140的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．观察填空： (1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？ (1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用字母表示为a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母分式相加减，先先通分，变为同分母的分式，再加减. 用字母表示为a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：x 2－y 2x 2－y 2(2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算，异分母分式相加减时，应该注意什么？【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )x 2－y 2＝5yx 2－y 2. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3(a ＋3)(a －3)＝1a －3. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2mn －m＝3m ＋3nn －m. (4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－122(x ＋3)(x －3)＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3) ＝－x －32x ＋6.【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，首先要通分，变为同分母分式再加减．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是( C ) A.a a －b －b b －a＝1 B ．m a －n b ＝m －n a －bC.a 2a －b －b 2a －b ＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a3．计算：5a b 5a b (2)b 2a －b ＋a 2b －a； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2. 解：(1)4a ＋3b5a 2b .(2)－a －b .(3)a －3b a 2－b 2. (4)x 2(x ＋y )(x －y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】A x －2－Bx ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).因为3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－Bx ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎨⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时分式的混合运算一、基本目标【知识与技能】1．明确分式混合运算的运算顺序．2．运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算．【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程，明确分式混合运算的运算顺序，在明确运算顺序的基础上，正确计算分数的混合运算．【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序，养成类比思考的习惯，通过运用分式的运算法则进行混合运算，提高运算能力．二、重难点目标【教学重点】分式混合运算的运算顺序．【教学难点】正确计算分式的混合运算．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P141～P142的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2．分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2； (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x.【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算． 【解答】(1)原式＝x x －y ·y 2x ＋y －x 4y(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x 2＝xy 2(x －y )(x ＋y )·－x 2y x 2－y 2 ＝xy (y －x )(x －y )(x ＋y )＝－xy x ＋y .(2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b 4 ＝4a 2b 2(a －b )－4a b 2 ＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b )＝4abb 2(a －b )＝4ab (a －b ).(3)原式＝[x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2]·x －(x －4) ＝[(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2]·x －(x －4)＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x －(x －4)＝－1x 2－4x ＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．活动2 巩固练习(学生独学)1．若代数式⎝⎛⎭⎫A －3a －1·2a －2a ＋2的化简结果为2a －4，则整式A ＝( A ) A ．a ＋1 B ．a －1 C ．－a －1 D ．－a ＋12．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x ； (2)⎝⎛⎭⎫a a －b －b b －a ÷⎝⎛⎭⎫1a －1b ；(3)⎝⎛⎭⎫1＋y x －y ⎝⎛⎭⎫1－xx ＋y ；(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x －x y 2·2y 2x .解：(1)2x .(2)－ab (a ＋b )(a －b )2.(3)xy x 2－y 2. (4)x －16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值．【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值． 【解答】原式＝x －2x －1÷(x －2)2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1x －2.由2x －1<6，得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x ＝3时，原式＝x ＋1x －2＝3＋13－2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)选择x 的值时，要使每个分式都有意义． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.3整数指数幂(第5课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质．2．掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程，理解负整数指数幂的意义，在此基础上，将正整数指数幂的性质推广到任意整数，从而掌握整数指数幂的性质．【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质，结合负整数指数幂的意义，推导出整数指数幂的性质，养成类比思考的习惯，通过运用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，提高运用所学知识的能力．二、重难点目标【教学重点】负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算性质．【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P142～P145的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、负整数指数幂1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m 、n 为正整数) (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab )n ＝a n b n ； (4)a m ÷a n ＝a m －n ； (5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb ； (6)a 0＝1.2．负整数幂：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n(a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数． 二、科学记数法1．绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：100＝102；2000＝2.0×103；33000＝3.3×104.2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a ×10－n的形式．(其中n 是正整数，1≤|a |＜10)3．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －3(x －1y )3； (2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3； (3)3a －2b ·(2ab －2)－2； (4)4xy 2z ÷(－2x －2yz －1)．【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么？ 【解答】(1)原式＝x 2y －3x －3y 3＝x －1y 0＝1x .(2)原式＝14a －2b －4c 6÷(a －6b 3)＝14a 4b －7c 6＝a 4c 64b 7.(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 54a4.(4)原式＝－2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果负整数指数幂写成分数的形式．【例2】用科学记数法表示下列各数： (1)0.0000001； (2)0.00024； (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数，一般形式是怎样的？ 【解答】(1)0.0000001＝1×10－7. (2)0.00024＝2.4×10－4. (3)0.0000000035＝3.5×10－9.【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10－n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数．【例3】计算：(1)(2×10－6)2·(3×10－4)； (2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.【互动探索】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15.(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－π )0÷⎝⎛⎭⎫－13－2的结果是( D ) A ．－16B ．0C ．6D ．192．计算：(1)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2； (2)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )； (3)⎝⎛⎭⎫b a －2·⎝⎛⎭⎫a b 2； (4)(2m 2n －1)2÷3m 3n －5.解：(1)n 44m 2.(2)－2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000021； (2)0.00000034； (3)0.00102. 解：(1)2.1×10－5. (2)3.4×10－7. (3)1.02×10－3.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．3分式方程第1课时分式方程及其解法一、基本目标【知识与技能】1．理解分式方程的定义，能确定一个方程是不是分式方程．2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解分式方程验根的必要性．【过程与方法】经历分析、观察的过程，理解分式方程的定义，通过思考、归纳，得出可化为一元一次方程的分式方程的解法，在解分式方程的过程中，了解分式方程的增根产生的原因，从而得出验根的必要性．【情感态度与价值观】通过将分式方程转化为一元一次方程求解，培养转化思想的应用意识，通过对增根的认识和分式方程验根的必要性的了解，培养严谨的学习态度．二、重难点目标【教学重点】分式方程的定义，分式方程的解法及判断一个数是不是分式方程的增根．【教学难点】正确求解可化为一元一次方程的分式方程．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P149～P151的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这是分式方程的一般解法．3．分式方程的验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．4下列方程中，哪些是关于x 的分式方程？. ①x －13＝5； ②1x ＝4x －1； ③3－x 3＝x －1； ④x a ＝1b －1； ⑤1x 2－9＝3x ＋3. 解：②⑤是关于x 的分式方程． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】解方程： (1)3x ＝2x －6； (2)3x x ＋2＋1＝82x ＋4； (3)x ＋1x －1－4x 2－1＝1. 【互动探索】(引发学生思考)怎么解分式方程？解分式方程应该注意些什么？ 【解答】(1)方程两边乘x (x －6)，得3x －18＝2x .解得x ＝18.检验：当x ＝18时，x (x －6)≠0.故原分式方程的解为x ＝18. (2)方程两边乘2(x ＋2)，得6x ＋2(x ＋2)＝8.解得x ＝12.检验：当x ＝12时，2(x ＋2)≠0，故原分式方程的解为x ＝12.(3)方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得(x ＋1)2－4＝(x ＋1)(x －1)．解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，(x ＋1)(x －1)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 故原分式方程无解．【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的一般方法是将分式方程通过“去分母”转化为整式方程求解，注意要验根．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列关于x 的方程，是分式方程的是( D ) A.2＋x 5－3＝3＋x6B ．x －17＋a ＝3－xC.x 2－m n ＝x m D ．3xx 2＋1＝4 2．解方程： (1)2x x －3＝1； (2)25＋x －11＋x ＝0； (3)2x ＋1＋3x －1＝6x 2－1； (4)2x 2＋x ＋3x 2－x －4x 2－1＝0. 解：(1)x ＝－3.(2)x ＝3.(3)无解．(4)无解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】当m 为何值时，关于x 的方程2x ＋1＋51－x ＝mx 2－1会产生增根？【互动探索】分式方程的增根是怎么产生的？怎样确定分式方程的增根？ 【解答】方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得2(x －1)－5(x ＋1)＝m . 化简，得m ＝－3x －7.由(x ＋1)(x －1)＝0，得方程的增根为x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，m ＝－3－7＝－10； 当x ＝－1时，m ＝3－7＝－4.故当m ＝－10或－4时，关于x 的方程2x ＋1＋51－x ＝mx 2－1会产生增根．【互动总结】(学生总结，老师点评)去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子，这个式子有可能为0，对于整式方程来说求出的解成立，而对于分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是分式方程的解，称为分式方程的增根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时分式方程的应用一、基本目标【知识与技能】1．理解列分式方程解应用题的基本思路和方法．2．能根据题意正确列出分式方程，并解决问题．【过程与方法】经历思考、分析、归纳的过程，掌握列分式方程解决实际问题的方法，通过列分式方程解决实际问题，加深对分式方程解法的理解，并了解列分式方程解决实际问题的重要性．【情感态度与价值观】通过归纳列分式方程解应用题的步骤的过程，养成归纳意识，通过列分式方程解决实际问题，提高运用所学知识解决实际问题的能力．二、重难点目标【教学重点】列分式方程解实际问题的步骤．【教学难点】根据题意正确列出分式方程并求解．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P152～P153的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．列方程解应用题的一般步骤是(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)解方程；(4)检验根是否符合实际意义；(5)作答.2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母化分式方程为整式方程；(4)解整式方程；(5)检验根是否符合实际意义；(6)作答.3．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意x 满足的方程为2000x －2＝2000x ＋50. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．【互动探索】(引发学生思考)如果设步行速度为x 千米/时，则骑自行车的速度怎么表示？可以根据哪个等量关系来列方程？【解答】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车的速度为4x 千米/时．由题意，得7x ＋19－74x＝2.解得x ＝5. 检验：当x ＝5时，4x ≠0.故原分式方程的解为x ＝5，且符合题意.4x ＝20.故步行的速度为5千米/时，骑自行车的速度为20千米/时．【互动总结】(学生总结，老师点评)行程问题中，最基本的等量关系是路程＝速度×时间，根据路程、速度、时间之间的关系列出方程是解题的关键．1．甲、乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？【互动探索】(引发学生思考)等量关系：t 甲＝乙．【解答】设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得。

第十五章分式15.3 分式方程第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【过程与方法】经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.【情感、态度与价值观】1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.【教学难点】产生增根的原因.五、课前准备教师:课件、直尺等。

学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少? （出示课件2）解:设江水的流速为v km/h，根据题意，得100 20+v =60 20−v这样的方程与以前学过的方程一样吗？（二）探索新知1.创设情境，探究分式方程的概念教师问1:为要解决导入中的问题，我们得到了方程10020+v =6020−v，仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4）教师问2:方程与上面的方程有什么共同特征？教师问3:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？学生回答:不是.教师问4:以前我们学过什么方程？试举例说明.学生回答:以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.教师问5:仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？学生回答:分母中都含有未知数．教师问6:像这种，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.，你能再写出几个分式方程吗？学生思考后，找学生回答。

人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)Chapter 15: nsThis chapter covers ns。

ns with ns。

and ___ ns。

as well as using our knowledge of ns to solve real-world problems。

In the middle school entrance exam。

the ___ ns。

___ ns。

___。

and their ns.Key Focus of this Chapter]Using the ___ and combine them。

performing mixed ns with ns。

and solving real-___.Challenges of this Chapter]Performing mixed ns with ns and solving real-___.Thinking Methods in this Chapter]1.Master ___。

___ ns。

and understanding the rules of ns with ___ to the rules of ns with ns.2.Master ___。

___。

___。

___.3.___ method。

For example。

when using ___ real-world problems。

it is ___ model based on the actual problem and then ___ it.15.1 ns15.2 ns with ns15.3 ___2 class hours5 class hours2 class hours15.1 ns15.1.1 From ___ (First Class Hour)I。

Basic ObjectivesKnowledge and Skills]1.___.2.___.3.___-___.Processes and Methods]___ processes。

重点：了解分式的概念，能识别整式、分式；难点：会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义.六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图导入新课探究一：分式的概念1.长方形的面积为5，一边长3，则另一边长为_________；2.长方形的面积为S，一边长3，则另一边长为_________；3.长方形的面积为S，一边长a，则另一边长为_________；4.长方形的面积为（），一边长（），则另一边长为____________.思考：观察所列式子，如何对它们进行分类？预设：生1：一类，式子中不含有字母，，，为一类，式子中含有分母；生2:，为一类，式子分母中不含有字母，，为一类，式子分母中含有字母.师：像第一个圈中的式子，我们称他们为整式，分母中都不含有字母，而第二个圈中的式子分母含有字母，你们想如何称呼它们呢？通过长方形的实际背景问题引入，让学生在具体情境中抽象出数量关系和变化规律，培养符号感，体会数学是源于生活的思想，增强数学的应用意识.同时，让学生认识到从分数到分式的发展.同时，让学生对所列式子分类，有助于学生理解分式与分数、分式与整式的区别和联系.形成概念分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.思考：（1）分式与分数有何联系？①分数中不含有字母，分式中分母一定含有字母；②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.（2）分式与整式区别是什么？整式分母不含有字母，分式的分母中含有字母.（3）既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称让学生了解分式的概念是一种形式概念，它与整式的本质区别是它的分母中含有字母.为什么呢？有理式小试牛刀例1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？2.请你说出一个式子，让你的同桌判断是整式还是分式？设置小试牛刀这一环节，意在及时巩固刚刚学会的新知识，进行概念的辨析，能区分整式与分式.提炼方法归纳小结：1、判断时，注意含有的式子，是常数.2、式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如： .及时引导学生归纳易错点，提高认识.探究二探究二：分式有意义的条件例2.引例中的问题4 分式，（1）当时，分式的值是多少？当时，分式值为（2）当，能算出来吗？当，分式的分母（3）当x为何值时，分式有意义？通过给分式中的字母赋值，让学生体会分式比分数更具有一般性，从分式到分数，体现了从一般到特殊的应用过程.同时让学生发现分母为0的情况，通过与分数类比，得出分式有意义的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳：对于分式，当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（写出过程）（1）（2）（3）（4）通过练习，让学生巩固解题方法.探究三探究三：分式值为零的条件例3：已知分式，当为何值时，分式的值为0？解：分式的值为0，因此分子的值为0，又因为分式分母不能为0，则进一步与分数类比，得出分式值为0的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳小结对于分式，当时，分式值为0.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀当下列分式中的字母满足什么条件时分式的值为0？（1）（2）（3）通过练习，让学生巩固解题方法.游戏环节环节一：各显神通游戏规则：在第一环节中，为必答题.看到题目后，每组选取一个代表，按照组的顺序依次答题，答题过程中其他组不得讨论.答对一题得10分，答错不得分.1.长方形的面积为Scm²,长为7cm.宽应为______cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______;2.把体积为200cm³的水倒入底面积为 33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为 ___ ;3、△ABC的面积为 S ，BC边长为 a，高AD为______4、某村有n个人，耕地 40 公顷，人均耕地面积为_____ 公顷；5、甲完成工作量为m的工作需t小时，则甲的工作效率为______，乙完成同样工作比甲少用1小时，则乙的工作效率为________.环节二：眼疾嘴快游戏规则：第二环节为抢答题，看到题目后，任何人都可以回答.回答时先举手，答对得10分，答错不得分.游戏环节再次提升学生的兴趣.教师鼓励学生开阔思路、大胆发言、不断出新，师生共同分享“突发奇想”、掌握知识的喜悦，培养学生参与竞争的意识.综上所述：1、一辆汽车行驶a 千米用b小时，它的平均车速为千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为千米/小时.2.下列式子中，是分式的是_________①，②，③，④，⑤，⑥，⑦3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）A. B. C. D.4.一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时有意义.你能写出一个符合上面条件的分式吗？试试看.拓展提高 1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？2.在什么条件下，分式的值为0？让学有余力的学生有拓展思维的空间.学生感悟与反思引导学生思考并回答以下问题：通过本节课我知道了……我能……需要注意的是……我感悟了....数学思想鼓励学生大胆发言，审视自己本节课的学习效果.教师引导课堂小结1、分式的概念；2、分式有意义的条件；3、分式值为零的条件；4、数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊、转化思想.小结本节课所学知识，引导学生建构自己的学习框架，升华认识.布置作业1、书本P133 习题 15.1 1，2，32、《优化设计》课时作业课后作业的布置，使课堂学习的知识得到巩固和延伸.。

初中数学人教版八年级上册实用资料第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x .二、探究新知 1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝6030－v.(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，Vs ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是AB (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．巩固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式AB才有意义．学生自学例1.例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y. 解：(1)要使分式23x 有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0；(2)要使分式xx －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53；(4)要使分式x ＋yx －y有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y.思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0? (1)mm －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．1.2 分式的基本性质(2课时)第1课时 分式的基本性质1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．重点理解并掌握分式的基本性质． 难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算： (1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷cb÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C .(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝aba2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想下列等式成立吗？为什么？ －a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b .教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： (1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y .例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： (1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则． 例3 填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy 的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.同样地，因为3x 2＋3xy6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2÷（3x ）＝x ＋y2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －ba 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维． 四、布置作业教材第133页习题15.1第4，5题．通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时 分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋bab相等吗？为什么？ 利用分式的基本性质，分式a 2＋aba 2b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab.教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋bab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？类似的，你能把分式a b ，cd变成同分母的分式吗？利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9；(3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y.分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac 23b ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y )．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）2（x －a ）3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198.学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy4的最简公分母是什么？提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3xx ＋5 .分析：为通分，要先确定各分式的公分母． 解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c ， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)． 2xx －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习： 通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与x x 2－4. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结． 三、课堂小结1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？ 四、布置作业教材第133页习题15.1第6，7题．本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除(2课时) 第1课时 分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法则．2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算． 难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法则是什么？ 2．计算：35×1512；35÷152.由分数的运算法则知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15.3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的mn时，水面的高度是多少？问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷bn 倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c . 三、举例分析 例1 计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x2；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac . 例2 计算： (1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则．解：(1)原式（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝a －2（a －1）（a ＋2）；(2)原式1（7－m ）（7＋m ）÷1m （m －7）＝1（7－m ）（7＋m ）·m （m －7）1＝－m m ＋7.例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用． 解：(1)略．(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍．四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x )；(4)－8xy÷2y5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)．答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y14；(4)－20x 2；(5)－（a ＋1）（a －2）（a －1）（a ＋2）；(6)3－y y ＋2.2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法则；(2)运用法则时注意符号的变化； (3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如（a －1）2a 或a 2－2a ＋1a.六、布置作业教材第146页习题15.2第1，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．一、复习引入1．分式的乘除法法则．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)． 二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x5x ＋3.解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3 (先把除法统一成乘法运算)＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b2； ↑ ↑由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理： (a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 ＝a n b n . 2．分式乘方法则： 分式：(a b )n ＝a nbn .(n 为正整数)文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？ (1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ； (5)(a b )n ＝a n b n . 三、举例分析 例2 计算： (1)(－2a 2b 3c )2；(2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－yx )4；(4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 29c 2；(2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6；(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y4＝－x 5；(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝（a ＋b ）3（a －b ）（a 2＋b 2）.学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3 计算： (1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －yx2；(3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2.解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b 3n －2＝bc 2a 2；(2)原式＝－x （x －y ）1·xy（x －y ）2·x －y x 2＝－y ；(3)原式＝（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 2·a 2（a －b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2.本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、巩固练习教材第139页练习第1，2题． 五、课堂小结1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项． 六、布置作业教材第146页习题15.2第3题．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．2.2 分式的加减(2课时)第1课时 分式的加减理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法则进行运算． 难点异分母分式的加减运算．一、复习提问 1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？ 3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课) 二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则． 学生讨论：组内交流，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．公式：a c ±b c ＝a±b c.文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q.解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2xx 2－y2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y ；(2)12p ＋3q ＋12p －3q＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q（2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2 计算： m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2m n －m＝n －m n －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a ；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．六、布置作业教材第146页习题15.2第4，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时 分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算．一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法则是( )，类似的，分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1 计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2 计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3 计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)． 分析：本题可用分配律简便计算．例4 [1（a ＋b ）2－1（a －b ）2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分． 例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ） ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4ab b 2（a －b ）＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2（m －2）3－m ＝（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2]·xx －4 ＝（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x（x －2）2（x －4） ＝1（x －2）2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、巩固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab （a －b ）（a －c ）＋2bc （a －b ）（c －a ）； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2.2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业1．教材第146页习题15.2第6题．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．15．2.3 整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nbn (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)1.计算当a ≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习巩固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________， (4)20＝________，(5)2－3＝________， (5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2 判断下列等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)1.用科学记数法表示值较小的数因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－5. 我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示下列各数：0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业教材第147页习题15.2第7，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的基本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因．一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1 解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，得x ＝5.事实上，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）.。

人教版初中数学八年级上册第十五章：分式（全章教案）第十五章分式本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程．本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用．【本章重点】利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程．3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解．15．1分式2课时15．2分式的运算5课时15．3分式方程2课时15．1分式15．1.1从分数到分式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件．3．能用分式表示现实情境中的数量关系．【过程与方法】经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值．【情感态度与价值观】类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式．二、重难点目标【教学重点】分式的概念及分式有意义、无意义的条件．【教学难点】利用分式有意义的条件求未知数的值．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】一、分式的概念1．式子S a 、V S 以及引言中的9030＋v ，6030－v ，有什么特点？(1)它们与分数的相同点：形式相同都有分子和分母； (2)不同点：分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母.2．一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母.3．下列各式中，是分式的有①②④⑦.①2bs ；②3000300a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦45bc ；⑧－5. 二、分式AB的相关知识1．当B ＝0时，分式AB 无意义．2．当B ≠0时，分式A有意义．3．当A ＝0且B ≠0时，分式AB 的值为零．4．当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x.解：(1)x ≠－2. (2)x ≠32.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0即x ＝±1.值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1；无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1；值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式中，是分式的是( C ) A ．3x 2＋x －1 B ．x －23C.2x －3x －1D ．1(2x －1)2．分式xx 2＋1有意义，则x 的取值范围为( D )A ．x ≠1B ．x ≠－1C ．x ≠1或x ≠－1D ．全体实数3．若分式xx 2－16的值为0，则x 的值为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．1.2分式的基本性质(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解和掌握分式的基本性质．2．能运用分式的基本性质约分、通分．【过程与方法】经历观察、对比、猜想的过程，归纳出分式的基本性质，在理解分式基本性质的基础上对分式进行约分和通分，从中了解最简分式和最简公分母．【情感态度与价值观】通过对比归纳分式的基本性质的过程，养成对比的习惯，通过对分式进行约分和通分，加深对分式基本性质的理解．二、重难点目标【教学重点】分式的基本性质，最简分式．【教学难点】运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P129～P132的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷CB ÷C(C ≠0)，其中A 、B 、C 是整式．2．分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.3．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.4．最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空： (1)x y ＝x 2y ( )； (2)x 2－y 2xy 2＋y 3＝x －y ( )； (3)x －1y ＝( )xy2.【互动探索】(引发学生思考)根据分式的基本性质，当分式的分子(分母)乘或除以一个不等于0的整式时，分母(分子)该怎么变化？【分析】(1)因为xy 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需乘xy ，即x y ＝x ·xy y ·xy ＝x 2yxy 2.(2)因为x 2－y 2xy ＋y 3的分子x 2－y 2除以x ＋y 才能化为x －y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需除以x ＋y ，即x 2－y 2xy 2＋y 3＝(x 2－y 2)÷(x ＋y )(xy 2＋y 3)÷(x ＋y )＝x －yy 2.(3)因为x －1y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘xy ，即x －1y ＝(x －1)·xy y ·xy ＝x 2y －xyxy 2.【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y －xy【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时，注意分子、分母乘(除以)同一个不等于0的整式．【例2】约分：(1)2bcac ； (2)(x ＋y )y xy 2； (3)x 2＋xy (x ＋y )2. 【互动探索】(引发学生思考)分式的约分步骤→找出分子分母的公因式→化简为最简分式．【解答】(1)2bc ac ＝2b c ÷c ac ÷c ＝2b a .(2)(x ＋y )y xy 2＝(x ＋y )y ÷y xy 2÷y ＝x ＋yxy .(3)x 2＋xy (x ＋y )2＝x (x ＋y )(x ＋y )2＝x x ＋y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)如果分子或分母是多项式，先分解因式再约分，约分的结果是最简分式或整式．【例3】通分：(1)x ac 与y bc ； (2)2x x 2－9与x 2x ＋6. 【互动探索】(引发学生思考)分式的通分步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式．【解答】(1)最简公分母是abc . x ac ＝x ·b ac ·b ＝bx abc . y bc＝y ·a bc ·a ＝ay abc.(2)最简公分母是2(x ＋3)(x －3)． 2xx 2－9＝2x ·22(x ＋3)(x －3)＝4x2x 2－18. x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3)＝x 2－3x 2x 2－18 . 【互动总结】(学生总结，老师点评)确定公分母时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．活动2 巩固练习(学生独学)1．分式3aa 2－b 2的分母经过通分后变成2(a －b )2·(a ＋b )，那么分子应变为( C )A ．6a (a －b )2(a ＋b )B ．2(a －b )C ．6a (a －b )D ．6a (a ＋b )2．约分：(1)2－a a 2－4； (2)9－a 2－a 2－3a ； (3)m 2－7m 49－m 2. 解：(1)－1a ＋2.(2)a －3a .(3)－m m ＋7. 3．通分： (1)12x 与1y ； (2)a2a ＋6与a －1a 2－9； (3)a －1a 2＋2a －3与1－a 2－4a ＋2a 2. 解：(1)12x ＝y 2xy ，1y ＝2x2xy.(2)a2a ＋6＝a (a －3)2(a ＋3)(a －3)＝a 2－3a 2a 2－18，a －1a 2－9＝2(a －1)2(a ＋3)(a －3)＝2a －22a 2－18. (3)a －1a 2＋2a －3＝2(a －1)2(a ＋3)(a －1)＝2a －22a 2＋4a －6，1－a 2－4a ＋2a 2＝1－a 2(a －1)2＝－12(a －1)＝－(a ＋3)2(a ＋3)(a －1)＝－a ＋32a 2＋4a －6.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除一、基本目标【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算．【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标【教学重点】分式的乘除法法则．【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y7x ÷－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算：(1)x 2y x 3·－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a 的值．【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得a ＝1，b ＝1.4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序．【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序．【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：a b 2＝a 2b 2；a b 3＝a 3b 3；a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x .【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算．【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)－2b 2a 33；(2)c 3a 2b 2÷c 4a 3b 2·c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知x 3y 22÷－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·－8xy 9a 2b ÷3x(－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)c 3a 2b 2÷c 4a 3b 2÷a c 4； (4)a －b ab 2·? ????－a b －a 3·(a 2－b 2)．解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系．【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1 x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)。

第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y +-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例 参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。

15．1 分 式15．1.1 从分数到分式1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)一、情境导入多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)． 长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”多媒体出示以下问题：(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？(2)如果客船8小时航行了s 千米，该船航行的平均速度是多少？(3)如果客船在静水中的航行速度为v 千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s 千米，需要多少时间？你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．二、合作探究探究点一：分式的概念【类型一】 判断代数式是否为分式在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y 中，分式的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：1a 、56＋x 、9x ＋10y这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数． 【类型二】 探究分式的规律观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…(其中x ≠0)．(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由．解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13y 6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn .方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．【类型三】 根据实际问题列分式每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.nx ＋my x ＋y 元B.mx ＋nyx ＋y 元 C.m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n)元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx ＋ny x ＋y元．故选B.方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．探究点二：分式有意义或无意义的条件【类型一】 分式有意义的条件分式x －1（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对解析：∵分式有意义，∴(x －1)(x －2)≠0，∴x －1≠0且x －2≠0，∴x ≠1且x ≠2.故选C.方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零． 【类型二】 分式无意义的条件使分式x3x －1无意义的x 的值是( )A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ＝13D ．x ≠13解析：由分式有意义的条件得3x －1≠0，解得x ≠13.则分式无意义的条件是x ＝13，故选C.方法总结：分式无意义的条件是分母等于0. 探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件若使分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( )A ．－1B ．1或－1C ．1D ．以上都不对解析：由题意得x 2－1＝0且x ＋1≠0，解得x ＝1，故选C.方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可． 三、板书设计从分数到分式1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式．2．分式A B 有无意义的条件：当B ≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义． 3．分式A B值为0的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式的值为0.本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．15．1.2 分式的基本性质1．通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示．(重点) 2．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．(难点)3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点)4．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点)一、情境导入中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质．二、合作探究探究点一：分式的基本性质【类型一】 利用分式的基本性质对分式进行变形下列式子从左到右的变形一定正确的是( )A.a ＋3b ＋3＝a b B.a b ＝acbcC.3a 3b ＝a bD.a b ＝a 2b2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D 错误；故选C.方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数不改变分式0.2x ＋12＋0.5x的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A.2x ＋12＋5xB.x ＋54＋x C.2x ＋1020＋5x D.2x ＋12＋x解析：利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .故选C.方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．【类型三】 分式的符号法则不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)－3b 2a ；(2)5y －7x 2；(3)－a －2b 2a ＋b.解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．解：(1)原式＝－3b 2a ；(2)原式＝－5y 7x 2；(3)原式＝－a ＋2b2a ＋b.方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．探究点二：最简分式、分式的约分和通分 【类型一】 判定分式是否是最简分式下列分式是最简分式的是( )A.2a 2＋a ab B.6xy 3aC.x 2－1x ＋1D.x 2＋1x ＋1解析：A 中该分式的分子、分母含有公因式a ，则它不是最简分式．错误；B 中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C 中分子为(x ＋1)(x －1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x ＋1)，则它不是最简分式．错误；D 中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．【类型二】 分式的约分约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4；(2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy 2. 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去． 解：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3（－a 2）5a 3bc 3·5c ＝－a25c； (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x （x －2y ）x （x －2y ）2＝1x －2y. 方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．【类型三】 分式的通分通分：(1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a5cb 3； (2)1a 2－2a ，a a ＋2，1a 2－4. 解析：确定最简公分母再通分．解：(1)最简公分母为30a 2b 2c 2，b 3a 2c 2＝10b 430a 2b 3c 2，c －2ab ＝－15ab 3c 330a 2b 3c 2，a 5cb 3＝6a 3c30a 2b 3c2；(2)最简公分母为a (a ＋2)(a －2)，1a 2－2a ＝a 2＋2a a （a ＋2）（a －2），aa ＋2＝a 3－2a 2a （a ＋2）（a －2），1a 2－4＝aa （a ＋2）（a －2）.方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．三、板书设计分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个的符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．15．2 分式的运算15．2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)一、情境导入 观察下列运算： 23×45＝2×43×5 57×29＝5×27×9，23÷45＝23×54＝2×53×4 57÷29＝57×92＝5×97×2. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除． 二、合作探究 探究点一：分式的乘法计算：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2.解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2cd 6a 2b 2c 2＝－2d3ac； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2＝x （x ＋3）（x ＋3）（x －3）·3－x x ＋2＝x x －3·－（x －3）x ＋2＝－xx ＋2.方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．探究点二：分式的除法【类型一】 利用分式的除法法则进行计算计算：(1)－3xy ÷2y23x ；(2)(xy －x 2)÷x －yxy. 解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．解：(1)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x22y ；(2)(xy －x 2)÷x －y xy ＝(xy －x 2)·xy x －y ＝－x (x －y )·xy x －y＝－x 2y . 方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．【类型二】 分式的化简求值先化简，再求值： (1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13；(2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1，其中x ＝3＋1.解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x ·2xy ·2y （x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝13时，原式＝24；(2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1x＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3.方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．【类型三】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠－2，x ≠－4 B ．x ≠－2C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4D ．x ≠－2，x ≠－3 解析：∵x ＋3x ＋4≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故选C.方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.【类型四】 分式乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷12ab ＝2aba 2＋b 2(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的2aba 2＋b 2倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可． 三、板书设计分式的乘除1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通．第2课时 分式的乘方1．理解并记住分式乘方的法则．(重点)2．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．(重点)3．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．(难点)一、情境导入复习乘方的意义：a m＝a ×a ×a ×a ×…×a,\s \do 4(m 个)) (m 为正整数)，指出底数a 可以代表一个数，一个整式或代数式，也可以是一个分式，当底数为分式，m 为正整数时，(b a)m表示分式的乘方．那么，分式的乘方怎么计算呢？ 二、合作探究探究点一：分式的乘除混合运算计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1.解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算． 解：原式＝a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）（a －1）2·（a ＋1）（a －1）1＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘方【类型一】 分式的乘方运算下列运算结果不正确的是( )A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 29b2B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 1864y 6C ．[y －x （x －y ）2]3＝(1y －x )3＝1（y －x ）3D ．(－x n y 2n )n ＝x 2ny3n解析：A、B、C计算都正确；D中(－x ny2n )n＝(－1)nxn2y2n2，原题计算错误．故选D.方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－x2y)2·(－y2x)3·(－1x)4；(2)（2－x）（4－x）x2－16÷(x－24－3x)2·x2＋2x－8（x－3）（3x－4）.解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．解：(1)原式＝x4y2·(－y6x3)·1x4＝－y4x3；(2)原式＝（x－2）（x－4）（x＋4）（x－4）·（3x－4）2（x－2）2·（x－2）（x＋4）（x－3）（3x－4）＝3x－4x－3.方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．【类型三】分式乘方的应用通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝43πR3(其中R为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．解：(1)西瓜瓤的体积是43π(R－d)3；整个西瓜的体积是43πR3；(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是43π（R－d）343πR3＝（R－d）3R3.方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．【类型四】分式的化简求值化简求值：(2xy2x＋y)3÷(xy3x2－y2)2·[12（x－y）]2，其中x＝－12，y＝23.解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．解：原式＝8x 3y 6（x ＋y ）3·（x ＋y ）2（x －y ）2x 2y 6·14（x －y ）2＝2x x ＋y .将x ＝－12，y ＝23代入，得原式＝－6.方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法． 三、板书设计分式的乘方1．分式乘方的法则：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方． 2．分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法则进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强．15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减1．理解并掌握分式加减法法则．(重点)2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点)一、情境导入 1．请同学们说出12x 2y3，13x 4y2，19xy2的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？ 今天我们就学习分式加减法． 二、合作探究探究点一：同分母分式的加减法计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －11－x.解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．解：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ＝a 2＋1－（b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2a ＋b ＝（a ＋b ）（a －b ）a ＋b ＝a －b ；(2)2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1x －1＝2－（x －1）x －1＝3－x x －1. 方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．探究点二：异分母分式的加减 【类型一】 异分母分式的加减运算计算：(1)x 2x －1－x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2x －1－x 2－1x －1＝1x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）2－x （x －1）x （x －2）2＝x 2－4－x 2＋x x （x －2）2＝x －4x 3－4x 2＋4x. 方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【类型二】 分式的化简求值先化简，再求值：3x －3－18x 2－9，其中x ＝2016. 解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值． 解：原式＝3x －3－18（x ＋3）（x －3）＝3（x ＋3）－18（x ＋3）（x －3）＝3（x －3）（x ＋3）（x －3）＝3x ＋3，当x ＝2016时，原式＝32019.方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简． 【类型三】 分式的简便运算已知下面一列等式： 1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－15；… (1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立；(3)利用等式计算：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋4）.解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)∵1n －1n ＋1＝n ＋1n （n ＋1）－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；(3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1x ＋2)＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －1x ＋4＝4x 2＋4x. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．【类型四】关于分式的实际应用在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1R 2，试用含有R 1的式子表示总电阻R .解析：由题意知R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1R 2，然后整理成用R 1表示R 的形式．解：由题意得R 2＝R 1＋50，代入1R＝1R 1＋1R 2得1R ＝1R 1＋1R 1＋50，则R ＝11R 1＋1R 1＋50＝12R 1＋50R 1（R 1＋50）＝R 1（R 1＋50）2R 1＋50.方法总结：此题属于物理知识与数学知识的综合，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．三、板书设计分式的加法与减法1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝a ±bc.2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为a b ±c d ＝adbd±bc bd ＝ad ±bcbd.从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．第2课时 分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点) 2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入 提出问题：1．说出有理数混合运算的顺序．2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？ 今天我们共同探究分式的混合运算． 二、合作探究探究点：分式的混合运算 【类型一】 分式的化简计算： (1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ；(2)(x ＋xx 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a＝2a ＋12；(2)原式＝x 3（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x2. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】 分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2，令x＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝12.方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】 利用公式变形对分式进行化简已知a ＋1a＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值．解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了．解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124.方法总结：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．【类型四】 分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2aba ＋b；(2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）22（a ＋b ）＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算． 三、板书设计 分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．15．2.3 整数指数幂1．理解负整数指数幂．(重点)2．掌握整数指数幂的运算性质．(难点)3．会用科学记数法表示小于1的正数．(重点)一、情境导入同底数幂的除法公式为a m ÷a n ＝a m －n，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＜n 时，情况怎样呢？二、合作探究探究点一：负整数指数幂的计算下列式子中正确的是( ) A ．3－2＝－6 B ．3－2＝0.03 C ．3－2＝－19 D ．3－2＝19解析：根据负整数指数幂的运算法则可知3－2＝132＝19.故选D.方法总结：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．探究点二：整数指数幂的运算 【类型一】 整数指数幂的化简计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y )3； (3)(3x 2y －2)2÷(x －2y )3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．解：(1)原式＝x 6y －4＝x 6y4；(2)原式＝x 2y －2·x －6y 3＝x －4y ＝y x4；(3)原式＝9x 4y －4÷x －6y 3＝9x 4y －4·x 6y －3＝9x 10y －7＝9x10y7；(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝31000.方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．【类型二】 比较数的大小若a ＝(－23)－2，b ＝(－1)－1，c ＝(－32)0，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＝cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：∵a ＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b ＝(－1)－1＝－1，c ＝(－32)0＝1，∴a ＞c ＞b ，故选B.方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【类型三】 0指数幂与负整指数幂中底数的取值范围若(x －3)－2(3x －6)有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ≠3且x ≠2C ．x ≠3或x ≠2D ．x ＜2解析：根据题意，若(x －3)0有意义，则x －3≠0，即x ≠3.(3x －6)－2有意义，则3x －6≠0，即x ≠2，所以x ≠3且x ≠2.故选B.方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0. 【类型四】 含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－12)－2＋(2016－π)0－|2－3|.解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，。

案例名称15.1.1 从分数到分式科目数学作者一、教学内容分析本节课选自人教版八年级上册第十五章《分式》中的第一节内容：从分数到分式.本节的主要内容是分式的概念、分式有意义的条件、分式值为0的条件.分式是与整式完全不同的两种代数式，为了突显分式与整式的区别，教材中给出了一些代数式让学生观察找特征，得出分式的概念；又根据分数的意义得出分式的意义；最后例题中的实际问题可让学生深刻的体会出分式的意义.二、教学目标1．知识与技能目标：了解分式的概念，能识别整式、分式；会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义；在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；2．过程与方法目标：经历从分数到分式概念的形成过程，体会类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想方法；能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，培养符号感；3．情感与态度价值观目标：感悟数学在实际生活中的应用，增强数学应用意识，认识到数学的学习价值，激发学习数学的兴趣.三、学习者特征分析学生的知识技能基础：学生已具备整数、分数、整式的基础知识，已初步掌握了列代数式、求代数式的值及解简单的一元方程.在学习整式时，已接触过分式的形式，但是还没有了解分式的概念.从整数到分数是数的扩充，从整式到分式是式的扩充.数学知识源于生活、用于生活.分式与整式都是描述数量关系的代数式，研究分式有助于进一步培养数学建模的意识和数学应用的能力.分式概念是形式定义，分式的分母不能为0（即分式有意义的条件）是对分式概念的深入理解．明确分式的分母不能为0有助于理解解分式方程可能产生增根的道理．学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了整式概念的形成过程，获得了一些相关的数学学习经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.四、教学策略选择与设计根据学生已有的知识技能基础和活动经验基础，教学时，教师可以让学生首先回顾整式的概念，为学生搭建“脚手架”，在剖析分式的概念时，让学生体会由数到式的发展，体现了从特殊到一般的认知过程；针对本节课的知识点，采用按照“（一）分式的概念，（二）分式有意义的条件，（三）分式值为0的条件主线进行教学，通过同一个背景题目的变式将本节课的三个知识点串起来，让学生对这节课的知识框架有一个清晰的认识，注重配合充足的练习题巩固新知，鼓励学生参与合作交流，培养学生良好的观察能力、归纳总结能力以及沟通表达能力.五、教学重点及难点重点：了解分式的概念，能识别整式、分式；难点：会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义.六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图导入新课探究一：分式的概念1.长方形的面积为5，一边长3，则另一边长为_________；2.长方形的面积为S，一边长3，则另一边长为_________；3.长方形的面积为S，一边长a，则另一边长为_________；4.长方形的面积为（42-x），一边长（2+x），则另一边长为____________.思考：观察所列式子，如何对它们进行分类？预设：生1：35一类，式子中不含有字母，3S，aS，242+-xx为一类，式子中含有分母；生2:35，3S为一类，式子分母中不含有字母，aS，242+-xx为一类，式子分母中含有字母.师：像第一个圈中的式子，我们称他们为整式，分母中都不含有字母，而第二个圈中的式子分母含有字母，你们想如何称呼它们呢？通过长方形的实际背景问题引入，让学生在具体情境中抽象出数量关系和变化规律，培养符号感，体会数学是源于生活的思想，增强数学的应用意识.同时，让学生认识到从分数到分式的发展.同时，让学生对所列式子分类，有助于学生理解分式与分数、分式与整式的区别和联系.形成概念分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式.分式BA中，A叫做分子，B叫做分母.思考：（1）分式与分数有何联系？①分数中不含有字母，分式中分母一定含有字母；②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.（2）分式与整式区别是什么？整式分母不含有字母，分式的分母中含有字母.（3）既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称让学生了解分式的概念是一种形式概念，它与整式的本质区别是它的分母中含有字母.242+-xxaS3S35为什么呢？ 有理式小试牛刀例1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？2.请你说出一个式子，让你的同桌判断是整式还是分式？设置小试牛刀这一环节，意在及时巩固刚刚学会的新知识，进行概念的辨析，能区分整式与分式.提炼方法归纳小结：1、判断时，注意含有π的式子，π是常数.2、式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：a11+. 及时引导学生归纳易错点，提高认识.探究二探究二：分式有意义的条件例2.引例中的问题4 分式242+-x x ，（1）当3=x 时，分式的值是多少？当3=x 时，分式值为123432=+- （2）当2-=x ，能算出来吗？当2-=x ，分式的分母.0,02)2(，没有意义分母为=+-（3）当x 为何值时，分式有意义？2-,02≠≠+x x 即母要使分式有意义，则分通过给分式中的字母赋值，让学生体会分式比分数更具有一般性，从分式到分数，体现了从一般到特殊的应用过程.同时让学生发现分母为0的情况，通过与分数类比，得出分式有意义的条件，渗透类比的数学思想. 提炼方法归纳：对于分式BA，当B ≠0时，分式有意义； 当B=0时，分式无意义.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（写出过程） （1）x 32 （2）1-x x （3）b351- （4）y x y x -+通过练习，让学生巩固解题方法.,75-x ,3b a +,11a +,132-x ,1222-+-x y xy x ,72,54c b +.3π探究三探究三：分式值为零的条件例3：已知分式242+-x x ，当x 为何值时，分式的值为0？解：分式的值为0，因此分子 的值为0，又因为分式分母不能为0，则进一步与分数类比，得出分式值为0的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法 归纳小结 对于分式BA，当00≠=B A 且时，分式值为0.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀当下列分式中的字母满足什么条件时分式的值为0？ （1）y x -1 （2）x x 1- （3）212+-x x 通过练习，让学生巩固解题方法.游戏环节环节一：各显神通游戏规则： 在第一环节中，为必答题.看到题目后，每组选取一个代表，按照组的顺序依次答题，答题过程中其他组不得讨论.答对一题得10分，答错不得分.1.长方形的面积为Scm ²,长为7cm.宽应为______cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______;2.把体积为200cm ³的水倒入底面积为 33cm ²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,水面高度为 ___ ;3、△ABC 的面积为 S ，BC 边长为 a ，高AD 为______4、某村有n 个人，耕地 40 公顷，人均耕地面积为_____ 公顷；5、甲完成工作量为m 的工作需t 小时，则甲的工作效率为______，乙完成同样工作比甲少用1小时，则乙的工作效率为________.环节二：眼疾嘴快游戏规则： 第二环节为抢答题，看到题目后，任何人都可以回答.回答时先举手，答对得10分，答错不得分.游戏环节再次提升学生的兴趣.教师鼓励学生开阔思路、大胆发言、不断出新，师生共同分享“突发奇想”、掌握知识的喜悦，培养学生参与竞争的意识.240422±===-x x x 42-x 02≠+x 综上所述： 2-≠x .024x 22的值为时，当+-=x x1、一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车 少用1小时，它的平均车速为 千米/小时.2.下列式子中，是分式的是_________①3x -，②a 5，③a -11，④15y x +，⑤a22-，⑥232x x ，⑦π43x +-3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A. B. C. D.4.一个分子为x －5的分式，且知它在x ≠1时有意义.你能写出一个符合上面条件的分式吗？试试看.拓展提高1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？)1(11-x x ）（ 1522++x x ）（ 2.在什么条件下，分式44||+-x x 的值为0？让学有余力的学生有拓展思维的空间.学生感悟与反思引导学生思考并回答以下问题：通过本节课我知道了……我能……需要注意的是……我感悟了....数学思想鼓励学生大胆发言，审视自己本节课的学习效果.教师引导 课堂小结1、分式的概念；2、分式有意义的条件；3、分式值为零的条件；4、数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊、转化思想.小结本节课所学知识，引导学生建构自己的学习框架，升华认识.布置作业1、书本P133 习题 15.1 1，2，32、《优化设计》课时作业课后作业的布置，使课堂学习的知识得到巩固和延伸.21x x +121x +231x x +2221x x +七、教学流程图八、板书设计15.1.1 从分数到分式一、梳理知识PPT 投影 1.分数的概念 例一：2.分式有意义的条件 例二：3.分式值为零的条件开 始PPT 复习引入新知探究CAI 展示小试牛刀拓展深化游戏、思考，解答归纳小结结 束小组讨论九．教学反思本堂课优点：1、教学设计目标明确，思路清晰，主线明显，在引入中通过具体情境从分数过渡到分式，并且用引例中变式4的例子作为后面两个环节的例题，整堂课的重难点突出，学生能聚焦到本堂课的三个重要知识点中；2、能注重及时归纳小结方法。

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计（共12课时）一. 教材分析人教版八年级数学上册第15章《分式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后，进一步拓展数学知识的一个章节。

分式作为数学中的一个重要概念，不仅在初中数学中占有重要地位，而且在高中乃至大学的数学学习中也会经常用到。

本章主要内容有分式的概念、分式的运算、分式的性质等。

通过本章的学习，使学生能理解分式的概念，掌握分式的运算方法，了解分式的性质，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对实数、代数式、方程等知识有了初步的认识。

但是，学生对分式的理解还比较模糊，分式的运算和性质对于他们来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出分式的概念，通过对比、归纳等方法，让学生自己发现并总结分式的性质，从而提高他们的学习兴趣和自主学习能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解分式的概念，掌握分式的基本运算方法，了解分式的性质。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习分式的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：分式的概念、分式的运算、分式的性质。

2.难点：分式的运算规律、分式的性质的推导和应用。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，培养他们的抽象思维能力。

2.自主学习：鼓励学生自主探究，发现问题、解决问题，提高他们的自主学习能力。

3.合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，互相帮助，共同提高。

六. 教学准备1.教学PPT：制作清晰、简洁的教学PPT，便于学生理解和记忆。

2.教学素材：准备一些与分式相关的实际问题，用于引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

3.练习题：准备一些分式的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

第十五章 分式15.1分式15.1.1从分数到分式一、 教学目标1． 了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，as ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100，v-2060，as ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）3. 当x 为何值时，分式的值为0？1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x xx x --21（1） （2） (3)七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式 无意义？3. 当x 为何值时，分式的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -;分式：x80, b a s + 2． X = 3. x=-1课后反思：15.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.x x 57+xx 3217-x 802332xx x --21231-+x x3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--， yx 3-， n m --2， nm 67--， yx 43---。