专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值考点1 正弦函数、余弦函数的周期性1.如果函数y＝sin（πx＋θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么（）A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2【答案】A【解析】由题意得sin（2π＋θ）＝1，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2，最小正周期T＝2ππ＝2.2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于D，x∈（－1,1）时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.3.定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[−π2,0)时，f（x）＝sin x，则f(−5π3)的值为（）A．－12B．12C．－√32D．√32【答案】D【解析】f(−5π3)＝f(π3)＝－f(−π3)＝－sin(−π3)＝sinπ3＝√32.4.设函数f（x）＝sinπ3x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝________. 【答案】√3【解析】∵f（x）＝sinπ3x的周期T＝2ππ3＝6.∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝335[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f （5）＋f（6）]＋f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＝335·(sinπ3＋sin23π＋sinπ＋sin43π＋sin53π＋sinπ)＋f（335×6＋1）＋f（335×6＋2）＋f（335×6＋3）＝335×0＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝sinπ3＋sin23π＋sinπ＝√3.考点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y＝sin（2x＋π2）B．y＝cos（2x＋π2）C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sin x＋cos x【答案】B【解析】由于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y＝cos（2x＋π2）＝－sin2x为奇函数，且周期为2π2，故B满足条件；由于函数y＝sin2x＋cos2x＝√2sin（2x＋π4）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y＝sin x＋cos x＝√2sin（x＋π4）为非奇非偶函数，故排除D，故选B.6.下列命题中正确的是（）A．y＝－sin x为奇函数B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数C．y＝3sin x＋1为偶函数D．y＝sin x－1为奇函数【答案】A【解析】y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数. 7.设f（x）＝12sin（2x＋φ）（φ是常数）.（1）求证：当φ＝π2时，f（x）是偶函数；（2）求使f（x）为偶函数的所有φ值的集合.【答案】（1）证明当φ＝π2时，f（x）＝12sin（2x＋π2）＝12cos2x，f（－x）＝f（x），f（x）是偶函数.（2）解由题意：f（－x）＝f（x），可得12sin（－2x＋φ）＝12sin（2x＋φ）对一切实数x成立，－2x＋φ＝2x＋φ＋2kπ或－2x＋φ＝π－（2x＋φ）＋2kπ，k∈Z，对一切实数x成立，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，f （x ）为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝k π＋π2，k ∈Z }. 8.函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0,0≤φ≤π）是R 上的偶函数. （1）求φ的值.（2）若f （x ）图象上的点关于M （3π4，0）对称，①求ω满足的关系式；②若f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，求ω的值.【答案】（1）由f （x ）是偶函数，可得f （0）＝±1， 故sin φ＝±1，即φ＝k π＋π2， 结合题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.（2）由（1）知f （x ）＝sin (ωx +π2)＝cos ωx ， ∵f （x ）图象上的点关于M （34π，0）对称，∴f （34π）＝cos 34ωπ＝0，故34ωπ＝k π＋π2（k ∈Z ）， 即w ＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，…∵f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，可得π2≤12·2πω，即ω≤2， 又∵ω＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，… ∴综合以上条件，可得ω＝23或ω＝2. 9.f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3）（ω＞0）.（1）若f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ值； （2）在（1）的条件下求函数f （x ）在[−π2,π3]的值域.【答案】（1）由于f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3），可得f （x ＋θ）＝2√3sin[3ω（x ＋θ）＋π3]＝2√3sin （3ωx ＋3ωθ＋π3）， 再根据f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，可得2π3ω＝2π，3ωθ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z . 求得ω＝13，θ＝k π＋π6，f （x ）＝2√3sin （x ＋π3）. （2）由x ∈[−π2,π3]，可得x ＋π3∈[－π6，2π3]，故当x ＋π3＝－π6时，f （x ）取得最小值为－√3，当x ＋π3＝π2时，f （x ）取得最大值为2， 故函数f （x ）的值域为[－√3，2√3]. 考点3 正弦函数、余弦函数的单调性10.函数y ＝sin （－2x ＋π3）在区间[0，π]上的单调递增区间为（ ） A ．[5π12,11π12] B ．[0,5π12] C ．[π6,2π3] D ．[2π3,π] 【答案】A【解析】y ＝sin （－2x ＋π3）＝－sin （2x －π3）， 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π2时，k ∈Z ，函数单调递增，∴函数在区间[0，π]上的单调递增区间为[5π12,11π12].11.函数y ＝lgsin (π6−2x)的单调递减区间是（ ）A ．(kπ−π6,kπ+π3)（k ∈Z ）B ．(kπ+π3,kπ+5π6)（k ∈Z ）C ．(kπ−π6,kπ+π12)（k ∈Z ）D．(kπ−7π12,kπ+5π6)（k∈Z）【答案】C【解析】令sin(π6−2x)＞0，即sin(2x−π6)＜0，由此得2kπ－π＜2x－π6＜2kπ，k∈Z，解得kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z，由复合函数的单调性知，求函数y＝lgsin(π6−2x)的单调递减区间即是求t＝sin(π6−2x)＝－sin(2x−π6)单调递减区间，令2kπ－π2＜2x－π6＜2kπ＋π2，解得kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z，{x|kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z}∩{x|kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z}＝(kπ−π6,kπ+π12)（k∈Z）.12.设函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）（）A．在（0，π2）单调递减B．在（π4，3π4）单调递减C．在（0，π2）单调递增D．在（π4，3π4）单调递增【答案】A【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，∴π＝2πω，ω＝2.∴f（x）＝sin（2x＋π2），由2kπ＋π2≤2x＋π2≤2kπ＋3π2，k∈Z，可得k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，函数f （x ）＝sin （2x ＋π2）在（0，π2）单调递减. 13.下列关系式中正确的是（ ） A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 【答案】C【解析】∵sin168°＝sin （180°－12°）＝sin12°，cos10°＝sin （90°－10°）＝sin80°. 由正弦函数的单调性得sin11°＜sin12°＜sin80°， 即sin11°＜sin168°＜cos10°. 14.已知函数f （x ）＝2sin （2x －π3），x ∈R ， （1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的单调区间.【答案】（1）根据三角函数的周期公式可得周期T ＝2π2＝π. （2）由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，解得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 15.已知函数f （x ）＝√2sin （2x ＋π4）－1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的单调递增区间； （3）求函数f （x ）的最值.【答案】（1）由周期公式T ＝2πω，得T ＝2π2＝π， ∴函数f （x ）的最小正周期为π；（2）令－12π＋2k π≤2x ＋π4≤12π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π－38π≤x ≤k π＋18π，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为[k π－38π，k π＋18π]（k ∈Z ）. （3）根据正弦函数的性质可知，－1≤sin （2x ＋π4）≤1， ∴－√2≤√2sin （2x ＋π4）≤√2，∴－√2－1≤√2sin （2x ＋π4）－1≤√2－1， ∴函数的最大值为√2－1，最小值为－√2－1. 16.已知函数f （x ）＝sin （2x －π3）. （1）求f （x ）的单调增区间； （2）求f （x ）取最大值时x 值的集合；（3）函数y ＝f （x ）－m 在[0，π2]上有零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）∵函数f （x ）＝sin （2x －π3）， 令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f （x ）的增区间为[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（2）令2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ， 解得x ＝5π12＋k π，k ∈Z ， 此时f （x ）＝1.∴f （x ）取得最大值时x 的集合是{x |x ＝5π12＋k π，k ∈Z }.（3）当x ∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， ∴－√32≤sin （2x －π3）≤1，∴函数y ＝f （x ）在x ∈[0，π2]上的值域是[－√32，1]，若函数y ＝f （x ）－m 在x ∈[0，π2]上有零点，则m 的取值范围是－√32≤m ≤1.考点4 正弦函数、余弦函数的最值17.下列函数中，与函数y ＝√x 3定义域相同的函数为（ ）A ．y ＝1sinx B ．y ＝lnx xC ．y ＝x e xD．y＝sinxx【答案】D【解析】∵函数y＝√x3的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足.18.函数y＝cos(x+π6)，x∈[0,π2]的值域是（）A．[−√32,12]B．[−12,√32]C．[√32,1]D．[12,1]【答案】B【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤2π3.∴cos2π3≤cos(x+π6)≤cosπ6，∴－12≤y≤√32，故选B.19.已知函数f（x）＝2sin（2x＋π6）－1（x∈R），则f（x）在区间[0，π2]上的最大值与最小值分别是（）A．1，－2B．2，－1C．1，－1D．2，－2【答案】A【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴当2x＋π6＝π2时，即sin（2x＋π6）＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当2x＋π6＝7π6时，即sin（2x＋π6）＝－12时，函数取得最小值为－12×2－1＝－2.20.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[−1,12]，则b－a的最大值和最小值之和等于（）A．4π3B．8π3C．2πD．4π【答案】C【解析】利用函数y＝sin x的图象知（b－a）min＝2π3，（b－a）max＝4π3，故b－a的最大值与最小值之和等于2π.21.函数y＝cosωx（ω＞0）在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则ω的取值范围是（）A．2π≤ω≤4πB．2π＜ω≤4πC．2π＜ω≤6πD．2π＜ω＜6π【答案】C【解析】∵函数y＝cosωx（ω＞0）的周期为T＝2πω，且在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值， ∴13≤T ＜1，即13≤2πω＜1， 解得2π＜ω≤6π.22.设f （x ）＝2cos （π4x ＋π3），若对任意的x ∈R ，恒有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1－x 2|的最小值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A【解析】∵f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴x 1、x 2是函数f （x ）取最大、最小值时对应的x 的值， 故|x 1－x 2|一定是T2的整数倍，∵f （x ）＝2cos （π4x ＋π3）的最小正周期T ＝2ππ4＝8，∴|x 1－x 2|＝n ×T2＝4n （n ＞0，且n ∈Z ）， ∴|x 1－x 2|的最小值为4.23.函数f （a ）＝cos 2θ＋a cos θ－a （a ∈[1,2]，θ∈[π6，π3]）的最小值是（ ） A ．√3−23B ．cos 2θ＋cos θ－1C．3＋（√3－1）a D．cos2θ＋2cosθ－2 【答案】D【解析】∵θ∈[π6，π3]，∴cosθ－1＜0，∴f（a）＝cos2θ＋a cosθ－a＝（cosθ－1）a＋cos2θ在[1,2]上单调递减，∴f（a）的最小值为f（2）＝cos2θ＋2cosθ－2.24.已知f（x）＝－2a sin(2x+π6)＋2a＋b，x∈[π4,3π4]，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为{y|－3≤y≤√3－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【答案】∵π4≤x≤3π4，∴2π3≤2x＋π6≤5π3，∴－1≤sin(2x+π6)≤√32.假设存在这样的有理数a，b，则当a＞0时，{−√3a+2a+b=−3,2a+2a+b=√3−1,解得{a=1,b=√3−5,（不合题意，舍去）当a＜0时，{2a+2a+b=−3,−√3a+2a+b=√3−1,解得{a=−1,b=1,故a，b存在，且a＝－1，b＝1.25.已知函数f（x）＝√2a sin（x－π4）＋a＋b.（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）当a＜0时，f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值.【答案】（1）∵当a＝1时，f（x）＝√2sin（x－π4）＋1＋b，∴当x－π4∈[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z时，函数f（x）的单调递减区间是[3π4＋2kπ，7π4＋2kπ]，k∈Z.（2）∵f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，∴不妨设t＝x－π4，x∈[0，π]，t∈[－π4，3π4]，∴f（x）＝g（t）＝√2a sin t＋a＋b，∴f（x）max＝g（－π4）＝－a＋a＋b＝3，①f（x）min＝g（π2）＝√2a＋a＋b＝2，②∴由①②解得，a＝1－√2，b＝3.26.（1）求函数y＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合；（2）求函数y＝cos2x－4cos x＋1，x∈[π3，23π]的值域.【答案】（1）令z＝x3，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，∴y＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值，又z＝x3，故x＝6kπ，k∈Z.∴使函数y＝2－cos x3取得最小值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}；同理，使函数y＝2－cos x3取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}.（2）∵x∈[π3,23π]，∴－12≤cos x≤12.∵y ＝cos 2x －4cos x ＋1＝（cos x －2）2－3， ∴当cos x ＝－12时，y max ＝134； 当cos x ＝12时，y min ＝－34，∴y ＝cos 2x －4cos x ＋1的值域为[−34,134].27.已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （π），求f （x ）的单调递增区间.【答案】由f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立知，2×π6＋φ＝2k π±π2（k ∈Z ）， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .代入f （x ）并由f （π2）＞f （π）检验，得φ的取值为－5π6， 由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，所以单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 考点5 正弦函数、余弦函数的综合应用28.函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是（ ） A ．[2k π＋38π，2k π＋78π]（k ∈Z ） B ．[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ） C ．[k π－18π，k π＋38π]（k ∈Z ） D ．[k π－58π，k π－18π]（k ∈Z ）【答案】B【解析】由于函数y ＝sin （－2x ＋π4）＝－sin （2x －π4），故函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间为函数y ＝sin （2x －π4）的减区间. 令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 求得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ）. 29.对于函数y ＝2sin （2x ＋π6），则下列结论正确的是（ ） A ．函数的图象关于点（π3，0）对称 B ．函数在区间[－π3，π6]递增 C ．函数的图象关于直线x ＝－π12对称 D ．最小正周期是π2 【答案】B【解析】由于点（π3，0）不在函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图象上，故函数图象不关于点（π3，0）对称，故排除A.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，故函数的增区间为[－π3，π6]，故B 正确.当x ＝－π12时，函数值y ＝0，不是最值，故函数的图象不关于x ＝－π12对称，故排除C. 由函数的解析式可得，最小正周期等于T ＝2π2＝π，故D 不正确. 综上可得，只有B 正确.30.已知函数f （x ）＝log 12cosπx 3，函数g （x ）＝a sin （π6·x ）－2a ＋2（a ＞0），x ∈（0,1），若存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（12，43） B ．（23，1） C ．（43，32） D ．[12,43]【答案】A【解析】由于x ∈（0,1），可得f （x ）的值域为（0,1），函数g （x ）＝a ·sin (π6x)－2a ＋2（a ＞0）的值域为（2－2a,2－3a2）， 由于存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 故（0,1）∩（2－2a,2－3a 2）≠∅，若（0,1）∩（2－2a,2－3a2）＝∅，则有2－2a ≥1或2－3a2≤0. 解得a ≤12或a ≥43，故a 的范围为（12，43）.31.函数f （x ）＝M sin （ωx ＋φ）（ω＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ωx ＋φ）在[a ，b ]上（ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值M ，可以取得最小值－MD ．可以取得最大值M ，没有最小值 【答案】C【解析】∵函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M . 采用特殊值法，令ω＝1，φ＝0，则f （x ）＝M sin x ，设区间为[－π2，π2].∵M ＞0，g （x ）＝M cos x 在[－π2，π2]上不具备单调性，但有最大值M .32.设f （x ）＝sin （2x ＋φ），若f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，则： ①f （－π12）＝0；②f （x ）的图象关于点（5π12，0）对称；③f （x ）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x ）的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）. 【答案】①②③【解析】∵f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，∴f （x ）＝sin （2x ＋φ）在x ＝π6时取得最大值，即2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因此函数表达式为f （x ）＝sin （2x ＋π6＋2k π），∵f （－π12）＝sin[2×（－π12）＋π6＋2k π]＝sin2k π＝0，故①是真命题； ∵f （5π12）＝sin （2×5π12＋π6＋2k π）＝sin （π＋2k π）＝0，∴x ＝5π12是函数y ＝f （x ）的零点，得点（5π12，0）是函数f （x ）图象的对称中心，故②是真命题；∵函数y ＝f （x ）的图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，∴f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，故③是真命题；令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴f（x）的单调递增区间是[－π3＋kπ，π6＋kπ]（k∈Z），故④是假命题.由以上的讨论，可得正确命题为①②③，共3个，故答案为①②③.33.已知函数f（x）＝√2cos（2x－π4），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）f（x）的最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.当2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，即kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z时，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k∈Z.（2）∵x∈[－π8，π2]，则2x－π4∈[－3π4，3π4]，故cos（2x－π4）∈[－√22，1]，∴f（x）max＝√2，此时2x－π4＝0，即x＝π8；f（x）min＝－1，此时2x－π4＝－3π4，即x＝－π4.34.设函数f（x）＝√1－2sinx.（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域及取最大值时x的值.【答案】（1）由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知，定义域为{x|2kπ＋5π6≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z}.（2）∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，∴f（x）的，k∈Z时，f（x）取得最大值.值域为[0，√3]，当x＝2kπ＋3π2。
