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三角函数的奇偶性与周期性三角函数是数学中重要的函数之一，在数学和物理等领域得到了广泛的应用。
其中，奇偶性与周期性是三角函数的两个重要特征。
本文将对三角函数的奇偶性与周期性进行详细探讨。
一、正弦函数的奇偶性与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的纵坐标值。
正弦函数具有以下特点：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，即在原点处取对称轴。
2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在[0,2π]范围内，正弦函数的图像重复出现。
在其他范围内，正弦函数的周期可表示为2π的整数倍。
在图像上，正弦函数的曲线呈现一种波动的形态，无论是在[-2π,2π]范围内还是在其他范围内。
这种周期性的特点使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，如振动、波动等。
二、余弦函数的奇偶性与周期性余弦函数是另一种常见的三角函数，用cos(x)表示。
在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的横坐标值。
余弦函数具有以下特点：1. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称，即在y轴处取对称轴。
2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
在[0,2π]范围内，余弦函数的图像重复出现。
余弦函数的图像与正弦函数的图像相似，同样呈现一种波动的形态。
但相对于正弦函数，余弦函数的波峰和波谷位置相反，即在同一角度上，正弦函数达到波峰时，余弦函数达到波谷。
三、其他三角函数的性质与周期除了正弦函数和余弦函数，还存在其他几个常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们的性质和周期如下：1. 正切函数（tan(x)）：正切函数是奇函数，周期为π。
2. 余切函数（cot(x)）：余切函数是奇函数，周期为π。
3. 正割函数（sec(x)）：正割函数是偶函数，周期为2π。
4. 余割函数（csc(x)）：余割函数是奇函数，周期为2π。
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是高中数学中的一个重要部分，它的周期性和奇偶性是在学习三角函数的过程中需要掌握的基本概念。
三角函数中主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的周期性和奇偶性正弦函数的定义式为y = sin x，其中x为自变量，y为因变量。
正弦函数的图像是一条波形曲线，它的周期为2π，即当x增加一个周期时，y的值会重复一次。
具体来说，正弦函数在[0,2π]区间内的最小正周期为2π。
因此，在对正弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，可以把自变量限制在[0,2π]之间。
正弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
可以通过正弦函数的定义式来进行验证：sin(-x) = -sin x。
因此，正弦函数是一个奇函数，即在[0,2π]内，正弦函数关于坐标轴的原点对称。
2. 余弦函数的周期性和奇偶性余弦函数的定义式为y = cos x，其中x为自变量，y为因变量。
余弦函数的图像也是一条波形曲线，它的周期也是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的最小正周期也为2π。
在对余弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，也可以把自变量限制在[0,2π]之间。
余弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
通过余弦函数的定义式可以得知：cos(-x) = cos x。
因此，余弦函数是一个偶函数，即在[0,2π]内，余弦函数关于y轴对称。
3. 正切函数的周期性和奇偶性正切函数的定义式为y = tan x，其中x为自变量，y为因变量。
正切函数在定义域内有无数个周期，其最小正周期为π，即当x增加π时，y的值会重复一次。
因此，在对正切函数进行周期性和奇偶性的分析时，需要考虑其多个周期的情况。
正切函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
通过正切函数的定义式可以得知：tan(-x) = -tan x。
因此，正切函数是一个奇函数，即在其每个周期内，正切函数关于坐标轴的原点对称。
综上所述，三角函数的周期性和奇偶性是其在数学中的重要概念之一。
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。
一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。
这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。
这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。
2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。
也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。
这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。
需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。
二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。
2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。
但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。
三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念和工具之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
掌握三角函数的性质对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括周期性、界限、奇偶性和函数图像。
1. 周期性三角函数的周期性是指在一定的区间内，函数值呈现重复的规律。
在正弦函数和余弦函数中，其周期均为2π，即在区间[0, 2π]内，函数值会重复出现。
在切线函数和余切函数中，其周期为π，即在区间[0, π]内，函数值重复。
2. 界限三角函数的界限是指函数值的上下限。
在正弦函数和余弦函数中，其函数值的范围在[-1, 1]之间。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值也为1，最小值也为-1。
切线函数和余切函数的函数值没有界限。
3. 奇偶性三角函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
正弦函数和正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数和余切函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着正弦函数和正切函数关于原点对称，而余弦函数和余切函数关于y轴对称。
4. 函数图像三角函数的函数图像能够反映其性质和变化规律。
正弦函数的图像呈现周期性的波浪形，具有对称轴和最值点；余弦函数的图像也呈现周期性的波浪形，与正弦函数的图像相位差π/2；切线函数的图像是递增的曲线，其值范围不受限制；余切函数的图像类似于切线函数的图像，但在x轴上有无穷多个奇点。
5. 三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。
例如，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，即tan(x) = sin(x)/cos(x)；余切函数等于余弦函数除以正弦函数，即cot(x) = cos(x)/sin(x)。
利用这些关系可以在计算过程中进行简化和转化。
总之，三角函数的性质包括周期性、界限、奇偶性和函数图像，这些性质对于理解三角函数的规律以及解决各类数学问题具有重要的作用。
掌握三角函数的性质和基本关系，有助于提高数学问题的解决能力和分析能力。
三角函数的周期性与奇偶性知识点三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在数学中有着广泛的应用，涉及到周期性与奇偶性的概念。
本文将详细介绍三角函数的周期性与奇偶性知识点，以便读者更好地理解和运用这些函数。
一、正弦函数的周期性与奇偶性正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。
换句话说，当自变量增加2π时，正弦函数的值会再次重复。
具体而言，正弦函数的周期性可以表示为sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着，如果我们将自变量x增加一个周期的长度，正弦函数的值将保持不变。
正弦函数还具有奇偶性。
奇函数的特点是在原点关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)。
对于正弦函数来说，sin(-x) = -sin(x)，因此它是一个奇函数。
这也意味着，正弦函数的图像关于坐标原点对称。
二、余弦函数的周期性与奇偶性余弦函数也是一种周期函数，其周期同样为2π。
与正弦函数类似，余弦函数的值在自变量增加一个周期的长度后会再次重复，即cos(x +2π) = cos(x)。
不同的是，余弦函数是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。
在余弦函数中，cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。
三、正切函数的周期性与奇偶性正切函数是一个没有周期的函数，它在某些点上是无界的。
因此我们不能像正弦函数和余弦函数一样讨论它的周期性。
然而，正切函数具有奇偶性。
在正切函数中，tan(-x) = -tan(x)，因此它也是一个奇函数。
与正弦函数一样，正切函数的图像关于原点对称。
综上所述，三角函数的周期性与奇偶性是它们在数学中重要的性质。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数是奇函数而余弦函数是偶函数。
正切函数虽然没有周期，但仍然是一个奇函数。
这些性质在解决数学问题和实际应用中起到重要的作用。
通过了解三角函数的周期性与奇偶性，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质。
这对于解题和应用三角函数来说是非常有帮助的。
正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x
2 B ．y ＝cos x
2 C ．y ＝cos x
D ．y ＝cos 2x
D [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是
( )
B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.]
3．函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【有知识题：84352090】
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
B [由已知得2π|ω|＝π
5，又ω＞0， 所以2πω＝π
5，ω＝10.]
4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C ．2π
D ．4π B [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝
|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.]
5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2
B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝－1.]
二、填空题
6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号).
【有知识题：84352091】
①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π
2时，f (x )＝cos x 是偶函数．] 7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω
的最大值为________．
6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π
2＜ω＜2π， ∴ω的最大值是6.]
8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________．
f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．]
三、解答题
9．已知函数y ＝12sin x ＋1
2|sin x |. (1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋1
2|sin x |
＝⎩⎨
⎧
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，
图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性.
【有知识题：84352092】
[解] ∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]
＝lg(1＋sin 2
x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2
x 1＋sin 2x ＋sin x
＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )．
又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0， ∴f (x )是奇函数．
[冲A 挑战练]
1．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x
1＋sin x 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 C [由1＋sin x ≠0得sin x ≠－1， 所以函数
f (x )的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪⎪
x ≠2k π－π2，k ∈Z
，不关于原点对称，所
以f (x )是非奇非偶函数．]
2．设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )
【有知识题：84352093】
A ．32
B ．－3
2 C ．0
D ． 3
D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2π
π3
＝6，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＝
336⎝ ⎛⎭
⎪⎫
sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋
f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 2
3π＝ 3.] 3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图1-4-4所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是
______________________．
图1-4-4
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3 [∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪
(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3.]
4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________.
【有知识题：84352094】
13
2 [因为f (x )·
f (x ＋2)＝13，
所以f (x ＋2)＝13
f (x )
， 所以f (x ＋4)＝
13f (x ＋2)
＝13
13f (x )
＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数， 所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝
13f (1)＝132
.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．
[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2时，
g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3.
因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，5π6，
所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π
6. 又因为g (x )的最小正周期为π，
所以g (x )＝3
2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。
