正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是高中数学中的一个重要部分，它的周期性和奇偶性是在学习三角函数的过程中需要掌握的基本概念。

三角函数中主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的周期性和奇偶性正弦函数的定义式为y = sin x，其中x为自变量，y为因变量。

正弦函数的图像是一条波形曲线，它的周期为2π，即当x增加一个周期时，y的值会重复一次。

具体来说，正弦函数在[0,2π]区间内的最小正周期为2π。

因此，在对正弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，可以把自变量限制在[0,2π]之间。

正弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

可以通过正弦函数的定义式来进行验证：sin(-x) = -sin x。

因此，正弦函数是一个奇函数，即在[0,2π]内，正弦函数关于坐标轴的原点对称。

2. 余弦函数的周期性和奇偶性余弦函数的定义式为y = cos x，其中x为自变量，y为因变量。

余弦函数的图像也是一条波形曲线，它的周期也是2π。

与正弦函数类似，余弦函数的最小正周期也为2π。

在对余弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，也可以把自变量限制在[0,2π]之间。

余弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

通过余弦函数的定义式可以得知：cos(-x) = cos x。

因此，余弦函数是一个偶函数，即在[0,2π]内，余弦函数关于y轴对称。

3. 正切函数的周期性和奇偶性正切函数的定义式为y = tan x，其中x为自变量，y为因变量。

正切函数在定义域内有无数个周期，其最小正周期为π，即当x增加π时，y的值会重复一次。

因此，在对正切函数进行周期性和奇偶性的分析时，需要考虑其多个周期的情况。

正切函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

通过正切函数的定义式可以得知：tan(-x) = -tan x。

因此，正切函数是一个奇函数，即在其每个周期内，正切函数关于坐标轴的原点对称。

综上所述，三角函数的周期性和奇偶性是其在数学中的重要概念之一。

三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。

例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。

这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。

余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。

3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。

正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。

二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。

具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。

例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。

一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。

这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。

这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。

2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。

这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。

需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。

二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。

2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。

但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性 课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性． 识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称． 课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数． 能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

三角函数的周期性与奇偶性知识点三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学中有着广泛的应用，涉及到周期性与奇偶性的概念。

本文将详细介绍三角函数的周期性与奇偶性知识点，以便读者更好地理解和运用这些函数。

一、正弦函数的周期性与奇偶性正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

换句话说，当自变量增加2π时，正弦函数的值会再次重复。

具体而言，正弦函数的周期性可以表示为sin(x + 2π) = sin(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加一个周期的长度，正弦函数的值将保持不变。

正弦函数还具有奇偶性。

奇函数的特点是在原点关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)。

对于正弦函数来说，sin(-x) = -sin(x)，因此它是一个奇函数。

这也意味着，正弦函数的图像关于坐标原点对称。

二、余弦函数的周期性与奇偶性余弦函数也是一种周期函数，其周期同样为2π。

与正弦函数类似，余弦函数的值在自变量增加一个周期的长度后会再次重复，即cos(x +2π) = cos(x)。

不同的是，余弦函数是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。

在余弦函数中，cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的周期性与奇偶性正切函数是一个没有周期的函数，它在某些点上是无界的。

因此我们不能像正弦函数和余弦函数一样讨论它的周期性。

然而，正切函数具有奇偶性。

在正切函数中，tan(-x) = -tan(x)，因此它也是一个奇函数。

与正弦函数一样，正切函数的图像关于原点对称。

综上所述，三角函数的周期性与奇偶性是它们在数学中重要的性质。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数是奇函数而余弦函数是偶函数。

正切函数虽然没有周期，但仍然是一个奇函数。

这些性质在解决数学问题和实际应用中起到重要的作用。

通过了解三角函数的周期性与奇偶性，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质。

这对于解题和应用三角函数来说是非常有帮助的。

三角函数中的周期性与奇偶性三角函数是数学中的重要概念，在各个领域中都得到广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要特性，对于分析和理解三角函数的性质具有重要意义。

一、周期性周期性是指函数在一定范围内以固定的间隔上下循环出现相同的值。

在三角函数中，正弦函数(sin)和余弦函数(cos)的周期均为2π。

这意味着，当自变量每增加2π时，函数的值会回到原来的位置。

以正弦函数为例，sin(x)的周期为2π，可以表示为：sin(x + 2π) = sin(x)这意味着，无论x的取值是多少，只要将其增加2π，函数的值就会回到原来的位置。

同样地，余弦函数的周期也为2π。

对于正弦函数和余弦函数的图像来说，周期性表现为波形的重复出现。

在一段周期中，波形会上升到最大值，然后下降到最小值，再经过0点回到原来的位置。

二、奇偶性奇偶性是指函数在定义域内满足一定的对称性。

在三角函数中，正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。

奇函数的特点是对称于坐标原点，即满足以下性质：sin(-x) = -sin(x)这意味着，对于正弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值也取相反数。

例如，sin(-π/6)等于-sin(π/6)。

与之相反，偶函数的特点是对称于y轴，即满足以下性质：cos(-x) = cos(x)这意味着，对于余弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值保持不变。

例如，cos(-π/3)等于cos(π/3)。

奇偶性在三角函数的图像中体现为关于y轴或坐标原点的对称性。

例如，正弦函数的图像在坐标原点上下对称，而余弦函数的图像在y 轴上下对称。

三、综合应用三角函数的周期性和奇偶性不仅仅是数学的概念，它们在实际问题中的应用也非常广泛。

周期性可以用于分析周期性现象的规律。

例如，天体运动、电流变化等都具有周期性，可以通过三角函数中的周期性概念来描述和分析这些现象。

奇偶性则可以用于简化计算或证明问题。

例如，利用正弦函数的奇性可以将某些积分计算简化，而余弦函数的偶性可以用于证明恒等式等。

专题51 正、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一 函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． (3)记f (x )＝sin x ，则由sin(2k π＋x )＝sin x (k ∈Z)，得f (x ＋2k π)＝f (x )(k ∈Z)对于每一个非零常数2k π(k ∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|.2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z)．题型一 三角函数的周期问题及简单应用1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos4x[解析]∵T ＝π2＝2π|ω|，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝42．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R.[解析] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4， 由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π. 3．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(4)f (x )＝|sin x |. [解析] (1)∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π. (2)解法一：∵2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6＋2π＝2sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，∴f (x ＋4π)＝f (x )， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的周期是4π. 解法二：∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2π＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴f (x ＋π)＝f (x )，∴T ＝π. (4)f (x )＝|sin x |的图象如图所示．∴周期T ＝π.4．求下列函数的周期．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3；(2)y ＝|cos x |；(3)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. [解析] (1)解法一：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3＋2π＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋4)＋3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3， 令y ＝f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. 解法二：ω＝π2，∴T ＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y ＝|cos x |的图象如下图所示．∴周期T ＝π.(3)解法一：y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. ∵3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋2π＝3cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6， 令y ＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝f (x )，∴y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x 的周期为2π3. 解法二：∵|ω|＝3，∴T ＝2π|ω|＝2π3.(4)解法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋2π＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π4，令y ＝f (x )，则f (x ＋π)＝f (x )， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π. 解法二：∵ω＝2，∴T ＝2πω＝2π2＝π.5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为[解析]因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π. 6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是 [解析]∵y ＝sin x2的周期为4π，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为2π 7．如图所示的是定义在R 上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )[解析]观察图象易知，只有D 选项中的图象不是周期函数的图象． 8．设a ＞0，若函数y ＝sin(ax ＋π)的最小正周期是π，则a ＝________． [解析]由题意知T ＝2πa＝π，所以a ＝2.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于[解析] 由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.10．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________． [解析]T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.11．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． [解析] 由题意得2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π.∴正整数k 的最小值为4π.12．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是[解析] ∵y ＝cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )，∴函数y ＝cos(sin x )的最小正周期为π.13．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是________． [解析]∵函数y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，∴函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期为π2. 14．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x <0sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________. [解析]∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 15．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为_____．[解析]因为f (x )的最小正周期为π2，ω＞0，所以ω＝2ππ2＝4.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，所以cos α＝35.所以sin α＝±1－cos 2α＝±45. 16．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________.[解析]f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，f (9)＋f (10)＋…＋f (16)＝0，依此循环， f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝0＋f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝2＋1. 17．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝[解析]∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝336sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＋f (336×6＋3)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＋sin 33π＝ 3.18．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是以4为周期的函数； (2)当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7.5)的值．[解析] (1)证明：f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f (x ＋4)＝f (x )，所以f (7.5)＝f (3.5＋4)＝f (3.5)＝f (－0.5＋4)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 19．已知f (x )＝sin ax (a ＞0)的最小正周期为12.(1)求a 的值；(2)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)． [解析] (1)由2πa ＝12，得a ＝π6.(2)∵f (x )＝sin π6x 的最小正周期为12，且f (1)＋f (2)＋…＋f (12)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019) ＝0＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0＋sin π6＋sin π3＋sin π2＝3＋32.20．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．[解析](1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 21．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析] (1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )0，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.22．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集． [解析]当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z . 题型二 三角函数奇偶性的判断1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x；(4)f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ；(5)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2. [解析] (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg [1－s i n (－x )]－lg [1＋s i n (－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．(4)函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的定义域为R.∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x cos x ， ∴f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (5)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－2cos2x ，定义域为R. ∵f (－x )＝－2cos(－2x )＝－2cos2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数. 2．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝3cos2x ；(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2；(3)f (x )＝x ·cos x . [解析] (1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos2x ＝f (x )， 所以f (x )＝3cos2x 是偶函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2＝cos 2x 3＋2，所以f (－x )＝cos 2(－x )3＋2＝cos 2x3＋2＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝x cos x 是奇函数． 3．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin|x |；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. [解析] (1)因为函数的定义域为R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x4， 所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数． (2)因为函数的定义域为R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π(k ∈Z)，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 4．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝－2cos 3x ；(2)f (x )＝x sin(x ＋π)；(3)f (x )＝|sin x |＋cos x ；(4)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x . [解析] (1)f (－x )＝－2cos 3(－x )＝－2cos 3x ＝f (x )，x ∈R ，所以f (x )＝－2cos 3x 为偶函数．(2)f (x )＝x sin(x ＋π)＝－x sin x ，x ∈R ，所以f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数． (3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝cos x －x 3·sin x ，所以f (－x )＝cos(－x )－(－x )3·sin(－x )＝cos x －x 3·sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．5．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．[解析]∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]＝lg(1＋sin 2x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2x 1＋sin 2x ＋sin x＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )． 又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0，∴f (x )是奇函数． 6．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．[解析]x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数 [解析]函数的定义域为R ，且y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，故所给函数是奇函数． 8．函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数[解析]由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x ＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．9．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是________． [解析]当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )， ∴x ＜0时，f (x )＝－sin x .∴f (x )＝sin|x |，x ∈R.10．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________． [解析]f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ，因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ，即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ． 11．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ是偶函数，则φ的一个取值为( ) A ．2010π B ．－π8 C ．－π4D ．－π2[解析]当φ＝－π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2＝cos 12x 为偶函数，故选D. 12．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( )A.π4B.π2 C ．π D.3π2[解析]要使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 13．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( ) A ．0 B ．－π4 C ．π2D ．π[解析]法一：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z . 显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k ∈Z )， 即φ＝k π－π4，令k ＝0，则φ＝－π4.14．若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为________．[解析]要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则须π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z.所以α＝k π＋π4，k ∈Z.因为0<α<π2，所以α＝π4.15．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于________． [解析]因为f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a |＝0，所以a ＝0. 16．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x，若f (5)＝－2，则f (－5)＝________．[解析]f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，则f (－x )＝a sin （－x ）＋b （－x ）3c cos （－x ）＝－a sin x ＋bx 3c cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (－5)＝－f (5)＝2.题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin 2x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x [解析]y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [解析]∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－πx －1＝－cos(πx )－1 ∴T ＝2ππ＝2，而f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数[解析]∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋6π＋π＋π2＝3sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋2x 3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋23x ＝－3cos 23x ∴T ＝2π23＝3π，而f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数．4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于[解析]f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，则f ⎝⎛⎭⎫3π4的值为 [解析]由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫3π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1. 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________. [解析]因为f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x ＋2)＝13f (x )，所以f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132.7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝ [解析]因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期是4.因为f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2， 所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.8．函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，则sin ⎣⎡⎦⎤πf (5)＋π2＝________. [解析] ∵函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，∴f (5)＝f (4＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－1，则原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π2＝－sin π2＝－1.9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值．[解析]∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 10．设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )[解析]由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求f (x )的解析式． [解析] x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.12．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．[解析]答案为①④，φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数． 13．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是______________________．[解析]∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 14．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2k ＋13πx ＋π4(k ∈N *)，若在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝12，求k 的值． [解析]∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝12，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧2T ≤3，4T ≥3，即34≤T ≤32，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *，∴k ＝2或k ＝3.。

三角函数的奇偶性与周期性三角函数是数学中的重要概念之一，它们在几何学、物理学等多个领域中有广泛的应用。

在研究三角函数时，我们常常关注它们的奇偶性与周期性。

本文将着重探讨三角函数的奇偶性与周期性，并且介绍它们在实际问题中的应用。

一、正弦函数与余弦函数的奇偶性与周期性在三角函数中，最常见且重要的是正弦函数和余弦函数。

它们的图像是波浪形的曲线，具有独特的奇偶性和周期性。

1. 正弦函数的奇偶性与周期性正弦函数的定义域是实数集，记作f(x)=sin(x)。

正弦函数的图像关于原点对称，即满足奇函数的性质。

具体地说，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)。

这表明正弦函数的图像以原点为中心，关于x轴对称。

此外，正弦函数的周期是2π，即对任意实数x，有f(x+2π)=f(x)。

也就是说，正弦函数的图像沿x轴方向平移2π后，与原图像完全相同。

2. 余弦函数的奇偶性与周期性余弦函数的定义域是实数集，记作g(x)=cos(x)。

与正弦函数类似，余弦函数的图像也关于y轴对称，即满足偶函数的性质。

具体地说，对于任意实数x，有g(-x)=g(x)。

这表明余弦函数的图像以y轴为中心，关于y轴对称。

余弦函数的周期也是2π，即对任意实数x，有g(x+2π)=g(x)。

也就是说，余弦函数的图像沿x轴方向平移2π后，与原图像完全相同。

二、正切函数与余切函数的奇偶性与周期性除了正弦函数和余弦函数，另外两个常见的三角函数是正切函数和余切函数。

它们的奇偶性和周期性与正弦函数和余弦函数略有不同。

1. 正切函数的奇偶性与周期性正切函数的定义域是实数集，记作h(x)=tan(x)。

正切函数是奇函数，即对于任意实数x，有h(-x)=-h(x)。

与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数没有固定的周期。

正切函数的图像在每个π的倍数处都有无穷多个垂直渐近线，这是因为在这些点上，tan(x)的值无穷大或负无穷大。

2. 余切函数的奇偶性与周期性余切函数的定义域是实数集，记作k(x)=cot(x)。