高一数学下-正、余弦函数的周期性与奇偶性.doc

高一数学三角函数的像与周期性三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在解决三角学问题、波动现象和周期性问题中有广泛的应用。

本文将重点讨论三角函数的像与周期性。

一、正弦函数的像与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用y = sin(x)表示。

它的图像是一条连续的曲线，具有以下特点：1. 像的取值范围：正弦函数的像的取值范围是[-1, 1]，即它的值始终在-1和1之间。

2. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π。

也就是说，当x增加2π时，y的值将重复。

图1展示了正弦函数的图像。

[图1：正弦函数图像]二、余弦函数的像与周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，用y = cos(x)表示。

它与正弦函数非常相似，但有一些区别：1. 像的取值范围：余弦函数的像的取值范围也是[-1, 1]，与正弦函数相同。

2. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期同样为2π。

图2展示了余弦函数的图像。

[图2：余弦函数图像]三、正切函数的像与周期性正切函数是另一个常见的三角函数，用y = tan(x)表示。

它的图像有着特殊的性质：1. 像的取值范围：正切函数的像的取值范围是全体实数。

2. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期为π。

当x增加π时，y 的值将重复。

图3展示了正切函数的图像。

[图3：正切函数图像]综上所述，三角函数的像与周期性是数学中重要的概念。

正弦函数和余弦函数的像取值范围均为[-1, 1]，而正切函数的像取值范围是全体实数。

它们都是周期性函数，其中正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

三角函数在解决各种实际问题中有着广泛的应用。

比如，可以用正弦函数模拟海浪的波动，用余弦函数描述天体运动的周期性，用正切函数分析电路中的变化等等。

了解三角函数的像与周期性对于理解这些现象和解决相关问题至关重要。

总之，高一数学中三角函数的像与周期性是一个重要的内容。

通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以理解它们在图像上的特点以及周期性的规律。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课标要求素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y ＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.教材知识探究丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0 MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21 000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1 rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7 500个家庭的电力需求.风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益.这种周而复始的转动就是周期现象.问题 1.你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω>0)的周期是多少？2.函数y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？提示 1.对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数，y ＝f (ωx )的周期为Tω. 2.与ω有关，T ＝2π|ω| .1.周期函数 没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期条件 ①对于函数f (x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论 函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件 如果周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数 结论这个最小正数叫做f (x )的最小正周期函数 y ＝sin x y ＝cos x 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[微判断]1.周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R ).(×) 提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.2.任何周期函数都有最小正周期.(×)提示 常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期. 3.若存在正数T ，使f (x ＋T )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2T .(√) 4.函数f (x )＝sin 2x 是奇函数.(√) 5.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是偶函数.(√)6.y ＝sin x 与y ＝cos x 既是中心对称图形又是轴对称图形.(√) [微训练]1.函数y ＝sin(x ＋π2)是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数解析 因为y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，所以该函数是周期为2π的偶函数. 答案 D2.若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)在R 上为偶函数，则φ可等于( ) A.0 B.π4 C.π2D.π解析 代入排除，当φ＝π2时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 为偶函数.答案 C3.下列四个函数中，图象关于y 轴对称的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝1＋cos x C.y ＝sin 2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 图象关于y 轴对称，则为偶函数，故选B. 答案 B [微思考]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？y ＝A cos (ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？提示 根据诱导公式.当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ )为奇函数，当φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ)为偶函数(k ≠0).题型一 求三角函数的周期 【例1】 求下列函数的周期： (1)y ＝2sin(12x ＋π6)，x ∈R ； (2)y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R ； (3)y ＝|sin x |，x ∈R .解 (1)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋4π）＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π， 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的周期是4π.(2)∵1－2cos[π2(x ＋4)]＝1－2cos(π2x ＋2π)＝1－2cos(π2x )，∴自变量x 只需并且至少要增加到x ＋4，函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的周期是4. (3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π. 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期. 【训练1】 求下列函数的最小正周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.解 (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋2π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3. ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π3，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的周期是2π3.(2)∵函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2.题型二 三角函数的奇偶性 首先判断函数的定义域是否关于原点对称 【例2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点 (1)看函数的定义域是否关于原点对称； (2)看f (－x )与f (x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解 (1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数.(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.题型三 三角函数的奇偶性与周期性的简单应用【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x | B.y ＝|sin x | C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.答案 D(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A.－12B.12C.－32D.32解析 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案 D【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？解 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－sin π3＝－32. 【迁移2】 若将例3(2)题条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3的值.解 f (2 017π3)＝f (672π＋π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，f (2 018π3)＝f (672π＋2π3)＝f (2π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32， 所以f (2 017π3)＋f (2 018π3)＝32＋32＝ 3.规律方法 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.【训练3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6＝________.解析 f (－17π6)＝f (－17π6＋3π)＝f (π6)＝f (π6－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1. 答案 1一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.3.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性. 二、素养训练1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C. 答案 C2.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析 对于D ，x ∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数. 答案 D3.函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数解析 由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )可知f (x )是奇函数，但f (－x )≠f (x )，故f (x )不是偶函数. 答案 A4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A.f (x )是周期为1的奇函数B.f (x )是周期为2的偶函数C.f (x )是周期为1的非奇非偶函数D.f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析 f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，故选B. 答案 B5.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 答案 ±π基础达标一、选择题1.下列函数中，周期为2π的是( ) A.y ＝sin x2 B.y ＝sin 2x C.y ＝|sin x2|D.y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝|sin x2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 答案 C2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15D.20解析 由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10.答案 B3.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2，故选C. 答案 C4.定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A.1B.－1C.0D.2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.答案 B5.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1 B.22 C.0D.－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案 B 二、填空题6.函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2. 答案27.关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是________(填序号).解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数.答案 ①④8.已知函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋φ，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________. 解析 由题意知π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z .∵φ∈(－π，π)，当k ＝0时，φ＝－π3；当k ＝1时，φ＝2π3.答案 －π3或2π3三、解答题9.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x . 解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数.(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.10.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 能力提升11.设f (x )＝log 31－2sin x 1＋2sin x. (1)求函数f (x )的定义域.(2)判断函数f (x )的奇偶性.(3)试判断f (x )是否为周期函数？若是直接写出f (x )的最小正周期.解 (1)∵1－2sin x 1＋2sin x>0，∴－12<sin x <12， ∴k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，∴该函数的定义域为{x |k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin x 1＋2sin x －1 ＝－log 31－2sin x 1＋2sin x＝－f (x )， ∴该函数为奇函数.(3)f (x )为周期函数，T ＝2π.12.已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域并判断函数的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小正周期.解 (1)由cos x ＋1≠0，得x ≠2k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z }，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝1－cos 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝－cos 2x ＋cos x ＋2cos x ＋1＝（cos x ＋1）（2－cos x ）cos x ＋1＝2－cos x .因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数.(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以f(x)的最小正周期为2π.。

三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。

例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。

这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。

余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。

3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。

正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。

二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。

具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。

例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。

一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。

这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。

这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。

2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。

这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。

需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。

二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。

2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。

但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。

高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。