正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)

三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性：[22]22x k k ππππ，（k Z ）增函数3[22]22x k k ππππ，（k Z ）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2xk k Zππ，；对称中心(0)k k Z π，，．2.余弦函数图像和性质1）图像xy -11-2π-π2ππo-3π3π-ππy 12）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性：[22]x k k πππ，（k Z ）增函数 [22]x k k πππ，（kZ ）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴xk kZ π，；对称中心(0)2k k Zππ，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x xk k Z ππ，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，（k Z ）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k kZπ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y xϕϕ的图像可以看做将函数sin y x 的图像上的所有的点向左（当0ϕ时）或向右（当0ϕ时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y xωϕ（0ω且1ω）的图像可以看做是把sin()yxϕ的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω时）或伸长（当01ω时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到． 3）振幅变换：函数sin()yA xωϕ（0A 且1A ）的图像可以看做是将sin()yx ωϕ的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A 时）或缩短（当1A 时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．填空题（共4小题）1．（2015春•建瓯市校级期末）函数f（x）=sin2x+2√3cos2x﹣√3，函数g（x）=mcos（2x﹣π6）﹣2m+3（m＞0），若对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是[1，43]．【解答】解：∵f（x）=sin2x+√3（2cos2x﹣1）=sin2x+√3cos2x=2sin（2x+π3），当x∈[0，π4]，2x+π3∈[π3，5π6]，∴sin（2x+π3）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣π6）﹣2m+3（m＞0），2x﹣π6∈[﹣π6，π3]，mcos（2x﹣π6）∈[m2，m]，∴g（x）∈[﹣3m2+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣3m2+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣3m2+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，43]．故答案为：[1，43]．2．（2013秋•滨江区校级期末）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+12≥m对x∈[0，π2]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，12]∪[32，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，π2]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+12≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+12≥0恒成立；令sinx=t （0≤t ≤1），g （t ）=﹣t 2+（m ﹣1）t +12，要使g （t ）=﹣t 2+（m ﹣1）t +12≥0（0≤t ≤1）恒成立， 必须{g(0)≥0g(1)≥0，即{12≥0−2+m +12≥0，解得m ≥32；①当m ＜0时，原不等式可化为：（sinx +1）（sinx ﹣m ）+12≥m ，整理得：sin 2x ﹣（m ﹣1）sinx ﹣2m +12≥0，令h （t ）=t 2﹣（m ﹣1）t ﹣2m +12≥0（0≤t ≤1），要使t 2﹣（m ﹣1）t ﹣2m +12≥0（0≤t ≤1）恒成立， 应有{ℎ(0)≥0ℎ(1)≥0，解得：m ≤14，∴m ＜0；②当0≤m ≤1时，（sinx +1）|sinx ﹣m |+12≥m 对x ∈[0，π2]恒成立⇔m ≤（sinx +1）|sinx ﹣m |+12恒成立，令t （x ）=（sinx +1）|sinx ﹣m |+12，m ≤t （x ）min ，当sinx=m 时，t （x ）min =12，∴m ≤12，又0≤m ≤1，∴0≤m ≤12；③由①②③得：m ≤12或m ≥32，∴实数m 的取值范围是：（﹣∞，12]∪[32，+∞）．故答案为：（﹣∞，12]∪[32，+∞）．3．已知x ∈R ，则函数f （x ）=max {sinx ，cosx 2}的最大值与最小值的和等于1﹣√22．【解答】解：√2=sin(x+π4)，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=5π4时，函数f（x）取得最小值−√22，故最大值和最小值之和为1−√22，故答案为：1−√22．4．（2011春•东港区校级期末）下列说法：①函数f(x)=2cos2(π4−x)−1是最小正周期为π的偶函数；②函数y=cos(π4−2x)+1可以改写为y=sin(π4+2x)+1；③函数y=cos(π4−2x)+1的图象关于直线x=5π8对称；④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为（kπ，0），k∈Z；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是y=sin(x+π4)；其中所有正确的命题的序号是②③．（请将正确的序号填在横线上）【解答】解：①函数f(x)=2cos2(π4−x)−1=cos （π2﹣2x ）=sin2x ，∵ω=2，∴T=2π2=π，又正弦函数为奇函数，∴f （x ）为奇函数， 则f （x ）为周期为π的奇函数，本选项错误；②函数y =cos(π4−2x)+1=cos [π2﹣（π4+2x ）]+1=sin （π4+2x ）+1，本选项正确；③函数y =cos(π4−2x)+1=cos [π2﹣（π4+2x ）]=sin （π4+2x ），令π4+2x=kπ，（k ∈Z ） 解得x=kπ2﹣π8，∵k=4时，x=5π8，则函数图象关于直线x =5π8对称，本选项正确；④tan （﹣x ）=﹣tanx ，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．平移坐标系，使原点（0，0）移到（ π2，0）得到y=tan （x +π2）=﹣cotx ，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ﹣π2，0）综合到一起就得到对称中心是（k π2+π2，0）．（k 是整数），本选项错误；⑤将函数y=sin2x 的图象先向左平移π4个单位，得到y=sin2（x +π4），然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为y=sin2（12x +π4）=sin （x +π2）≠sin(x +π4)，本选项错误，则正确选项的序号为：②③． 故答案为：②③二．解答题（共14小题）5．（2017秋•天津期末）已知函数f(x)=√2cos(4x −π4)+1．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅰ）求函数f （x ）的对称轴和对称中心．【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)=√2cos(4x −π4)+1中， 令π+2kπ≤4x −π4≤2π+2kπ，得5π16+kπ2≤x ≤9π16+kπ2， ∴f （x ）的单调递增区间为：[5π16+kπ2，9π16+kπ2](k ∈Z)， 令2kπ≤4x −π4≤π+2kπ，得π16+kπ2≤x ≤5π16+kπ2， ∴f （x ）的单调递减区间为：[π16+kπ2，5π16+kπ2](k ∈Z)； （Ⅰ）令4x −π4=kπ，得x =π16+kπ4，∴f （x ）的对称轴方程为：x =π16+kπ4(k ∈Z)； 令4x −π4=π2+kπ，得x =3π16+kπ4，∴f （x ）的对称中心为：(3π16+kπ4，1)(k ∈Z)．（注：单调区间写开区间不扣分；k ∈Z 不写扣1分）6．（2017秋•双流县校级月考）已知函数f （x ）=sin （ωx +π4），其中ω＞0（1）若对任意x ∈R 都有f （x ）≤f （5π12），求ω的最小值；（2）若函数y=f （x ）在区间（π2，π）上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由对任意x ∈R 都有f （x ）≤f （5π12），知f （x ）在x=5π12处取得最大值，∴5π12ω+π4=π2+2kπ，k ∈Z ； 解得ω=35+245k ，k ∈Z ，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为35；（Ⅰ）设t=ωx +π4，x ∈（π2，π），∴t ∈（ωπ2+π4，ωx +π4），由已知（ωπ2+π4，ωπ+π4）⊆[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k ∈Z ；∴{ωπ2+π4≥π2+2kπωπ+π4≤3π2+2kπ， 解得{ω≥4k +12ω≤2k +54，又ω＞0，∴{4k +12≤2k +542k +54＞0，解得﹣58≤k ≤38，∴k=0，∴ω的取值范围是12≤ω≤54．7．（2016秋•金华期末）设函数f （x ）=4sinx （cosx ﹣sinx ）+3 （Ⅰ）当x ∈（0，π）时，求f （x ）的单调递减区间；（Ⅰ）若f （x ）在[0，θ]上的值域为[0，2√2+1]，求cos2θ的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=4sinx （cosx ﹣sinx ）+3 =4sinxcosx ﹣4sin 2x +3=2sin2x ﹣4×1−cos2x2+3=2sin2x +2cos2x +1=2√2sin （2x +π4）+1，令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π8≤x ≤kπ+5π8，k ∈Z ，又x ∈（0，π），所以f （x ）的单调递减区间是[π8，5π8]；（Ⅰ）由f （x ）=2√2sin （2x +π4）+1在[0，θ]上的值域为[0，2√2+1]，令x=0，得f （0）=2√2sin π4+1=3；令f （x ）=2√2+1，得sin （2x +π4）=1，解得x=π8，∴θ＞π8；令f （x ）=0，得sin （2x +π4）=﹣√24，∴2x +π4＜3π2，解得x ＜5π8，即θ＜5π8；∴θ∈（π8，5π8），∴2θ+π4∈（π2，3π2）；由2√2sin （2θ+π4）+1=0，得sin （2θ+π4）=﹣√24，所以cos （2θ+π4）=﹣√1−(−√24)2=﹣√144， 所以cos2θ=cos [（2θ+π4）﹣π4]=cos （2θ+π4）cos π4+sin （2θ+π4）sin π4=﹣√144×√22+（﹣√24）×√22=﹣√7+14．8．（2017春•长安区校级期中）设函数f(x)=√22cos(2x +π4)+sin 2x （1）求f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[π6，π3]时，求f （x ）的最大值和最小值． 【解答】解：（1）函数f(x)=√22cos(2x +π4)+sin 2x=√22（cos2xcos π4﹣sin2xsin π4）+sin 2x =12（cos2x ﹣sin2x ）+1−cos2x 2 =﹣12sin2x +12；∴f （x ）的最小正周期为T=2π2=π；（2）当x ∈[π6，π3]时，2x ∈[π3，2π3]，∴sin2x ∈[√32，1]，∴﹣12sin2x +12∈[0，2−√34]，即f（x）的最大值为2−√34，最小值为0．9．（2018•上海二模）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+π6）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f（A）=2，求sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+π6）=1﹣cos2x+sin2xcosπ6+cos2xsinπ6=√32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，∵﹣1≤sin(2x−π6)≤1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=13，得sinB=2√23，又f（A）=2，即sin(2A−π6)+1=2，则sin(2A−π6)=1，∴2A−π6=π2，得A=π3．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=√32×13+12×2√23=2√2+√36．10．（2017•浙江二模）已知直线x=5π18是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴．（1）求φ；（2）求函数y=f（x）+f（π6﹣x），x∈（0，π3）的值域．【解答】解：（1）∵直线x=5π18是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴，∴3•5π18+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=﹣π3，f （x ）=sin （3x ﹣π3）． （2）函数y=f （x ）+f （π6﹣x ）=sin （3x ﹣π3）+sin [3（π6﹣x ）﹣π3]=sin （3x ﹣π3）+cos （3x +π3）=12sin3x ﹣√32cos3x +12cos3x ﹣√32sin3x=1−√32sin3x +1−√32cos3x=√2−√62sin （3x +π4）， ∵x ∈（0，π3），∴3x +π4∈（π4，5π4），∴sin （3x +π4）∈（﹣√22，1]，∴y ∈[√2−√62，√3−12）．11．（2018•温州二模）如图，已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象与坐标轴交于点A ，B ，C （−12，0），直线BC 交f （x ）的图象于另一点D ，O 是△ABD 的重心． （Ⅰ）求φ；（Ⅰ）求△ACD 的外接圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）∵O 是△ABD 的重心，C （﹣12，0），∴A （1，0），故函数f （x ）的最小正周期为3，即2πω=3，解得ω=2π3，……………………（3分） f （﹣12）=sin [2π3×（﹣12）+φ]=sin （﹣π3+φ）=0，∴φ=π3； ……………………（6分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2π3x +π3），∴B （0，√32）且C （﹣12，0），∴∠BCO=60°； ……………………（8分）∵C （﹣12，0）是BD 的中点，∴D （﹣1，﹣√32），……………………（10分）∴AD=√4+34=√192； ……………………（11分）∴2R=ADsin∠ACD =√192sin120°=√573，∴外接圆半径R=√576．…………………………（14分）12．（2018春•吉林期中）已知定义在区间[−π，23π]上的函数y=f （x ）的图象关于直线x =−π6对称，当x ∈[−π6，23π]时，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，其图象如图所示．（1）求函数y=f （x ）在[−π，23π]的表达式；（2）求方程f(x)=√32解的集合；（3）求不等式f(x)≥√22的解集．【解答】解：（1）当x ∈[−π6，23π]时，函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2），观察图象易得：A=1，ω=1，φ=π3，则函数f(x)=sin(x +π3)，由函数y=f （x ）的图象关于直线x =−π6对称得，x ∈[−π，−π6]时，函数f （x ）=﹣sinx ，∴f(x)={sin(x +π3)x ∈[−π6，2π3]−sinxx ∈[−π，−π6]；（2）当x ∈[−π6，2π3]时，由sin(x +π3)=√32，得x +π3=π3或2π3，解得x=0或x =π3；当x ∈[−π，−π6]时，由−sinx =√32得，x =−2π3或x =−π3；∴方程f(x)=√32的解集为{−2π3，−π3，0，π3}；（3）不等式f(x)≥√22，当x ∈[﹣π6，2π3]时，sin （x +π3）≥√22，∴3π4≥x +π3≥π4，解得5π12≥x ≥﹣π12；当x ∈[﹣π，﹣π6]时，﹣sinx ≥√22，∴﹣3π4≤x ≤﹣π4；综上，不等式的解集为[−3π4，−π4]∪[−π12，5π12]．13．（2018•奉贤区二模）某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数f （n ）可近似地用函数f （n ）=Acos （wn +θ）+k 来刻画，其中正整数n 表示月份且n ∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A 和k 是正整数，w ＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f （n ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，T=12，∴ω=2π12=π6；又{A +k =500k −A =100，解得{A =200k =300，由π6×2+θ=﹣π+2kπ，k ∈Z ； 解得θ=﹣4π3+2kπ，k ∈Z ；又θ∈（0，π），∴θ=2π3；∴函数f （n ）=200cos （π6n +2π3）+300；（2）令f （n ）=200cos （π6n +2π3）+300≥400，化简得cos （π6n +2π3）≥12，即﹣π3+2kπ≤π6n +2π3≤π3+2kπ，k ∈Z ，解得n ∈[12k ﹣6，12k ﹣2]，k ∈Z ； 又n ∈[1，12]， ∴n ∈[6，10]，∴取n=6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．14．（2018•徐汇区一模）如图是函数f （x ）=Asin （ωx +φ），（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）图象的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点，（1）若点M 的坐标为（﹣1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标 （2）若点M 的坐标为（﹣m ，0）（m ＞0），MC →⋅MD →=3π24−4，试确定函数f（x ）的解析式．【解答】解：（1）设点C （a ，b ），由中点坐标公式得{a+(−1)2=0b+02=1，解得a=1，b=2，∴点C （1，2），∴点N （3，0），点D （5，﹣2）；（2）同样由E （0，1）是线段MC 的中点，得A=2， 由M （﹣m ，0），得C （m ，2），D （5m ，﹣2）； ∴MC →•MD →=2m•6m +2×（﹣2）=12m 2﹣4， 又MC →•MD →=3π24﹣4，∴12m 2=3π24，解得m=π4；由T=2πω=8m=2π，解得ω=1，∴φ=π4；∴函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （x +π4）．15．（2018•江苏模拟）某海警基地码头O 的正东方向40海里处有海礁界碑M ，过点M 且与OM 成30°角（即北偏西60°）的直线l 在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O 北偏东60°方向领海海面上的A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P 处恰好截获可疑船． （1）如果O 和A 相距6海里，求可疑船倍截获的P 点的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P 不能在公海上），则O 、A 之间的最大距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A （6cos3°，6sin30°），即A （3√3，3）； 设走私船能被截获的点为P （x ，y ）， 则|OP |=2|AP |，即√x 2+y 2=2√(x −3√3)2+(y −3)2， 整理得：（x ﹣4√3）2+（y ﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4√3，4）为圆心，以4为半径的圆；（2）由题意知，直线l 的方程为y=﹣√33（x ﹣40），即√3x +3y ﹣40√3=0；设|OA |=t ，则A （√32t ，12t ）（t ＞0），设走私船能被截获的点为P （x ，y ），则|OP |=2|AP |， ∴√x 2+y 2=2√(x −√32t)2+(y −12t)2， 整理得：（x ﹣2√33t ）2+（y ﹣23t ）2=49t 2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C （2√33t ，23t ）为圆心，以23t 为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C 到直线l 的距离d ≥r ；即|√3×2√33t+3×23t−40√3|√3+9≥23t ，整理得t 2﹣30√3t +450≥0，解得t ≤15（√3﹣1）或t ≥15（√3+1）（不合题意，舍去）， ∴O ，A 之间的最远距离是15（√3﹣1）海里．16．（2017秋•宜昌期末）如图为函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R ）的部分图象． （1）求函数解析式；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）若方程f （x ）=m 在[−π2，0]上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题中的图象知，A=2，T4=π3−π12=π4，即T=π，所以ω=2πT=2，根据五点作图法，令2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，得到φ=π3+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ=π3，解析式为f(x)=2sin(2x+π3)．…（5分）（2）令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．…（9分）（3）由f(x)=2sin(2x+π3)在[−π2，0]上的图象如图知，当m∈(−2，−√3]上有两个不同的实根．…（12分）17．（2017春•新余期末）已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅰ）若x ∈[0，π2]时，f （x ）的最小值为﹣2，求a 的值．【解答】解：（I ）f(x)=2sin2xcos π6+cos2x +a =√3sin2x +cos2x +a =2sin(2x +π6)+a∴f （x ）的最小正周期，T=2πω=2π2=π（II ）因为y=sinx 的减区间为：2kπ+π2≤x ≤2kπ+3π2，k ∈Z所以2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x ≤kπ+2π3（k ∈Z ）时，函数f（x ）单调递减，故所求区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)（III ）x ∈[0，π2]时，2x +π6∈[π6，7π6]∴x =π2时f （x ）取得最小值∴2sin (2⋅π2+π6)+a =−2×12+a =−2∴a =−1．18．（2017春•新余期末）设a →=(sin2π+2x 4，cosx +sinx)，b →=（4sinx ，cosx ﹣sinx ），f （x ）=a →•b →．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f （ωx ）在区间[−π2，2π3]是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A={x|π6≤x ≤2π3}，B={x ||f （x ）﹣m |＜2}，若A ⊆B ，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=sin 2π+2x 4•4sinx +（cosx +sinx ）•（cosx ﹣sinx ） =4sinx•1−cos(π2+x)2+cos2x=2sinx （1+sinx ）+1﹣2sin 2x=2sinx +1，∴f （x ）=2sinx +1．（2）∵f （ωx ）=2sinωx +1，ω＞0．由2kπ﹣π2≤ωx ≤2kπ+π2， 得f （ωx ）的增区间是(2kπω−π2ω，2kπω+π2ω)，k ∈Z ．∵f （ωx ）在(−π2，2π3)上是增函数，∴(−π2，2π3)⊆(−π2ω，π2ω)．∴﹣π2≥﹣π2ω且2π3≤π2ω， ∴ω∈(0，34]．（3）由|f （x ）﹣m |＜2，得﹣2＜f （x ）﹣m ＜2，即f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2． ∵A ⊆B ，∴当π6≤x ≤23π时， 不等式f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，∵f （x ）max =f （π2）=3，f （x ）min =f （π6）=2， ∴m ∈（1，4）．。

高中数学-三角函数本文将详细介绍高中数学中的一章-三角函数。

三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。

下面将分别进行详细介绍。

一、三角函数的定义三角函数是指在单位圆上，角度为x的点与x轴的交点的坐标值之间的比值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在三角函数的定义中，需要注意单位圆的概念以及对于不同象限的角度，三角函数的正负关系。

二、三角函数的性质三角函数具有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等。

三角函数的周期是2π，即在每一个周期内，函数值相同，并且具有对称性。

三角函数的奇偶性包括正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。

三角函数的单调性描述了函数图像的变化趋势，正弦函数和余弦函数在一个周期内都是周期性变化的，正弦函数在第一象限和第四象限单调上升，余弦函数在第一象限和第四象限单调下降。

三、三角函数的基本公式三角函数的基本公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的加减角公式、倍角公式、半角公式等。

在三角函数的基本公式中，需要注意加减角公式的正负关系，倍角公式的推导以及半角公式的应用。

四、三角函数的图像三角函数的图像对于理解三角函数的性质和应用非常重要。

正弦函数和余弦函数的图像在单位圆上是圆上点的纵、横坐标，而正切函数的图像则是从原点出发与x轴夹角为x 的射线与x轴的交点的纵坐标与横坐标之比。

五、三角函数的应用三角函数的应用非常广泛，包括求解三角形的各种角度和边长、计算物体运动的轨迹等。

在三角函数的应用中，需要注意如何将实际问题转化为数学问题，并且正确地运用三角函数的定义、性质、公式和图像。

六、总结三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。

通过学习本章，可以使学生掌握三角函数的基本概念和应用方法，提高数学思维和解题能力，为学习后续知识打下坚实的基础。

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

三角函数的图像与性质及解三角形知识梳理：（1）周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期.（2）最小正周期：若()f x 在所有周期中存在一个最小正数，称它为最小正周期. 当函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量时，A :振幅；12f Tωπ==:频率；2T πω=:周期；x ωϕ+:相位，当0ω=时,ϕ称为初相.sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>和cos()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的最小正周期都是2T πω=tan()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的最小正周期都是T πω=3、三角函数的最值与值域的常见类型及解题策略函数的sin()y A x k ωϕ=++的最大值是A K +,最小值是A K -最值问题是三角函数中考查频率最高的重点内容之一，是对三角函数概念、图像、性质以及诱导公式、同角三角函数关系、三角公式变换等内容的综合考查，也是与函数的交汇点. （1）sin cos y a x b x =+型引入辅助角公式sin cos )y a x b x x ϕ=+=+，其中tan ba ϕ=，利用三角函数的有界性，有[y ∈.（2）22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型22sin sin cos cos sin 2cos 2)y a x b x x c x y A x B x x ϕ=++−−−−→=+=+降次、整理，其中tan B A ϕ=，再利用有界性处理.解三角形知识梳理1．内角和定理（三角形中的边角关系）：①在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - ②大边对大角，大角对大边 ③在直角三角形中：A+B=C=2π、222,sin sin ,sin 1a b c a b A B C cc=+===，2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCc Bb Aa2sin sin sin ===(解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)形式三：形式四：正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)2222cos c a b ab C =+-形式二：::sin :sin :sin a b c A B C =sin ,sin ,sin 222a b c A B C RRR ===222cos 2b c aA bc +-=222cos 2a c bB ac+-=余弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知三边；（2）已知两边及夹角.3、ZZZAXXX 面积公式:222cos 2a b cC ab+-=111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B∆===。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m a a a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。