林寿数学史第三讲：中世纪的东西方数学I

中世纪的中国数学概述数学发展的历史流转到中世纪，古代希腊数学的“黄金时代”在几经兵火后停滞不前。

中国、印度与阿拉伯地区的数学发展缺逐渐活跃，发展迅猛，而中国又是其中繁荣时期延续最长的。

下面将通过这时期踊跃问世的一些主要数学著作来认识中世纪的中国数学发展历程。

《周髀算经》——中国最古老的天文学著作《周髀算经》作者不详，这部著作虽被定义为天文学著作，但实际上是从数学的角度讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。

主要成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。

《九章算术》——中国最古老的数学专著《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学专著。

《九章算术》内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，主要为以下几个方面的内容：算术方面，包括分数四则运算法则、比例算法和“盈不足”术。

代数方面，包括方程术、正负术和开方术。

其中，方程术即线性联立方程组的解法；正负术即正、负数的加减运算法则；开方术本质上是一种减根变换法。

特别地，在开方术中就已经指出了存在开不尽的情形。

几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章分别讨论了面积计算、体积计算和勾股定理的应用。

给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的，但因将圆周率错误地定为3，使得球体的体积计算误差过大。

《九章算术》具有几何问题算术化和代数化的重要特征。

其中几何部分主要是实用几何，只给出几何问题的算法却没有具体的推导证明。

《九章算术注》——在注释中成就不朽《九章算术注》是刘徽于公元3世纪撰写的，虽说是对《九章算术》的注解，却包含了刘徽本人许多创造，完全可以看成是独立的著作，也因此奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位。

刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。

《九章算术注》中最突出的成就是“割圆术”和体积理论。

“割圆术”的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，边数逐次加倍并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。

第三章中世纪的中国数学希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰．数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期．除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台．中世纪（公元5-17世纪）数学的主角是中国、印度与阿拉伯地区的数学．与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导．所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法．算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高．这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种归纳思维能力的产物．这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成．东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生．本章介绍中国数学史．就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的．从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰．3.1《周髀算经》与《九章算术》3.1.1古代背景第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽．殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数．至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数．我们今天还可以从现存的公元前3世纪的刀币上看到这种记数法．《孙子算经》中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位．一纵十横，百立千僵．千十相望，百万相当”．据此我们知道筹算记数有纵横两种形式.纵式用来表示个位、百位、万位……数字；横式用来表示十位、千位、十万位……数字．纵、横相间，零则以空位表示．这样，数76 031用算筹表示出来是．这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献．关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是带直角的拐尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国（公元前475-前221）诸子百家，与希腊雅典学派时代相当．“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”（代表人物是墨翟,前468-前376）与“名家”（代表人物是庄子、惠施、公孙龙），其著作包含有理论数学的萌芽．如《墨经》（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：点：“端，体之无厚而最前者也”（部分中没有空间大小并处于最前缘者．厚，即“体”．）；直线：“直，参（叁）也”（三点相齐）；圆：“圜(圆)，一中同长也”（从中心到周界有相同的长度）；正方形：“方，柱隅四讙（权）也”（四边四角皆正．权,意“正”．）；平行：“平，同高也”（高度相同）；体积：“厚，有所大也”（物体有厚度就意味着有一定的体积）．等等，大约有17条之多．《墨经》中甚至涉及到“有穷”与“无穷”，说“或（域）不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”．梁启超《墨经校释》云：“凡《墨经》所谓尺，皆当几何学之线．”以善辩著称的名家，对无穷概念则有更进一步的认识，如据《庄子》记载，惠施曾指出：“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一”．这里“大一”、“小一”有无穷大和无穷小之意．意思是说：大到无外部为无穷大，小到无内部为无穷小．名家主要是辩论哲学概念，但《庄子》（庄子，前369-前286）中记载他们的多条名辩也可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如：“矩不方，规不可以为圆”；“飞鸟之影未尝动也”；“镞(zu)矢之疾,而有不行不止之时”；“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应．不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外情形，其他包括儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，而只注重社会伦理、修心养身、经世治国之道，这与古代希腊的学派有很大的不同．秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的局面．到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，便失去进一步成长的机会．两汉时期的数学，主要是沿着实用与算法的方向发展，并取得了很大的成就．3.1.2《周髀算经》在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部．《周髀算经》作者不祥，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）．这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系．从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出．《周髀算经》卷上记载西周开国时期（大约公元前1100年）武王之弟周公姬旦与大夫商高讨论勾股测量的对话．周公向商高求教：“……夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来丈量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？商高所提供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．……”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（后来也称弦长）便是五．卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”． 这是从天文测量中总结出来的普遍定理．《周髀算经》主要是以文字形式叙述了勾股算法．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）．赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理．如图，考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有.22b a +如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为2c ，因此.222c b a =+赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五”特例之后的一段说明文字的诠释．《周髀算经》的这段文字说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五．两矩共长二十有五，是谓积矩”． 3.1.3《九章算术》《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代．《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中有一门是“九数”，刘徽（三国魏人）《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、耿寿昌等人删补．1984年出土的湖北张家山汉初古墓竹简《算术书》，有些内容与《九章算术》类似．因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作．《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟米、衰（cui ）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股．其中所包含的数学成就是丰富和多方面的．（一）算术方面（1）分数四则运算法则．《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则．其中“约分术”给出了求分子、分母最大公约数的“更减相损”法：“约分术：可半者半之．不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”意思是，约分分为两步： 首先是判断分子、分母是否都是偶数．若是，则用2约简．接着以较大的数减较小的数，把所得的差再与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，求得“等数”．最后，约掉“等数”即可．可见，其中所说的“等数”，就是最大公因数．求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法，它与欧几里得《原本》卷Ⅶ中给出的方法是一致的．（2）比例算法．《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法：“今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法．实如法而一．”这是从比例关系a :c b =:x 求x 的问题．《九章算术》称a 为“所有率”，b 为“所求率”，c 为“所有数”，x 为“所求数”．“今有术”给出的答案是bc x a=． 以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问题，“衰分”就是按一定级差分配．“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配．（3）盈不足术．“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法．《九章算术》中典型的盈亏类问题如：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四．问人数、物价各几何？”意思就是说几个好朋友合伙买一个东西，每人出8块钱还多出3块．每人拿7块又少四块．问这件东西多少钱，几个人买?《九章算术》的解法是：“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率，并，以为实．并盈、不足为法．实如法而一．盈、不足相与同其买物者，置所出率，以少減多．余，以约法、实．实为物价，法为人数．”一般地假设人数为x ，物价为y ，每人出钱1a 盈1b ，出钱2a 不足2b ．《九章算术》“盈不足术”的解法分两部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：211221b b b a b a x y ++=． 这是用于解一般算术問題的．第二部分是求人数、物价的公式：2112212121,a a b a b a y a a b b x -+=-+=．刘徽以“齐同”原理论证了术文的正确性．任何算术问题（不一定是盈亏类问题），通过两次假设未知量的值，都可以转换成盈亏 类问题来求解．《九章算术》“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题．如果我们所求算术问题的答数x 满足一个方程0)(=x f ．先假设一个答数1x ，此时对应的)(1x f 为1y ；再假设一个答数2x ，此时对应的)(2x f 为2y -，则可按盈不足术求出)()()()(212112211221x f x f x f x x f x y y y x y x x --=++=． 对一次函数，这个解答是精确的；对非线性函数这个解答只是x 的一个线性近似值．盈不足术实质上是一种线性插值法．“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”．“契丹”是当时西方和阿拉伯人对中国的称呼，俄语至今还把中国叫Китай（契丹）．13世纪意大利数学家斐波那契《算经》一书中也有一章讲“契丹算法”．由此可见，盈不足术是中国古代数学家的独创．（二）代数方面《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的．（1）方程术．“方程术”即线性联立方程组的解法．以“方程”章第1题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问：上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三．方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左禾列如右方．以右行上禾遍乘中行而以直除．又乘其次，亦以直除．然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除．左方下禾不尽者，上为法，下为实．实即下禾之实．求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实．余如中禾秉数而一，即中禾之实．求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实．余如上禾秉数而一，即上禾之实．实皆如法，各得一斗．”题中“禾”为黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食．设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分别为z y x ,,（斗），则问题就相当于解一个三元一次联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.2632,3432,3923z y x z y x z y x《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将z y x ,,的系数和常数项排列成一个方阵（如下图，其中已将筹算数码换作阿拉伯数码），这就是“方程”一词的来源．注意这里采取的是自右至左纵向排列．“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用图(i)右行上禾)(x 的系数3“遍乘”中行和左行各数，然后从所的结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行各数，就得到图(ii)所示的新方程．其次以图(ii)中行中禾)(y 的系数5遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，右得到图(iii)所示的新方程．其中左行未知量系数只剩一项，以4除11，即得下禾324()z =（斗）． 为求上禾)(x 和中禾)(y ，重复“遍乘直除”程序．以图(iii)左行下禾)(z 的系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直除左行并约分，最后得到图(iv)所示的新方程．由此方程计算得 上禾194()x =，中禾144()y =，下禾324()z =． 很清楚，《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”．《九章算术》方程术，是世界数学史上的一颗明珠．（2）正负术．《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进．在方程术中，当我们用遍乘直除法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，不引入负数就不可能保障“直除”程序的进行．《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”，即正、负数的加减运算法则： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指二数绝对值相加、相减；“无”即零．这段话的前一半说的是减法法则，后一半说的是加法法则．它的意思是：同号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正得负，零减负得正．异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正得正，零加负得负．对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤．如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是算法思维的产物．中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼与迷惑．《九章算术》之后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数．7世纪时的印度数学家也开始使用负数．对负数的认识在欧洲却进展缓慢，直到16世纪韦达的著作还回避使用负数．（3）开方术．《九章算术》“少广”章（淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步．今欲截取其从少，以益其广，故曰少广．讨论已知面积或体积求边长问题．）有“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法．方法如下：“开方术曰： 置积为实．借一算，步之，超一等．议所得，以一乘所借一算为法，而以除．除已，倍法为定法．其复除，折法而下．复置借算，步之如初．以复议一乘之，所得副以加定法，以除．以所得副从定法．复除，折下如前．若开之不尽者为不可开，当以面命之．若实有分者，通分内子为定实．乃开之，讫，开其母报除．若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一．开立方术曰：置积为实．借一算，步之，超二等．议所得，以再乘所借一算为法 ，而除之．除已，三之为定法．复除，折而下．以三乘所得数置中行．复借一算置下行．步之 ，中超一，下超二等．复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法．以定法除．除已，倍下，并中从定法．复除，折下如前．开之不尽者，亦为不可开．若积有分者，通分内子为定实．定实乃开之，讫，开其母以报除．若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之．讫，令如母而一．”对比开平方术和开立方术，不难看出，两种开方的程序基本上是统一的，都是通过筹式布算，机械重复地实施“超”、“议”、“除”和“折”四大步骤，直至适尽结束．《九章算术》开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河．《九章算术》开方术实际上还包含了二次方程c bx x =+2的数值求解程序，称为“开带从平方法”．这里一次项称为从项．《九章算术》开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形，并给这种不尽根数起了一个专门的名字—“面”．《九章算术》时代的中国数学家，如同对待他们发现的负数一样，对在开方过程中接触到的无理量也这样泰然处之．这或许是因为引导他们发现不尽根数的算法本身，使他们能够有效地计算这种不尽根数的近似值．事实上，稍后的刘徽在“开方术注”中就明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为求“微数”法，并指出在开方过程中，“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也”（三）几何方面《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题．其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题（商是估算，功是工程量），“勾股”章则是关于勾股定理的应用．《九章算术》中的几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，体积问题则主要涉及土方计算．各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源．如平面图形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、“环田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体）以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等．《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的．如刍童（左图）体积公式为])2()2[(6c bd a d b h V +++= 羡除（右图）体积公式为：hl c b a V )(61++= 《九章算术》方田章“圆田术”圆面积公式2R A π=是正确的，但以3为圆周率失于粗疏．“开立圆术”则相当于给出球体积公式3316πD V =（D 为直径），这是不正确的，加之取π为3，误差过大．与欧几里得《原本》中将代数问题几何化的做法相反，《九章算术》将几何问题算术化和代数化．在“勾股章”中可以找到典型的例子．如第20题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木．出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？答曰：二百五十步．术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实．并出南门步数为从法，开方除之，即邑方．”如图，《九章算术》的解法是以710002=⨯⨯ED CB 为“实”（常数项），以34=+EF CB 为“从法”（一次项系数），然后“开方除之”，相当于解一个二次方程 71000342=+x x ．这种几何代数化的做法，经过刘徽和更晚的宋、元数学家的发扬，成为中国古典数学的重要特征．《九章算术》对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明．可以说《九章算术》中的几何部分主要是实用几何．但稍候的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章．3.2从刘徽到祖冲之从公元220年东汉分裂，到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝．这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期．在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起．在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求两部著作中一些重要结论的数学证明．这方面的先锋是三国的赵爽，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子．他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期．3.2.1刘徽的数学成就关于刘徽的生平，我们几乎什么都不了解．《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》．《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位．刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论．（一）割圆术刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．术曰：“假令圆径二尺，圆中容六觚（即正六边形）之一面，与圆径之半，其数均等．合径率一而外周率三也．又按为图，以六觚之一面乘半径，因而云之，得十二觚之冪．若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之冪．割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和周长．刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值14.3≈π，化成分数为15750，这就是有名的“徽率”．刘徽一再声明：“此律尚微少”，需要的话，可以继续算下去，得出更精密的近似值来．我们知道，《九章算术》使用的圆周率是3．从西汉末年开始，新率陆续出现，但仍然很不精确并且没有推算方法．刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家．（二）体积理论像阿基米德一样，刘徽倾力于面积和体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果． 刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变．在平面的情形，刘徽利用这条原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用即使对于像“阳马”这样看似简单的立体也遇到了很大的困难．这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等．但这是到20世纪才弄清楚的（见希尔伯特问题）．古代数学家并未明确认识到这一点，不过为了在体积问题上有所作为，一些一流的数学家都不约而同地借助于无限小方法来绕越上述的障碍，我们已经看到了古希腊阿基米德等人的例子．在这方面，刘徽同样表现出了惊人的智慧．他在推算《九章算术》中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法．(1) 阳马术 刘徽关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和检验法无法解决其体积．为了解决这个问题，他提出了一个重要原理：“斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”今称为刘徽原理．《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式．术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”即“阳马”的体积为其三条直角边乘积的三分之一．为了证明这一公式，刘徽从一长方体出发（见下图），将它斜分成两个“壍堵”（同“堑”，壕沟），然后再斜分壍堵得到两个立体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑（音“闹”，牲畜的前肢，这里当然是鳖的前肢）．刘徽欲证阳马体积Y 与鳖臑体积B 之比为2:1，由此即可推出阳马体积公式abc Y )3/1(=（c b a ,,分别为长方体的三边之长）．比率Y :2=B :1应该对任意长方体都成立，刘徽称之为“不易之率”．为了证明这个“不易之率”，在感到出入相补无能为力的情况下，刘徽使用了极限的方法，他的方法记载在《九章算术》阳马术注中．刘徽平分壍堵的长、宽、高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立．这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细．至细曰微，微则无形．由是言之，安取余哉？”完成了该原理的证明．（2）球体积．刘徽首先证明了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径．刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”．所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分．刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：。

《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。

1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。

拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。

1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。

个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。

对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。

庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。

数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。

二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。

第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。

小数的认识教案数学史篇一：《小数的意义》教学设计学校:北京育才学校姓名:梁维娜继教号:0400356912345篇二：《数学史概论》教案《数学史概论》教案第一讲数学的起源与早期发展主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。

1、数与形概念的产生从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。

人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。

“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。

早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）等。

世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。

2、河谷文明与早期数学2.1 古代埃及的数学（1）古王国时期：前2686－前2181年。

埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。

（2）新王国时期：前1567－前1086年。

埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。

数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。

公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

2.2 古代巴比伦的数学背景：古代巴比伦简况两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字”楔形文字”。

（1）古巴比伦王国：公元前1894－前729年。

汉穆拉比（在位前1792－前1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。

（2）亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。

（3）新巴比伦王国：前612－前538年。

尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园”。