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根式与分数指数幂 课件

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课件2：4.1.1　n次方根与分数指数幂

课件2：4.1.1　n次方根与分数指数幂

[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号

4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a

m
n

1
a

m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
泛的应用.
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
• 1.理解n次方根、根式的概念.
• 2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间
的相互转化.
初中已经学过整数指数幂．
a
底数
n
指数
幂
a a a...a a
n
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
*
m
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质
① = + > , , ∈
②
③


= > , , ∈
=

> , ∈
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
幂的乘方，底数不变，指数相乘
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区
良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.
这里的巨型城址，面积近360万平
方米，包括古城、水坝和多处高等
级建筑. 考古学家利用遗址中遗存
的碳14的残留量测定，古城存在
的时期为公元前3300年~2500年，

数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件

数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件

（）

⋅ ； （） · .





解： (1) ⋅ = ⋅ = ；

(2) ⋅ =


⋅ =





= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4

3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =

③ =
=

= ；

=

法二：
−

法三：
−

−

4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)

4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.


这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.

【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3

根式与分数指数幂

根式与分数指数幂

（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3

n次方根与分数指数幂(教学课件)高一数学(人教A版2019)

n次方根与分数指数幂(教学课件)高一数学(人教A版2019)

2．已知 m10＝2，则 m 等于( )
10 A. 2
B．－10 2
C. 210
D．±10 2
【答案】D [∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数， ∴2 的 10 次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±10 2.]
3. 把根式 a a化成分数指数幂是( )
3
A．(－a) 2
6．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
答案 1 a3 3 a2
2
a3 a3
32
a3
11
a3,
2 a 4b2 3 ab2
1
a 4b2 ab2 3
12
11 4
a 4b2a3b3 a 6 b3 .
7. (1)若 x<0，则 x＋|x|＋ xx2＝________. (2)若－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值. 思路探究：(1)由 x<0，先计算|x|及 x2，再化简． (2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值． (1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x， x2＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋ xx2＝x－x－1＝－1.]
（1）3 x2 (x 0)；（2）5 (m n)4 (m n)；（3） p6 p5 ( p 0)；（4）a3 (a 0).
a
2
4
解（：1）3 x2 x 3 (x 0)；（2）5 (m n)4 (m n)5 (m n)；
（3） p6
p5
65
p2 p2
11
p2
(
p
0)；（4）a3
a
随堂检测

分数指数幂与根式

分数指数幂与根式

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 这时，
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零
．
师：根据上述分析，可以得到根式的性质．
师：下面通过一些练习，巩固上述所学的内容(用幻灯逐 题演示，师生共同讨论) 例1 求下列各式的值：
为了更进一步地研究根式，下面我们引入与根式
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．n次方根的概念． 2．n次方根的有关性质及其应用． (二)能力训练点 1．培养学生运用概念分析问题的能力． 2．根据定义和性质进行逻辑推理和运算化简，提高学生 的数学应用能力． (三)德育渗透点 1．培养学生观察、分析、探究问题的科学精神． 2．通过推理和运算等训练，培养学生严谨治学、一丝不 苟的习惯． 二、教学的重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：n次方根的概念、性质、以及应用． 2．教学难点：n次方根的性质以及应用．
3．教学疑点：
4．解决方法：熟练掌握n次方根的性质． 三、课时安排 本课题安排1课时(或2课时)． 四、教学过程设计 首先回顾一下以前学过的平方根，立方根的概念，请一 位同学叙述平方根，立方根的概念． 生：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的平方根，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那 么这个数x叫做a的立方根． 师：平方根、立方根有哪些性质？
这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除 时，根式可以写成分数指数幂形式． 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式 也可以写成分数指数幂的形式． ．
应当注意：非零数的零次幂是1，即a°＝1(a≠0)，零的 正分数次
规定了分数指数幂的意义后，指数从整数推广到了有 理数．
请一位同学叙述一下以前学过的整数指数幂的运算性 质： 生：(1)am·an＝am+n；(m、n∈正)，即同底数的幂相 乘，底数不变，指数相加． (2)(am)n＝amn(m、n∈正)，即幂的乘方，底数不变， 指数相乘． (3)(ab)n=anbn(n∈正)，即积的乘方等于乘方的积． 师：上述的幂的运算性质，今后对于有理指数幂也同 样适例2 求下列各式的值用，以下可以运用幂的运 算性质进行化简求值．

数学人教A版(2023)必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂 课件(共15张ppt)

数学人教A版(2023)必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂 课件(共15张ppt)

数学人教A版（2023）必修第一册4.1.1n 次方根与分数指数幂课件（共15张ppt）
(共15张PPT)
指数
运算
初中知识回顾
1、整数指数幂的概念
an=a·a·a·a·····a a0=1(a≠0) a-n=
n个a
2、运算性质
am·an=am+n (am)n=anm(m,n∈z) (ab)n=an·bn(n∈z) 3、注意
∈am÷an可以看作am·a-n
∈可以看作an·b-n
n次方根的概念
思考：类比平方根和立方根的定义，推导n次方根的定义
一、n次方根的定义
方根，
当n为偶数时(同平方根)，有下列性质:
正数的n次方根有两个，互为相反数。

负数没有偶次方根。

此时，a
的n次方根可表示カx=±
当n为奇数时(同立方根)，有下列性质:
正数的奇数次方根是正数，负数的奇数次方根是负数，任何一个数的奇数次方根都是唯一的。

此时，a的n次方根可表示为x=
二、根式的定义：
根式
根指数
被开方数,
探究
三、根式的性质：
例题讲解
根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子
探究分数指数幂的运算
温故知新
2、分数指数幂的运算性质：
3、无理数指数幂：
1、指数幂的含义及与根式的互化
2、分数指数幂
3、无理数指数幂。

分数指数幂与根式(课堂PPT)

分数指数幂与根式(课堂PPT)

4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.

根式和分数指数幂

根式和分数指数幂
4 3 4
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n

根式,分数指数幂27-30讲义

根式,分数指数幂27-30讲义

第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。

例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。

第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。

n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5
4
4
n
a
10
a
12
(a ) a a
2
(a ) a a
3 4
4
a a
3
a a
m
2 5
5
3
4
m
n
3
10
5
12
4
( a 0)
( a 0)
( a 0)
( a 0)
思考：当被开方
数的指数不能被
根指数整除时，
根式是否也可以
表示为分数指数
幂？
新知讲解——分数指数幂
思考1.(1)16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数
的平方根有几个？
(±4)2 = 16
±4是16的平方根
(2) -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个
数的立方根有几个？
(-3) 3 = -27
-3是-27的立方根
(3)如果 x3＝a，x4＝b，x5＝m，参照上面的说法，这里的x分
别叫什么名称？
x是a的立方根, x是b的4次方根, x是m的5次方根
n次方根与根式
根指数
n
a
被开方数
若x a, a的n次方根是x. (n 1且n N ) 根式
n
①n为奇数 : a ( a R )的n次方根有1个, 记为n a ;
②n为偶数 : a ( a 0)的n次方根有2个, 记为 n a ;






2 m n


3

8
1
4
3
3
8

a a a
2

《分数指数幂》课件

《分数指数幂》课件
《分数指数幂》ppt课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二

n次方根与分数指数幂ppt课件

n次方根与分数指数幂ppt课件
而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a

a
p
q

q
1
a
p
q

无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数

②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1

2022-2023学年人教A版必修第一册 4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件(35张)

2022-2023学年人教A版必修第一册 4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件(35张)

精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 根式及相关概念 1．a 的 n 次方根的定义 如果____x_n_＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 2．a 的 n 次方根的表示
3.根式 式子n a叫做根式，这里 n 叫做____根__指__数___，a 叫做__被__开__方__数___．
【主题 2】 根式的性质
(1)n 0＝____0____(n∈N*，且 n>1)；
(2)(n a)n＝___a_____(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，其中 n>1，且 n∈N*)；
n (3)
an＝____a____(n
为大于
1
的奇数)；
(4)n an＝____|a_|___＝a，－aa≥0，，a<0 (n 为大于 1 的偶数)．
5．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a＞0，b＞0.
研习 3 根式与分数指数幂的互化
[典例 3]
(1)若(x－2)
－
3 4
有意义，则实数 x 的取值范围是(
C
)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
(2)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
①3 a·4 a；
② a a a；
4 ③
ab23；
④(3 a)2· ab3.
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
[ 课标要求]
[ 素养要求]
理解 n 次方根及 n 次根式的
1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 概念，正确运用根式与分数指数
2．能正确运用根式运算性质化简求值． 幂运算性质，化简求值，发展数

根式与分数指数幂

根式与分数指数幂

探究点1 n次方根的概念
合作探究 思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况．
02
合作探究
探究点2 根式的运算性质
3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
合作探究 根式的运算性质：
归纳小结
n∈N，且n>1.
归纳小结
2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式： ②注意整体思想、完全平方公式等的运用. ③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论.
知识点二 分数指数幂
1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
(3)规定0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 .
51.42
51.5
51.4
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
题后反思
方法总结：
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算.
2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出 结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
0
没有意义
2.有理数指数幂运算性质
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂

高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂

(3)已知x，y∈R，下列等式恒成立的是( B )
A．(6 x－6 y)6＝x－y
8 B.
（x2＋y2）8＝x2＋y2
4 C.
x4－4
y4＝x－y
10 D.
（x＋y）10＝x＋y
题型二 分数指数幂的概念和性质
例2 (1)求下列式子的值． ①10－3； ②(－0.25)－1； ③16－32. 【解析】 ①10－3＝1103＝1 0100＝0.001. ②(－0.25)－1＝－14－1＝－114＝－4. ③16－32＝ 13＝（ 116）3＝413＝614.
(0，＋∞)
(3)根式 式子__n_a___叫做根式，这里n叫做__根__指_数___，a叫做被开方数．
要点2 根式的性质 (1)当n为大于1的整数时，n 0＝0. (2)当n为任何正整数时，(n a)n＝__a__．
(3)当n为奇数时，n an＝__a___； 当n为偶数时，n an＝|a|＝__－__a____a__（ （aa≥ <00））. ，
39 5. a2 a－3÷
3 a－73 a13＝_____1___．
9
11
1 11
解析 原式＝[a2(a－3)2]3÷[(a－7)3(a13)3]2
＝(a92－32)13÷(a－73＋133)12
1
1
＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝a0＝1.
自助餐
两重根号的根式化简
例 计算 5－2 6＋ 5＋2 6. 【分析】 将5－2 6和5＋2 6配成平方形式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2ab； (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2ab. 【解析】 原式＝ （ 3－ 2）2＋ （ 3＋ 2）2 ＝| 3－ 2|＋| 3＋ 2|＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3.

4.1 指数(课件)

4.1 指数(课件)

跟踪训练3
计算下列各式
(1)2
3×3
1.5×6
12；
(2)2790.5＋0.1－2＋21207－32－3π0＋3478；
3a23b14×－8a12b12
(3)
.
－46 a4· b3
解 (1)原式＝2×312×3231×1261＝21＋－13＋31×312＋31＋16＝2×3＝6. (2)原式＝29521＋110－2＋6247－32－3×1＋3478＝53＋100＋196－3＋3478＝100.
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
m
a n
1
m
(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
an
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义 ．
四．有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
21 11
（－24）×a3＋2×b4＋2
212 113
13
(3)原式＝
2 3 ＝6×a3＋2－3×b4＋2－2＝6a2b－4.
（－4）×a3×b2
题型四 指数幂运算中的条件求值
例Hale Waihona Puke 4 已知 a12＋a－12＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2.
解：(1)将 a12＋a－12＝4 两边平方，得 a＋a－1＋2＝16，故 a＋a－1＝14. (2)将 a＋a－1＝14 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝196，故 a2＋a－2＝194.
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(4) x2＋2xy＋y2＝ x＋y2＝|x＋y|
＝x－＋xy－y
x＋y≥0， x＋y<0.
【变式与拓展】 1.求下列各式的值： (1) 3 (16)3 ； (2) 6 (3)6 ； (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2. 解：(1) 3 (16)3 ＝－16. (2) 6 (3)6 ＝|－3|＝3. (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π.
根式与分数指数幂
1.根式的概念 (1)a 的 n 次方根：如果__x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方 根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为 ___n_a____，a∈____R____；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为 ___±_n_a___，a∈___(0_，__＋__∞__) _. (2)根式：式子 n a 叫做___根__式___，这里 n 叫做根__指__数__，a 叫 做__被__开__方__数____. 练习 1：8 的 3 次方根是___2___，16 的 4 次方根是__±__2__.
a≥0， a<0.
题型 1 根式的求值、化简 【例 1】 求下列各式的值：
(1) 3 (2)3 ；
(2) －92；
(3)( 5 2 )5;
(4) x2＋2xy＋y2.
思维突破：运用根式的性质及运算公式计算.
解：(1) 3 (2)3 ＝－2.
(2) －92＝|－9|＝9.
(3)( 5 2 )5＝2.
2.计算( 3)2，3 43 ，n (2)n .从特殊到一般，思考( n a )n，n an
的结果.
答案：( 3)2＝3， 3 43 ＝4， n (2)n ＝－ 2，2， n为n为 偶奇 数数 . ，
( n a )n＝a.当 n 是奇数时， n an ＝a；当 n 是偶数时， n an ＝
|a|＝a－a
(3)对于根式 n an ，在化简时，要注意 n 的奇偶性及 a 的正
负，即 n an ＝a |a|
n为奇数， n为偶数.
2.分数指数幂.
(1)分数指数幂
a
m n
不能理解为mn 个
a
相乘.
(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式不同.
(3)有理数包括整数和分数，由整数指数幂扩充到分数指数 幂后，指数概念就扩充到了有理数指数幂.
幂
n∈N*，且 n>1)
性质
0 的正分数指数幂等于_____0_______， 0的负分数指数幂___没__有__意__义___
练习
3：9
3 2
＝___2_7___；8
2 3
1 ＝___4____；0
3 2
＝___0____.
【问题探究】 1.(±2)2＝4，那么±2 就叫做 4 的____________； 33＝27，那么 3 就叫做 27 的____________； (±3)4＝81，那么±3 就叫做 81 的____________. 依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________. 答案：二次方根 立方根 四次方根 n 次方根
当根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数， 根式的大小取决于被开方数的大小.
【变式与拓展】 3.比较 2， 3 3 ， 6 6 的大小.
解：∵ 2＝ 6 23 ＝ 6 8 ， 3 3 ＝ 6 32 ＝ 6 9 ， 又∵6<8<9， ∴ 6 6 < 6 8 < 6 9 .故 6 6 < 2< 3 3 .
题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：
4
(1)5 3 ；
(2)2
1 2
；
3
(3)a 2 ；
5
(4)a 2 .
思维突破：根据分数指数幂的意义计算.
4
解：(1)5 3 ＝ 3 54 .
(2)2
1 2
＝
2 2.
3
(3)a 2 ＝ a3.
(4)a
5 2
＝
1 a5.
题型 2 根式的比较大小 【例 2】 比较 5， 3 11， 6 123 的大小. 思维突破：先化为统一的根指数，再进行比较. 解：∵ 5＝ 6 53 ＝ 6 125 ， 3 11＝ 6 112 ＝ 6 121， 又 121<123<125， ∴ 6 121< 6 123 < 6 125 . 故 5> 6 123 > 3 11.
为分数指数幂时，底数不能为负数，题中－9<0，故结果没有意 义.
解： 4 (9)2 ＝ 4 92 ＝ 4 34 ＝3.
[方法·规律·小结]
1.理解 n 次方根及根式的概念. (1)正数 a 的偶次方根有两个，记为±n a ；实数 a 的奇次方 根有一个，记为 n a . (2)对于根式 n a ，若 n 为大于 1 的偶数，则 a≥0.
2.根式的性质 (1) n 0 ＝____0____(n∈N*，且 n＞1).
(2)( n a )n＝____a____(n∈N*，且 n＞1).
(3) n an ＝____a____(n 为大于 1 的奇数).
(4) n an ＝____|a_|_______＝
a －a
的偶数).
a≥0， a＜0 (n 为大于 1
练习 2： 3 (7)3 ＝__－__7____； 4 (2)4 ＝____2____.
3.分数指数幂的意义
正分数
指数幂 分
m
规定：a n ＝___n _a_m___(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)
数
1
指
负分数
规定：
a
m n
＝
1
m
＝_____n _a_m_____(a>0，m，
数 指数幂
an
2.化简： (1) 4 (m n)4 ＋ 3 (m n)3 ； (2) 5＋2 6＋ 7－4 3. 解：(1)原式＝|m－n|＋(m－n) ＝2m－n m≥n，
0 m<n. (2)原式＝ 3＋2 6＋2＋ 4－4 3＋3 ＝ 32＋2 6＋ 22＋ 22－4 3＋ 32 ＝ 3＋ 22＋ 2－ 32 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|＝ 3＋ 2＋2－ 3＝ 2＋2.
【变式与拓展】
4.将下列分数指数幂化为根式：
1
(1)2 5 ；
1
解：(1)2 5 ＝ 5 2 .
1 (2)2
1 3
；
1 (2)2
1 3
＝2
1 3
＝
3
2.
2
(3)3 3 ＝ 3 32 .
2
(3)3 3 .
【例 4】 求值： 4 (9)2 .
2
1
易错分析：常见错误为 4 (9)2 ＝(－9) 4 ＝(ห้องสมุดไป่ตู้9) 2 .根式转化