人教A版高中数学必修第一册n次方根与分数指数幂课件
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数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
4.1.1n次方根与分数指数幂-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
8
a3
；
1
4
41
2
a3 a a a3 a3 (a 3 )2 a 3 .
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4.
计算:0.064-
1 3
-
7 8
0
[(-2)3]-
4
1
3 +16-0.75+|-0. 01|2
.
解:原式=(0.43)-
13-1+(-2)-4+(24)-
n 是 a>0
x>0
奇数 a<0
x<0
性
n
x 仅有一个值，记为 a
质 n是
a>0
n
x 有两个值，且互为相反数，记为 ± a
偶数
a<0 x 在实数范围内不存在
新知初探
立德树人 和谐发展
2．根式
(1)定义：式子
n
a
叫做根式，这里 n 叫做
根指数 ，a
叫做 被开方数 ．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
例题讲解
题型二 分数指数幂的简单计算问题
例2：求值。
82
；3
.
(16
)
3 4
81
解：8
2 3
2
(23)3
3 2
2 3
22
4
(16
)
3 4
(
2
)
4(
3 4
)
( 2)3 27
81
3
38
立德树人 和谐发展
立德树人 和谐发展
解题方法（分数指数幂的运算技巧）
【课件】n次方根与分数指数幂+课件-高一人教A版(2019)必修第一册
早的水坝),距今已经有4700至5100年.
你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?
新知学习
n次方根与根式
根指数
n
推广到一般情形，a的n次方根:
a
被开方数
请回答:
-8的立方根=
16的4次方根=
-2
±2
-32的5次方根=
-2
0的7次方根=
0
32的5次方根= 2
a6的立方根=
a2
n次方根的性质
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 ．
根式:
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
= =
；当n为偶数时，
, ≥ ,
−, < ,
是实数
的n次方，在
有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
果恒等于 .
辨析：( a ) 与 a 区别
n
n
(1)范围区别
(2)结果区别
n
n
例1：计算下列各式的值
2
(1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
(1) a a a
r
s
你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?
新知学习
n次方根与根式
根指数
n
推广到一般情形，a的n次方根:
a
被开方数
请回答:
-8的立方根=
16的4次方根=
-2
±2
-32的5次方根=
-2
0的7次方根=
0
32的5次方根= 2
a6的立方根=
a2
n次方根的性质
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 ．
根式:
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
= =
；当n为偶数时，
, ≥ ,
−, < ,
是实数
的n次方，在
有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
果恒等于 .
辨析：( a ) 与 a 区别
n
n
(1)范围区别
(2)结果区别
n
n
例1：计算下列各式的值
2
(1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
(1) a a a
r
s
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
高一数学人教A版(2019)必修第一册4、1、1n次方根与分数指数幂 课件
3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .
32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．
n次方根与分数指数幂-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
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人教A版(2019)4.1.1n次方根与分数指数幂课件(37张))
题型二 利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：(1) 3＋2 2＋ 3－2 2；
(2) 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3；
3
(3)
2＋
5＋3 2－
5.
• [分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
• (3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝ 22＋2 2＋1＋ 22－2 2＋1
1
(2)原式＝ a2 a－2 ÷ a－3 a 3 ÷ a－2 a－2
＝3 a2÷
7
a3
3
÷
a－2
2
71
1
＝a3 ÷(a3 )2 ÷(a－2)3
2
7
2
＝a3 ÷a6 ÷a－3
27
2
12
1
＝a3 －6 ÷a－3 ＝a－2 ＋3 ＝a6 .
• [归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
• (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)已知
x7＝6，则
7
x＝___6___；
(3)若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是____[2_，__＋__∞__)____.
[分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求 及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的 5 次方根为 5 －27.
基础自测
3
1.
－8等于(
B
)
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] 3 －8＝3 －23＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．(3 a)3＝a
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(完整版)
1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 2.负数没有偶次方根； 3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
xn a
xna
x n a
(n为奇数) (当n是偶数，且a＞0)
①正确区分“ (n a )n ”与“ n an ”两式；（注意分析 n a 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完 全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
思考：
2
1
a4 a2对任意的实数a都成立吗？
利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
指数运算性质：
(1) aras ars (a 0, r, s Q); (2) (ar )s ars (a 0, r, s Q); (3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
祝你学业有成
2024年5月3日星期五11时45分28秒
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
1
b b2 (b 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
正数的正分数指数幂：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
正数的负分数指数幂：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n N *, n 1)
例如：5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
奇次方根
4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
2、正数的负分数指数幂的意义是
m
a n
1
m
(a 0, m, n N * ,且n 1)
an
例如，5
4 3
1 4
53
1
，a
2 3
3 54
1
2
a3
3
1 a2
3、0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义.
练习1. 用根式表示下列各式.
1
1a 2
3
2a 4
课本107页 练习1
3a
3 5
4a
如果xn=a
因为23=8，所以2叫做8的立方根；记 3 8 x叫做a的n次方根
如果x4=a，那么x叫做a的4次方根；
因为(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根;记
4
16
如果x5=a，那么x叫做a的5次方根；
因为25=32，我们把2叫做32的5次方根；记 5 32
n 次 方 根 奇次方根
n次方根定义:
a n 根指数
根式
被开方数
根据n次方根的意义，可得：
(n a )n a
2 5 5
3 5 3 5
5 5 5 5
例1 根据根式的定义，判断下列式子是否有意义，有意义时求出相应的值：
4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一数学人教A版(2019)必修第一册
例如：4 16 =2 - 4 16 =-2 16的4次方根可以表示为 4 16 = 2
2当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根 是一个负数.这时，a的n次方根用n a表示.
例如：3 8=2， 3 -8=-2， 5 32 =2， 5 -32 =-2， 3 a6 =a2 0的任何次方根都是0，记作n 0 0.
先把根式化为分数指数幂， 再用指数幂的运算性质解题.
作业
课时分层作业（二十三）
谢谢观看！
分数指数幂
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）
1
21
2a 3b 2
11
6a 2b 3
15
3a 6b 6
1 3 8
2 m4n 8
首先是系数先乘除，然后是同底数幂相乘除，
并且要注意符号.
分数指数幂
例5 计算下列各式
1 3 25 125 4 25
2 a2 a 0
a 3 a2
根式
式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 求a的n次方根的运算叫做开方运算.
1当n是偶数时，a 0，a的n次方根有两个:n a、- n a
2当n是奇数时，a R，a的n次方根：n a
综上：n a为a的一个n次方根，则
na
n
a.
例如：
5
2 =5，5 -3
5 =-3，4 -7
2.立方根：如果x3 a，那么x叫做a的立方根.
例如： 2 3 = 8
归纳
2 3 = -8 3 3 =27 3 3 =-27
平方根:正数的平方根有两个，且互为相反数； 负数没有平方根；0的平方根为0.
立方根：正数的立方根为一个正数；
负数的立方根为一个负数；0的立方根为0.
2当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根 是一个负数.这时，a的n次方根用n a表示.
例如：3 8=2， 3 -8=-2， 5 32 =2， 5 -32 =-2， 3 a6 =a2 0的任何次方根都是0，记作n 0 0.
先把根式化为分数指数幂， 再用指数幂的运算性质解题.
作业
课时分层作业（二十三）
谢谢观看！
分数指数幂
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）
1
21
2a 3b 2
11
6a 2b 3
15
3a 6b 6
1 3 8
2 m4n 8
首先是系数先乘除，然后是同底数幂相乘除，
并且要注意符号.
分数指数幂
例5 计算下列各式
1 3 25 125 4 25
2 a2 a 0
a 3 a2
根式
式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 求a的n次方根的运算叫做开方运算.
1当n是偶数时，a 0，a的n次方根有两个:n a、- n a
2当n是奇数时，a R，a的n次方根：n a
综上：n a为a的一个n次方根，则
na
n
a.
例如：
5
2 =5，5 -3
5 =-3，4 -7
2.立方根：如果x3 a，那么x叫做a的立方根.
例如： 2 3 = 8
归纳
2 3 = -8 3 3 =27 3 3 =-27
平方根:正数的平方根有两个，且互为相反数； 负数没有平方根；0的平方根为0.
立方根：正数的立方根为一个正数；
负数的立方根为一个负数；0的立方根为0.
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例题讲解
例2.求值
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
学习新知——有理数指数幂运算性质
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
1
2a3b 2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
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如果xn=a，x叫做a的
.
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学习新知——n次方根的概念
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学习新知——n次方根的概念
27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
学习新知——n次方根的概念
（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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学习新知——根式的概念
根指数 根式
na
被开方数
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例题讲解
例1：求下列各式的值
（当n为奇数） （当n为偶数）
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人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册n修次第方一根册与n分次数方 指根数与幂分 课数件指数 幂课件 （共22 张ppt）
情景引入 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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情景引入
(3)你能用根式的意义解释(2)的式子吗?
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0）
类比
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结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
有理数指数幂运算性质
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例题讲解
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
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学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
负数没有n次方根.
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学习新知——n次方根的概念
0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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例2.求值
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学习新知——有理数指数幂运算性质
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
1
2a3b 2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
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学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
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学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
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如果xn=a，x叫做a的
.
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27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
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（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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根指数 根式
na
被开方数
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1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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类比
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例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
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16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
负数没有n次方根.
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0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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