根式与分数指数幂

分数指数幂
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。

分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的m/n次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）。

幂是指数值，如8的1/3次幂=2。

一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。

根式与分数指数幂的互化：
根号左上角的数当分数指数幂的分母，根号里面各个因式或因数的指数当分数指数幂的分子，注意，各个因式（因数）如果指数不同，要分开写。

即是内做子，外做母，同母可不同子。

有理指数幂的运算和化简：
找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏，接着就是合并同类项，同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，相除的话就是底数不变，指数相减。

同底数幂相加减，能化简的合并化简，不能的按照降幂或升幂排列。

根式和分数指数幂例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围．解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1. 例2 化简：(1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 求下列各式的值：(1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2. (2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．已知x 5＝6，则x 等于( )A. 6B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 答案 C3．(42)4运算的结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定 答案 A4.3－8的值是________． 答案 －25.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________． 答案 0或2(a －b )解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2(a －b )，a >b .例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -解 (1) 25x ＝5x 2. (2)53x-＝13x 5.跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0)．解221332121xy y x-=⋅=例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0.(1)5a 6； (2)13a 2； (3)4b 3a 2； (4)(－a )6.解65.a=23231.aa-==(3)4b3a2132133444242.bb a a aa--⎛⎫===⎪⎝⎭632.a a===跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x(5x2)2.解1776212(2)2;===313224();a a ====(3)2113333;b b b b=⋅=3591353511.()xx x-======例3计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177(0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解10.5233177(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b-÷-解原式＝211115326236[2(6)(3)]44.a b ab a+-+-⨯÷－－＝＝(3)111222.m mm m--+++解1111122222111122222().m m m mm mm m m m-----+++==+++跟踪训练3(1)化简：130.256178;86-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 原式＝1111131(1)()36623334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 212111132(1)()332261111362565(4)51546x y x yx y x y -⎛⎫------- ⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y ==(3)已知11225,x x -+=求x 2＋1x 的值．解 由11225,x x-+=两边同时平方得x ＋2＋x －1＝25，整理，得x ＋x －1＝23，则有x 2＋1x＝23.例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值．解 方法一 ∵a >0，b >0，又a b ＝b a ，1119()()(9),a b a bbba b a b a a ∴=⇒=⇒=81829993a a a ∴=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 已知67x ＝27,603y ＝81，求3x －4y 的值．解 由67x＝33，3673,x =得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y＝－2. 1．化简238的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B 2．1225-等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.15答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x ->B.6y 2＝13(0)y y <C ．340)xx -=>D ．130)xx -=≠答案 C4．(36a 9)4＝________.答案 a 25．计算122-⨯________．答案 16。

专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导由于分数指数幂的概念是借助n 次方根给出的，而n 次根式又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且n 次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．根式和分数指数幂的互化既是重点也是难点．根据不同需要，灵活进行互化是解决有些问题的有效途径．根式的运算，一般先化为分数指数幂后用分数指数幂的运算性质进行运算比较方便．例1 计算： （1）48373)27102(1.0)972(03225.0＋－＋＋－－π；（2）31213125.01041027.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯⨯⨯－＋－－－－－－.解析：（1）原式＝48373)2764()101()925(32221＋－＋＋－－．1004837316910035＝＋－＋＋＝． （2）原式＝⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯313103.01021])23(3[)13(])103[(313)31(3)41(41414－＝－－＋－－－－－ 031＝－点评：一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数．例2 化简下列各式： （1）))((21211x x x x x －＋＋－-；（2）323222323222－－－－－－－－－－－＋＋yx y x yx y x ．解析：注意题中各式的结构特点． （1）原式＝2323321321)()(x x x x－＝－－－．（2）原式＝32323323323232332332)()()()(－－－－－－－－－－－＋＋yx yxyx yx])()[()()(23232322322323232232－－－－－－－－＋＋－＋－＝yy xxyy xxxyxy xy 3322)(2＝－＝－－． 点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点．例3 若a ＜b ＜c ，化简33332)(b a a b b a －＋－＋＋． 解析：∵a ＜b ＜c ，∴a ＋b ＜0，b －a ＞0，a －b ＜0∴原式＝b a a b a b b a b a a b b a ＋＝－－＋－＋－＝－－＋－＋＋3．点评：本题灵活应用：当n 是奇数时，a a n n＝． 例4 求使23－x 有意义的x 的取值范围．解析：3231xx＝－因此x ∈（0，＋∞）．例5x x x x ⋅．解析：原式＝1615815214747212321)()(xx x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝⋅⋅⋅．。

4.1.1n次方根与分数指数幂情境导入课程标准公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,该学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。

1.通过对有理数指数幂amn(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)含义的认识,了解指数幂的拓展过程。

2.掌握有理数指数幂的运算性质。

1.n次方根如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*。

可用下表表示:n为奇数n为偶数a∈R a>0 a=0 a<0x=√an x=±√an x=0 不存在2.根式(1)式子√an叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数。

(2)性质:当n>1,n∈N*时,①(√an)n=a;②√a nn={a,n为奇数,|a|,n为偶数。

3.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,n>1)正分数指数幂a m n=√a mn负分数指数幂a−mn=1amn=1√a mn0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q)(1)a r a s=a r+s;(2)(a r)s=a rs;(3)(ab)r=a r b r。

微思考1.正数a 的n 次方根一定有两个吗?提示:不一定。

当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,且互为相反数,当n 为奇数时,正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数。

2.等式a m n=√a m n成立的条件是什么?提示:教材要求a >0,实际应用时,只要√a m n有意义即可,如:(-2)83=√(−2)83=283。

类型一 n 次方根的概念【例1】 (1)(多选)√(a −b)2+√(a −b)55的值可能是(AC)A.0B.2(b -a )C.2(a -b )D.a -b解析 若a ≥b ,则原式=a -b +a -b =2(a -b ),若a <b ,则原式=b -a +a -b =0。

第四章指数函数与对数函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（）A ＝（－x ）12（x ＞0）B ＝y 13（y ＜0）C ．x12－y 23（x ＞0，y ＞0）D ．x 13－ （x ≠0）【答案】C 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项.【详解】对于A x 12，故A 错误；对于B ，当y ＜00，y 13＜0，故B 错误；对于C ，x12－y 23（x ＞0，y ＞0），故C 正确；对于D ，x 13－ （x ≠0），故D 错误.故选：C2．已知433a =，234b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a b c<<【答案】C 【分析】将式子转化为以13为指数的幂的形式，再根据幂函数的性质判断可得；【详解】解：()41143333381a ===，()21123334416b ===，1325c =，又因为幂函数13y x =在()0,x ∈+∞为单调增函数，所以a c b >>.故选：C 【点睛】本题幂函数的性质及指数幂的运算，属于中档题.3．下列各函数中，是指数函数的是（）A ．(3)xy =-B ．3xy =-C ．13x y -=D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数函数的定义，形如：()0,1xy a a a =>≠即可求解.【详解】解：根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，A 选项底数错误，B 选项系数错误，C 选项指数错误；D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.4．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性”同增异减”计算可得；【详解】解：令21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，且函数21t x =-在(],0-∞上递减，所以函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(],0-∞.故选：A 【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，属于基础题.5．若2log a b c =则（）A ．2b a c =B ．2c a b =C ．2c b a =D ．2a c b=【答案】B 【分析】利用对数式化指数式的方法求解即可.【详解】根据对数的定义，()22log ca b c a b =⇔=，即2c a b =故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关指数式与对数式的互化问题，正确解题的关键是指对式的互化公式.6．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为（）A ．160B ．60C ．2003D ．320【答案】B 【分析】根据换底公式将log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，化为1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.【详解】解：因为log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，所以1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，即1log log log 12m m m x y z ++=，∴11111log log log 1212244060m m m x y z =--=--=，∴log 60z m =．故选：B ．7．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，以及偶次根式下被开方数大于等于零，即可列出不等式组解出．【详解】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及对数函数的性质应用，属于容易题．8．已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D 【分析】方法一：首先设235log log log 1x y z k ===>，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x-=，133ky -=，155k z -=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.9．下面对函数121()log ,()2xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与()12h x x -=在区间()0,∞+上的衰减情况说法正确的是()A ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越慢B ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越快C ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越慢D ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越快【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中画出它们的图象后可得正确的选项.【详解】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数．故选：C.【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数．当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的．当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的．10．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C 【分析】函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数m 的取值范围．【详解】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．二、多选题11．已知函数(),()22x x x xf xg x ππππ---+==，则(),()f x g x 满足A ．()()()()f x g x g x f x -+-=-B ．()()x f x g x π--=C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【答案】AC 【分析】把函数式直接代入检验．【详解】A 正确，()()2x x f x f x ππ---==-，()()2x xg x g x ππ-+-==，所以()()()()f x g x g x f x -+-=-；B 不正确，()()2222x x x x xx f x g x ππππππ-----+--=-==-；C 正确，()()()22222222x x x x x xf x f xg x ππππππ-----+==⋅⋅=；D 不正确，()()22222222x x x x x x x x f x g x ππππππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎤⎣⎦⎝⎝⎡⎭⎭2212222x x x x x xππππππ---⎛⎫-+--=⋅=- ⎪⎝⎭．故选AC ．【点睛】本题考查指数函数的概念，考查幂的运算．属于基础题型．12．已知{}2,0,1,2,3a ∈-，则函数()()22e xf x a b =-+为减函数的实数a 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB由题意可得220a -<，结合已知条件即可求解.【详解】由函数()()22e xf x a b =-+为减函数，得220a -<，即a <<又{}2,0,1,2,3a ∈-，所以只有0a =，1a =满足题意.故选：AB.13．（多选）已知23a=，3log 2b =，则（）A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b -+=D ．()911log 122a b a++=【答案】ABD 【分析】先求出2log 3a =，即可求出ab =1，再基本不等式判断A ，D 项先将原式化简即可；直接计算可判断C ．【详解】由23a=，得2log 3a =．23log og 31l 2ab =⨯=，故B 正确；由a ，0b >，且a b ¹得2a b +>，故A 正确；33331log log 2log 2log 2215333333222b b --+=+=+=+=，故C 错误；()3339111211log 2log log log 122222a b ab a a a a a a +++++===+=+，故D 正确．故选ABD ．14．下列点中，既在指数函数x y a =图象上，也在对数函数log a y x =的图象上的点可以是（）A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(2,4)D ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若点(1,1)在函数x y a =图象上，解得1a =，此时对数函数log a y x =不成立，不符合题意；对于B 中，若点(2,2)在函数x y a =图象上，解得a =y x =也过点(2,2)，所以符合题意；对于C 中，若点(2,4)在函数x y a =图象上，解得2a =，此时对数函数2log y x =不成立，不符合题意；对于D 中，若点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数x y a =图象上，解得116a =，此时对数函数116log y x=也过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，所以符合题意.故选：BD 三、填空题15．已知对数函数()2(1)()1log ,m f x m m x +=--则(27)f =_______.【答案】3【分析】根据对数函数的定义建立不等式，解之求得对数函数的解析式，再代入计算可得答案.【详解】因为()f x 是对数函数，故2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以()3log f x x =，()327log 273f ==.故答案为：3.16．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x ＜0)；②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)；③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【分析】根据对数函数满足log a y x =，且0a >，1a ≠判定即可【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③17．函数若函数()f x =的定义域是[)1,+∞，则a 的取值范围是________．【答案】()1,+∞【分析】结合指数函数性质可得．【详解】∵0x a a -≥，∴x a a ≥，∴当1a >时，1≥x ．故函数定义域为[)1,+∞时，1a >．故答案为：(1,)+∞．18．若a ＝2，b ＞0，则111211223332212a b a a b a a b b a b---⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【答案】【分析】根据指数的运算公式以及立方差公式化简整理代入数据即可求出结果.【详解】原式331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331122a b a b --=++-322a=3222=⨯=故答案为：四、解答题19．已知11x x --=，其中0x >，求122121x x xx x x x---+-的值．【答案】1【分析】将11x x --=化为21x x =+，利用平方差公式分解因式后，代入21x x =+可得结果.【详解】由11x x --=可知21x x =+，所以1111222221122()()11x xx x x x x xx x x x x x x x --+--=--++--=211x x x x x -=++=1.20．已知a ，b ，c 满足346a b c ==.当a ，b ，c 均为正数，求证：221c a b=+.【答案】证明见解析【分析】设346a b c k ===，转化为对数，再利用换底公式证明.【详解】设346a b c k ===，所以346log ,log ,log a k b k c k ===，其中0k >，所以6222lg 6lg 36log lg lg c k k k ===，3421212lg 3lg 4lg 36log log lg lg lg a b k k k k k+=+=+=，所以221c a b=+.21．求函数22log (321)y x x =--的定义域．【答案】{}|1xx>【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可；【详解】解：由函数22log (321)y x x =--，可知23210210x x x ⎧-->⎨->⎩，解23210x x -->，即()()3110x x +->得1x >或13x <-，解210x ->得12x >；综上可得1x >.所以函数的定义域为：{|1}x x >.22．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km ，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m 范围内)?【答案】至多只要检测7次.【分析】结合二分法即可得到100002n≤100，解不等式即可求出结果.【详解】解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为100002nm，则有100002n≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．。

第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。

例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。

第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。

4.1.1 n 次方根与分数指数幂导学案1．经历n 次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式性质，提升数学抽象核心素养． 2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．一、复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质1.正整数指数幂的定义:=⋅⋅an a a a 个 ,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则:（1）=⋅nma a (∈n m ,N*); （2）=÷nma a （,,0n m a >≠且∈n m ,N*）; （3）()=nma (∈n m ,N*); （4）()=mab (∈m N*);（5）=⎪⎭⎫⎝⎛mb a （,0≠b ∈m N*）.3.两个规定（1）=0a ）（0≠a . 零的零次幂没有意义. （2）=-na）（0≠a . 零的负整指数幂没有意义.（一）创设情境，引入新知如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c 与S 的关系是？c = =思考：我们对指数幂的认识从整数指数幂，拓展到像 21x 这样的分数形式的指数幂， 什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？（二）新知探究1．类比归纳，形成n 次方根的定义教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆教学过程322a ； 3aa ．跟踪训练2：化简 A.[2，＋∞) B ．[2,4)∪(4，＋∞) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)2．下列各式正确的是( )A ．3a = B ．47=-C ．5||a =D a =3．324-可化为( )A ．8B ．432 C ．18D ．342。

第5节 根式、指数、对数考试要求 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知 识 梳 理1.根式与指数幂的运算 (1)根式①概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.②性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)分数指数幂①规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.②有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2.对数与对数的运算 (1)对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.(2)对数的性质①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N ；④log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R ). (4)换底公式log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零且不等于1).[常用结论与易错提醒]已知a ，b ，c ，d ，M ，N 都满足条件，则： (1)log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)； (2)log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .诊 断 自 测1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9 B.7 C.－10D.9解析 原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B2.若log a 2<log b 2<0，则( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1D.b >a >1解析 log a 2<log b 2<0⇔lg 2lg a <lg 2lg b <0⇔lg b <lg a <0，故0<b <a <1.故选B. 答案 B 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 24.(2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 35.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案 14 2156.(2020·杭州质检)设a ＝log 23，b ＝log 38，则2a ＝________；ab ＝________.解析 由a ＝log 23得2a ＝3，ab ＝log 23×log 38＝ln 3ln 2×ln 8ln 3＝ln 23ln 2＝3ln 2ln 2＝3.答案 3 3考点一 指数幂的运算【例1】 化简：(1)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23×b －1）－12×a －12×b 136a ×b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12×a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16×b 12＋13－56＝1a . 考点二 对数的运算【例2】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B.10 C.20 D.100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 (1)A (2)－20规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z(2)若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝__________，b 2a ＝__________.解析 (1)取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32(由ln 32>ln 23可得)，又x ，y 为正数，∴2x >3y .x ln 2＝z ln 5，则x z ＝ln 5 ln 2<52(由ln 52＜ln 25可得)，又x ，z 为正数，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D.(2)由a ＞b ＞1，得0<log a b ＜1，又因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log ab ＝52，解得log a b＝12，所以a 12＝b ，即b 2＝a ，所以b 2a ＝1.答案 (1)D (2)12 1基础巩固题组一、选择题1.化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A.2x 2y B.2xy C.4x 2yD.－2x 2y解析 ∵x <0，y <0，∴416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y . 答案 D2.(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12 C.2D.4解析 (log 29)×(log 34)＝2log 23×2log 32＝4. 答案 D3.已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295＝( ) A.a 2－b B.2a －b C.a 2bD.2a b解析 ∵log 23＝a ，log 25＝b ，∴log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b . 答案 B4.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB.2lg(x ＋y )＝2lg x ＋2lg yC.2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴2lg (xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，A 不成立，D 成立；对于B ，C ，不妨取x ＝y ＝1，代入B ，C 易知不成立，故选D. 答案 D5.已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A.3B.8C.4D.log 48解析 由2x ＝3得x ＝log 23，又log 483＝y ， ∴x ＋2y ＝log 23＋2 log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝3. 答案 A6.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜2x ＜3y C.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z解析 (特值法)令x ＝1，则由已知条件可得3y ＝2，且5z ＝2，所以y ＝ln 2ln 3，z ＝ln 2ln 5，从而3y ＝3ln 2ln 3＝ln 23ln 3＜ln 9ln 3＝2，5z ＝5ln 2ln 3＝ln 25ln 3＞2，则3y ＜2x ＜5z . 答案 D7.已知a >0，b >0，则下列等式不正确的是( ) A.a lg b ·b lg a ＝1B.a lg b ＋b lg a ＝2a lg bC.a lg b ·b lg a ＝(a lg b )2D.a lg b ·b lg a ＝b lg a 2解析 由于a >0，b >0，故当a ＝b 时，有a lg b b lg a ＝(a lg b )2，a lg b ＋b lg a ＝a lg b ＋a lg b ＝2a lg b ，a lg b ·b lg a ＝(b lg a )2＝b 2lg a ＝b lg a 2，故选A. 答案 A8.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1解析 设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2.由题意知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.答案 A9.已知m >0且m ≠1，则log m n >0是(1－m )(1－n )>0的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵m >0且m ≠1，由log m n >0得⎩⎨⎧m >1，n >1，或⎩⎨⎧0<m <1，0<n <1，∴(1－m )(1－n )>0，反过来，当(1－m )(1－n )>0时，不妨取m ＝12，n ＝－1，此时log m n 无意义，故选A. 答案 A 二、填空题10.若log 2x ＝log 43，则x ＝________.解析 由等式可得log 2x ＝12log 23，解得x ＝ 3.答案 311.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 解析 (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 212.若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝________. 解析 ∵x ＝log 43，∴4x＝3，4－x＝13，∴(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.答案 4313.已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝________，a 2＋a －2＝________.解析 ∵a 12＋a －12＝3， ∴两边平方得a ＋a －1＋2＝9， ∴a ＋a －1＝7，对上式两边平方得a 2＋2＋a －2＝49， ∴a 2＋a －2＝47. 答案 7 4714.(2019·嘉兴测试)计算：2lg 2＋lg 25＝________，方程log 2(x ＋1)＝3的解为x ＝________.解析 2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log 2(x ＋1)＝3，∴x ＋1＝23＝8，解得x ＝7. 答案 2 7能力提升题组15.(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b解析 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋b ab <1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0. 答案 B16.函数f (x )＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22的图象为( )解析 f (x )＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x ，x ≥1，故选D.答案 D17.(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1RB.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R解析 由α＝rR 得r ＝αR ， 代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3， 整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.又3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，即3α3≈M 2M 1，所以α≈3M 23M 1，故r ＝αR ≈3M 23M 1R .答案 D18.(2020·杭州四中仿真)比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________；最小的是________.解析 因为0＜lg 2＜1，所以lg(lg 2)＜0＜(lg 2)2＜lg 2，即最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2). 答案 lg 2 lg(lg 2)19.已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则xy 的最大值是________.解析 由题意得lg 2x ＋lg 8y ＝lg(2x ×23y )＝lg 2x ＋3y ＝lg 2(x >0，y >0)，所以x ＋3y ＝1，则xy ＝13x ×3y ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝112，当且仅当x ＝3y ＝12时，等号成立，所以xy 的最大值为112.答案 11220.(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知方程log a (5x －3x )＝x (其中a ＞0，a ≠1)，若x ＝2是方程的解，则a ＝________；当a ＝2时，方程的解x ＝________. 解析 若x ＝2是方程的解，则log a (52－32)＝log a 42＝2，所以a ＝4；当a ＝2时，log 2(5x －3x )＝x ，即5x －3x ＝2x ，通过对比可知该方程的解为x ＝1. 答案 4 1。

根与幂的运算规则一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

2.算术平方根的定义：一个非负实数的算术平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

3.平方根与算术平方根的关系：一个数的算术平方根一定是该数的平方根，但一个数的平方根不一定是该数的算术平方根。

4.立方根的定义：一个数的立方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

5.立方根的性质：一个数的立方根与该数的性质符号相同。

三、负整数指数幂1.负整数指数幂的定义：一个数的负整数指数幂是指该数的倒数的正整数次幂。

2.负整数指数幂的性质：一个数的负整数指数幂与该数的性质符号相同。

四、正整数指数幂1.正整数指数幂的定义：一个数的正整数指数幂是指该数连乘自身正整数次。

2.正整数指数幂的性质：a)同底数幂的乘法：底数相同，指数相加。

b)同底数幂的除法：底数相同，指数相减。

c)幂的乘方：底数不变，指数相乘。

d)积的乘方：先将每个因数分别乘方，再将所得的幂相乘。

五、零指数幂1.零指数幂的定义：0的正整数指数幂等于0。

2.零指数幂的性质：0的零次幂没有意义。

六、分式指数幂1.分式指数幂的定义：一个数的分式指数幂是指该数的指数为分数的形式。

2.分式指数幂的性质：a)分式指数幂的乘法：底数相同，分子相乘，分母相乘。

b)分式指数幂的除法：底数相同，分子相除，分母相除。

c)分式指数幂的乘方：底数不变，分子相乘，分母相乘。

七、根式与分数指数幂1.根式的定义：一个数的根式是指以该数为底数的分数指数幂。

2.分数指数幂的定义：一个数的分数指数幂是指该数的指数为分数的形式。

3.根式与分数指数幂的关系：根式可以转化为分数指数幂，分数指数幂也可以转化为根式。

八、混合运算1.混合运算的定义：根与幂的运算规则在实际应用中，经常会与其他数学运算（如加、减、乘、除）结合进行。

2.混合运算的注意事项：a)先进行乘方、开方等运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。

第二章 根式与分数指数幂背景在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：n a 和N a log ，教材中是通过实例引入并给出定义：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

如果)1,0(≠>=a a N a x ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。

当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。

至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。

“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？ 解决策略 当我们重新回忆“2”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。

如果设这个数为x ，既然21x x =，推导的结果即22=x 。

他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理211222=+=x ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。

可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了2，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。

那么，“2”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：2是一个数，它的平方等于2！由此，“n a ”也是一个数，它的n 次方等于a ！更进一步，N a log 是什么呢？由N a x =知N aN a =log ，故N a l o g 也是一个数（对数），a 的N a log 次方等于N 。

如此，则n a 及N a log 便不难理解了。

于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。

根式与分数指数幂的互化公式在初中数学学习中，我们经常会接触到关于根式与分数指数幂的互化公式。

这个公式在代数中具有非常重要的作用，能够方便我们进行运算和推导。

下面，就让我们来详细了解一下这个公式及其应用。

首先，我们需要明确一些基础概念。

根式是一个含有根号的式子，例如√2、∛3等。

而分数指数幂则是指数为分数的幂运算，例如2的1/2次方（即根号下2）、3的2/3次方等。

它们之间通过互化公式建立起了数学上的关系。

对于根式来说，我们经常需要将其转化为分数指数幂的形式，可以使用以下互化公式：√a = a的1/2次方∛a = a的1/3次方由此可见，任何一个根式都可以用分数指数幂来表示，并且我们可以通过指数的大小关系，对根式进行大小比较。

与此同时，对于分数指数幂，我们也可以利用互化公式将其转化为根式的形式，具体公式如下：a的分数次方 = 分母根号下a的分子次方例如：2的1/2次方= √23的2/3次方 = 3的1/3次方的平方根 = ∛3的2次方= √(√3) 通过这些互化公式的使用，我们可以方便地将根式和分数指数幂进行相互转化，并且可以将它们运用到各种代数运算中，例如加减、乘除等都可以利用互化公式进行简化。

除此之外，根式与分数指数幂的互化公式在平面几何和立体几何中也有非常广泛的应用，例如在构造三角形和正方体等图形时，经常需要将根式转化为分数指数幂的形式，从而方便计算。

而在解题过程中，我们也可以利用互化公式进行代数化简，找到已知条件与问题之间的联系。

总的来说，根式与分数指数幂的互化公式是数学学习中非常重要的一个知识点，它不仅能够帮助我们简化复杂的式子，还可以在实际问题中发挥重要的作用。

因此，在学习中一定要重视这个知识点，掌握互化公式的运用方法，以便更好地应用于数学实践中。

分数指数幂及其运算法则（供参考）⼀、复习引⼊回顾平⽅根、⽴⽅根的有关概念．归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平⽅根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的⽴⽅根.⼆、新课讲解1、根式若n x a =（1>n ，+∈N n ）则x 叫做a 的n 次⽅根说明：n nn a n a a n a n a ±??为奇数, 的次⽅根有⼀个,为为正数:为偶数, 的次⽅根有两个,为零的n 次⽅根为零，记为00n =如果n a 有意义，那么n a （1>n ，+∈N n ）叫做根式.其中n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数.2、分数指数幂（1）规定10=a ，n n a a1=- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n ma a=)1,,(>∈+n N n m ）规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n ma a 1=-)1,,(>∈+n N n m ）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂⽆意义.课内练习 P41 练习7.1.1 题2，3（3）引⼊了分数指数幂后，整数指数幂就推⼴到了有理数指数幂。

对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：t s t s a a a +=?，st t s a a =)(，ss s b a ab ?=)(，其中Q t s ∈,，0,0>>b a 。

例1求下列各式的值解：33(1)(8)-= —8； 2(2)(10)-=|—10|=10； 44(3)(3)π-=3π- 2(4)()a b -=a b - 例题2：求值：238；1225-；51()2-；3416()81-. 解：① 223338(2)=2323224?===；② 1122225(5)--=12()121555--===；③ 5151()(2)2---=1(5)232-?-==；。

n次方根与分数指数幂数学分数指数　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，2也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．一、n次方根问题1　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？提示　如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．知识梳理1．n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈R a>0a＝0a<0x＝n a x＝±n a x＝0不存在3.根式n a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．n0(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.n a(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．n an(4)＝|a|＝Error!(n为大于1的偶数)．注意点：n a n a n an(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0；(2)()n与意义不同，3(－3)34(－3)44－3n a n an比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠；n a n an n a n an(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对n an于要注意运算次序．例1　(1)化简下列各式：5(－2)55－2①＋()5；6(－2)662②＋()6；4(x＋2)4③.解　①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.③原式＝|x＋2|＝Error!x2－2x＋1x2＋6x＋9(2)已知－3<x<3，求－的值．(x－1)2(x＋3)2解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝Error!延伸探究　在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？(x－1)2(x＋3)2解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.n an n a反思感悟　正确区分与()nn an n an(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．n a n a(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．跟踪训练1　化简下列各式：7(－2)7(1)；(2)＋；(π－4)23(π－4)3(3)(a ≤1)；4(3a －3)4(4)＋；3a 34(1－a )4解　(1)＝－2.7(－2)7(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(π－4)23(π－4)3(3)∵a ≤1，∴＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .4(3a －3)4(4)＋＝a ＋|1－a |＝Error!3a 34(1－a )4二、分数指数幂问题3　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a >0，是3a 24a 23a 59a 3否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示　＝，＝＝，＝，＝＝.3a 223a 4a 224a 12a 3a 553a 9a 339a 13a 知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na nam (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；1m nm naa-=1nam (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数m na mn 指数幂总表示正数，而不是负数．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．拓展：①＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )．②r ＝(a >0，r ，s ∈Q )aras (a b )arbr 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．例2　(1)化简的结果是( )1312527-⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C ．3 D ．53553(2)(a >0)的分数指数幂表示为( )3a ·a A ． B ． C ． D ．都不对12a 32a 34a (3)化简·(a >0)的结果是( )a 3a 2A. B. C. D.3a 6a 71a 6a 6a答案　(1)A (2)A (3)B解析　(1)原式＝＝－1＝.13353⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭(53)35(2)＝＝.3123a ⨯12a (3)原式＝·＝＝.12a 23a 76a 6a 7反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练2　(1)求值：＝________.3－827(2)用分数指数幂表示a ·(a >0)＝________.51a 3答案　(1)－　(2)2325a 解析　(1)原式＝＝＝－.13827⎛⎫- ⎪⎝⎭13323⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭23(2)原式＝a ·＝.35a-25a 三、有理数指数幂的运算性质例3　＝________.(式中的字母均是正数)121121332a b a b ---⎛⎫答案　1a解析　原式＝21111323221566ab aba b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅111155513223666615156666aba b aa ba b--+---⋅⋅===⋅⋅＝a －1＝.1a (2)计算：－－(π－3)0＋.25913827⎛⎫ ⎪⎝⎭1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭解　原式＝－－1＋2＝2.5323反思感悟　关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．跟踪训练3　(1)－(－2)0－＋－2；12124⎛⎫ ⎪⎝⎭23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭(32)(2)(x ，y >0)．1411333442236x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解　(1)原式＝－1－＋2＝－1－＋＝.12232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦23332-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(23)32494912(2)原式＝.()()14113233442236xyxy -+++⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)分数指数幂的运算性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：(1)对于，当n 为偶数时，a ≥0.na(2)混淆()n 和.na nan1．()4运算的结果是( )42A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定答案　A 解析　()4＝2.422．若a <，则化简的结果是( )14(4a －1)2A ．4a －1 B ．1－4a C ．－ D ．－4a －11－4a答案　B解析　∵a <，14∴4a －1<0，∴＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .(4a －1)23．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(－1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6a 答案　A解析　A 项，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项正确；B 项，(－a 2)3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 项错误；C 项，当a ＝1时无意义，故C 项错误；D 项，(－a 2)3＝－a 6，故D 项错误．4．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.(－12)12116-⎛⎫⎪⎝⎭答案　－4解析　原式＝×16－4÷1－－114(14)＝4－4－4＝－4.课时对点练1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A. B. C. D.4a 25a 5－a 4a答案　D解析　当a <0时，a 的偶次方根无意义．2．若＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )a －2A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案　B解析　由题意可知Error!∴a ≥2且a ≠4.3．化简(其中a >0，b >0)的结果是( )3(8a －327b 3)4A. B ．－ C. D ．－2a 3b 2a 3b 1681a 4b 4181a 4b 4答案　C解析　＝＝4＝.3(8a －327b 3)44333323a b -3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2a －13b)1681a 4b 44．下列等式一定成立的是( )A ．＝a B ．＝03132a a ⋅1122a a ⋅C ．(a 3)2＝a 9 D ．113126a a a÷=答案　D解析　同底数幂相乘，指数相加，故A ，B 错误；因为(a m )n ＝a mn,3×2＝6，故C 错误；同底数幂相除，指数相减，故D 正确．5．若a >0，将表示成分数指数幂，其结果是( )a 2a ·3a 2A ． B ． C ． D ．12a 56a 76a 32a 答案　C解析　由题意得＝＝.a 2a ·3a 211223a--76a 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－＝x 12()x -B.＝(y >0)6y 213yC ．＝(x >0)34x-4(1x )3D ．＝(x >0)3412x 答案　BCD解析　A 项错误，－＝(x ≥0)，而＝(x ≤0)；x 12x -12()x -－x B 项正确，＝(y >0)；6y 213y C 项正确，＝(x >0)；33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭4(1x )3D 项正确，(x >0)．313124342x x ⨯⨯==7．当x <0时，x ＋＋＝________.4x 43x 3x 答案　1解析　原式＝x ＋|x |＋＝x －x ＋1＝1.xx 8．方程3x －1＝的解是________．19答案　x ＝－1解析　3x －1＝＝3－2⇒x －1＝－2⇒x ＝－1.199．化简下列各式：(1)＋；(5－3)2(5－2)2(2)＋(x ≥1)．(1－x )2(3－x )2解　(1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.(5－3)2(5－2)25555(2)当1≤x <3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋3－x ＝2；(1－x )2(3－x )2当x ≥3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋x －3＝2x －4.(1－x )2(3－x )2所以原式＝Error!10．(1)化简：(a >0，b >0)；211511336622263a b a b a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求值：0＋2－2×－0.010.5.(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭解　(1)211511336622263a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2×(－6)×211115326236(3)ab+-+-.5336ab =(2)0＋2－2×－0.010.5(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋×141122419100⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋×－1423110＝1＋－＝.16110161511．若有意义，则x 的取值范围是( )()3412x --A ．R B.∪(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(12，＋∞)(－∞，12)答案　D 解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <.1212．已知m 10＝2，则m 等于( )A. B ．－ C. D ．±102102210102答案　D解析　∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±.10213．化简·的结果为( )－a 3a A ． B ． C ． D ．25a -()56a --()56a -56a -答案　B解析　原式＝.()()()115236a a a --⋅-=--14．如果45x ＝3,45y ＝5，那么2x ＋y ＝________.答案　1解析　由45x ＝3，得(45x )2＝9.又45y ＝5，则452x ×45y ＝9×5＝45＝451，即452x ＋y ＝451，∴2x ＋y ＝1.15．化简：(＋)2 021·(－)2 021＝________.3232答案　1解析　原式＝[(＋)·(－)]2 021＝12 021＝1.323216．若a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，＋＋＝0，求abc .1x 1y 1z 解　设a x ＝b y ＝c z ＝k ，则k >0，a ＝，b ＝，c ＝，1xk 1yk 1zk 因此abc ＝＝k 0＝1.111111yx y zxzk k k k++=。