安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}210A xx =->∣，{}2log B x y x ==∣，则A B =（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-【答案】B【解析】分别化简集合,A B ，再求A B .【详解】{}210{1A x x x x =->=<-∣∣或 1}(,1)(1,)x >=-∞-+∞，(0,)B =+∞，则(1,)AB =+∞．故选：B. 【点睛】本题考查了对集合描述法的理解与化简，函数定义域的求法，集合的交集运算，属于基础题.2．已知0x >，0y >，且141x y+=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9C ．12D ．6【答案】B 【解析】由411y x +=，则41()x y x y y x ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得411y x +=，则414()559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x =，6y =时等号成立，故x y +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1”的变形，属于基础题.3．定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x R ∈都有(1)()f x f x +=；②当x (1,2]∈时，()2f x x =-.若函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的最大值是（ ）. A ．5 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先根据(1,2]x ∈时，()2f x x =-，画出图象，再由函数周期1T =，画出函数()f x 在[0,4]的图象，由函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则()y f x =与log (1)a y x a =>有3个交点，数形结合，列出式子，求得a 的最大值. 【详解】画出函数()y f x =，log (1)a y x a =>的图象，如下图所示.由题意，要使两函数的图象有三个交点，则需满足log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤，所以实数a 最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数周期性的应用，已知函数零点的个数求参数值，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.4．已知向量(2,1)a =--，),2(b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）. A ．(1,4)(4,)-⋃+∞ B ．(2,)+∞ C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】根据题意可知，0a b ⋅<且,a b 不共线，列式即可解出． 【详解】依题可得，0a b ⋅<且,a b 不共线，即()2202210λλ--<⎧⎨-⨯--⨯≠⎩，解得1λ>-且4λ≠．故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前3项和为7，且53134a a a =+，则3a =（ ）. A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】由条件列式求首项和公比，再求3a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+得4234q q =+，得24q =，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以2q，又()2123111(124)7a a a a q q a ++=++=++=，所以11a =，所以2314a a q ==.故选：C 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，重点考查计算能力，属于基础题型. 6．若2cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）. A ．79-B ．79C ．19-D ．19【答案】C【解析】根据诱导公式可得11cos 2cos 2cos 2336πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式即可求出． 【详解】11cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2412cos 121699πα⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．7．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（ ）A BC D ．4【答案】C【解析】由条件2sin a C =结合正弦定理可得sin A =，从而可得出3A π=，由正弦定理可得ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则可得出答案. 【详解】∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =，由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin A = .∵ABC 为锐角三角形，∴3A π=.由正弦定理，得sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，c C =， ∴ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，∴当3B π=，即ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为211sin 6024S =⨯⨯︒=， 故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，求三角形的周长的最值，属于中档题. 8．已知E 为ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =，AC b =，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =，AQ nb =，则11m n +=（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．13【答案】A【解析】由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+，结合已知可用,AP AQ 表示AE ，然后由,,P E Q 共线可求. 【详解】解：由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+， ∵AP ma =，AQ nb =，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭， ∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 则113m n+=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题. 9．函数21x y +=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】采用排除法，先判断函数3y x=的奇偶性，然后判断其单调性，再带特殊点求函数值得出结果. 【详解】因为函数y =0x >时，y ==y =(0,)+∞上单调递减， 所以排除选项B ，D ；又当1x =时，13y =<， 所以排除选项A . 故选：C. 【点睛】本题考查函数的图象判断问题，难度一般.一般地，解决根据函数的解析式判断函数图象问题时，要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等，采用排除法选出答案.10．若数列{}n a 的首项121a =-，且满足21(23)(21)483n n n a n a n n +-=-+-+，则24a 的值为（ ）A ．1980B ．2000C ．2020D ．2021【答案】A【解析】由条件21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+可得112123n n a an n +-=--，从而数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21，公差为1的等差数列，由121a =，可得12121a =-，得出{}n a 的通项公式，进一步得出答案. 【详解】∵21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+，∴()()()1232123n n n a n a n +-=-+-()21n -， ∴112123n n a a n n +∴-=--，所以数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21，公差为1的等差数列， ∴21(1)12023na n n n =+-⨯=+-，∴*(20)(23),n a n n n =+-∈N . 241980a =，故选：A. 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式，注意构造数列的方法，属于中档题.11．已知(12)P ，是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点.设BPC θ∠=，若3tan24θ=，则()f x 的图像对称中心可以是（ ） A ．()0,0 B ．()1,0C ．13,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．17,02⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据P 点坐标及3tan24θ=，求得,B C 的坐标，由BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，且周期为6，得到答案. 【详解】 如图所示:取BC 的中点D ，连接PD ，则4PD =，2BPD θ∠=，在Rt PBD 中，由3tan24θ=， 得3BD =.所以(2,2)B --，(4,2)C -，BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，且周期T 6=，即对称中心为1(3,0)2k -，k Z ∈，当3k =时，对称中心为17,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.12．已知函数(31)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-【答案】A【解析】根据奇函数的对称关系结合图象可知()f x 的对称性，进而得到()g x 图象的对称性，再由120x x +=可知点的对称，由此得出结论. 【详解】解法一：函数(31)y f x =-为奇函数， 故(31)y f x =-的图象关于原点对称，而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移13个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍， 故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，故函数()y g x =图象关于(0,1)对称，所以()()2g x g x +-=， 而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=. 解法二：（特例法）设(31)f x x -=，令31t x =-，∴1(1)3x t =+， 1(t)(t 1)3f ∴=+，∴1()(1)3f x x =+.∵()y g x =与()y f x =关于y x =-对称 ，1(1)3x y ∴-=-+，∴()31g x x =+，∵120x x +=，所以()()122g x g x +=. 故选：A 【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P x y ，且75x y +=，则3cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________.【答案】2425【解析】根据三角函数定义可求出7cos sin 5αα+=，由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.【详解】由三角函数定义知，cos x α=，sin y α=. ∴7cos sin 5αα+=， ∴249(cos sin )1sin 225ααα+=+=， ∴4924sin 212525α=-=， ∴324cos 2sin 2225παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 故答案为：2425【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.14．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最小值为________. 【答案】14-【解析】由2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，可求得120BAD ︒∠=，然后如图建立平面直角坐标系，设点3,2M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用坐标把MA MB ⋅表示出来，231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--，求此二次函数在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值即可. 【详解】解：如图，∵1AB AD ⋅=-，2AB =，1AD =， ∴||||cos 1AB AD BAD ⋅∠=-，∴2cos 1BAD ∠=-，1cos 2BAD ∠=-，∴120BAD ︒∠=.以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B，设M x ⎛ ⎝⎭，13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--.令21()(1)4f x x =--，13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()14min f x =-.故答案为：14-， 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系利用了坐标求解，考查了二次函数的性质，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且1tan 3B =，则tan tan tan tan A CA C +的值是____________.【答案】10【解析】由条件得2b ac =，利用正弦定理边化角，将11tan tan A C+化弦，再由1tan 3B =求出sin B 可得. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =， 由正弦定理得2sin sin sin B A C =，∴sin sin tan tan sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan sin cos cos A CA C A C A CB AC A C A C BA C⋅===++， ∵1tan 3B =，∴sin B =，∴tan tan tan tan 10A C A C =+.【点睛】该题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，等比中项，三角式的恒等变形，属于中档题目.16．已知函数22log ,02()log (4),24x x f xx x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若1()3f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是____________.【答案】13711110,,63a ⎛⎤-+⎡⎫∈ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦【解析】画出()f x 的图象，对a 进行讨论：1013a a <<+≤，1123a a ≤<+≤，10123a a <<<+<，11243a a <<<+<，1243a a ≤<+<，结合单调性解不等式，即可得到所求范围. 【详解】 函数22log ,02()log (4),24x x f x x x ⎧<≤=⎨-<<⎩的图象如图所示：由于13a a <+， 当1013a a <<+≤，即203a <≤时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；当1123a a ≤<+≤，即513a ≤≤时，函数()f x 递增，显然不合乎题意；当10123a a <<<+<，即2533a <<，可得221log log 3a a ⎛⎫ ⎪⎝≥+⎭-，解得213736a -<≤， 当11243a a <<<+<，即有523a <<， 由题意可得221log log 43a a ≥--⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得1126a ≤<， 当1243a a ≤<+<，即1123a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；综上可得a的范围是1111,63⎛⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：1111,63⎛⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度. 三、解答题17．已知全集为R .函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合{}220B x x x =--≥.（1）求AB ；（2）若{}1C x m x m =-<≤，()RC B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}2A B x x ⋂=≥；（2）(),2-∞. 【解析】（1）先求解集合A ，B ，再求交集； （2）先计算B R，再对C 分C =∅和C ≠∅讨论，最后综合即可.【详解】（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{}1A x x =>， 又220x x --≥， 得{2B x x =≥或}1x ≤- ， ∴ {}2A B x x ⋂=≥. （2）∵{}12C x x ⊆-<<，①当C =∅时，满足要求， 此时1m m -≥， 得12m ≤； ②当C ≠∅时，要{}12C x x ⊆-<<，则1112m m m m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，解得122m <<；由①② 得，2m <，∴ 实数m 的取值范围(),2-∞. 【点睛】本题考查集合的关系及运算，考查运算能力，是基础题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，23B π=，c = （1）求角C ；（2）若点D 满足2AD DC =，求ABD △的外接圆半径. 【答案】（1）6C π=；（2）1.【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin sin sin B C B =，可求1sin 2C =，结合C 的范围可求结果； （2）先由正弦定理得3b =，即2AD =，在ABD △中，由余弦定理可得1BD =，最后由正弦定理即可得结果. 【详解】（1）由2sin cos cos b C a C c A =+，由正弦定理可得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又∵()sin cos sin cos sin sin A C C A A C B +=+=， ∴2sin sin sin B C B =， ∵sin 0B >，∴1sin 2C =. 又03C π<<，所以6C π=.（2）由正弦定理易知sin sin b cB C==3b =. 又2AD DC =，所以2233AD AC b ==，即2AD =.在ABC 中，因为2π3ABC ∠=，6C π=，所以6A π=，所以在ABD △中，6A π=，AB =2AD =由余弦定理得2222cos 342212BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯=， 即1BD =，由22sin BDR A==可知ABE △的外接圆半径为1. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，通过三角恒等变换化简求值，属于中档题.19．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若4822a a +=，且5a ，8a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2111n nn n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明13n S ≥. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由已知列出关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）由（1）可得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项相消法求和即可证明；【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，()()()12111210227412a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得11a =，2d =，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）()22114111111(21)(21)(21)(21)22121nnn n a n b a a n n n n n n ++⎛⎫=-=-==- ⎪-+-+-+⎝⎭，∴1111111112322121221n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为1n ≥，所以110321n ≥>+，所以2111321n ≤-<+， 所以13n S ≥ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题．20．已知ABC的面积为B 是A ，C 的等差中项.（1）若cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求边AC 的长； （2）当AC 边上中线BD 取最小值时，试判断ABC 的形状. 【答案】（1）（2）ABC 为等边三角形. 【解析】（1）由条件可得60B =︒，由1sin 2S ac B ==，得到12ac =，由cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭结合正弦定理，得3c a =，可求出a c ，，再由余弦定理可求出答案. （2）由1()2BD BC BA =+，平方可得()22211(2)944BD a c ac ac ac ∴=++≥+=，根据取等条件可得出答案. 【详解】∵ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴60B =︒，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由ABC 的面积1sin 2S ac B ==，可得12ac =.（1）∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2a =，6c =. 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b =AC 的长为（2）∵BD 是AC 边上的中线，1()2BD BC BA =+， ()()()2222222111122cos (2)94444BD BC BA BC BA a c ac B a c ac ac ac ∴=++⋅=++=++≥+=当且仅当a c ==“＝”，3BD ∴≥，即BD 长的最小值为3，此时ABC 为等边三角形. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，中点公式的向量式的应用，三角形面积公式的应用，以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．21．已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-+. 【解析】（1）令()0f x =可得出()14x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出2nn b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）1()2020sin 0()()444f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫=-=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭， 这就是函数()f x 的全部零点，已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ， 则其首项等于14，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*34n a n n N =-∈.（2）3224nn n nb a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---，所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题.22．已知x ∈R ，定义函数()f x 表示不超过x的最大整数，例如：1f =，()3f π=，(0.5)1f -=-.（1）若()2020f x =，写出实数x 的取值范围； （2）若0x >，且1(2())71xf x f x f e ⎛⎫+=+⎪+⎝⎭，求实数x 的取值范围； （3）设()()f x g x x k x =+⋅，721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩，若对于任意的[)123,,7,9x x x ∈，都有()()()123g x h x h x >-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20202021x ≤<；（2）532x ≤<；（3）6k >-. 【解析】（1）由()f x 表示不超过x 的最大整数，可得x 的取值范围为20202021x ≤<；（2）由指数函数的单调性，可得110212x <<+，则1(7)721xf +=+，即有72()8x f x ≤+<，考虑23x <<，解不等式即可得到所求范围；（3）化简得()h x 在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增，求得()h x 的最值，可得所以()11g x >在[)7,9恒成立，讨论当7,8x时，当8,9x 时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求k 的范围. 【详解】（1）若()2020f x =，则x 表示不超过20201的最大整数，所以202020201x ，故x 的取值范围为20202021x ≤<； （2）若0x >，可得11012x e <<+，(2())7f x f x +=， 则72()8x f x ≤+<，72()82x f x x -≤<-， 当1x =时，()5f x = ，不符合； 当2x =时，()3f x =，不符合； 则3x =时，()1f x =，不符合；当23x <<时，()2f x =，所以72282x x -≤<-，解得532x ≤<； 所以实数x 的取值范围为532x ≤<. （3）∵721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩， ∴()h x 在[)7,8单调递减，在[)8,9单调递增. 可得max ()(7)1h x h ==，min ()(8)0h x h ==， 则()()()()23781max h x h x h h -=-=， 所以()11g x >在[)7,9恒成立，即()1f x x k x+⋅>， 整理得2()k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立，当[7,8)x ∈时，27k x x >-在[7,8)恒成立，即6k >-， 当[8,9)x ∈时，28k x x >-在[8,9)恒成立，即7k >-， 综上可得： 实数k 的取值范围为6k >-. 【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.。

安徽省示范高中培优联盟2021年春季高二联赛化学全卷满分100分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Fe 56一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.科技的进步与化学的发展正不断改变着人们的生活，下列说法不正确．．．的是A.新冠病毒灭活疫苗等生物制剂要冷冻保存是为了防止蛋白质变性B.燃煤中加入CaO可以减少酸雨的形成及温室气体的排放C.中国天眼FAST用到的碳化硅是一种新型的无机非金属材料D.“嫦娥五号”返回器表面所贴“暖宝宝”主要成分有铁粉、碳粉等2.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A.标准状况下，2.24 L环己烷的分子数为0.1N AB.5.35 g固体NH4Cl中含有的共价键数目为0.4N AC.1 mol FeI2与一定量氯气反应时，当有1 mol Fe2＋被氧化时则转移的电子数为N AD.已知146C的衰变反应为146C→14z X＋0－1e，1.4 g X原子中含有的质子数为0.6N A3.下列解释事实的离子方程式不正确．．．的是A.用碳酸钠溶液处理锅炉水垢：CaSO4(s)＋CO32－CaCO3(s)＋SO42－B.电镀铜时铜在阴极析出：Cu2＋＋2e－＝CuC.将铜丝插入稀硝酸中：Cu＋4H＋＋2NO3－＝Cu2＋＋2NO2↑＋H2OD.氯水中通入SO2漂白作用会减弱：Cl2＋SO2＋2H2O＝4H＋＋SO42－＋2Cl－4.化合物A是合成具有解痉和抗胆碱作用的药物奥昔布宁的重要中间体，结构如图所示，下列关于化合物A的说法中正确的是A.分子式为C15H22O3B.有三种含氧官能团C.在碱性条件下能发生水解反应D.能氧化但不能被还原5.利用小粒径零价铁(ZVI)的电化学腐蚀处理三氯乙烯，进行水体修复的过程如图所示，H＋、O2、NO3－等共存物会影响修复效果。

培优联盟2024春季联赛高二数学参考答案1234567891011BBDCACDACDBCDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】取0a =，0b <，则可知由“0ab =”无法推出a b =+”．2．B【解析】(3,4)BC DA BA AC DA BA DC AB CD+=++=+=--=--．3．D【解析】两式作差得，cos sin 2024cos cos 2024sin sin 2024cos()2024cos A A B C B C B C A -=-=+=-，所以sin 2025cos A A =，即tan 2025A =．4．C【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是8,11,28”。

①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3，另一个不是3”，则一个为3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时56m n +=；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，则两个数可以为753m n ì=ïïíï=ïî，653m n ì=ïïíï=ïî，553m n ì=ïïíï=ïî，453m n ì=ïïíï=ïî，252m n ì=ïïíï=ïî，151m n ì=ïïíï=ïî，050m n ì=ïïíï=ïî，…所以，m n +的最大值为60．5．A【解析】()3sin 3cos 44cos3sin 4f x x x x x '=--，''()24sin 4sin 325cos3cos 4f x x x x x =-．6．C【解析】3334tan 4882a =>⋅=，422113log 7log 7log 8222b ==<=，2222274ln12ln 4(ln 7)(ln12ln 4)4(ln 7)(ln 49)4(ln 7)log 12log 70ln 7ln 44ln 7ln 44ln 7ln 4c b -+---=-=<<=，7．D【解析】记AB 与圆222:O x y b +=相切于点00(,)P x y ，则0c AP x a =，0cAF a x a=-，进一步有AP AF a +=，同理BP BF a +=，故ABF △的周长为2a ．8．A【解析】令0x y ==，则22(0)2[(0)]f f =，解得(0)0f =或(0)1f =令2t x y ==，则2()(0)2[()]2tf t f f +=，故()1f t ≥-．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．CD【解析】选项A 取1p q ==，r =．选项B ，取1p =，i q =．选项C ，由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P ，Q ，R 三点共线．选项D ，||||||||||||q r q r p q p q =⇒=，则||p ，||q ，||r 成等比数列．10．BCD【解析】选项A ：若PC BD ^，则BD ⊥平面PAC ，进一步有BD AC ⊥，而底面ABCD 是矩形，不能保证BD AC ⊥．选项B ：取PD 中点M ，则12EA CD FM ==，进一步有EF AM = ．选项C ：1()2EF AP BC =+．11．AD【解析】选项B ：取3a =，4b =，5c =，则222a b c +<；选项C ：取4a b ==，1c =，则sin sin 0sin a b c+<<选项D ：由2a a b c a b c <+++，2b b c a a b c <+++，2c c a b a b c <+++可得2a b cb c c a a b++<+++．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3【解析】根据余弦定理计算得BC =6，所以632BC e AC AB ===-.13．2e 【解析】ln 1a c -=，ln 1b d -=．由2ln ln 1ln 1a c d a b =+=-+-，即ln ln 2b a -=，即2e ba=。

绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年高中二年级春季联赛数学(理)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)},N ＝{x|x 2－2x ≥0},则M ∩U N ＝(A)(0,2) (B)(1,2) (C)(－2,0) (D)(0,1)(2)设复数z ＝(12-+)2020 (其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)在[0,1]内任取两个实数x,y,则事件0<x －y ≤12的概率等于(A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2至少有一个成立”的否定为 (A)∀a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (B)∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (C)∃a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (D)∃a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线,切点为Q,则切线段PQ 长的最大值为(D)(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π,2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π,π]上的值域为[－1,2] 其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝4,M 是△ABC 所在平面内一点,且()0MB MC BC +⋅=,则AM BC ⋅=(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象(A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3,0)对称(9)函数()2191x f x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132。

安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则M ∩U ðN ＝(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)(2)设复数z ＝(12-+)2020(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在[0，1]内任取两个实数x ，y ，则事件0<x －y ≤12的概率等于 (A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为(A)∀a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立(B)∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(C)∃a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 (D)∃a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线，切点为Q ，则切线段PQ 长的最大值为(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π，2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π，π]上的值域为[－1，2]其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且()0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象 (A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3，0)对称 (9)函数()2191xf x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132(10)已知过点A(t ，0)的直线与抛物线y 2＝8x 交于B ，C 两点，F 为抛物线的焦点，若11BF CF+为常数，则t 的值为(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。