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【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第2章 第2节 函数的单调性与最值 新人教B 版一、选择题1．(文)下列函数中，在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log0.5(1－x) B ．y ＝x0.5 C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x2)[答案] D[解析] ∵u ＝1－x 在(0,1)上为减函数，且u>0，∴y ＝log0.5(1－x)为增函数，y ＝0.51－x 为增函数；又0.5>0，∴幂函数y ＝x0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y ＝12(1－x2)开口向下，对称轴x ＝0，故在(0,1)上为减函数． (理)(2014·东营模拟)下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝ln(x －2) B ．y ＝－xC ．y ＝x －x －1D ．y ＝(12)|x|[答案] C[解析] 当x ＝1时，y ＝ln(x －2)无意义；y ＝－x 在[0，＋∞)上单调递减；y ＝(12)|x|在[0，＋∞)上单调递减， ∴选C.2．(2014·山西运城模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x ＋c ，x<1，则“c ＝－1”是“函数f(x)在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] c ＝－1时，f(x)在R 上单调递增；c ＝－2时，f(x)在R 上也单调递增，故选A. 3．(文)(2013·延安中学期中)设a ＝20.3，b ＝(12)23，c ＝log223，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．b<c<a [答案] C[解析] ∵c ＝log223<log21＝0，a ＝20.3>20＝1,0<b ＝(12)23<(12)0＝1，∴c<b<a. (理)已知a ＝5log23.4，b ＝5log43.6，c ＝(15)log20.3，则( ) A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b [答案] C[解析] a ＝5log23.4，b ＝5log43.6＝5log2 3.6，c ＝(15)log20.3＝5log2103，由对数函数的单调性有log23.4>log2103>log2 3.6，由指数函数单调性，有a>c>b ，故选C. 4．(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y ＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )[答案] B[解析] 首先判断定义域为R.又f(－x)＝f(x)，所以函数y ＝log2(|x|＋1)为偶函数，当x>0时，y ＝log2(x ＋1)．由对数函数的图象特征知排除A 、C ，又x ＝1时，y ＝1，排除D ，故选B. 5．(文)(2015·大连市二十中期中)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f(x)＝1x2 B ．f(x)＝x2＋1 C ．f(x)＝x3 D ．f(x)＝2－x [答案] A[解析] y ＝x3为奇函数，y ＝2－x 为非奇非偶函数，y ＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，y ＝1x2在(－∞，0)上单调递增，故选A. (理)(2015·焦作市期中)下列函数中是偶函数，且在(0,2)内单调递增的是( ) A ．y ＝x2－2x B ．y ＝cosx ＋1 C ．y ＝lg|x|＋2 D ．y ＝2x [答案] C[解析] y ＝x2－2x 与y ＝2x 都是非奇非偶函数；y ＝cosx ＋1在[0，π]上单调递减，故在(0,2)内单调递减；y ＝lg|x|＋2在(0，＋∞)上单调递增，故在(0,2)内单调递增，∴选C. 6．当0<x ≤12时，4x<logax ，则a 的取值范围是( ) A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2) [答案] B[解析] ∵0<x≤12时，logax>4x>0，∴0<a<1，排除C 、D ；当x ＝12时，loga 12>412＝2＝logaa2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，a2>12，∴a>22，排除A ，选B.二、填空题 7．(2015·滕州一中月考)若函数f(x)＝|x|(x ＋2)在区间(a,2a ＋1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－1，12][解析] f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2，x≥0，－x x ＋2，x<0.易知f(x)的单调递减区间为[－1,0]，由题意知(a,2a ＋1)⊆[－1,0]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，2a ＋1≤0，a<2a ＋1，∴－1<a≤－12. 8．(2013·柳州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f(x)在[0，＋∞)上递增，且f(12)＝0，则满足f(log 19x)>0的x 的集合为________． [答案] {x|0<x<13，或1<x<3}[解析] 由奇函数y ＝f(x)在[0，＋∞)上递增，且f(12)＝0，得函数y ＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f(－12)＝0.由f(log 19x)>0，得log 19x>12或－12<log 19x<0，解得0<x<13或1<x<3. 所以满足条件的x 的取值集合为{x|0<x<13，或1<x<3}．9．(文)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x x≤0，log2x ＋2 x ＞0.若f(x0)≥2，则x0的取值范围是____________．[答案] (－∞，－1]∪[2，＋∞)． [解析] 当x0≤0时，f(x0)≥2化为(12)x0≥2， 即：(12)x0≥(12)－1，∴x0≤－1，当x0＞0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2， 即log2(x0＋2)≥log24，∴x0＋2≥4，∴x0≥2， ∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． (理)(2014·河北唐山一中调研)若f(x)＝3x ＋sinx ，则满足不等式f(2m －1)＋f(3－m)>0的m 的取值范围为________． [答案] (－2，＋∞)[解析] 因为f(x)＝3x ＋sinx 的定义域R 关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为又因为f ′(x)＝3＋cosx>0，所以函数f(x)在R 上单调递增，则f(2m －1)＋f(3－m)>0等价于f(2m －1)>－f(3－m)，即f(2m －1)>f(m －3)，故2m －1>m －3，解得m>－2. 三、解答题 10．(2013·唐山一中月考)已知函数f(x)＝alnx －ax －3(a ∈R)．(1)若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间并比较f(x)与f(1)的大小关系；(2)若函数y ＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2[f ′(x)＋m2]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围； (3)求证：ln22×ln33×ln44×…×lnn n <1n (n≥2，n ∈N*)．[解析] (1)当a ＝－1时，f(x)＝－lnx ＋x －3，f ′(x)＝x －1x (x>0)， 由f ′(x)>0得x>1；由f ′(x)<0得0<x<1，所以，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]， 可知f(x)min ＝f(1)，所以f(x)≥f(1)． (2)∵f ′(x)＝a 1－xx(x>0)，tan45°＝1， ∴f ′(2)＝－a2＝1，得a ＝－2，∴f(x)＝－2lnx ＋2x －3， ∴g(x)＝x3＋(m2＋2)x2－2x ，∴g ′(x)＝3x2＋(m ＋4)x －2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t)<0恒成立， 所以，⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.∴－373<m<－9.(3)证明如下：由(1)可知，当x ∈(1，＋∞)时f(x)>f(1)，即－lnx ＋x －1>0， ∴0<lnx<x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．∵n≥2，n ∈N*，则有0<lnn<n －1，∴0<lnn n <n －1n ， ∴ln22·ln33·ln44·…·lnn n <12·23·34·…·n －1n ＝1n (n≥2，n ∈N*).一、选择题 11．(2014·吉林长春调研)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A ．可能为0 B ．恒大于0 C ．恒小于0 D ．可正可负[解析] ∵f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)为奇函数， ∵x1＋x2<0，x1x2<0，∴x1<－x2<0或x2<－x1<0， ∵f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x1)<f(－x2)或f(x2)<f(－x1)． 又f(x)为奇函数，∴f(x1)＋f(x2)<0.12．(2014·山西太原质检)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] ①当a>0时，∵f(a)>f(－a)， ∴log2a>log 12a ＝log21a .∴a>1a ，得a>1. ②当a<0时，∵f(a)>f(－a)， ∴log 12(－a)>log2(－a)． ∴－a<1－a得－1<a<0，故选C.13．(文)(2013·温州第一次测试)已知函数f(x)在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f[f(x)－2x]＝3，则f(3)的值是( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 [答案] C[解析] 由题意知，对任意x ∈R ，都有f[f(x)－2x]＝3，不妨令f(x)－2x ＝c ，其中c 是常数，则f(c)＝3，∴f(x)＝2x ＋c.再令x ＝c ，则f(c)＝2c ＋c ＝3，即2c ＋c －3＝0.易得y ＝2c 的图象与y ＝3－c 的图象至多只有1个交点，∴c ＝1，∴f(x)＝2x ＋1，∴f(3)＝23＋1＝9. (理)(2014·浙江省名校联考)设f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n ∈N*时，f(n)∈N*，且f[f(n)]＝2n ＋1，则( )A ．f(1)＝3，f(2)＝4B ．f(1)＝2，f(2)＝3C ．f(2)＝4，f(4)＝5D ．f(2)＝3，f(3)＝4 [答案] B[解析] 由f[f(n)]＝2n ＋1，得f[f(1)]＝3，f[f(2)]＝5.∵当n ∈N*时，f(n)∈N*，若f(1)＝3，则由f[f(1)]＝3得，f(3)＝3，与f(x)在(0，＋∞)上单调递增矛盾，故选项A 错误；若f(2)＝4，则f(4)＝5,4<f(3)<5，与f(3)∈N*矛盾，故选项C 错；若f(2)＝3，则由f[f(2)]＝5得f(3)＝5，故选项D 错．14．(文)函数f(x)＝x －3x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[3，＋∞)[解析] f(x)在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2≤－1，且－a －1<0，∴a≥3. (理)(2015·重庆南开中学月考)已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足：①f(2－x)＝f(x)；②f(x ＋2)＝f(x －2)；③当x1，x2∈[1,3]时，f x1－f x2x1－x2<0，则f(2014)、f(2015)、f(2016)满足( )A ．f(2014)>f(2015)>f(2016)B ．f(2016)>f(2015)>f(2014)C ．f(2016)＝f(2014)>f(2015)D ．f(2016)＝f(2014)<f(2015) [答案] C[解析] 因为f(2－x)＝f(x)，所以该函数的对称轴为x ＝1，由f(x ＋2)＝f(x －2)，令t ＝x －2，代入得f(t ＋4)＝f(t)，所以该函数周期为4，因为当x1，x2∈[1,3]时，fx1－f x2x1－x2<0，所以该函数在[1,3]上是减函数，则f(2014)＝f(4×503＋2)＝f(2)，f(2015)＝f(4×503＋3)＝f(3)，f(2016)＝f(4×504)＝f(0)＝f(2－0)＝f(2)，所以f(2014)＝f(2016)＝f(2)>f(3)＝f(2015)． 二、填空题15．(2014·福建厦门质检)函数f(x)＝(13)x －log2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． [答案] 3[解析] 由于y ＝(13)x 在R 上递减，y ＝log2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 16．(文)(2015·江西赣州市博雅文化学校月考)已知f(x)是定义在[－2,2]上的函数，且对任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有fx1－f x2x1－x2>0，且f(x)的最大值为1，则不等式f(log2x)<1的解为________． [答案] 0<x<4[解析] 由条件知，f(x)在[－2,2]上单调递增，且f(2)＝1，∴不等式f(log2x)<1化为f(log2x)<f(2)，∴log2x<2，∴0<x<4.(理)(2013·黄山月考)若定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，则不等式f(log4x)>0的解集是________． [答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，可得f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(log4x)>0⇔f(log4x)>f(12)⇔log4x<－12或log4x>12，解得0<x<12或x>2. 三、解答题17．已知f(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]，a ∈R. (1)若a ＝1，求f(x)的极小值；(2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3.[解析] (1)∵f(x)＝x －lnx ，f ′(x)＝1－1x ＝x －1x ， ∴当0<x<1时，f ′(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<x<e 时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)假设存在实数a ，使f(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x)＝a －1x ＝ax －1x ， ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3；②当0<1a <e 时，f(x)在(0，1a )上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋lna ＝3，a＝e2，满足条件；③当1a ≥e 时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3.综上，存在实数a ＝e2，使得当x ∈(0，e]时，f(x)有最小值为3.[点评] 求函数值域与最值的基本方法与思路：单调性法，图象法，基本不等式法，换元法，导数法，判别式法等． (1)单调性法①若函数f(x)＝x2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 [答案] B[解析] ∵f(x)＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上是增加的，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f(3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.选B.②函数y ＝x ＋1－x －1的最大值为( ) A ．22 B ． 2 C ．1 D ．4 [答案] B[解析] y ＝2x ＋1＋x －1，又x≥1，则y 是x 的减函数，当x ＝1时，ymax ＝ 2.③已知函数f(x)＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f(x)的最小值； (2)若a 为正常数，求f(x)的最小值．[分析] 在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑．[解析] (1)当a ＝4时，f(x)＝x ＋4x ＋2，易知f(x)在[1,2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的． ∴f(x)min ＝f(2)＝6.(2)函数f(x)＝x ＋ax ＋2在(0，a]上是减少的，在[a ，＋∞)上是增加的．若a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋ ∞)上先减后增，f(x)min ＝f(a)＝2a ＋2； 若a ≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间 [1，＋∞)上是增加的． ∴f(x)min ＝f(1)＝a ＋3.综上所述，f(x)min ＝⎩⎨⎧a ＋30<a≤12a ＋2a>1.(2)图象法④设a ，b ∈R ，定义max{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a a≥bb a<b ，函数f(x)＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)，则f(x)的最小值是______． [答案] 32[解析] 令y1＝|x ＋1|，y2＝|x －2|，在同一坐标系中分别作出其图象，如图所示，根据条件知函数f(x)的图象为图中的射线PA ，PB 构成，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝x ＋1，解得y ＝32. 即为函数f(x)的最小值． (3)反函数法⑤函数y ＝1－x21＋x2的值域为________．[答案] (－1,1][解析] 解法1：(反函数法)由y ＝1－x21＋x2得x2＝1－y 1＋y ≥0，解得－1<y≤1.解法2：(分离常数法)y ＝1－x21＋x2＝－x2＋1＋2x2＋1＝－1＋2x2＋1.∵x2＋1≥1，∴0<2x2＋1≤2，∴－1<－1＋2x2＋1≤1.(4)换元法⑥函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为________． [答案] (－∞，54][解析] 令t ＝1－2x (t≥0)，则x ＝1－t22， ∴y ＝－t2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(t≥0)，∵当t ＝12即x ＝38时，ymax ＝54，无最小值． ∴函数值域为(－∞，54]． (5)基本不等式法⑦f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ＋4x ，x>0，－x2－2x ，x≤0的值域为( ) A ．R B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) [答案] B[分析] 先分别求出函数在每一段上的取值，当x>0时，可化简函数解析式，利用基本不等式求解函数的最值，进而确定其取值范围；当x≤0时，可利用配方法求解其取值范围，最后把两个取值范围取并集，即得函数的值域． [解析] 当x>0时，f(x)＝x2－2x ＋4x ＝x ＋4x －2， 由基本不等式可得x ＋4x ≥2x×4x ＝4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)，所以f(x)＝x ＋4x －2≥4－2＝2，即此时f(x)∈[2，＋∞)．当x≤0时，f(x)＝－x2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f(x)取得最大值1， 所以此时f(x)∈(－∞，1]．综上，f(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选B. (6)导数法⑧设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围．(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值． [解析] (1)由f ′(x)＝－x2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x)的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a>0，得a>－19所以，当a>－19时，f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间．即f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间时，a 的取值范围是(－19，＋∞)．(2)令f ′(x)＝0，得两根x1＝1－1＋8a 2，x2＝1＋1＋8a2. 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减， 在(x1，x2)上单调递增．当0<a<2时，有x1<1<x2<4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)， 又f(4)－f(1)＝－272＋6a<0，即f(4)<f(1)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x2＝2， 从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.18．(文)(2014·盘锦模拟)已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，在[0,1]上f(x)＝2x ＋ln(x ＋1)－1.(1)求函数f(x)的解析式，并判断f(x)在[－1,1]上的单调性(不要求证明)． (2)解不等式f(2x －1)＋f(1－x2)≥0. [解析] (1)设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，所以f(－x)＝2－x ＋ln(1－x)－1＝12x ＋ln(1－x)－1， 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， f(x)＝－f(－x)＝－12x －ln(1－x)＋1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －ln 1－x ＋1，－1≤x<0，2x ＋ln x ＋1－1，0≤x≤1，f(x)是[－1,1]上的增函数．(2)∵f(2x －1)＋f(1－x2)≥0，f(x)为奇函数， ∴f(2x －1)≥f(x2－1)，∵f(x)在[－1,1]上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x －1≤1，－1≤x2－1≤1，2x －1≥x2－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，－1≤x≤1，0≤x≤2.∴0≤x≤1.即不等式的解集为{x|0≤x≤1}．(理)(2014·合肥模拟)函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R 上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a －5)<2.[分析] (1)利用定义法，取x1<x2，则x2－x1>0→利用f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1将f(x2)－f(x1)用f(x2－x1)表示→与0比较大小→结论．(2)利用f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1及f(3)＝4，将2表示成函数值f(x0)→得f(a2＋a －5)<f(x0)→用单调性脱掉“f”求解．[解析] (1)设x1<x2，所以x2－x1>0. 因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2－x1)>1. f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)① ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R 上为增函数．(2)因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，所以f(1)＝2，所以f(a2＋a －5)<2＝f(1)，②因为f(x)在R 上为增函数，所以a2＋a －5<1⇒－3<a<2，即原不等式的解集为{a|－3<a<2}．[[(1)换元法已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t ，由此能解出x ＝φ(t)．将x ＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．①已知f(2x ＋1)＝lgx ，求f(x)的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x>0，∴t>1且x ＝2t －1， ∴f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)． (2)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．②设二次函数f(x)满足f(x －2)＝f(－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式． [解析] ∵二次函数f(x)满足f(x －2)＝f(－x －2)，∴f(x)的图象关于直线x ＝－2对称，故可设f(x)＝a(x ＋2)2＋c ，∵f(x)的图象在y 轴上的截距为1，∴f(0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f(x)的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a(x ＋2)2＋c ＝0的两根，∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f(x)＝12(x ＋2)2－1，即f(x)＝12x2＋2x ＋1.(3)消元法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f ⎝⎛⎭⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．③已知函数f(x)满足条件：f(x)＋2f(－x)＝x ，则f(x)＝________. [答案] －x[分析] 由于难以判断f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出f(x)的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f(－x)＋2f(x)＝－x ，把f(x)、f(－x)作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f(－x)＋2f(x)＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋2f －x ＝x ， ①f －x ＋2f x ＝－x. ②②×2－①得，f(x)＝－x.(4)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．④已知f(0)＝1，f(a －b)＝f(a)－b(2a －b ＋1)，求f(x)．[解析] 令a ＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b ＋1)＝1＋b(b －1)＝b2－b ＋1再令－b ＝x 得：f(x)＝x2＋x ＋1.[解法探究] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a －a ＋1)＝f(a)－a(a ＋1)＝f(a)－a2－a ，∴f(a)＝a2＋a ＋1，∴f(x)＝x2＋x ＋1.(5)转化法 已知f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．⑤已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝kf(x ＋2)，其中常数k 为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x －2)．(1)求f(－1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f(－1)＝kf(1)，f(2.5)＝1k f(12)知需求f(12)和f(1)，f(1)＝－1，f(12)＝12×(12－2)＝－34，∴f(－1)＝－k ，f(2.5)＝－34k(2)∵0≤x≤2时，f(x)＝x(x －2)，设－2≤x<0，则0≤x ＋2<2，∴f(x)＝kf(x ＋2)＝k(x ＋2)x ；设－3≤x<－2，则－1≤x ＋2<0，∴f(x)＝kf(x ＋2)＝k2(x ＋4)(x ＋2)；设2<x≤3，则0<x －2≤1，∵f(x)＝kf(x ＋2)，∴f(x －2)＝kf(x)，∴f(x)＝1k f(x －2)＝1k (x －2)(x －4)．综上可知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ k2x ＋2x ＋4 －3≤x<－2，kx x ＋2 －2≤x<0，x x －2 0≤x≤2，1k x －2x －4 2<x≤3.∵k<0，∴由二次函数的知识知：f(x)在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f(x)在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．。
