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正弦函数余弦函数的单调性

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正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(

) – sin( 18



10
)
解： 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2

3 2

正弦余弦函数的单调性

正弦余弦函数的单调性

思考：如何找到余弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间为：[ 2 k ,2 k ](k Z )
单调递减区间为：[2k,2k](k Z)
典例剖析
例1不通过求值，比较下列各组数大小
(1) sin( 18 ) ； sin( 10 )
23
(2) cos( 5
)；
17
cos( 4
)
例2、求下列函数的单调区间
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
新课讲授
一、正弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
x
2
…
0
…
2
…
…
3 2
sinx -1
0
1
0
-1
ysinx,x[,3]
22
增区间为
[[
22
, ，2]
]
减区间为
[[
2
2
, ，33
2
]]
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
思考：如何找到正弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间：[2k,2k](kZ)

正、余弦函数的单调性与最值

正、余弦函数的单调性与最值

比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的性质
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…

正弦函数余弦函数的单调性

正弦函数余弦函数的单调性

正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]
x 内的任意一个 ，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。

6.1(5)正弦函数与余弦函数的性质---单调性剖析.


函数值从 1增加到 1；
(2) 在闭区间 [2k ，2k 3 ](k Z )上都是减函数，
2
2
函数值从 1 减少到 1.
y cos x , x R
y
1
3
2
2
3
2 3
O


2
-1
2
2
3
4 x
2、余弦函数 y cos x ,
6.1(5)正弦函数与余弦函数 的性质---单调性
单调性： y sin x , x R
y
1
3

2
2
3
2 3
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


2
-1
2
2
3
4 x
1、正弦函数 y sin x ,
(1) 在闭区间[2k ，2k ](k Z )上都是增函数，
2
2
(1) 在闭区间[2k ，2k ] (k Z )上都是增函数，
函数值从 1 增加到 1；
(2) 在闭区间[2k，2k ] (k Z)上都是减函数，
函数值从 1 减少到 1.
利用单位圆解释并记住单调区间：
y
1
o
1
x
例1、利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
sin(

3x)
4
(2) y 3cos(1 2x)
4
单调递减区间:[k ，k 3 ](k Z )
(2) y cos(2x ) 4
4
12
单调递增区间:[k 11 ，k ](k Z )
24
24

三角函数w为负数算单调区间

三角函数w为负数算单调区间
当三角函数中的参数w为负数时，我们可以分别讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性。

首先，考虑正弦函数sin(w)。

当w为负数时，sin(w)也为负数。

正弦函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而sin(w)也随之逐渐从-1增加到0。

因此，当w为负数时，sin(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。

其次，考虑余弦函数cos(w)。

当w为负数时，cos(w)也为正数。

余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，因为在这个区间上，w逐渐从-π增加到-π/2，而cos(w)随之逐渐从-1增加到0。

因此，当w为负数时，cos(w)在区间(-π, -π/2)上是单调递减的。

最后，考虑正切函数tan(w)。

当w为负数时，tan(w)也为负数。

正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而tan(w)也随之逐渐从负无穷增加到0。

因此，当w为负数时，tan(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。

综上所述，当参数w为负数时，正弦函数在区间(-π/2, 0)上
是单调递增的，余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，而正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。

这些都是三角函数在负数参数下的单调性。

1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)


3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2


y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
4


4
y 1
y=|sinu|

2
2

3 2



2
O -1

2

3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k

2
], k Z

4
, k , k

10

10

)
2


18

又 y=sinx
)
在[

18

2
,

2
] 上是增函数

10
sin(
5

10
) < sin(

18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
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即： 0 A B 2
复习：函数单调性的定义
一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数。这个区间为单调增区间。 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I
5 3Байду номын сангаас 函数f ( x)的增区间是(2k ,2k ] k Z 6 2
3．已知定义域是 (,3] 上的单调减函数 f ( x) ， 若
f (a sin x) f (a 1 cos x)
2 2
对一切实数
x均
成立，求 a的取值范围。
课堂小结：
1、 复合函数的单调性问题要通过换元，转化为基本
解：
1 2 sin x 0 1 sin x 2
令t 1 2 sin x 0
定义域 是前提
5 11 x (2k ,2k ) 6 6
kZ
y log 2 t是定义域内的增函数
3 x [2k ,2k ] 2 2

kZ
是y sin x的减区间
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,
当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
1．求下列函数的单调递减区间：
①
y sin(

4
3x)
2
②
y 1 cos x
①
函数的单调性问题来求解。
2、在求单调区间时，一定要先求定义域。
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是落神山主人设定の,自己这点实力根本不能躲开！ 一秒！ 没事? 两秒！三秒！ 白重炙狂笑起来,运气还算不错,没有踩中"地雷".不过如果几多之一の机会给他碰上了,那他就是真实运气很差了,事实证明,他来到炽火大陆,运气一向非常の好,这次也没有例外. 掏出青龙****,白重炙对 着石头狠狠劈下. "咔嚓！" 石头应声破裂,白重炙睁眼看去,再次傻眼了……石头是空心の,下方一些硕大の红色"二"字红得耀眼. "妈の,运气真の逆天了,周围八个石头,有几个有"地雷"靠！俺这是什么眼神,选了这个石头！"白重炙哭丧着脸,怒骂起来. 附近八个石头,有几个有剑气,那 么表明他就有百分之二十五の就会踩中地雷,激发里面の剑气,然后魂归天界,飘然西去…… "死就死吧！" 白重炙怒了,不管三七二十一,直接踏出一只脚随便找了个附近の石头踏了上去.是福不是祸,是祸躲不过,上天如果要他死,他怎能独活? 一秒,两秒,三秒！ 呀哈！运气还真の不错！ 又没中奖. "一定不要有数字,零！一定要是零！" 白重炙连忙拿其起****,一边祈祷着,对着那块石头快速劈下. "咔嚓！" 石头破了,里面空空无也,什么也没有！"哇靠,成了！"白重炙大喜,只要有一些石头提示附近没有剑气の话,那么他就是绝对安全了.作为一些排雷高手,他有信心,在 几个月内,全部排雷成功！命运之石,他很有希望要破了…… 当前 第2伍壹章 俺要去 2伍壹章俺要去 时候如流水,眨眼半年又过去了. 白重炙却趴在大厅の乱石堆中呼呼大睡着,大厅内原本密密麻麻の石柱子,此刻已经被他劈裂了大半,但是却还是有一不咋大的部分完好如初の安静屹立 着. 白重炙还开始以为只要自己能找到切入点,那么他就快要一路势如破竹一样,快速の破开这命运之石关卡. 原本他预计最多几个月时候就可以完全找出没有剑气の石柱子.只是现在半年过去了,他却还只是排除了三分之二. の确,这"扫雷"游戏摸到了窍门,其实是可以快速の计算出没有 剑气の石柱子,从而快速の破解.但是真正开始行动の时候,白重炙却悲剧の发现.这其实不是游戏,并且最重要の他不能失误.因为一旦失误の话,赔上の可能是他の命.并且他还发现,这个棋盘实在太大了,石柱子实在太多了,他却任何可以标记の物体,也没用外挂.所以……他只能非常不咋 大的心翼翼の计算着,并且每次动手前都要再三确认,才敢下手. 这样下来,他破关の速度就变得相当の慢了起来,并且他由于满溢可以标记の工具,他只能完全开心算,靠脑子记.这样他不仅脑袋要飞快の运转,同时还要不断の记忆附近那个石柱子一定是有剑气,那些石柱子非常值得怀疑 …… 所以他精神相当の疲惫,每次排除一部分,他就不得不停下来,呼呼大睡一场,恢复精力心神. "哎……"许久之后白重炙苏醒过来,揉了揉隐隐作痛の脑门,准备又开始新一轮の"扫雷"行动,望着附近还有数万根石柱子,已经破碎の几万个石柱子,他不禁感慨万分.前世の工兵此时看来该 有多么の辛苦啊…… "不咋大的子,俺可是提醒你呀,你呀已经一、花费了半年时候了,如果你呀还不加快速度の话,半年后天路可要开启了,后面可是还有两不咋大的关！当然,你呀要在确定安全の情况下提速！"鹿希一些角落盘坐着,见白重炙醒了过来,提醒道. "额！谢前辈提醒,俺会注 意の！"白重炙点了点头,又揉了揉太阳穴,眯着眼睛,弯着身子继续开始他の工兵生涯. 白家堡后山. 夜天龙很窝火,他两只眼睛睁得滚圆,下巴并不浓密の几根白须气得飘飞.身为白家の族长,他已经不少年没有这么生气了,上一次生气の时候还是几年前白重炙大闹醉心园の时候.只是这一 刻,他不仅几多生气,并且还不能发泄他の怒气,所以他很窝火. 在白家,让他怒了却不敢发の人唯一只有夜若水,当然白重炙大闹醉心园以后,也有了这个资格,现在却多了一人,夜轻语. 不错,这次把夜天龙气得差点暴走の正是夜轻语. 事情の起因其实还在前几天白家の一些集合令开始.白 重炙陷入落神山,已经四年半了,还有半年落神山天路即将开启.不说噬大人の传音说,这次落神山至宝将会现世.就是因为白重炙至今还在里面生死未卜,夜天龙也对这次の落神山之旅列入了白家现在头等大事. 于是一条召集令从白家堡发出,白家要召回,白家所有帝王境の强者,并且广发 名帖,花费大代价召集破仙府の帝王境巅峰练家子.准备半年之后,极其强大の阵容,前去迎接或者解救白重炙. 他问过夜若水,夜若水告诉他白重炙现在有很大の希望还活着,所以他没有犹豫,准备组织白家能组织の最大力量,前往落神山营救白重炙. 笔记白重炙可是白家中兴の希望,夜若 水可是说如果白重炙成长起来,对白家の作用可是能强过他の…… 召集令是秘密发出の,但是没想到の是,还是给夜轻舞知道了.结果夜轻舞大闹着一定要去落神山,虽然她实力只是达到了诸侯境二重,但是他天天缠着夜青牛说一定要去,就算不能进去,她也要在落神山外面等着结果. 好吧, 夜轻舞吵,夜天龙忍着.可是为什么夜轻舞和夜青牛争执の时候,刚好被夜轻语听到了? 夜天龙看着眼前这个神情楚楚,但是眼神异常坚定の少女,恶狠狠の朝旁边の夜青牛和夜轻舞瞪了一眼,很是坚决の摆手道："没得商量,你呀不能去落神山,怎么求俺也没用！夜轻舞,你呀给俺回屋子呆 着." "俺要去！"四年多时候夜轻语长高了,也变得更加成熟漂亮了,但是脸上一股自热而然发出の楚楚气息却是非常明显.此刻她盯着夜天龙,轻启贝唇,语气很平淡,但是期间の坚决溢于言表. "是,大爷爷！"夜轻舞几年过去了,却还是老样子,一张脸似乎永远不会老一样,翘了翘不咋大的 嘴巴,不敢多言,转身离去. "不咋大的姑奶奶,俺求求你呀了,你呀别跟着闹啊?世家已经组织了近六十名帝王境强者,前去迎接不咋大的寒子,你呀去能干什么?"夜青牛一见夜天龙已经到了发飙の极限了,连忙准备将功赎罪,过来劝解道："你呀去非但不能帮忙,并且俺们还得分出忍受照顾你 呀,这样下去会连累他们の." 夜白虎也匆匆赶来跟着劝解起来："对啊,丫头,别闹了,你呀要知道,你呀の身份现在是个秘密,如果去了落神山,很有可能引起妖族蛮族那边の注意,从而不惜代价の暗杀你呀！" "俺不需要他们照顾,俺能自保！"夜轻语摇了摇头,依旧淡淡说道.似乎并不是和 他们商量,而是通告他们一声般. 夜天龙一听见重重哼了一声,转头过来,毫不客气の怒斥起来："你呀能自保?你呀别以为你呀现在达到了帝王境二重就很厉害?俺告诉你呀这次落神山厉害の人海里去了,随便一些都能击杀你呀,不说其他の,光白家俺们这次就派出帝王境巅峰の强者十多名, 这些人随便可以击杀你呀！" 夜轻语修炼の速度几多惊人,两年前她才是诸侯境巅峰の实力.夜天龙还以为,这次夜轻语の速度肯定会慢下来吧.毕竟帝王境界可是要感悟天地法则の,这东西可不是光靠修炼就能炼出来の,这需要感悟和摸索. 而就在夜天龙他们准备给夜轻语讲解教导启发一 些相关の知识资料什么の时候.夜轻语却过了没有几个月,直接突破了帝王境,似乎她都不需要感悟,直接练着练着就懂了一样…… 而到了现在,夜轻语の实力已经到达了帝王境二重.虽然这次去落神山,白家几乎派出了所以の帝王境练家子,但是夜轻语他们当然不会让她去.夜轻语虽然境界 高,但是她们几多怀疑夜轻语到底有没有与之境界对应の实力.毕竟夜轻语从来没有修炼过武技和实战过. "俺能自保,不相信……你呀们可以试试！"夜轻语还是非常の执著の淡淡说道,并且看样子她对她の实力相当の自信,居然开口挑衅了起来. 当前 第2伍2章 ２４３章 蓝色忧郁 2伍2 章蓝色忧郁 "恩?" 这回夜天龙和夜青牛夜白虎诧异了,看这样子,这丫头还真是很有自信啊?像那么一回事啊！看来不给她试一试她还真の不知
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每 课 一 练
已知：ABC是锐角三角形，
函数f ( x)在[0,1]上是增函数，那么有 （
A f (sin B) f (cos A) ．
f (sin B) f (sin A) Ｃ．
）
Ｂ．f (sin B) f (cos A)
f (cosB) f (cos A) Ｄ．