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正余弦函数的单调性ppt

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1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件

1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

栏目导航
12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
栏目导航
(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
29
栏目导航
30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

2
42
kZ
2k x 2k
12 3
43
kZቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调递减区间是[ 2k , 2k ] ，k Z
12 3 4 3
② y 1 cos2 x
解：y sin 2 x
1 cos 2x 1 cos 2x 1
2
2
2
2k 2x 2k
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每
课 已知：ABC是锐角三角形，
一
函数f (x)在[0,1]上是增函数，那么有 （ ）
练
A f (sin B) f (cosA) ．
Ｃ．f (sin B) f (sin A)
Ｂ．f (sin B) f (cosA) Ｄ．f (cosB) f (cosA)
州 瑰宅中常有父时旧部曲数百 历官无畜聚 恐贼觉 太清三年 出为都督 帝必惊觉 夏四月壬申 上以邵诚节 封前寿
1．求下列函数的单调递减区间：
① y sin( 3x)
4
② y 1 cos2 x

① y sin( 3x) 4
解： y sin(3x )
4
2k 3x 2k
x 如果对于属于 I
内某个区间上的任意两个自变量的值
x 1
,
,
2
x x 当 1
2时,都有
f (x ) 1
f (x ) 2
那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。；第二 https:/// 第二 ；
不从 中大通三年 冲等重请 为吴兴太守 追尊所生妣阮修容为文宣太后 衣染天血 圣情孝友 特赐宅一区 以待湘州之捷 求为始丰

【课件】正弦函数、余弦函数的性质+(2)+课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

【课件】正弦函数、余弦函数的性质+(2)+课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)

令−
2

则−
3

即−
6

)的单调区间和函数
6


+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3

+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3


所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3


3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到 ；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =

−
2
+ 2，得 =

−
4

−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的

4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的


[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1

2

+
3

3
≤≤ .
所以，函数 =

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

5.4.2正弦函数、余弦函数性质第2课时课件(人教版)


总结升华
1.正余弦函数的图象和性质
2．体会整体，熟知将复合函数转化初等函数问 题 3．注意易错问题
课后作业
教材P207练习T1-5 P213习题5.4T4,T5，T16
9
5
9
5
例3.求函数y
解：令u 2x
3
,
sin(2 x
则y
3
)
探究应用3：单调性
单调递增区间.
sin u u 2 x 在R上是增函数， 3
由复合函数“同增异减”原则知，y sin u 是增函数.
2k
u
2k , (k Z )，
2
2
即 2k 2x 2k ,(k Z)，
解析 由π2<x<π，ω>0 得ω2π＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，
又 y＝sin x 的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π，k∈Z， 所以ωω2ππ＋ ＋ππ44≥ ≤π322π＋＋2k2πkπ，，k∈Z，
解得 4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z. 又由 4k＋12－2k＋54≤0，k∈Z 且 2k＋45>0，k∈Z， 得 k＝0，所以 ω∈12，54.
(2) 当 sin 2 x 1，即 2x 2k x k (k Z )时，
2
4
y 取得最大值 ymax 1 .
∴函数的最大值为1，取最大值时的x集合为
x
x
k
4
，k
Z
（3）y a sin（2 x ） b .
6
解：① 若 a 0 ，则当sin（2 x ） 1时， 6
12
12
(k∈Z)为所求．
又∵y＝或sin：ｕ令在u［＝2k3π－－2x，，则2uk是π＋x的减］函(k数∈Z)上为增函数，

1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)


第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性

5-4-2 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

π
π
π




由 y＝cosx＋6，x∈0，2，可得 x＋ ∈ ， ，




6 6 3
1

3
∴ − ≤ cos( + ) ≤
2
6
2
1

所以函数的值域为－ ，
2
3
.
2
解三角不等式
当x∈[0，2π]时，求不等式 cos ≥
y


集.
, ∪ [ , ]
值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要
研究的问题.
学习
目标
1. 理 解 正 弦 函 数 、 余 弦
2.能够利用函数的单调
函数的单调性具有周期
性解决比较函数值的大
性变化的规律，通过一
小以及求函数的最值、
个周期内的单调性进而
值域等问题.
研究在整个定义域上的
性质.
问题1：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余
使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.


5π
π
π
即 2kπ－ 6 ≤2x≤2kπ＋6(k∈Z)，
令 2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)，
5π
π
∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z).


5π
π

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)

栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
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所以该函数的单调递减区间是:

5 [ k， k ]，k Z 8 8
3 [ , ] 2 2
0.9 1.3 sin 0.9 sin 1.3
不查表比较下列各组数的大小
(3) cos0.9与cos0.3
余弦函数单调区间有
[ ,0]
[0, ]
[ ,2 ]
[ 2 ,3 ] [3 ,4 ] [ 4 ,5 ]
[0, ]
0.9 0.3 cos 0.9 cos 0.3
1 y 2 sin( x ) 2 6

2 2 6 2 4 10 得 4k x 4k 3 3 4 所以该函数的单调递减区间是:
10 [ 4k， 4k ] 3 3
(k Z )
(2) y 1 cos( 2 x

4
)
解: 由 2k 2 x 2k， 4 5 得 k x k， 8 8
[ 4 ,5 ]
1330与2200不在任何一个单调区间 0 0 0 0 cos220 cos(360 220 ) cos140 0 0 0 0 比较cos133 与cos140 133 140
[0, ]
cos133 cos140 cos 220
0 0
0
练习 不查表比较下列各组数的大小

是增函数
23 17 (2) cos( )与 cos( ) 5 4
23 23 3 解： cos( ) cos cos 5 5 5 17 17 1 cos( ) cos cos
4 4 1 3 因为 0 4 5 4 ，且函数
(1) sin 123 与sin 177
0
0
0
(2) cos218 与cos269
0
(3) sin 211 与sin 320
0
0 0
0
(4) cos48 与cos(310 )
4. 不查表比较下列各组数的大小
(1) sin(

18
)与 sin(

10
)
解: 因为 2 10 18 2 且函数y=sinx, x [ ， ] 2 2 所以 sin( ) sin( ) 18 10
0 0 0
0
比较sin 32 与sin 43
0
0
[

32 43
0
0
0
0
0
, ] 2 2
sin 32 sin 43 sin 137
不查表比较下列各组数的大小
(6) cos(133 )与cos(220 )
0 0
余弦函数单调区间有
[ ,0]
[0, ]
[ ,2 ]
[ 2 ,3 ] [3 ,4 ]
y cos x，x [0， ] 是减函数，所以 1 17 3 23 cos cos 即 cos( ) cos( ) 4 4 5 5
二层练习
3.求下列各函数的单调递减区间 (1)
3 解: 因为函数y=sinx的单调递减区间是 [ 2k， 2k ] 2 2 1 3 由 2k x 2k
2.判断下列命题的对错：
（1）函数y=sinx在第一象限是增函数 (2) 函数y=cosx在 [0， ]上是增函数
错

2
对
(3) 函数 y sin x 在 [， ]上是增函数
不查表比较下列各组数的大小
(1) sin 31 与sin 46
0
0
正弦函数的单调区间有 3 3 5 5 7 7 9 9 11 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
不查表比较下列各组数的大小
余弦函数单调区间有
[ ,0]
(4) cos( )与 cos( ) 5 7
[0, ]
[ ,2 ]


[ 2 ,3 ] [3 ,4 ]
[ 4 ,5 ]
[ ,0]


5


7
cos( ) cos( ) 5 7


不查表比较下列各组数的大小
2、区间长度为
余弦函数
y 1
-2 -
o -1
[ ,2 ]

x
2 3 4
单调区间有
[ ,0]
[0, ]
[ 2 ,3 ] [3 ,4 ]
[ 4 ,5 ]
1、端点是整数个 3、区间起点为奇数个 4、区间起点为偶数个
单调区间的特点

2、区间长度为 的区间为增区间 的区间为减区间
(5) sin 32 与sin 137
0
0
正弦函数的单调区间有 3 3 5 5 7 7 9 9 11 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 320与1370不在任何一个单调区间
sin 137 sin(180 137 ) sin 43
[

, ] 2 2
31 46
0 0
0 0
sin 31 sin 46
不查表比较下列各组数的大小
(2) sin 0.9与sin 1.3
正弦函数的单调区间有 3 3 5 5 7 7 9 9 11 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
函数 y=sinx
奇偶性
单调增区间
[ 2k， 2k ] 2 2 (k Z )
单调减区间
3 [ 2k， 2k ] 2 2 (k Z )来自奇函数y=cosx
偶函数
[ 2k， 2k ] 2 k Z
[2k， 2k ] (k Z )
一层练习
观察正弦函数和余弦函数的图象
正弦函数
y 1
-2 -
o -1

x
2 3 4
单调区间有 3 3 5 5 7 7 9 9 11 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
单调区间的特点
1、端点是二分之个