《三角函数的图象与性质》三角函数(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)课件PPT

第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数图象值域 [－1,1][－1,1]单调性在⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上递增， 在⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上递减 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上递增， 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1状元随笔 (1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断． (2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝A sin z 的形式求最值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 在R 上是增函数．( )(2)正弦函数y ＝sin x 的一个增区间是[0，π]．( )(3)当余弦函数y ＝cos x 取最大值时，x ＝π＋2k π，k ∈Z .( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 答案：B3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x | B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2解析：y ＝cos|x |在()0，π上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的． 答案：C4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：∵－1≤cos π2x ≤1，∴－1≤y ≤3.答案：A类型一 正、余弦函数的单调性例1 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0]C.⎣⎡⎦⎤－23π，23πD.⎣⎡⎦⎤π3，4π3(2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． 【解析】 (1)由π3≤x ≤43π，可得π2≤x ＋π6≤32π.所以⎣⎡⎦⎤π3，4π3是函数的一个减区间． (2)因为－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z .所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .【答案】 (1)D (2)⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (1)由A ，B ，C ，D 中x 的范围，求出x ＋π6的范围，验证是否为减区间．(2)将2x －π3代入到[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 中，解出x 的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间同上．(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A <0，则单调性相反．跟踪训练1 (1)下列函数，在⎣⎡⎦⎤π2，π上是增函数的是( ) A.y ＝sin x[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫3π2，2π上是增函数，y ＝cos x 在(π，2π)上是增函数，所以区间M 可以是⎝⎛⎭⎫3π2，2π. 答案：D2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝－π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.答案：C3．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x解析：在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D. 答案：B4．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1 解析：因为sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.答案：D5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0。