条件分布与二维随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解 由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )， 所以X,Y 相互独立。

第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。

3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。

4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。

本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。

介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。

本章是教育部关于概率论大题命题的重点。

一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。

●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。

① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。

随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。

独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。

首先来看独立性。

在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。

如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。

具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。

即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。

举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。

我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。

如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。

因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。

现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。

我们可以用独立性来计算。

因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。

接下来看条件概率分布。

条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。

具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。

条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。

它可以通过原始的概率分布计算得到。

具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。

二维随机变量相互独立的充要条件一、引言随机变量是概率论和数理统计中的基本概念，而二维随机变量则是指由两个随机变量组成的随机向量。

在实际问题中，常常需要研究二维随机变量之间的关系，其中一个重要的问题就是如何判断二维随机变量是否相互独立。

本文就二维随机变量相互独立的充要条件进行详细介绍。

二、定义设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是$X$ 和 $Y$ 的概率密度函数。

若对于任意的 $x,y$，有$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$或者$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$则称 $(X,Y)$ 是相互独立的。

三、充要条件二维随机变量相互独立的充要条件有两种形式，分别是基于分布函数和概率密度函数的充要条件。

1. 基于分布函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$其中 $F_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合分布函数。

2. 基于概率密度函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$其中 $f_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。

四、举例说明为了更好地理解二维随机变量相互独立的充要条件，下面举一个例子。

设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，它的概率密度函数为$$f_{XY}(x,y)=\begin{cases}x+y,&0\leq x\leq 1,0\leq y\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$$我们需要判断 $(X,Y)$ 是否相互独立。