随机变量的独立性判别

第19卷第4期大学数学VOl.19 N.4 2003年8月COLLEGE MATHEMATICS Aug.2003随机变量独立性判别方法注记朱焕然(湘潭工学院数理系湖南湘潭411201)[摘要]给出了随机变量X1X2X3相互独立的一个判定方法.并将此方法中推广到更一般情形.[关键词]随机变量;独立性;BOrel集[中图分类号]O211[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2003)04-0107-04一些读者误以为X1X2X3中两两独立必有X1X2X3相互独立.我们容易举出一些例子[1]说明这命题是错误的.本文给出X1X2X3相互独立的判定方法. 1随机变量相互独立的定义定义1设X1X2为概率空间(0F P)上的随机变量A1A2为一维BOrel集若P(X1G A1X2G A2)=P(X1G A1)P(X2G A2)则称随机变量X1X2相互独立.定义2设X1X2X3为概率空间(0F P)上的随机变量A1A2A3为一维BOrel集若P(X1G A1X2G A2X3G A3)=P(X1G A1)P(X2G A2)P(X3G A3)则称随机变量X1X2X3相互独立.定义3设X1X2X3为概率空间(0F P)上的随机变量A1为二维BOrel集A2为一维BOrel集若P((X1X2)G A1X3G A2)=P((X1X2)G A1)P(X3G A2)则称(X1X2)与X3相互独立.定义4设X1X2X3X4为概率空间(0F P)上的随机变量A1A2为任意二维BOrel集若P((X1X2)G A1(X3X4)G A2)=P((X1X2)G A1)P((X3X4)G A2)则称(X1X2)与(X3X4)相互独立.2定理定理1如果随机变量X1X2相互独立且二维随机变量(X1X2)与随机变量X3相互独立则随机变量X1X2X3相互独立.证设A1A2A3为一维BOrel集.因为P(X1G A1X2G A2X3G A3)=P((X1X2)G A1>A2X3G A3)=P((X1X2)G A1>A2)P(X3G A3)=P(X1G A1)P(X2G A2)P(X3G A3)所以随机变量X1X2X3相互独立.[收稿日期]2002-06-17用此定理判定X1X Z X3相互独立近乎是每两个独立推出三个随机变量互相独立.定理2设随机变量Y1Y Z~Y n 互相独立g是!(n-1)到!(Z)上的可测函数记g(YZ~Y n)=(X Z X3)且X Z X3相互独立则Y1X Z X3相互独立.证设A1是一维BOrel集AZ是二维BOrel集.因为P(Y1E A1(X Z X3)E A Z)=P(Y1E A1g(Y Z~Y n)E A Z)=P(Y1E A1(Y Z~Y n)E g-1(A Z)) =P(Y1E A1)P((Y Z~Y n)E g-(A Z))=P(Y1E A1)P((X Z X3)E A Z)所以(XZ X3)与Y1相互独立.又XZ X3互相独立由定理1知Y1X Z X3相互独立.3例子在[3]中有一例;设X1~X n 为iid.X1~N(c6Z)0=(c6Z)要估计g(0)=P0(X1>C).这一解答的关键之处要证明X S U相互独立.其中X=1nE nz=1X zS Z=1n-1E nz=1(X z-X)ZU=n(X1-X) (n-1)S.在此证明中作者只指出了S与U独立下面给出三个随机变量相互独立的详细证明.作正交变换Y1=n X=1n(X1+~+X n)Y Z=n(X1-X )n-1=nn-11-)1n X1-1n X Z-~-1n X[]nY z=C z1X1+~+C zn X n z=3 ~n 这里Czj只要能构成正交变换就行.由此可知Y1~Y n 独立Y1~N(n c6Z)Y z~N(0 6Z)z=Z~n且(n-1)S Z=E nz=ZY Z zu=Y Z/(Y Z Z+~+Y Z n)1Z.由定理Z的证明过程知X与(S U)相互独立于是只需证明S与U独立.不失普遍性可设6Z=1 则问题归结为证明;若Y Z独立Y~N(0 1)Z~X Zn-Z 则U=Y(Y Z+Z)1/Z与V=Y Z+Z独立.由(Y Z)的联合密度及上述变换式的形式(逆变换为Y=u U Z=U(1-u Z)3(y z)3(u U)=V1/Z)易得(U V)的联合密度为1 Z T e-y ZZ1ZnZ-1nZ)-1e-zZ Z n Z-Z3(y z)F L73(u z)y=u Uz=U(1-u Z)=Z TZ nZ-1nZ)[]-1-1(1-u Z)nZ-Ze-UZ U n-1Z-1(当u<1 U>0 其它地方为0)这证明了U与V相互独立. 4推广定理3设(X1X Z)与(X3X4)互相独立又X1X Z相互独立X3X4相互独立则X1X Z X3X4相互独立.801大学数学第19卷证设A1,A2,A3,A4为任意一维BOrel集,因为P(X1E A1,X2E A2,X3E A3,X4E A4D=P((X1,X2D E A1>A2,(X3,X4D E A3>A4D=P((X1,X2D E A1>A2D P((X3,X4D E A3>A4D=P(X1E A1,X2E A2D P(X3E A3,X4E A4D=P(X1E A1D P(X2E A2D P(X3E A3D P(X4E A4D,所以X1,X2,X3,X4相互独立.定理4设X1与(X2,X3,X4D相互独立,又X2,X3,X4相互独立,则X1,X2,X3,X4相互独立.证设A1,A2,A3,A4为任意一维BOrel集,因为P(X1E A1,X2E A2,X3E A3,X4E A4D=P(X1E A1,(X2,X3,X4D E A2>A3>A4D=P(X1E A1D P((X2,X3,X4D E A2>A3>A4D=P(X1E A1D P(X2E A2D P(X3E A3D P(X4E A4D,所以X1,X2,X3,X4相互独立.定理5设(X1,-,X n1D,(Y1,-,Y n2D 相互独立.(1,2D=g(X1,-,X n1D,g是!(n1D到!(2D的可测函数,(71,72D=h(Y1,-,Y n2D,h 是!(n1D到!(2D可测函数,则(1,2D与(71,72D相互独立.证设A1,A2是任意二维BOrel集,因为P((1,2D E A1,(71,72D E A2D=P((X1,-,X n D E g-1(A1D,(Y1,-,Y n D E g-1(A2D D=P((X1,-,X n D E g-1(A1D D P((Y1,-,Y n D E g-1(A2D D=P(g(X1,-,X n1D E A1D P(h(Y1,-,Y n D E g-1(A2D D=P((1,2D E A1D P((71,72D E A2D,所以(1,2D 与(71,72D相互独立.推论设X1,-,X n1与Y1,-,Y n2分别是具有相同方差的两正态总体N(u1,O2D,N(u2,O2D的样本,且这两个样本相互独立,即(X1,-,X n1D 与(Y1,-,Y n2D相互独立.设X=1n1n1z=1X z,Y=1n2n2z=1Y z,S21=1n1-1n1z=1(X z-X D2,S22=1n2-1n2z=1(Y z-Y D2,则X,Y,S21,S22相互独立.证由定理5知(X,S21D 与(Y,S22D相互独立.易证X与S21相互独立,Y与S22相互独立.由定理3知X,Y,S21,S22相互独立.一般地要证明随机变量X1,X2,-,X n 相互独立.我们可以把X1,X2,-,X n分成不交的若干组,如果组与组之间相互独立,且同一组内的随机变量也相互独立,那么X1,X2,-,X n相互独立.[参考文献][1]陈永义,王炳章.随机向量的函数的独立性的一个问题[J].工科数学,2OOO,16(2D:113-116.[2]陈永义,傅自晦.随机向量独立性判别准则及其应用[J].工科数学,2OO1,17(3D:93-94.[3]陈希孺.数理统计引论[M].北京:科学出版社,1981.[4]严士健,王依骧,刘秀芳.概率论基础[M].北京:科学出版社,1982.[5]汪嘉冈.现代概率论基础[M].上海:复旦大学出版社,1988.9O1第4期朱焕然:随机变量独立性判别方法注记011大学数学第19卷A Remark about Criteria on Independence of Random VariableZHU H~an-1an(Department of Mathematics,Xiangtan Institute of technology,Xiangtan411201,China)AbStract,We give a method of judging independence of random variable X1,X2,X3.We also discuss the method of use in general.Key wordS,random variable;independence;Borel set.随机变量独立性判别方法注记作者：朱焕然作者单位：湘潭工学院,数理系,湖南,湘潭,411201刊名：大学数学英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2003,19(4)被引用次数：1次1.陈永义;王炳章随机向量的函数的独立性的一个问题 2000(02)2.陈永义;傅自晦随机向量独立性判别准则及其应用[期刊论文]-工科数学 2001(03)3.陈希孺数理统计引论 19814.严士健;王依骧;刘秀芳概率论基础 19825.汪嘉冈现代概率论基础 19881.李德新.陈聪随机变量独立性的直接判别法[期刊论文]-高等数学研究2008,11(4)2.侯玉双.何莉敏.余亭.HOU Yu-shuang.HE Li-min.YU Ting随机变量独立性的判定与运用[期刊论文]-内蒙古科技大学学报2008,27(3)3.唐小峰.TANG Xiao-feng连续型随机变量独立性的几个充要条件[期刊论文]-阜阳师范学院学报(自然科学版)2006,23(2)4.张素霞.胡钢.ZHANG Su-xia.HU Gang随机变量独立性易错点分析[期刊论文]-河北北方学院学报（自然科学版）2006,22(5)5.尤芳.汪四水.YOU Fang.WANG Si-shui随机变量独立性的若干判别法[期刊论文]-雁北师范学院学报2006,22(5)6.孟祥波关于二维连续型随机变量独立性问题的思考[期刊论文]-科教文汇2010(15)7.彭刚.禹辉煌.PENG Gang.YU Hui-huang二维离散型随机变量独立性判别定理及应用[期刊论文]-湖南理工学院学报（自然科学版）2010,23(2)8.高敬振.蔡俊青例谈连续型随机变量独立性的一种判别方法[期刊论文]-山东师范大学学报（自然科学版）2007,22(3)9.万冬梅.WAN Dong-mei n维随机变量独立性判别新方法[期刊论文]-襄樊职业技术学院学报2010,09(5)10.褚丽丽.陈光曙.CHU Li-li.CHEN Guang-shu二维离散型随机变量独立性的一个判断定理及应用[期刊论文]-淮阴师范学院学报（自然科学版）2007,6(2)1.侯玉双.何莉敏.余亭随机变量独立性的判定与运用[期刊论文]-内蒙古科技大学学报 2008(3)引用本文格式：朱焕然随机变量独立性判别方法注记[期刊论文]-大学数学 2003(4)。

随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。

在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。

本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。

一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。

独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。

相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。

二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。

对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。

2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。

对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。

3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。

协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。

相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。

三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。

在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。

科技风2016年12月卞科教论坛 〃DOI ： 10.19392/j .cnki . 1671-7341.201624025随机变量独立性的判别方式分析席钰雯湖南省长沙市雅礼中学湖南长沙410007摘要:随着我国经济的发展，随机变量与独立性在保险、精算、金融等领域中得到了广泛的应用，且随机变量研究在科技与经济的发展占据着越来越重要的地位，在概率的相关研究之中，随机变量独立性的研究越来越重要，掌握好这一问题，对于锻炼我们的自学能力、逻辑推广能力、空间 想象能力有着重要的作用。

本文主要针对随机变量独立性的判别方法进行分析。

关键词：随机变量;独立性;判别方法随机变量是概率统计当中的基本概念之一，构成了概率统计的基 础。

很多复杂的问题在接触了随机变量之后变得迎刃而解，因此学习随 机变量对于概率统计来说有重大意义，对于我们解决日常生活中的问 题也有重大积极影响。

―、随机变量独立性的概念及意义概率统计是数学学习中的一门重要课程，而随机变量是数学概率 统计当中的一门重要分支。

其实随机变量当中最重要的是随机现象，也 就是随机事件。

而随机现象是相对于一种绝对性的现象而言的。

随机现 象在日常生活中出现的非常广泛，无论是我们的日常生活还是我们的 经济社会发展都会出现随机现象，而随机变量其实就是对于随机现象 的一种数量表示，是将随机现象加以数学性的总结而出现的一种概念。

概率论和数量统计当中很多研究都是基于随机变量产生的。

没有随机 变量，那些研究就成了一纸空谈。

所以随机变量的独立性是研究概率论 与数量统计的重中之重D其实随机事件独立性的概念非常好理解，那就是如果两个事件A 和B ，P (AB )=P (A )P (B )，则称AB 两个事件相互独立。

对于随机变量这 个领域也一直有研究，在上世纪九十年代，这个研究有了进一步的发 现，将随机变量分为连续型变量和非连续性变量，非连续性变量又称为 离散型变量。

我们要搞清楚随机变量的独立性，就要搞清楚什么是随机变量，其 实随机变量就是研究不同的事件当中一些结果的数值表示。

独立性随机变量之间的独立性定义与判别随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，在许多实际问题中起到了关键作用。

在随机变量的研究中，我们经常需要考虑多个随机变量的关系，其中独立性是一个重要的概念。

本文将探讨独立性随机变量之间的独立性的定义与判别方法。

一、独立性的定义在开始讨论独立性随机变量之间的独立性之前，我们先来了解一下独立性的定义。

设有两个随机变量X和Y，它们的联合概率分布函数为F(x, y)，如果对于任意的x和y，X=x与Y=y的概率等于X=x的概率乘以Y=y的概率，即：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)上述等式成立时，我们称随机变量X与Y是独立的。

二、判别独立性的方法在实际问题中，我们需要判断随机变量之间是否独立。

下面介绍几种常见的判别独立性的方法。

1. 通过联合概率分布函数判断根据独立性的定义，我们可以通过联合概率分布函数来判断随机变量的独立性。

如果联合概率分布函数可以拆分成各个随机变量的边缘概率分布函数的乘积形式，即：F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y)其中F_X(x)和F_Y(y)分别为X和Y的边缘概率分布函数，那么X与Y就是独立的。

2. 通过条件概率分布函数判断除了使用联合概率分布函数，我们还可以通过条件概率分布函数来判断随机变量的独立性。

如果对于任意的x和y，X=x给定条件下，Y=y的条件概率等于Y=y的边缘概率分布函数，即：P(Y=y|X=x) = P(Y=y)那么X与Y就是独立的。

3. 通过相关系数判断除了基于概率分布函数的判别方法，我们还可以使用相关系数来判断随机变量的独立性。

相关系数描述了两个随机变量之间的线性相关程度，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的相关系数为0。

因此，我们可以通过计算相关系数来判断随机变量之间是否独立。

4. 通过独立性检验判断除了上述方法，还可以使用独立性检验来判断随机变量之间是否独立。

独立性检验是一种统计检验方法，根据样本数据的观察值来推断总体数据的分布情况，进而判断随机变量之间是否独立。

判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。

判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。

本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。

1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。

具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。

数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。

2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。

根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。

如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。

2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。

具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。

如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A和事件B不满足独立性条件。

2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。

具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。

随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。

对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。

本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。

一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。

常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。

例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。

2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。

例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。

3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。

即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。

该公式也适用于多个独立的随机变量。

二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。

常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。

该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。

对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。

2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。

即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。

该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。

对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。

3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。

分类号：密级：毕业论文（本科生）论文题目（中文）随机变量的独立性判别论文题目（外文）The discrimination of the independence ofrandom variables学生姓名导师姓名、职称学生所属学院专业年级诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。

毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：日期：关于毕业论文（设计）使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。

本人完全了解兰州大学有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。

本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。

本毕业论文研究内容：√可以公开□不易公开，已在学位办公室办理保密申请，解密后适用本授权书。

（请在以上选项内选择其中一项打“√”）论文作者签名：导师签名：日期：日期：随机变量的独立性判别摘要随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。

关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法The discriminant of the independence of randomvariablesAbstract：The discriminant of independence of random variables has always been a very important topic in colleges and universities Probability Theory and Mathematical Statistics teaching . By studying literature, understand the independence of random variables and their related concepts, integrated to discrete and continuous random variables listed several common methods, discusses several common discrimination methods of the independence of random variables and to summarize it, deepen their understanding of random variable and its distribution, and strive for new discoveriesKey words:random variables independence continuous type discrete type methods of the discriminant目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)引言.......................................................................................................... I II 1. 相关知识介绍.......................................................... 错误！未定义书签。

摘要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是具中重要内容2—，由于实际需耍，对概率论中独立性的研究也较为重耍，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义。

论文关于独立性的研究做了如下分析：首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事件独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分析。

另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例加以论证。

关键词：随机事件；随机变量；独立性AbstractProbability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenome non such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the theory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems.This thesis has done the following analysis on the research of independence:First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of two or more events , the independence of event, the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples.Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, and also demonstrating them by examples・Key words: Random events; A random variability; Independence引吞 (2)1随机事件的独立性 (3)1.1事件独立性的概念 (3)1. 1.1两个随机事件的独立性 (3)1.1.2多个事件的独立性 (4)1.1.3事件独立与互不相容的区别与联系 (6)1.2随机事件的独立性的应用 (8)1.2.1用于判别两个事件是否独立 (8)1.2.2用于分析系统的可靠性 (8)2随机变量的独立性 (10)2.1随机变量独立性的概念 (10)2.2随机变量独立性的性质 (11)2.2.1随机变量独立性没有传递性 (11)2.2.2 /(兀)与g(y)独立而X与丫不独立 (12)2.3随机变量相互独立的判定 (13)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究屮，研究随机现象的独立性，尤其显得重耍。