1 引言
概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要.
2 相关定义
定义1离散型随机变量 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.
定义2 n 维离散型随机变量 设12,,,n ξξξ???是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ???）是Ω上的一个n 维离散型随机变量.
定义3 联合分布型 设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =???，令
(,),,1
,2,ij i j P P a b i j ξη====??? 称(,1
,2,)ij P i j =???是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列. 我们容易证明()(1,2,i i P a P i ξ?===???是ξ的分布列，同理有()(1
,2,)j j P b P j η?===???是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列.
定义 4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =???，η的可能取值为(1,2,)j b j =???，如果对任意的,i j a b ，有
(,)()()i j i j P a b P a P b ξηξη=====
成立，则称离散型随机变量ξ和η相互独立.
定义5 n 维离散型随机变量独立性 设12,,,n ξξξ???是n 个离散型随机变量，
i ξ的可能取值为(1,,;1,2,)ik a i n k =???=???，如果对任意一组11(,,)n k nk a a ???，恒有
1(P ξ1111,,)()()n n k n nk k n nk a a P a P a ξξξ=???===???=
成立，则称12,,,n ξξξ???是相互独立的.
3 随机变量独立性的几种判断方法
3.1利用分布函数判断随机变量独立性
设二维连续型随机变量（X,Y ）的联合分布函数为(,)F x y ,而边缘分布函数为()X F x ,()Y F y ,则X 与Y 相互独立的充要条件是：对一切x 和y ，有
(,)F x y =()X F x ()Y F y
例1 设二维随机变量(,)ξη具有密度函数
2()4,0,0(,)0,x y e x y p x y -+?<<+∞<<+∞=??其它
求分布函数(,)F x y 及边际分布函数(),()F x F y ξη，并判断ξ与η是否独立？
解 (,)(,)x
y F x y p u v dudv -∞-∞=??
2()004,0,00,x y u v e dudv x y -+?<<+∞<<+∞?=?????其它
由此即得22(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --?--<<+∞<<+∞=??其它
()(,)x
F x p u v dudv ξ∞-∞-∞=??
2()004,00,0
x u v e dudv x x ∞-+?>?=??≤???
从而有21,0()0,0
x e x F x x ξ-?->=?≤?
同理可得，21,0()0,0
y e y F y y η-?->=?≤?
显然有：(,)()()F x y F x F y ξη=.故ξ与η独立.
3.2 利用概率密度函数判断随机变量独立性
设二维连续型随机变量（X,Y ）联合概率密度函数为(,)f x y ,而关于X 与Y 的边缘概率密度函数分别为()X f x ，()Y f y ，则X 与Y 相互独立的充要条件是：对任意的x 和y ，有：
(,)f x y =()X f x ()Y f y
例 2 若二维随机变量(,)ξη服从221212(,,,,0)N a a σσ分布，问ξ与η是否独立？
解 这时(,)ξη有密度函数22122212()()12121(,)2x a y a p x y e σσπσσ??---+??????=
2121()2()(,)x a p x p x y dy σξ--+∞-∞==?
由对称性可得2222()2()y a p y ση--=
显然这时(,)()()p x y p x p y ξη=成立.
所以ξ与η相互独立.
3.3 利用密度函数可分离变量判断随机变量独立性
上述两种方法必须求出边缘分布函数或边缘分布密度[3]，下面给出的定理避开了求边缘函数的烦琐过程，使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积，以及其定义域边界是否为常数的简单工作.
定理1设（X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为(,),,,f x y a x b c y d ≤≤≤≤则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件为：
(1)存在非负连续函数(),()h x g y ，使(,)()()f x y h x g y =，
(2),a b c d 和和是分别与,x y 无关的常数. 定理 2 设12(,,,)n X X X ???是连续型随机变量，其联合概率密度函数为12(,,,)n f x x x ???，满足
120,,1,2,,(,,,)0,i i i n a x b i n f x x x >≤≤=???????=?=?
其它 则随机变量12,,n X X X ???，相互独立的充要条件为
（1） 存在连续函数i h (),1,2,,i x i n =???；满足
121 (,,,)()n
n i i i f x x x h x =???=∏
（2）,(1)i i a b i n ≤≤均为与12,,,n x x x ???无关的实常数
推论1 在上述定理2中，如果i a ，
1,2,,i n =???中有若干个为,,1,2,,i b i n -∞=???中有若干个为+∞时，则定理2的结果依然成立.
推论2 若定理2的条件成立，则()()i x i i i f x h x 与成正比例关系， 1,2,i n =???.实际上，推论2容易从定理2的证明过程中看到.
推论3 当n=2时，定理2即为：连续型随机变量12,X X 相互独立的充要条件为
（1）121212(,)()()X X f x x f x f x =，i i i a x b ≤≤，1,2i =；
（2）1122,,,a b a b 均为与12,x x 无关的实常数.
例3设12(,,,)n X X X ???联合概率密度为：
12
(2)112,0,1,2,,!(,,,)0,n x x nx i n e x i n n x f x x x -++???+?>=??????????==其它
试讨论12,,,n X X X ???的相互独立性.
解 设
111111,0()0,0x x e x h x x -?>=?≤? ,0()2,3,,0,0
i ix i i i i ie x h x i n x -?>==????≤?
则有121(,,,)()n
n i i i f x x x h x =???=∏.又因为0,,1,2,,i i a b i n ==+∞=???，由推
论1知12,,,n X X X ???必相互独立.
3.4利用条件数学期望判断离散型随机变量独立性
下面给出的定理借助于条件数学期望给出了离散型随机变量相互独立[5]的充分必要条件和充分条件.
定理3 如果随机变量X 和Y 都只取两个值，那么它们相互独立的充分必要条件是它们不相关，即(1)()()()E XY EX EY =.
定理4 若随机变量X 和Y 相互独立，则它们一定不相关.反过来，结论不成
2（）立
定理5 设X 和Y 都是离散型随机变量，分布列分别为：
其中,m n 是有限数或无穷大，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是，对任何有意义的下标i 和j ，下列二式成立：
,)0i j P X a Y b ==>（ （2.1）
11(/,)(/i i j j i E XY X a a Y b b E X X a ++====或或或11,)(/i j j i a Y b b E Y X a ++==或或11,)
i j j a Y b b ++=或
（2.2）
很明显，当随机变量X 和Y 都只取两个值是，（2.2）式中的条件数学期望就是期
望，所以定理5是对定理3的推广.
定理 6 设X 和Y 都是离散型随机变量.如果对于何,a b c d <<,(,)0P a X b c Y d ≤<≤<>,都有
(/,)(/,)E XY a X b c Y d E X a X b c Y d ≤<≤<=≤<≤<(/,)E Y a X b c Y d ≤<≤< 成立，那么X 和Y 相互独立.
4 判断随机变量独立性应注意的问题
我们在判断随机变量独立性时常会产生一些误解，有如下类型的错误推理:()i 随机变量密度函数可分离变量，随机变量就独立；()ii 随机变量1X 与3X ，
2X 与4X 独立，则12X X ±与34X X ±独立；()iii 1X 与3X ，2X 与3X 独立，
则12X X ±与3X 独立；等等.我们下面将分别举例说明，并且在判断时应该尤其注意.
(1) 随机变量密度函数可分离变量但不独立的例子
例4 设12(,,...,)n X X X 的联合概率密度为
11121212...,0...1(,,...,)0,n n n n n n n Cx x x x x x f x x x --?≤≤≤≤≤?=???其它
试讨论12,,...,n X X X 的相互独立性.
解 可设1()n i i i i i h x c x -+=1()n i i c C ==∏，则有121(,,...,)()n
n i i i f x x x h x ==∏
但由边界条件1120...1n n n x x x -≤≤≤≤≤知，边界为12,,...,n x x x 的函数，而非常数，故由定理2结果知，12,,...,n X X X 不是相互独立的.
(2)随机变量1234,,,X X X X 每三个独立，但1234,X X X X ±±与不独立的例子
例5 设有八块相同的木块，其中一块不写字，其余七块分别写上字母ABCD ， AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .从其中随机取一块，若木块上有字母A ，称事件A 发生，等等.不难证明事件,,,A B C D 每三个相互独立，但四个事件相互独立.用A I 等表示事件A 等的示性函数，则随机变量,,,A B C D I I I I 每三个独立，但总起来不独立.
不难看出，
(0,A B P I I +=0)C D I I +=()1/8,P ABCD ==
(0)()1/4,A B P I I P AB +===(0)()1/4,C D P I I P CD +=== (0,0)A B C D P I I I I +=+=≠(0)(0)A B C D P I I P I I +=+=，
因此A B C D I I I I ++与不独立.
10A B C D P I I I I P ABCD +-===（=0，）（），
11/4A B C D P I I I I P CD +-===（=0）=1/4，P(）（）
故知A B C D I I I I +-与不独立 .
仿之可证A B C D I I I I -+与不独立，A B C D I I I I --与不独立.
(3)随机变量123,,X X X 两两独立，但123X X X ±与不独立的例子
例 6 设有四块相同的木块分别写上字母,,A B C 和ABC .分别以,,A B C 表示随
机取出的一块木板上出现字母,,A B C 的事件（此即著名的别伦师谦例）. ,,A B C 三个事件两两独立，但总起来不独立，因而随机变量,,A B C I I I 两
两独立，但三个不独立.注意到 (0,0)()0A B C P I I I P ABC +==== (0)()1/4A B P I I P AB +===
(0)()1/2C P I P C ===，
即知A B C I I I +与不独立，仿之可证A B C I I I -与不独立.
5 结束语
本文首先定义了随机变量一些相关定义，然后探讨，总结出了判断随机变量独立性的四种方法，前两种方法比较常见也用得较多，但有时求边缘分布函数和边缘密度函数时过程比较繁琐，而且有时无法求出，从而接着给出了后两种方法.后两种方法比较新颖，简便，而且其应用都有一定的范围，通过例题解析给出了它们的应用.我们在应用时要特别注意它的使用条件.最后本文指出了在判断随机变量独立性时应注意的问题以及容易出现的错误，通过例题分析进一步强调，
使我们印象更深刻.随机变量独立性无论从理论上还是实践上都有着重大的意义，因此我们应该继续探究随机变量独立性的判定，找出更多更好的方法.
致谢：在我写论文期间，感谢我的论文指导老师张老师的悉心指导和帮助，感谢我的同学以及朋友对我的大力支持和帮助！同时还要感谢论文评审小组的各位专家老师及答辩委员会的各位老师对我的指点和帮助！
参考文献
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[10]姚仲明，唐燕玉.随机变量的独立性及其一个充要条件[J].安庆师范学院学
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1 引言 概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要. 2 相关定义 定义1离散型随机变量 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量. 定义2 n 维离散型随机变量 设12,,,n ξξξ???是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ???）是Ω上的一个n 维离散型随机变量. 定义3 联合分布型 设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =???，令 (,),,1 ,2,ij i j P P a b i j ξη====??? 称(,1 ,2,)ij P i j =???是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列. 我们容易证明()(1,2,i i P a P i ξ?===???是ξ的分布列，同理有()(1 ,2,)j j P b P j η?===???是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列. 定义 4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =???，η的可能取值为(1,2,)j b j =???，如果对任意的,i j a b ，有
第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
§3.4相互独立的随机变量
课 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 定义（随机变量的独立性） 设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }
即 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛 即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。 这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。 则称随机变量X 和Y 相互独立。
传课 可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) X 和Y 相互独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。） 这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。
对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互 独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度 X |Y f f Y ( y ) f Y ( y ) X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度 X f ( x ) Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度
议随机变量独立性及其应用 作者：张利荣 指导老师：桂春燕 摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义, 随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明. 关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言 概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视. 随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明. 2 随机变量独立性的定义 定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即 ()()() y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤, , )1( 则称X 与Y 相互独立. 若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则 )1(式等价于 ()()()y F x F y x F Y X ?=,. 3 随机变量独立性的性质及其判别方法
概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
分类号：密级： 毕业论文 （本科生） 论文题目（中文）随机变量的独立性判别 论文题目（外文）The discrimination of the independence of random variables 学生姓名 导师姓名、职称 学生所属学院 专业 年级
诚信责任书 本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于毕业论文（设计）使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 本毕业论文研究内容： √可以公开 □不易公开，已在学位办公室办理保密申请，解密后适用本授权书。 （请在以上选项内选择其中一项打“√”）
论文作者签名：导师签名：日期：日期：
随机变量的独立性判别 摘要 随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法 并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。 关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法
摘要 随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合. 关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差
The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied Mathematics Tutor LI Jian-li Abstract The independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters. Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance
第三章多元随机变量 3.1 二维随机向量及其分布函数 3.2 二维离散随机向量 3.3 二维连续随机向量 3.4 边缘分布 3.5 条件分布 3.6 随机变量的独立性 3.7 随机向量函数的分布 3.8 n维随机向量函数的分布(不讲)
§3.6 随机变量的独立性 事件A 与 B 独立的定义是： 若 P (AB ) = P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立 。 设 X , Y 是两个随即变量, 对任意的 x , y , 若 , )( )() ,(y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤则称 X 与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 . )( )(),(y F x F y x F Y X =,,x y ?
P70例3.6.2：P61例3.4.3：设(X ,Y )服从单位圆域 x 2+y 2≤1上的均匀分布。已求得X 和Y 的边缘概率密度如下， ?? ?? ??∈=.),( 0,),( 1 ),(D y x D y x y x f ，， π解:因2 21,[1,1], ()0,[1,1];X x x f x x π ??∈???=? ????? ?? ?? ????∈?=].1,1[,0],1,1[,12)(2y y y y f Y π ,)x y D ∈（时， 故，X 和Y 不相互独立。 问X 与Y 的独立性。 ()() X Y f x f y 222211x y π π???? ??=????????,,(,)()() X Y x y f x y f x f y ?=连续型X 与Y 相互独立 ?1π≠(,)f x y = ,[1,1]x y ∈?，
概率论与数理统计教学设计 课程名称 概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师课型 刘涛 新授课 专业与班级 课题 财务管理B1601---B1606 二维随机变量及其分布 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75 教材分析 页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上， 对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布 是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价 值观 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 教学分析教学内容 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点教学难点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 板书设计 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 教学时间设计 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
二维随机变量及独立性--教学设计
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概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606 课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
1、随机变量独立同分布的概念 随机变量X1和X2独立，是指X1的取值不影响X2的取值，X2的取值也不影响X1的取值。随机变量X1和X2同分布，意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数，对离散型随机变量具有相同的概率函数，对连续型随机变量具有相同的概率密度函数，有着相同的分布函数，相同的均值、方差与标准差。 反之，若随机变量X1和X2是同类型分布，且分布参数全相同，则X1和X2一定同分布。 一般来说，在相同条件下，进行两次独立试验，则这两次实验结果所对应的随机变量是独立同分布的。 比如，将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，设X1为第一次抛掷硬币的结果，X2为第二次抛掷硬币的结果。显然，第一次抛掷硬币的结果对第二次的结果没有影响，反之亦然，故X1和X2相互独立。 同时，X1和X2都只有两种试验结果：正面朝上和背面朝上，以0代表正面朝上，1代表背面朝上，则 P(X1=0)=P(X2=0)=0.5, P(X1=1)=P(X2=1)=0.5, 故X1和X2是独立同分布的随机变量。 随机变量独立同分布的特性可以推广到三个或更多个随机变量。 2、独立同正态分布（定理1） 3、独立同分布（定理2——中心极限定理） 当的分布对称时，只要n 5，那么，近似效果就比较理想；当的分布非对称时，要求n 值较大，一般n 30近似效果较理想。 这个定理表明：无论随机变量服从何种分布，可能是离散分布，也可能是连续分布，连续分布可能是正态分布，也可能是非正态分布，只要独立同分布随机变量的个数n较大，那么，随机变量之和的分布、随机变量均值X-的分布都可以近似为正态分布。这一结论意义深远。 4、标准误 统计学中把均值X-的标准差称为均值的标准误，记为，无论是正态还是非正态，均值X-的标准误都有 SEM随着n的增加而减少。 常常对一个零件的质量特性只观测一次，就用该观测结果去估计过程输出的质量特性。这里建议一种简单有效的减少测量系统误差的方法。对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，用其观测结果的平均值去估计过程输出的质量特性，就可以减少标准差。当然，这不是回避使用更精确量具的理由，而是一种提高现有量具精度的简易方法，多次测量值的平均值要比单次测量值更精确。
2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的， 如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++
§3.3随机变量的独立性 随机变量的独立性 我们可利用事件间的独立性的定义给出随机变量间的独立性之概念。 随机变量X 和Y 相互独立，如果对于任意有关X 的事件和有关Y 的事件都相互独，换言之，对于任意两个实数集I 和J ，有 },{J Y I X P ∈∈}{}{J Y P I X P ∈∈= （1） 理论上可证明（其证明超出了我们的知识范围）（1）式成立当且仅当对),(,+∞-∞∈?y x ，有 },{y Y x X P ≤≤}(){y Y P x X P ≤≤=. 于是有以下定义。 定义 设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，两个边际分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ，如果),(,+∞-∞∈?y x ，有 ),(y x F )()(y F x F Y X = （2） 则称Y X ,相互独立。 当),(Y X 为离散随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 }{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ===== (3) 对所有的),(j i y x ),2,1,( =j i 成立。 当),(Y X 为连续随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 )()(),(y f x f y x f Y X = (4) 几乎处处成立。 例3.3.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为
???≥≥+--=λ-----其他 ,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x ， 则Y X ,相互独立的充要条件是0=λ。 例3.3.2 （续3.1.2）问X 与Y 是否相互独？ 对于离散随机向量),(Y X ，若说明X 与Y 不相互独立，则只需找一个数对),(j i y x ，使得}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ==≠==；若要说明X 与Y 相互独立，则需要验证，对),(Y X 所有可能取的数对),(j i y x ，都有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====， 2,1,=j i 。 例3.3.3 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ???<<<<=其他 ,010,10,4),(y x xy y x f 判断X 与Y 的独立性。 解：由联合密可得两个边缘密度分别为 ?? ?<<==?∞+∞-其他,010,2),()(x x dy y x f x f X ， ???<<==?∞+∞-其他 ,010,2),()(y y dx y x f y f Y 故有)()(),(y p x p y x p Y X =，y x ,?，所以X 与Y 相互独立。 在上例子中，),(Y X 的联合密度函数可以分解成两部分，其中一部分仅与x 有关，而另一部分仅与y 有关。一般地若),(Y X 的联合密度函数可以分解为 )()(),(y g x h y x p = 则X 与Y 的相互独立。 例3.3.4 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为
12.相互独立的随机变量 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§4相互独立的随机变量 【教材分析】：在多维随机变量中，各分量的取值有时会相互影响，但有时会毫无影响，譬如一个人的身高X和体重Y救护相互影响，但与收入Z一般无影响，当两个随机变量的取值互不影响时，就称它们是相互独立的。本节将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了两个事件相互独立的概念，对独立性有了一定的认识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法。 2、过程与方法 在知识的教学过程中，用类比的方法培养学生的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法． 3、情感态度与价值观 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质． 【教学重点、难点】： 重点：二维随机变量独立性的判定方法。 难点：二维随机变量独立性的判定方法。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A ，B相互独立。 【设计意图】：两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。 二、随机变量的独立性
(,)(),() (,). ,{,}{}{},(,)()(),. X Y X Y F x y F x F y X Y x y P X x Y y P X x P Y y F x y F x F y X Y ≤≤=≤≤= 定义 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数若对于所有有即则称随机变量和是的相互独立 1、若(,)X Y 为离散型随机变量 X Y 和相互独立充分必要条件： ()()()(),,i j i j P X x Y y P X x y i j N Y P =====∈ ij i j p p p ??=? (|)(|),j i i j j i p p P X x Y y P Y y X x ????====== 2、若(,)X Y 为连续随机变量 X Y 和 相互独立充分必要条件：(,)()()(,)X Y f x y f x f y x y =?对任意实数 已知随机变量 例1已知(,)X Y 的联合分布律为 1 2 3 1 1/3 a b 2 1/6 1/9 1/18 试确定常数 a 与 b ，使X Y 与相互独立。 解：先求(,)X Y 关于X Y ， 的边缘分布律： 1 2 3 {}Y j P Y y = 1 1/3 a b 1 +3a b + 2 1/6 1/9 1/18 13 {}X i P X x = 12 19a + 1+18 b 1 要使X Y 与 相互独立， ij i j p p p ??=? ()()(),2222P X Y P X Y P =====，(,)()()3232P X Y P X P Y ===== X Y X Y