当前位置：文档之家 › 格林函数法ppt课件

格林函数法ppt课件

  • 格式：ppt
  • 大小：504.00 KB
  • 文档页数：10

下载文档原格式

  / 10

合集下载

§10.3格林公式-PPT课件

§10.3格林公式-PPT课件

2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ． 求 由 星 形 线 ： 所 围 成 的 面 积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解 ： C 的 参 数 方 程 为 （ ） 。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型 又 是 作 辅 助 线 把 D 分 成 两 个 既 是 的 区 域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ： （ 1 ） 若 D 既 是 。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连 续 ， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若 在 中 ， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取 ， ， 则 得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。 （ 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积 。 ） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又 设 ， 1 2

电动力学课件：2-5-格林函数法

电动力学课件：2-5-格林函数法
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为 P(x, y, z)
观察点为 P(x, y, z)
R x
x2 y2 z2
R x
x2 y2 z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
PP
r
x
x
R2 R2 2RRcos
（设它假在想O点P电 连荷线在上P， ，题它中的b对坐应标这为里的RR02R2
)
G ( x
,
x)
]
dS
S
n
n
V
G
(
x,
x)
2
(
x
)dV
1
0
G(x, x)(x)dV
V
G(Vx,
(
x
)
2
G(
x) 0
x,
x)dV
1
0
(x) (x x)dV
1
(x)
V
0
S
(x)
V G(x, x)(x)dV 0
(x) G(x, x)dS
S n
2．第二类边值问题解的格林函数方法
ds R
x)
G( x n
x)
ds
V0
2
a
RdR
0
2
d
0
R2
z2
R2
z
2RRcos(
)
3 2
V0z
2
a 0
RdR
2 0
d
(R2
1
z2)
1
R2
2RR c os (
R2 z2
) 32
在很远处，(R2+z2>>a2 )的电势可以展开成幂级数，

格林函数法 ppt课件

格林函数法 ppt课件

原问题
点源问题 点电荷电场
方程
u f (r)
G


(r

r'
)
V
q (r r') /0

解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
边值问题
PPT课件
2
计算电磁学基础
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x) Q (x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
(x) Q (x x)
Q (x x) 0, (x≠x’点)
Q (x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
PPT课件
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
林函数
PPT课件
12
计算电磁学基础
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’

格林函数法PPT课件

格林函数法PPT课件

练习
利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解
Δ2U x x0, y y0, z z0
第22页/共160页
解
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关。若U满足
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
1 4πr
,
则必满足
r0
Δ2U 0, r 0
设未知函数表达式为
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（2） 两边进行面积分得
ΔUd x x0, y y0 d 1
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U ds n
1
第16页/共160页
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
C
U n
ds
C
U r
ds
C
Bds r
2B
所以
B 1 2π
y M1(x0,y0,-z0)
第34页/共160页
应用举例
下面利用半空间格林函数给出定解问题
Δu 3u f,
z0 z0
解的积分表达式。
第35页/共160页
首先计算边界上的方向导数
G
M;M
0
1 4πrMM
0
1 4πrMM1
G G
n z0
z z0
1 4π
z z0
r
3
MM
0
z z0 r3
将上二式两边相减得第二格林公式
uΔv - vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
（4）
第3页/共160页

《格林函数方法》课件

《格林函数方法》课件

04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。

第四章格林函数法课件

第四章格林函数法课件

特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
PPT学习交流
8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
PPT学习交流
11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0

数学物理方程 格林函数法优秀课件

数学物理方程 格林函数法优秀课件

由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

)
V
q (r r') /0
解 u
f (r' )d ' 4 | r r'|
G
4
1 | r
r'|
V
4 0
q | r
r'|
基本思路
原问题
u f (r) u | 0
点源问题
G
(r
r'
)
G | 0
关系
f (r) f (r') (r r')d '
u(r )
f
(r'
)G(r ,
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数， 不同的实际问题对应不同的格林函数。
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
原问题
点源问题 点电荷电场
方程
u f (r)
G
(r
r'
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
V f (x) (x)dV f (0)
这一性质称为函数的选择特性。
(3) 点电荷的电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
V (x)dV V (x)dV 1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x) Q (x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
(x) Q (x x)
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
1 计算电磁学基础
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
Q (x x) 0, (x≠x’点)
Q (x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
电荷源
静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为
q 1 qG 4 0r 0
式中，G 1 ，G为静态场的自由空间Green函数。 4r
利用格林函数，分布电荷的标量位为
1 GdV 0 V 上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。
场与源
电流源
时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为
A
Idl e jk生的矢量电位为
Am
I m dl e jkr 4r
I mdl G
式中 G e jkr ，G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为
r'
)d
'
• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
• 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个 电量为 - ε0 的点电荷。
• 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。
• 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用 一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电 荷的电像。
A JGdV V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
• 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数。
稳定问题
格林函数 ΔG
= δ(r-r’)
• 这种方法称为电像法
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G ( x x' ) ( y y' ) (z z' ), z 0
G |z0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零， 这表明在N点的点电荷就是电像。
1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
(x) 0, (x) ,
V (x)dV 1,
(x≠0) (x = 0) (积分区域V包含x = 0点)
函数---密度函数
(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
V f (x) (x x)dV f (x)
同理，若 f (x) 在原点附近连续，则