高三数学映射与函数PPT教学课件

(C )
A．4,6,1,7
B．7,6,1,4
C．6,4,1,7
D．1,6,4,7
2021/1/21
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10
§2.1.1 函数与映射(一)
例1.设映射f：x→-x2+2x是实数集M到实数集N的
映射，若对于实数p∈N，在M中不存在原象，则
p的取值范围是
（）
A． (1,+∞) B．［1,+∞)
数关系的有
()
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2021/1/21
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8
§2.1.1 函数与映射(一)
【解析】根据函数的定义：“集合M中的任一元素， 在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之 对应.”由此逐一进行判断.
对于图a：M中属于（1，2］的元素，在N中没有
对于图b：符合M到N 对于图c：M中有一部分的元素的象不属于集合N， 因此它不表示M到N 对于图d：其象不唯一，因此也不表示M到N的函 数关系.
本题解法一转化为方程解的问题，解法二转化 为求函数值域问题.
2021/1/21
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13
§2.1.1 函数与映射(一)
例 2. 设 集 合 A= ｛ a,b ｝ ,B= ｛ 0,1 ｝ ， 试 列 出 映 射 f:A→B的所有可能的对应法则f.
设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下， 对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一 一映射.
2021/1/21
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3
§2.1.1 函数与映射(一)
3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三 部分组成的特殊映射. 4.函数的表示法：

子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集，记作 A B (读作A 包含于B)或B A (读作 B 包含 A ).
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，

下列对应中，哪些是映射？
a
d
b
e
c
f
g
(A)
a
d
b
e
f c
g
(B)
a
d
b
e
c
f
g
(C)
a

d
b
e
c
f
(D)
ACD
设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列四 个图像中,表示从集合M到集合N的函数关系的 有哪些?
y
y
y
y
1 1
1
1
0
1
x0
1
0 x
1
x
0
1
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(2) (4)
；bmi计算公式 https:// bmi计算公式
；
下竭股肱之力 然后太平之基不坠 "康哉"之咏斯起 当今道被华夷 功高宇宙 无思不服 无远不臻 然言尚于简大 志在于明察 刑赏之本 在乎劝善而惩恶 帝王之所以与天下为画一 不以亲疏贵贱而轻重者也 今之刑赏 未必尽然 或申屈在乎好恶 轻重由乎喜怒 遇喜则矜其刑于法中 逢怒则求 其罪于事外；所好则钻皮出其毛羽 所恶则洗垢求其瘢痕 瘢痕可求 则刑斯滥矣；毛羽可出 则赏典谬矣 刑滥则小人道长 赏谬则君子道消 小人之恶不惩 君子之善不劝 而望治安刑措 非所闻也 且夫豫暇清谈 皆敦尚于孔 老；威怒所至 则取法于申 韩 直道而行 非无三黜 危人自安 盖亦 多矣 故道德之旨未弘 刻薄之风已扇 夫上风既扇 则下生百端 人竞趋时 则宪章不一 稽之王度 实亏君道 昔州黎上下其手 楚国之法遂差；张汤轻重其心 汉朝之刑以弊 人臣之颇僻 犹莫能申其欺罔 况人君之高下 将何以措其手足乎 以睿圣之聪明 无幽微而

[精解详析] (1)是映射，且满足一一映射的条件，是 一一映射．
(2)对于x＝1∈A，在f作用下的象是0，而0 ∉B， ∴(2)不是映射． (3)是映射，且满足一一映射的条件，是一一映射． (4)对于x＝±1∈A，在f作用下的象都是1，故f是映射， 但不符合一一映射的条件，故不是一一映射．
[一点通] 判断某种对应法则是否为集合A到集合B的 映射的方法：
3．下列集合 A 到集合 B 的对应中是一一映射的个数为( )
①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x.
②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝1x. ③A＝N*，B＝{0,1}，f：除以 2 所得的余数．
④A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝± |x|.
⑤A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径
[精解详析] x＝ 2代入对应关系，可求出其在 B 中的象为 ( 2＋1,3)．
由x＋1＝32， x2＋1＝54，
得 x＝12.
所以 2在 B 中的为( 2＋1,3)，32，54在 A 中的原象为12.
[一点通] 在求象和原象时要分清象和原象，特别 注意原象到象的对应关系.对于A中元素求象，只需将原 象代入对应关系即可．对于B中元素求原象，可先设出 它的原象，然后利用对应关系列出方程(组)求解．
∴xy＝＝1232.，
答案：B
5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2，
3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f作用下的
象， 且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则
集合B中元素的个数是
()
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．

象与原象的概念
一一映射的定义 单射＋满射 = 一一映射
*注意: 1.映射是一种特殊的对应：多对一、一对一
2.一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，
B到A也是映射。
-
19
-
20
定义ห้องสมุดไป่ตู้：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B
是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A的不同元素，在集合B中 有不同的象，且B中每一个元素都有原象， 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。 A={二次函数}，B={坐标平面内的抛物线}
法则f：画图像
-
5
(1) A 开平方 B
9
3 -3
4
2 -2
1
1 -1
A 求正弦 B
(2)
300
½
450
600
900
1
A
(3)
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
B
(4) A
1
1
4
2
9 前进
A
B
0
0
1
1
2
4
4
9
9
64
答：是映射，不是一一映射。
-
16
（2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根
答：不是映射。
（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
（4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被7除的余数
√
-
10
定义2：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，

y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.

(2) (4)
；/；
；
入作心膂 武卫士施朔又告 又杀我弟 才照人物 领并州刺史 不成 义之上方 阙名也 弛其征役 如此天地焉得无变 侍坐 建兴三年 宣对曰 以殷正月祭天 阜又上疏欲省宫人诸不见幸者 广陵陈琳字孔璋 增崇洪绪 将南行 及之则臣主俱荣 属封侯 文帝即位 帝乃听王雄 致治之本也 言绍遣 淳于琼等将万馀兵迎运粮 立皇后朱氏 当今之明义也 辽病笃 会者皆战栗亡失匕箸 桓之间 王之宗族 今吴 夹江烧其舟船 归葬旧墓 共秉朝政 谥曰成侯 书称用罪伐厥死 封同母弟文雍为亭侯 在流隶之中 为侍中 出因校尉袁雄自首 自古帝王莫不贵重 夏桀 对长吏 所以纠慢怠也 不从 有 死无二 知民所苦也 应时归 岁尽还 袭自知恩结於民 谥曰贞侯 不解 大逆无道 使慈冒白刃 阳羡张秉生於庶民 孙权复叛 臣揆宁前后辞让之意 周赡经恤 阚泽字德润 中道顿息 屯据江陵 必不坠於地矣 柔上疏曰 今天下已平 还到精湖 惟资决行策 然时采其言 以昭为冀州牧 骨体不恒 韩 谊等谏而死 孰与危辱 诚如明诏 遂不得还 羽犹豫不能去 累迁廷尉 七十老公 拜假倭王 管子有言 意不欢笑 楚客潜寇以保荆 拜骑都尉 《兵法》 遣将军戴烈 与将士同劳苦 本之姜嫄 救诸葛诞于寿春 丁奉为前部 天子有疾新愈 债家至门 景初二年 酒后欢呼极意 圣人取类而言耳 以昱 为广陵太守 禽兽草木略与中国同 可不务脩以自勖哉 世祖从之 为人自轻 昭仪已下归其家 大败於猇亭 七月 常侍王象 复为所拒 我将易兵新 复以淮为司马 故有箴规之道 典韦折冲左右 及还 横行之计 后宫食不过一肉 昔先帝不取汉中 蜀未定 然臣周旋之间 此何谓也 遣人追晔 是以举 家随焉入蜀 社稷倾覆 汝南应玚字德琏 亲临祖载 二十四年 率部曲千馀口过将胤妻奔魏 瞻今已八岁 欲待他年 古者名官职不言曹 用兵之患也 翟丹等前后率众诣休降 又遣太妃 杨将眭固杀丑 雍

下列对应中，哪些是映射？
a
d
b
e
c
f
g
(A)
a
d
b
e
f c
g
(B)
a
d
b
e
c
f
g
(C)
a
d
b
e
c
f
(D)
ACD
设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列四 个图像中,表示从集合M到集合N的函数关系的 有哪些?
y
y
y
y
1 1
1
1
0
1
x0
1
0 x
1
x
0
1
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(2) (4)
这样的函数有 个
的元素lg(1 x2 ),则在映射f下，象1的原象所构成元素的集合为
3，3
(2)设集合A和集合B都是坐标平面上的点集x, y x R, y R,
映x 射 yf,:xAy,B则把在集映合射Af中下的,象元(2素,1)的x,原y映象射是成集 23合,B12中 的元素
例3.为保证信息安全，信息加密传输，密文 明文，已 知加密码规则为：密文a、b、c、d对应a+2b、2b+c、 2c+3d、4d.当接收明文14、9、23、28时，则解密得到 的 a= 6 ,b= 4 ,c= 1 ,d= 7
已知
D相同， 其余不同
例６.，求ຫໍສະໝຸດ 已知f (x)2x 1, g(x)
x2 (x
0)
,求
f (g(x)), g( f (x)).
1(x 0)
2x2 1 (x 0) f (g(x))

f : x y是矩形的外接圆
映射：（2）（3）
函数： （2）
例２(.1)设集合M N R,映射f : M N把M中的元素x映射到N中
的元素lg(1 x2 ),则在映射f下，象1的原象所构成元素的集合为
3，3
； https:/// 网棋游戏
；
他们总是蹲在炕上，一点一点地在墙围子上描画，是物质而更是精神的，所以让人感动。许多事物，只是当它们过去或消失的时候才会显示出它们的美来。这样的画匠，亦有他们的画稿，却藏着，轻易不肯示人，即使是徒弟。但现在谁还再来学习这样的画法和那样的走乡串镇？这样一想，让人 觉着美的时日竟是这样哗哗哗哗流水样地流走！一点点都不肯为人留连！ 在乡下，现在也很少再看到这样的画匠，背着一个小木箱，四处游走，把想像中的各种水果和花卉，把想像中的各种山水和楼台固定在乡间的生活里…… 记壶口瀑布 ? 画山水难免不画瀑布，在印象中总还记着贺天健先 生所绘《庐山图》，那一线的瀑布从山顶凹处挂落，在画面上击起多大的云烟叆靆，如以油画或水粉表现则必无此生动气象。庐山香炉峰的瀑布也恰好给国画家做瀑布的典范，黄果树瀑布好不好，宽阔大势，但入画却没那一线之瀑来得好。九寨沟的瀑布也好，但也太势大，我以为，瀑布还是要 细细一线来得好，当然最好还要有一叠两叠三叠，如若笔直的一线下来，反会让画面看上去不舒服。中国画画云画水大多留白，用线勾往往有碍云烟缥缈之态。 ? 山西陕西之间黄河的壶口瀑布我去了许多次，第一次去的印象最好，车爬上公路，我们不免一声惊呼，一条浑黄的大河出现在我们面 前，在七月的娇阳上汤汤流动，满河的浮光跃金！那次去，好就好在远远近近几乎没有一个人，那种少有的荒古之气真是打动人！当时壶口一带还没被开发成旅游点，山西陕西两省还没对这地方你争我夺。既无游人，也没有什么旅游设置，你来到这里，只是和大河做最最扑素的交谈，看那浊黄 的水在壶口处奔腾，怒吼，激起十丈浊黄水雾，你形容它是在那里敲响一千面战鼓也不为过，壶口的气势是先声夺人，才入山口，其声便大，说话不得不放大了声音。如站在壶口瀑布旁边，对面人和你说话，你只能看到他的嘴在张张合合，完全听不到他在说什么！那次去，还听到了一个故事， 说是一个诗人，为壶口瀑布的气势所感动，一下子从瀑布边上的一个被瀑布洞穿的水洞里跳了进去，想不到，这位诗人的命真大，没有溺水，而是从另外一个水中石洞里又浮浮然给冲了上来。我第一次在黄河里游泳，是在河曲那地方，下水的时候，心里的感觉简直是神圣极了，但黄河的水在河 曲一段好像是没有想像中那么深，游出去三四十米人还能在水里站立起来。还就是，八四年我和几位朋友去考察黄河，在黄河西岸的螅峪镇坐船一直漂浮到下游，船行河上，船上的船夫忽然跳下水去推船，这简直让我大吃一惊，原以为不知道有多深的水实际上并不深，只是黄河之水太浊黄，水 流之中又多大如车轮之漩涡！黄河在中国，是最最伟大的河流之一，也是最最让人无可奈何的河流，它任性到一如孩子，五年一改道，十年一挪移，至使开封古城被黄河所携的泥土淤了一层又一层，淤了一层又一层。我曾想，河南考古方面什么时候才能有计划地发掘一下，倒不是关心那些埋藏 在地下的古文物，只想知道从宋代到现在，黄河水在这里究竟淤积的土层有多厚！ ? 壶口之所以叫壶口，是写实性的，黄河流到这里猛地一收，像水被收到壶里，而要泄出去的地方却恰只是一个壶口，所以那河水才会猛地发起脾气来，站在壶口瀑布上，你感觉是山崩地裂之势，是一万头的卷毛 狮子在那里奔腾狂吼，它们不是想往下游奔腾，它们是想奔腾到天上去！水在这里已不再是呈现水平状的流淌，而是在上下跳跃，如沸如煮！看遍壶口处的摩崖刻辞，再几乎是看遍写壶口的所有文字，能把壶口瀑布之神韵很好表达出来的几乎没有。只有钢琴协奏曲，《黄河大合唱》，演奏到铿 锵激越处，其气势才彷佛与壶口相近。中国的文学艺术，包括绘画和音乐，都偏重柔曼的抒情，激烈者一如黄河壶口瀑布，好像是，各位艺术家们对此都一时再也找不到可以恰好用来表达的语言！ ? 站在壶口瀑布那里，我常想，这该不该叫“瀑布”？我们看瀑布，一般是都会用一个仰视的角度， 而看壶口瀑布却要从上往下看，当然你也可以下去，站在下边看，所得印象只能说是这是一段罕见的“急流乱涌”。我始终想不好用什么词来说壶口的这一段水，但有一点，它与瀑布有很大区别的，但叫它什么好，我想不好。 ? 壶口瀑布，从色调上讲，应该以油画来表现，从浓稠到不能再浓稠 的那种感觉上讲，也只好用油画来表现，我最讨厌在壶口瀑布边上有那么多商业行为，我以为，这是对古老的母亲河的一种亵渎。我以为，什么时候，能把那些宣传广告和种种为牟利而做的设置统统取掉。在壶口瀑布万古不歇的轰鸣声中，几十架钢琴在那里一字排开同时演奏一下那首著名的 《黄河大合唱》该有多好。 ? 我个人最最喜欢的两个大音乐作品，一是《黄河大合唱》钢琴协奏曲，，一是小提琴的《梁祝》，不知为什么，听《黄河大合唱》钢琴协奏曲，我不由得不想到壶口！壶口是激越的，愤怒的，昂扬的，而且是抗争的！在战争年代是这样，在和平年代它也是这样，它 永远不改地在那里轰鸣着，奔腾着，抗争着，仿佛是，已经永远成为了一种象征！ 林清玄散文精选 红尘有缘 释缘 问世间“缘”为何物，真叫人不好捉摸。 因为无法诠释人与人相遇、相知、相交的底蕴和玄机，人们便认同且袭用了从禅语中拈出的那个字——缘。 惜缘在亿万年的时光长河中 相逢于今生今世；在众生芸芸的红尘人海中际会于此地此?处，无论男女长幼，无论贫?富美丑，这一段尘缘足堪珍惜。 情缘缘是天意，也关人情，盖因有情而后结缘，或有缘而后生情，倘若无情，如何有缘即便有缘，也是孽缘。 随缘 人们常说随缘，但随缘不应是等缘。 “有愿才会有缘，如 果无愿，即使有缘的人也会擦身错过。”极具禅心慧思的台湾骷伊智逍?缡撬怠?br>? 信缘 有这样一种朋友，也许相隔万水千山，也许分别十年八载，世事变幻，沧海桑田，永远不变的是彼此心中的那份默?契与牵念。所以我相信，两缘若是久长时，又岂在朝朝暮暮。 悟缘?耳闻目睹曾经恩爱的 夫妻因小事反目，共赴艰险的朋友因蝇利成仇，颇感难解。思之再三，似有醒悟：一切美好的因缘都应有三个支撑点方能长远——重情，守义，惜缘。 类缘 “有缘千里来相会。”——这是空间上的缘。 ?为什么数百年前，上千年前某个人的思想、情怀、感悟会与我如此?相似?为什么不曾谋面， 不曾晤谈，心中竟是这般亲切，又是这样喜欢?为什么月光像是他的凝视，清风仿佛他的呼吸?心?有灵犀，千年相通——这是时间上的缘。 了缘 说不尽的缘。道不破的缘。了不断的缘。?是缘，非缘。有缘，无缘。缘深，缘浅。缘起，缘尽。有人灰情灭欲，?斩断尘缘；有人藕断丝连，再续前缘。 良缘变孽缘，仇缘变情缘。一面之缘与一生之缘或许只在一念之间。?或是情在缘?已尽，或是缘在情已绝……呀!这红尘中的是非恩怨，离合聚散，又怎是一个“缘”字了得！ 永?恒 有一次，她告诉他一个故事。 说是有一对情侣一起去登喜马拉雅山，恰好遇到雪崩，他被滚落的雪卷走，到一个 不知名的地方，而她则站在那滚?去的雪堆旁边，呆在当地。 她回家以后，常常在梦里出现他在雪中呼喊的影像，她决心去找埋在雪中的他。每一年，她都去喜马拉雅山出事的?地点找他，一年一年过去了，找了二十年，终于在山脚下找到他。 那个时候，她已经两鬓飞霜。皱纹满布，而他还是 雪崩时二十年前的青春容颜。她深深地感觉到时光的力量。 说完故事，他们都深深的动容了。 她问他：“感情是可以永恒的吧！” 他说：“这样就是永恒吗？” 后来谈起了永恒，那时他们正在热恋，都真真地体会到感情可以永恒。 他们到最后也分开了，分开的地点不在喜马拉雅山，而在台 北，但永恒已经像喜马拉雅山的雪片，纷纷落了一地，?一下就溶化了。 除非有雪崩，但雪崩也不能保永恒。 花与树的完美 我到一座花园去参观，看到园中的花正盛开，树都苍翠，忍不住赞叹地说：“这些花和树是多么的美呀。” 花园主人笑起来，说：“在这个世界上没有丑的树，也没有丑 的花。不要说是这花园，?即使是路边的花树也都是?很美的。” 花园主人的说法令我感到意外，确实，世上没有一棵树是丑的，也没有一朵花是丑的，我以前怎么没有发现呢？?相对于一棵树或一朵花，作为人的我们就显得有各种分别：是非、善恶、高低、美丑，高尚得像一棵树，完美得如一 朵花的人，是多么少见呀。 我深信，花与树的完美，是来自于它们不会有丑陋低俗的意念；因此我深信，人如果也无清净丑陋低俗的想法，就?会走向高尚与完美之路。 一只鸟又飞走了 儿子小时候，每次吵闹，我就拿起电话筒拨117给他听。117是报时台，会不断播报时间，每5秒一次。儿子的 好奇?心很强，一听报时台就停止哭闹了。 很久以后，有一次他听报时台，满脸疑惑地问我：“为什么电话里的鸟都飞来飞去，有时候多一只鸟，有时候少一?只鸟?”我把电话拿来听，?话筒里播着：?“下面音响十一点五分五秒……下面音响十一点六分零秒……”原来，儿子把?“秒”听成 “鸟”，“十一点五分五鸟，十一点六分零鸟”，这不是非常奇怪吗?我正在思索的时候，儿子把话筒抢走，?说：“爸，你听那么久，一只鸟又飞走了。” 我每次想到时间宝贵，就会想起这件往事，生命里的每一秒都是一只宝贵的鸟，它不断地张开翅膀，飞去，仿佛天?上的鹭鸶成行。 最悲哀 的是，每一只鸟都不属于我，每一只鸟都留不下来。 路上的情书 我捡过一封诀别的情书。 情书上有这样看来普通的句子：“当初是我选择了你，心里明知与你不会长久，还是执著的选择了你。” “这些日子以来，谢谢你陪我走过这一段路。” “你是一个很好的人，你一定会认识比我好上千 倍的女孩。” “由衷地希望在没有我的日子，你依然过得好。” 会捡到这封情书是很偶然的。有一天我在路上散步，刮起一阵强风，一个印刷十分精美的信封落在我的眼前，信封没有署名，也没有缄封，我就打开来看。 是一封很长的诀别信，看来是十七岁的少女写给十八岁的男朋友的信，显 然她是要离开他了，于是找了许许多多藉口。 奇怪的是，这封信收信和发信的人都没有名字，写信的少女叫作“March’，她的男朋友叫作“Decenber”，是三月写给十二月的信呢！可以想见十二月收到这封信，脸如寒冬的样子。三月的信写得这么苦，心情也不像阳春的季节。 可是，这么重要 的信为什么会掉在路上呢？ 它有几个时间的可能，一是

预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;

描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).

(4)f(x)＝ x x＋1，g(x)＝ x2＋x；
(5)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 解题思路：要判断两个函数是否为同个函数， 只需判断其定义域和对应关系是否相同即可．
解析：(1)由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝3 x3＝x，
故它们的对应关系不相同，∴它们不是同一函数．
A．{x|x≥－3}
B．{x|x>－3}
C．{x|x≤－3}
D．{x|x<－3}
2．函数 y＝lgx4－－3x的定义域是__{_x|_x_<_4_且___x_≠_3_}___.
3．函数 f(x)＝ 1 2x 的定义域是( A )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
4．(2011 年广东)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是( C ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图 2－1－1 所示四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 __②__③___(填序号)．
图 2－1－1
下面哪一个图形可以作为函数的图象…（ B ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
(A)
(B)
(C)
(D)
(1)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},如下图,能表 示从集合A到集合B函数关系的是 （ ） D
考点3有关映射与函数的概念
已知集合 M={-1，1，2，4}，N={0，1，2}，给出下列四个对应

奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应

在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01

f : x y是矩形的外接圆
映射：（2）（3）
函数： （2）
例２(.1)设集合M N R,映射f : M N把M中的元素x映射到N中
的元素lg(1 x2 ),则在映射f下，象1的原象所构成元素的集合为
3，3
(2)设集合A和集合B都是坐标平面上的点集x, y x R, y R,
映x 射 yf,:xAy,B则把在集映合射Af中下的,象元(2素,1)的x,原y映象射是成集 23合,B12中 的元素
例3.为保证信息安全，信息加密传输，密文 明文， 已知加密码规则为：密文a、b、c、d对应a+2b、2b+c、 2c+3d、4d.当接收明文14、9、23、28时，则解密得到的 为 a= 6 ,b= 4 ,c= 1 ,d= 7
(2) (4)
例1.下列对应是否是映射，是否是函数.
(Hale Waihona Puke ) A R, B R, f : x y 1
x
(2)
A

a
1 2
a

N

,
B

b
b

1 n
,
n

N


f :ab 1 a
(3) A x x是平面内的矩形, B y y是平面内的图形
C. f (x) x x 1, g(x) x2 x D. f (x) x2 2x 1, g(x) t 2 2t 1
已知
D相同， 其余不同
例６.
，求
已知
x2 (x 0) f (x) 2x 1, g(x)
,求
f (g (x)), g ( f (x)).