若z 一个w值，称f (z)是单值函数; z 多个w值，称f (z)是多值函数.
今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。
G — f (z)的定义集合，常常是平面区域（定义域）
G* {w w f (z) , z G} —函数值集合
z x iy ( x, y); w u iv (u, v) w f (z) f ( x iy)
z z0
lim
f
(z)
lim
z z0
f
(z)
(lim
g(z)
0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限.
x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求f (z)
z z
z 在z 0时的极限. z
第三讲 复变函数与解析函数
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数z x iy的 非 空 集 合, 存 在 法 则
f , 使 得 z G, 就 有 一 个 或 几 个w u iv与 之 对 应, 则 称 复 变 数w是 复 变 数z的 函 数 （ 简 称 复 变 函 数） 记作 w f (z).
u( x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
例1 w z2 令z x iy w u iv 则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2xyi
( x cos y sin ) i( x sin y sin ) 即，
u x cos y sin
v
x
sin
y sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
z (w)都是 单值的 ，则称 函数(映射)w f (z)
是一 一的。也称 集合G与集 合G是一 一对应 的。
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。
3 例 已知映射 w 1 ,判断: z平面上的曲线x2 y2 1被
z 映射成 w平面上怎样的曲线?
§4 复变函数的极限与连续性
z G ( z平面) w f(z) w G*(w平面）的映射(变换).
定义域
函数值集合
称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
z G w f(z) w G*
一个(或几个)z G z(w) w G*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 显然有 w f [ (w)] w G*
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
当函 数(映射)w f (z)和其 反函数(逆映 射)
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究w ei z (实常数）所构成的映射.
解 设z re i w ei z ei re i re i( ) w u iv (cos i sin )( x iy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u( x,
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x,
( x, y)( x0 , y0 )
y) y)
f (z)
1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性
1. 函数的极限
定义 设 w f (z), z U (z0 ,),若 存 在 数A， 0,
（）, 当 0 （0)
z z0
时, 有
f (z) A ,
则 称A为f( z )当zz0时的极
限
，
记
作lim z z0
f (z)
A
或 当z z0时 ，f (z) A
w z2 u x2 y2 v 2xy
例2 若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成 z 的函数.
设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
u0 v0
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
z z0
z z0
