logaf(x) logf(x)g(x)
f(x)g(x) tanf(x)
___f_(_x_)_>_0________ ____f_(_x_)_>_0_，_f_(_x_)_≠__1_，__g_(_x)_>_0_______
__f_(_x_)_>_0_，_f_(_x_)_≠__1_________ _f_(_x_)_≠__kπ__＋__π__2_(_k_∈__Z_)___
性质法
y＝x2＋x－2 y＝sinx，y＝lgx
___单__调_性__法______
y＝x＋ x－2
换元法
y＝sin2x＋sinx＋1
__基_本__不_等__式__法____ y＝x＋x＋1 1 (x>－1)
函数的概念及其表示
双
向
固
基
础
方法
_反__解__自_变__量__法__
判别式法
__数_形__结__合_法____
记法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.构成函数的三要素是：_定__义_域____、_对__应__关__系_、 _值__域_____.
二、函数的表示方法 1．基本表示方法：_解__析__法___、_列__表__法___、__图__象_法___.
函数的概念及其表示
双
向
2．分段函数：在定义域的不同范围内函数具有不同
面
讲
考 向
x＋1>0， 有lnx＋1≠0， 解之得－1<x≤2 且 x≠0.
4－x2≥0，
(2)当 x∈R 时，3 3x－1有意义．当 a＝0 时，函数的
定义域为 R，当 a≠0 时，要使函数 f(x)的定义域为 R，必 须 ax2＋ax－3≠0 恒成立，即二次函数 g(x)＝ax2＋ax－3 的图象与 x 轴没有交点，所以 Δ＝a2－4×(－3)a<0，得－ 12<a<0.综上知－12<a≤0.故选 C.
填空(1)
2011年浙江T11(A)
点 面
2.函数的定义域、
讲
值域的求法
考 向
3.简单的分段函数
及其应用
0
2012年广东T11(A)
0
2012年江西T3(A)， 2012年福建T9(B)
4.函数的解析式
0
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考 频分析2009年～2012年浙江卷情况．
函数的概念及其表示
映射，当然它不是 A 上的函数关系；对于③，对于 A 中的任 一个数，按照对应法则，在 B 中都有唯一元素 0 和它对应， 故③所给的对应法则是 A 到 B 的映射，这两个数集之间的关 系是集合 A 上的函数关系．
函数的概念及其表示
[点评] 本题的判断是在熟悉函数的概念基础上进行
点 面
的，判断是不是函数，要看函数的三要素；判断两个函数
按某一个确定的对应 关系f，使对于集合A 中的_任__意_____一个元 素x，在集合B中都有 _唯__一__确_定__的元素y与 之对应
函数的概念及其表示
双
向 固
函数
映射
基 础
称_f_：__A_→_B__为从集 称对应_f_：__A→__B__为
名称 合A到集合B的一个 从集合A到集合B的
函数
一个映射
数大于零、正切函数的定义域等．如果函数是一些函数通
点 面
过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各函数定义域
讲 考
的交集；由实际问题列出的函数式的定义域问题，由自变
向 量的实际意义给出，复合函数的定义域求法综合考虑内外
两层函数的定义域．
函数的概念及其表示
思考流程 (1)分析：注意分母和偶次根式对变量的要
点
断；结论：得出结论．
面
(2)分析：熟悉函数的定义；推理：根据函数的定义判
讲 考
断，注意与映射的区别和联系；结论：得出结论．
向
函数的概念及其表示
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)由函数的定义知①正确．②中满足 f(x)＝
点x－3＋ 2－x的 源自 不存在，所以②不正确．③中 y＝2x(x∈
函数的概念及其表示
双
向 固
2．函数的定义域、值域的求法
基 础
(1)[2012·广东卷改编] 函数 y＝ xx＋1的定义域为
{x|x≠0}．( )
(2)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数 f(2x－
1)的定义域为{x|1≤x<5}．( )
(3)函数 f(x)＝ x2＋3＋1 的值域是{y|y≥1}．( )
相同．( )
1－x2与 g(x)
函数的概念及其表示
双
向
固
基 础
[答案] (1)√ (2)×
[解析] (1)f( 10＋1)＝lg( 10)＝12，f(11)＝
lg10＝1，g(f(11))＝g(1)＝0. (2)h(x)与 f(x)定义域不同，不是同一个函数，k(x)
与 g(x)定义域不同，不是同一个函数．
讲 考
是不是同一个函数，要看其定义域和对应关系是否分别相
向 同．
函数的概念及其表示
归纳总结 ①判断一个对应是否为映射，关键看是否
满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一
性”．
点 面
②判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；
讲 考
二看A，B是否为非空数集．若是函数，则A是定义域，而
向 值域是B的子集．
函数的概念及其表示
[点评] (1)中要注意分母不为零，真数大于零，偶次
点 面
根式内非负；(2)中的分母可能是一次函数或二次函数，
讲 考
区分不同情况讨论．
向
函数的概念及其表示
变式题 (1)已知 f(x)＝x＋1 1，则函数 f(f(x))的定义域
值域是{y|y≥ 3＋1}．
函数的概念及其表示
双
向 固
3．简单的分段函数问题
基 础
1－x2－1≤x≤1， f(x)＝x＋1x>1或x<－1， 则 f(－x)＝
1－x2－1≤x≤1，
－x＋1x>1或x<－1.
(
)
函数的概念及其表示
双 向 固 基 础
[答案] √
[解析] 当－1≤x≤1时，f(－x)＝ 1－x2；当x>1或 x<－1，f(－x)＝－x＋1，所以f(－x)＝
1－x2－1≤x≤1，
－x＋1x>1或x<－1.
函数的概念及其表示
双
向
固
基
础
4．函数的解析式的求法
(1)f(x)＝2x2＋x－1，则 f(x＋1)＝2x2＋3x.( )
(2)f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．( )
函数的概念及其表示
双
向
固
基
础
[答案] (1)× (2)√
双 向 固 基 础
点
面
讲 考
函数的概念及其表示
向
多 元 提 能 力
教 师 备 用 题
1．了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定 义域和值域．
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表 法．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
函数的概念及其表示
双
向
—— 知 识 梳 理 ——
固 基
一、函数与映射
f(g(x))(f(x)定 a≤g(x)≤b 解集与 g(x)定义域的__交__集____ 义域为[a，b])
四则运算组成的函数 各个函数定义域的_交__集_____
实际问题
使实际问题有__意__义____
函数的概念及其表示
双
向
四、求函数值域的方法
固
基
础
方法
示例
__公__式_法__(_配_方__法_)__
考
选 D.
向
(2)由函数定义可知，自变量 x 对应唯一的 y 值，所以
③④错误，①②正确．
函数的概念及其表示
► 探究点二 函数的定义域、值域的求法
点
例2
(1)[2012·山东卷]
函数f(x)＝
1 lnx＋1
＋
4－x2 的
面 讲
定义域为(
)
考 向
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域
一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、
对应关系是否分别相同．
函数的概念及其表示
变式题 (1)下列各组函数中，表示同一个函数的是
()
点 面
A．y＝xx2－－11与 y＝x＋1
讲
考 向
B．y＝lgx 与 y＝12lgx2
C．y＝ x2－1 与 y＝x－1
[解析] (1)f(x＋1)＝2(x＋1)2＋(x＋1)－1＝2x2＋5x＋ 2.
(2)令t＝ x －1≥－1，则x＝(t＋1)2≥0，所以f(t)＝(t ＋1)2，即f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．
函数的概念及其表示
考点
考频
示例(难度)
1.函数的概念与函
选择(1)
2010年浙江T2(A)，
数值的求解
► 探究点一 函数的概念与函数值的求解
例 1 (1)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的
点 映射；②f(x)＝ x－3＋ 2－x是函数；③函数 y＝2x(x∈N)
面 讲 考
的图象是一条直线；④f(x)＝xx2与 g(x)＝x 是同一个函数．
向
其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
面 讲
