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z G w f(z) w G*
一个(或几个)z G z(w) w G*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 显然有 w f [ (w)] w G*
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
课件
当函 数(映射)w f (z)和其 反函数(逆映 射)
Q(z)
有界性：
设曲线C为闭曲线或端点包括在内的曲线段
若f (z)在C上连续 M 0,在曲线上恒有 f (z) M
课件
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
课件
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
课件
z
0,
由此可得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0 z)
f (z0 ),所 以f (z)在z0连 续
w z2 u x2 y2 v 2xy
例2 若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成 z 的函数.
设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
1 f (z) z
z 课件
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
g(z)
g2(z)
, (g(z) 0)
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面上处处可导； R(z) P(z) 在复平面上（除分母为0点外）处
Q(z) 处可导.
课件
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
第三讲 复变函数与解析函数
课件
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
课件
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数z x iy的 非 空 集 合, 存 在 法 则
f , 使 得 z G, 就 有 一 个 或 几 个w u iv与 之 对 应, 则 称 复 变 数w是 复 变 数z的 函 数 （ 简 称 复 变 函 数） 记作 w f (z).
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
lim
z0
f z
不存在.
课件
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导; 复 函 数 中, f (z) z 2的 可 导 性?
课件
例2 已知 f (z) (z2 5z)2 1 ，求f '(z)
z 1
解
f
( z )
2( z 2
5 z )( 2 z
5)
(z
1 1)2
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 lim f (z z) f (z)
z0
z
x x 2( y y)i ( x 2 yi)
lim
z0
x iy
lim
z0
x 2yi x yi
1 2
当y 当x
0, x 0, y
00时 时 不 存
( x cos y sin ) i( x sin y sin ) 即，
u x cos y sin
v
x
sin
y sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
课件
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
课件
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y) y)
u0 v0
课件
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
Байду номын сангаас
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
f (z0
z) z
f (z0 )
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
课件
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明: f (z) Re z在平面上的任何点都不可导.
证明: f Re( z z) Re( z)
以下不再区分函数与映射（变换）。
课件
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究w ei z (实常数）所构成的映射.
解 设z re i w ei z ei re i re i( ) w u iv (cos i sin )( x iy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
课件
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
z0
x iy
z 0时 z 0时
lim z0
x x iy
0 1
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
不存在！
课件
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
z z
z 在z 0时的极限. z
f
(z)
2( x 2 y 2 ) x2 y2
在(0,0)处极限不存在.
例3 证明 f (z) Re z z 在z 0时的极限不存在.
课件
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)在z0处 连 续;
若 在 区 域D内 处 处 连 续 ， 则 称f (z)在D内 连 续;
u( x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
课件
例1 w z2 令z x iy w u iv 则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2 xyi
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u( x,
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x,
( x, y)( x0 , y0 )
zz0 z zz0 z z0
lim
zz0
(z
z0 )(zn1
zn2z0 z z0
z n1 0
)
nz0n1
课件
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) ' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
记作
f '(z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
在 曲 线C上 点z0处 连 续.
定理3 设f (z) u( x, y) iv( x, y)
在 z0 x0 iy0处连续
lim u(
( x, y)( x0 , y0 )
lim v(
( x, y)( x0 , y0 )
z (w)都是 单值的 ，则称 函数(映射)w f (z)
是一 一的。也称 集合G与集 合G是一 一对应 的。
