高数课件 映射与函数共35页文档

子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集，记作 A B (读作A 包含于B)或B A (读作 B 包含 A ).
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，

设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说y是x的函数.其 中x叫自变量，y叫因变量.
3.请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ （2）y x与y x 2 是同一个函数吗？
x
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。 因此，需要从新的高度认识函数。
实例三
“八五”计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况
时间
(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔
系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
t/年
2019/11/3
15
时间t的变化范围是数集A t 1979 t 2001 面积S的变化范围是数集B S 0 S 26
S/106km 2
30 2256 20 15 10 5 01979 81 83 85 87 89 91 93 95 97 9
9
2001
t/年
A中的任意一个时间t,按照图中曲线,在 数集B中都有唯一确定的面积S和它对应
A={1991,1仿992照,199实3,19例94,(1919)5(,1299)6，,199试7,1恩描998格,述19尔9上9,2系0表00数,2中001} B={53.8, 恩52.9格, 50尔.1, 4系9.9,数48.6和, 46时.4, 4间4.5,(4年1.食 9,)的3物9.2关,支37系出.9} 金. 额
总支出金额
2019/11/3
17
A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001} B={53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}

例2 不是单射,是满射;
例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.
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映射又称为算子. 根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名 称. 如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.
从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X 上的函数.
开区间 闭区间
半开区间
和
称a,b为区间的端点，
称b－a为这些区间的长度.
以上这些区间都称为有限区间.
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引进记号： + ∞ －∞ ∞
无限区间
（读作正无穷大） (读作负无穷大） （读作无穷大）
用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.
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邻域
(1) 设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为 U(a,δ)，即
定义域 D=(－∞,+∞), 值域 =Z.
5 7
0.
y
4321
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3
-4
阶梯曲线
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例9 函数
y
f (x)
2
x ,0 x 1
1 x, x 1
是一个分段函数.
它的定义域 D=[0,+∞).
如:
y
1 [0,1], f 1 2 1 2;
例如,在由方程 x 2 y 2 a 2 给出的对应法则中,附加“
的条件, 就可得到一个单值分支
y y1 a2 x2 .
表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.

函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数

3
图像和原像的关系
图像和原像之间存在一对多或多对一的关系，取决于映射的特性。
函数的定义和性质
什么是函数?
函数是一种特殊的映射，它 将定义域中的每个元素映射 到值域中唯一的元素。
函数的性质
函数具有单调性、有界性和 奇偶性等重要性质，可应用 于各个领域。
示例
举例说明具体函数的定义和 性质，在实际问题中的应用。
映射与函数的关系
1 映射与函数的相同点
映射和函数都是描述元素之间的对应关系，具有相似的数学概念和性质。
2 映射与函数的不同点
映射是一个更普遍的概念，而函数是一种特殊的映射。
3 映射与函数的交叉应用
通过具体案例来展示映射和函数在高等数学中的应用。
映射与函数在高数中的应用
微积分
映射和函数是微积分中研究函数 极限、导数和积分等重要工具。
高数课件映射与函数
欢迎来到高数课件映射与函数的世界！本课程将带你深入了解映射和函数的 定义、性质以及它们在高等数学中的应用。准备好开始探索吧！
映射的定义和性质
1 什么是映射?
映射是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
2 映射的性质
映射可以是单射、满射或双射，具有重要的代数和几何意义。
图论
映射和函数被广泛应用于图论中 的图的表示和性质研究。
最优化问题
映射和函数为解决最优化问题提 供了数学建模的基础。
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是复合函数?
复合函数是将两个函数结合在 一起形成一个新的函数。
复合函数的性质
复合函数的定义域和值域取决 于两个函数的定义域和值域。
示例
通过具体的数学表达式和图形 展示复合函数的概念和性质。

义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1

映 射
A,B 是 非 空 数 集
f是A→B的映射 是 的映射 10、A,B非空 非空 中的任一元素在f 20、A中的任一元素在 中的任一元素在 法则对应下， 法则对应下，在B中总有 中总有 唯一的元素与之对应 f是 是 的一一映射 f是A→B的 是 A→B的一一映射 的 0、是映射 10、映射 1 20、 A中 元素， 中 元素，B 20、A,B非空 非空 B中 中有 中的任一元素在 的 中 30、A中的任一元素在 一 中的任一元素在f 元素 有 法则对应下， 法则对应下，在B中总有 中总有 唯一的元素与之对应 A 4 0、 C 的 C ⊆ B
练习： 练习： 是从A到 的一个映射 的一个映射， 设“f：A→B”是从 到B的一个映射， ： 是从 其中A=B={(x,y)|x,y∈R}，f(x,y)→ 其中 ∈ ， 中的元素(1,－ 的象是 （X+y,xy)则A中的元素 －2)的象是 则 中的元素 ＿＿＿＿＿＿；B中的元素 中的元素(1,－ 的 ＿＿＿＿＿＿； 中的元素 －2)的 原象是＿＿＿＿＿＿。 原象是＿＿＿＿＿＿。
C可以有两个或两个以上 可以有两个或两个以上 D至多一个 至多一个
已知A＝ 例2 已知 ＝{1,2,3,k}, B＝{4,7,a4,a2+3a}, ＝ a∈N＊，x∈A，y∈B， ∈ ∈ ， ∈ ， f：x→y=3x+1是从定义域 到值 ： 是从定义域A到值 是从定义域 的一个函数， 域B的一个函数，求a、k、A、B。 的一个函数 、 、 、 。
1 B.A=R,B={0,1},对应法则 ：x→ y = 0 对应法则f： 对应法则 x≥0 x<0
C.A=B=R,对应法则 ：x→ y = ± x 对应法则f： 对应法则 D. A=R,B={x|x>0},对应法则 对应法则 f：x→y=log2(1+x2) ：

y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
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x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
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映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
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4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.

描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).

值域
又如, 绝对值函数
定义域
值 域
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.
对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
*
例4. 已知函数
解:
及
写出 f (x) 的定义域及值域, 并求
f (x) 的定义域
值域
*
2. 函数的几种特性
设函数
且有区间
(1) 有界性
使
称
使
称
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .
映射又称为算子.
名称. 例如,
*
定义域
三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集
则称映射
为定义在
D 上的函数 ,
记为
称为值域
函数图形:
自变量
因变量
*
(对应规则)
(值域)
(定义域)
例如, 反正弦主值
定义域
对应规律的表示方法:
解析法
、图象法
、列表法
使表达式或实际问题有意义的自变量集合.
定义域
第一章
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数与极限
*
第一章
二、映射
三、函数
一、集合
第一节
映射与函数
*
元素 a 属于集合 M , 记作
元素 a 不属于集合 M , 记作
一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1.
具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
注意:
1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域.

奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应

在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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Байду номын сангаас
指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01

映射
A 求正弦B
1
30
2
45
2
2
3
60
2
90
1
在上述映射中，A中元素30的象是什么？B中元素 1 的原
2
象是什么？ 30 的象是 12，12 的原象30.
2.映射的性质 （1）A中元素在集合B中都有唯一的象 集合B中元素在A中不一定有原象；
（2）f : A B 与 f : B A 是不同的
（3）象的集合C是集合B的子集．
映射
3．一 一映射
一般地，设A，B是两个集合，f : A B
是集合A到集合B的映射，如果在这个映 射下，对于集合A中的不同元素，在集合 B中有不同的象，而且B中每一个元素都 有原象，那么这个映射叫做A到B上的 一一映射．
典型例题
例1.填空：
(1)从R到R的映射 f : x x 1， 则R中的-1在 R 中的象是__2___；
中的4在R中的原象是_±__3__．
(2)在给定的映射
f :(x, y) (x y, x y)
下，则点(1,2)在 f 下的象是(_3_,__1_)，
点 (1,2) 在 f 下的原象是_( 23__,_1_2_) ．
(3) f : A B是集合A到集合B的映射，
A B R ， f : x x2 2x 1
映射与函数
新授课
映射
1．映射
一般地，设A, B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ， 对于集合A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应，那么这样的对应(包括集合 A, B 及 A 到B 的对应法则 f ) 叫做集合A 到集合B 的映射，记作
f :AB 1．象与原象 给定一个集合A到集合B的映射，且a A,b B ．如果元素 a与元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫 做元素b 的原象．

三
映射(Mapping)
1 映射概念
设 X ,Y 是两个非空集合，如果 存在一个法则 f ， 使得对 X 中每个元素 x ，按法则 f,在 Y 中有唯一的 确定的元素 y 与之对应，则称 f 为 X 从 Y 到的映射，
记作 f :X Y , 其中 y 称为元素的像，并记为 f(x ), 即 y f(x )
o
a
o b
x x
注:
2019/2/18
两端点间的距离称为区间的长度.
玉不琢，不成器；人不学，不知道 （持续更新，敬请收藏） 5
3 邻域 设 a 与 是两个实数 ,且 0 .
数集 { x x a } 称为点 a 的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
记作


U ( a , ) { x a x a } .
a
a
a
x
ˆ( 点 a 的去心的 邻域 , 记作 U a ,)
ˆ U ( a , ) { x 0 x a } .
2019/2/18 玉不琢，不成器；人不学，不知道 （持续更新，敬请收藏） 6
2满射、单射和双射 设 f为 X 从到 Y 的映射 ,若 R ,即 Y 中任一元素 y 都 f Y (如例 1 非满射、非单射）
是 X 中某元素的像，则称 f为 X 从到 Y 上的映射或满射
若 X 中任意两个 x 不 x 同 ,都 元 有 f(x 素 )f(x ), 1 2 1 2
则称 f 为 X 从到 Y 的单 ( 如 射例 2 ； 是满射，不是单
的定义域 D ，记作 f,
而元 x 称 素 为y 元 的素 一个原 X 像 称 ； 为 集 f 映 合 射