函数概念与基本初等函数(课件PPT)
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函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
函数的概念与基本初等函数函数 模型及其应用课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
函数与基本初等函数课件
• 【答案】 B
• (等2)式若中lo正ga确(π的－是3)(<log)b(π－3)<0，a，b是不等于1的正数，则下列不
• A．b>a>1
B．a<b<1
• C．a>b>1
D．b<a<1
• 【解析】 ∵0<π－3<1，loga(π－3)<logb(π－3)<0，
• ∴a，b∈(1，＋∞)，且b>a，∴选A.
(2)log67，log76；
(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
(4)若 0<a<b<1，试确定 logab，logba，log1a，log1b 的大
b
a
小关系．
【解析】
(1)log
1 2
0.34
＝
log20.34
－
1
＝
log2
100 34
<log23<log23.4. (2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1，
课前自助餐 授人以渔 自助餐 题组层级快练
课前自助餐
• 1．对数
• (1)对数的定义．
• 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即
底N的对数，记作
.
• •
(①2)a对log数aN恒＝等式(．a>0且a≠1，N>0)．logaN＝b
• ②logaab＝ (a>0且a≠1，b∈R)．
N
，那么数b叫做以a为
【答案】
(1)1
(2)－14
2＋a＋ab (3) 2a＋ab
• 探究1 在对数运算中，要注意以下几个问题：
第二章 函数概念与基本初等函数(文数) 第1讲
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)x2＋2x＋1
基础诊断 考点突破 课堂总结
ex－1，x＜1， 1 【例 3】(1)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝ x3，x≥1， 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.
x－1 2 －2，x≤1， (2)(2015· 全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)＝ －log2（x＋1），x＞1，
基础诊断
考点突破
课堂总结
[易错防范]
1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法， 同 时要注意函数的定义域，如已知 f( x)＝x＋1，求函数 f(x)的解 析式时，通过换元的方法可得 f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域 是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞). 2.求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值 f(x0)时，首先要 判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.
(5)分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不 同的 对应法则 ，这种函数称为分段函数.
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域 的 并集 ，值域是各段值域的 并集 .
基础诊断 考点突破 课堂总结
2.函数定义域的求法
类型 2n f（x），n∈N* x 满足的条件 f ( x) ≥0
函数，记作y＝f(x)，x∈A.
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数
的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (3)函数的三要素是：定义域 、 值域 和对应关系. (4)表示函数的常用方法有：列表法 、图象法 和解析法.
数学版课件第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲
设A，B是两个_非__空___集__合__
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于 如果按某一个确定的对应关系f，使对于
集合A中的__任___意___一个数x，在集合B中 集合A中的__任__意___一个元素x，在集合B 都有__唯___一__确__定____的数f(x)和它对应 中都有__唯___一__确__定____的元素y与之对应
(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x， 整理得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，
由恒等式原理知2aa＋－b2＝＝00，⇒ab＝ ＝1－，1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
答案 (1)－34 (2)[e＋4，＋∞)
角度3 分段函数与不等式结合
【例 3－3】 (1)已知函数 f(x)＝x12，＋x1<，0，x≥0，则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值 范围是________. (2)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0，则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值范围是________.
解 (1)法一 设 t＝ x＋2，则 x＝t－2，
即x＝(t－2)2(t≥2)，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4， ∴f(x)＝x2－4(x≥2).
法二 ∵f( x＋2)＝( x＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2).
(2)设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1(t>1)，∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x>1). (3)由 2f(x)＋f 1x＝2x ①， 将 x 换成1x，则1x换成 x，得 2f 1x＋f(x)＝2x ②， ①×2－②，得 3f(x)＝4x－2x，得 f(x)＝43x－32x.
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于 如果按某一个确定的对应关系f，使对于
集合A中的__任___意___一个数x，在集合B中 集合A中的__任__意___一个元素x，在集合B 都有__唯___一__确__定____的数f(x)和它对应 中都有__唯___一__确__定____的元素y与之对应
(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x， 整理得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，
由恒等式原理知2aa＋－b2＝＝00，⇒ab＝ ＝1－，1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
答案 (1)－34 (2)[e＋4，＋∞)
角度3 分段函数与不等式结合
【例 3－3】 (1)已知函数 f(x)＝x12，＋x1<，0，x≥0，则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值 范围是________. (2)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0，则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值范围是________.
解 (1)法一 设 t＝ x＋2，则 x＝t－2，
即x＝(t－2)2(t≥2)，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4， ∴f(x)＝x2－4(x≥2).
法二 ∵f( x＋2)＝( x＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2).
(2)设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1(t>1)，∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x>1). (3)由 2f(x)＋f 1x＝2x ①， 将 x 换成1x，则1x换成 x，得 2f 1x＋f(x)＝2x ②， ①×2－②，得 3f(x)＝4x－2x，得 f(x)＝43x－32x.
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
例2：求下面对数式中x 的取值范围.
lo2g x1x2
2x 1 0 解： 2 x 1 1
x 2 0
x 1 2
x1
x 2
x
x
1,且x 2
1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
例3：解方程.
lo2lgo4xg 0
解 所l： 以 to 4 x 2 0g t ,则 1,设 即 llo 2 ot4 gx0 g 1注 验 大意 证 于0： 真，一 数底定 是数要 否是
思考：你发现了什么？
lo a a g 1 a 0 ,且 a 1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
4.求下列各式的值：
12log28
2 3log327
3
1
log
18
2
2
猜想： a lo a N g ? a 0 ,且 a 1
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
对数的定义：
若ax N（a0,a1） ,则数 x叫做
以a为底 N的对数，x记 lo作 ga N,
其中 a为底数N为 ，真.数loga N
指数
对数
幂
真
ax N
数 loga Nx
ax N
xloga N
等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
对数的性质：
1零和负数没有对数
2 lo a 1 0 g a 0 ,且 a 1 3 lo a a 1 g a 0 ,且 a 1
二常用函数与基本初等函数一 .ppt
(5)x [3, 0) (0, 3) 2
例2.求下列函数的值域
jbhs.gsp
(1) y 1 5 3 2 cos x
(3)
y
1 x2 1
1
(5)
y
2 x2 1
(2) y 2 1 sin x
(4) y 1 2 cos x 1
结论：
jbhs.gsp
(1)若a b 0，a x b； 1 1 1 bxa
(ⅱ)
logam
an
n. m
(5)"loga N "是一个实数，且aloga N N.
例2. log3 1 3ln e lg1000 eln2 log9 27 log2 2 2 ——————
(6) a 0,a 1时，loga x c x ac； a 1时， loga x c x ac ,
jbhs.gsp
（1）y ln x 1 3ln x 2
（3）y 1 cos x 2 cos x 1
（2）y 2sin x 3 2sin x
（4）y 1 2ex ex 2
【3】形如y ax b (a b 0)的函数 x
1. 图象是以原点为中心（奇函数）, 以x轴及直线y=ax为渐近线的双曲线；
例3.已知函数f (x) ax2 (a 3)x b， (1)若f (x)在区间( ,1)上单调递减， 则实数a的取值范围是------------------------- .
(2)若a 0，x1, x2是函数f (x)的两个零点, 且x1 1 x2，则实数b的取值范围是-----------
(h m n) 2
函数的概念与基本初等函数函数与方程课件文ppt
函数的概念与基本初等函数函数与 方程课件文ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 函数的概念 • 基本初等函数 • 函数的应用 • 方程的概念与解法 • 基本初等函数与方程的关系
01
函数的概念
函数定义与性质
函数定义
函数是一种从输入到输出的映射关系，输入被称为自变量，输出被称为因变 量。函数通常被表示为一个数学表达式或表格。
含有多个未知数的方程，如 x + y z = 0。
方程的解法与技巧
代数法
通过化简、变形、替换等代数技巧求解方 程。
公式法
对于一些特殊类型的方程，可以使用公式 直接求解。
图解法
对于一些一元二次方程，可以通过画图的 方式求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的解。
方程的应用与实例
1 2
工程问题
在工程设计中，经常需要使用方程来描述和解 决实际问题，如力学、流体力学等。
函数性质
函数具有唯一性、可逆性、有界性、连续性等性质。
函数的定义域与值域
定义域
函数中自变量的取值范围被称为定义域。
值域
函数中因变量的取值范围被称为值域。
函数的类别与关系
类别
根据函数的定义和性质，函数可以分为线性函数、二次函数 、指数函数、对数函数等类别。
关系
函数之间存在一些基本的关系，如加法、减法、乘法、除法 等运算，以及一些特定的函数关系，如正比、反比、对数等 关系。
在极值点处，函数的值会发生变化，这个变 化的值即为极值。
最值点
最值
在定义域内，函数可以取到的最大或最小值 点。
在最值点处，函数的值达到定义域内的最大 或最小值。
函数的优化与改进
函数的优化
xx年xx月xx日
目 录
• 函数的概念 • 基本初等函数 • 函数的应用 • 方程的概念与解法 • 基本初等函数与方程的关系
01
函数的概念
函数定义与性质
函数定义
函数是一种从输入到输出的映射关系，输入被称为自变量，输出被称为因变 量。函数通常被表示为一个数学表达式或表格。
含有多个未知数的方程，如 x + y z = 0。
方程的解法与技巧
代数法
通过化简、变形、替换等代数技巧求解方 程。
公式法
对于一些特殊类型的方程，可以使用公式 直接求解。
图解法
对于一些一元二次方程，可以通过画图的 方式求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的解。
方程的应用与实例
1 2
工程问题
在工程设计中，经常需要使用方程来描述和解 决实际问题，如力学、流体力学等。
函数性质
函数具有唯一性、可逆性、有界性、连续性等性质。
函数的定义域与值域
定义域
函数中自变量的取值范围被称为定义域。
值域
函数中因变量的取值范围被称为值域。
函数的类别与关系
类别
根据函数的定义和性质，函数可以分为线性函数、二次函数 、指数函数、对数函数等类别。
关系
函数之间存在一些基本的关系，如加法、减法、乘法、除法 等运算，以及一些特定的函数关系，如正比、反比、对数等 关系。
在极值点处，函数的值会发生变化，这个变 化的值即为极值。
最值点
最值
在定义域内，函数可以取到的最大或最小值 点。
在最值点处，函数的值达到定义域内的最大 或最小值。
函数的优化与改进
函数的优化
函数的概念与基本初等函数指数与指数函数课件文
函数的概念与基本初等函数指数与指数函数课件文ppt xx年xx月xx日•函数的概念与基本初等函数•指数函数•基本初等函数•指数与指数函数的运算性质及图像表示目•指数函数的应用实例录01函数的概念与基本初等函数函数是定义在非空数集之间的一种对应关系，对于每一个自变量x，都有唯一确定的因变量y与之对应。
函数定义函数的特性包括一元性、双射性、传递性、可计算性和普遍性。
函数的特性函数定义与特性定义域函数中自变量的取值范围。
值域函数中因变量的取值范围。
函数的定义域与值域符号表示法列表表示法图像表示法列出自变量与因变量的对应关系。
用坐标系上的图形表示函数。
03函数的表示方法02 01用函数符号f(x)表示一个函数。
02指数函数定义域指数函数的定义域是实数集，即x可以取任何实数。
函数定义指数函数是一种特殊的函数，它是指数运算和幂运算的结合体。
它的定义形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
值域指数函数的值域是正实数集，即f(x)的取值范围是正实数。
指数函数的定义1 2 3当a大于1时，指数函数是递增函数；当0小于a 小于1时，指数函数是递减函数。
递增性当a大于0时，指数函数是偶函数；当a等于0时，指数函数是奇函数。
奇偶性指数函数可以用于幂变换，即通过改变底数和指数来改变函数的值。
幂变换03社会学指数函数在社会学中也有应用，例如人口老龄化、城市化进程等。
01金融领域指数函数在金融领域中有广泛的应用，例如投资组合理论、期权定价模型等。
02自然科学指数函数在自然科学中也有很多应用，例如人口增长模型、化学反应速率等。
03基本初等函数幂函数是形如`y = x^n`（其中n为常数）的函数。
定义幂函数的图形在第一象限内为递增曲线，且当x>1时，函数值y随x的增大而增大。
性质幂函数在科学、工程和数学中都有广泛的应用，如物理学中的能量分布、统计学中的概率分布等。
应用幂函数三角函数是以角度为自变量，角度对应的正弦值、余弦值和正切值等为因变量的函数。
函数概念与基本初等函数Ⅰ 第六讲 函数与方程课件 高考理科数学复习讲义 考情解读 考点通关
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 2
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的个数 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的零点个数
Δ>0
有两个不相 等的实数根
有两个 零点
Δ=0
Δ<0
有两个相等 的实数根
无实数根
有一个二重 零点
无零点
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 3
a>0 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 8
【通关秘籍】
二分法求函数零点近似值的口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断.
函数与方程
返回目录
a<0
函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴的交点个数
Δ>0 有两个交点
续表
Δ=0
Δ<0
有一个交点
无交点
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 4
4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那 么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根. 【注意】在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
函数与方程
考查内容 函数的零点
考查频次 考查题型
高数课件1-2-初等函数
单调性是指函数在某点或某区间 上的增减性
单调性可以通过函数的导数来判 断
添加标题
添加标题添加标题添 Nhomakorabea标题单调性是初等函数的基本性质之 一
单调性在解决实际问题中具有重 要意义
周期函数的定义：对于任意x， f(x+T)=f(x)
周期函数的应用：在信号处理、 物理、工程等领域有广泛应用
添加标题
添加标题
旋转变换：将函 数图像绕原点旋 转一定角度
对称变换：将函 数图像沿x轴或y 轴翻转，形成对 称图形
轴对称：函数图像关于y轴对称 中心对称：函数图像关于原点对称 奇偶性：函数图像关于y轴对称，且关于原点对称 单调性：函数图像在某点处具有单调性，即函数值随自变量变化而变化
初等函数的图像是函数值的集合 图像的形状和位置由函数的解析式决定 图像的斜率表示函数的变化率 图像的拐点表示函数的极值点
微分性质：线性性、保号性、 可加性、可减性
微分定义：函数在某一点的 切线斜率
微分公式： d(f(x))=f'(x)dx
微分应用：求极限、求导数、 求积分、求极值等
求极限：通过导数可以求解函数的极限 求导数：通过微分可以求解函数的导数 求最大值和最小值：通过导数可以求解函数的最大值和最小值 求积分：通过微分可以求解函数的积分
极限的定义：函数在某点处的极限是指函数在该点附近的变化趋势
极限的性质：极限具有唯一性、局部性、保号性、有界性等性质
极限的存在性：函数在某点处的极限存在，当且仅当函数在该点附近的变化趋势趋于一个 确定的值
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用
连续性定义： 函数在某点处 连续，是指在 该点处有极限， 且极限值等于
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
逻辑思维 应用性 数学运算 数学运算
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
《函数基本初等函数》PPT课件
(3)幂函数 y＝xα 的图象和性质，分幂指数 α>0，α<0 两种 情况，只需掌握 α＝－1,1，12，2,3 时幂函数的图象和性质即可．
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4
第2讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 函数的性质的应用
例 1[2011·安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝________.
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7
第2讲 │ 要点热点探究
►
例2
探[2究01点1·山 二东卷 函]数函图数象的y＝分x2－析2判si断nx 的图象大致是(
)
C 【解析】 由 f(－x)＝－f(x)知函数 f(x)为奇函数，所以排除 A；
又 f′(x)＝12－2cosx，当 x 的取值从右侧趋向 0 时，f′(x)＜0，所以
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3
第2讲 │ 主干知识整合
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据 图象记忆性质)
(1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质分 0<a<1，a>1 两种情况，注意两种情况的公共性质．
(2)对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质分 0<a<1， a>1 两种情况，注意两种情况的公共性质，在对数计算中要特 别注意对数恒等式和对数的换底公式．
第2讲 函数、基本初等函数的
图象与性质
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1
第2讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数的概念及其表示 (1)函数包含对应关系、定义域和值域三要素． (2)函数的表示法有图象法、列表法和解析式法． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质． (2)奇偶性：偶函数图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点 对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数图象关于坐 标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同 的单调性．奇偶性是函数在定义域上的整体性质．
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4
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要点热点探究
► 探究点一 函数的性质的应用
例 1[2011·安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝________.
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►
例2
探[2究01点1·山 二东卷 函]数函图数象的y＝分x2－析2判si断nx 的图象大致是(
)
C 【解析】 由 f(－x)＝－f(x)知函数 f(x)为奇函数，所以排除 A；
又 f′(x)＝12－2cosx，当 x 的取值从右侧趋向 0 时，f′(x)＜0，所以
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4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据 图象记忆性质)
(1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质分 0<a<1，a>1 两种情况，注意两种情况的公共性质．
(2)对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质分 0<a<1， a>1 两种情况，注意两种情况的公共性质，在对数计算中要特 别注意对数恒等式和对数的换底公式．
第2讲 函数、基本初等函数的
图象与性质
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主干知识整合
1．函数的概念及其表示 (1)函数包含对应关系、定义域和值域三要素． (2)函数的表示法有图象法、列表法和解析式法． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质． (2)奇偶性：偶函数图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点 对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数图象关于坐 标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同 的单调性．奇偶性是函数在定义域上的整体性质．
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第一节 函数的概念及其应用
a=
.
答案 0或e
解析 当a≤0时,f(a)=a2+1=1,解得a=0,满足题意;当a>0时,f(a)=ln a=1,解得
a=e,满足题意.所以a=0或e.
规律方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的
解析式代入求参数;
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
由②-①可解得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
1 2
f(x)=3x -2x.
规律方法 求函数解析式的常用方法
考点三
分段函数(多考向探究预测)
考向1分段函数求值
log 3 -2, > 0,
4- 2
的定义域为(
)
ln (+1)
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
(2)(2023·河北石家庄高三检测)已知 f(√ + 1)的定义域为[0,3],则 f(x)的定义
域为
(3)已知
.
(2)
f(x+1)的定义域为[0,2],则
的定义域为
4.各段函数的定义域不可以相交.
常用结论
1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式 确定定义域的方法
列表法
表中实数x的集合
图象法
图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
解析法
.
答案 0或e
解析 当a≤0时,f(a)=a2+1=1,解得a=0,满足题意;当a>0时,f(a)=ln a=1,解得
a=e,满足题意.所以a=0或e.
规律方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的
解析式代入求参数;
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
由②-①可解得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
1 2
f(x)=3x -2x.
规律方法 求函数解析式的常用方法
考点三
分段函数(多考向探究预测)
考向1分段函数求值
log 3 -2, > 0,
4- 2
的定义域为(
)
ln (+1)
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
(2)(2023·河北石家庄高三检测)已知 f(√ + 1)的定义域为[0,3],则 f(x)的定义
域为
(3)已知
.
(2)
f(x+1)的定义域为[0,2],则
的定义域为
4.各段函数的定义域不可以相交.
常用结论
1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式 确定定义域的方法
列表法
表中实数x的集合
图象法
图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
解析法
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第2节-课件
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
课堂典例讲练
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
求函数的单调区间 (文)求出下列函数的单调区间： (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝log2(x2－1)． [思路分析] 注意(1)函数含有绝对值，故可将其转化为分 段函数并作出图像求解；(2)中的函数为函数y＝log2u， u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
第二章 函数与基本初等函数
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2．函数的最值
前 提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条 对于任意x∈I，都有
对于任意x∈I，都有
件 _f_(_x)_≤_M___；
f_(x_)_≥_M__；
存在x0∈I，使得f_(_x0_)_＝__M 存在x0∈I，使得f_(_x_0)_＝__M
6．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|1x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是________．
[答案] (－1,0)∪(0,1) [解析] 由函数 f(x)为 R 上的减函数且 f(|1x|)<f(1)，
得|1x|>1， x≠0，
即x|x≠|<10，. ∴0<x<1 或－1<x<0.
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
第二章 函数与基本初等函数
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高考目标导航
第二章 函数与基本初等函数
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考纲要求
1.理解函数 的单调性、最大 值、最小值及其 几何意义．
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第二章 函数概念与基本初等函数
知识点
考纲下载
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义
域和值域；了解映射的概念． 函数及其表
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 示
法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
了解简单的分段函数，并能简单应用.
单调性
理解函数的单调性及其几何意义． 理解函数最大值、最小值及其几何意义.
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的 图象可能是( )
答案：B
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)下列哪个函数与 y＝x 相等( )
A．y＝xx2
A．①③
B．②④
C．③④ 答案：C
D．②③
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
已知函数 f(x)＝ 2x＋1，若 f(a)＝5，则实数 a 的值为_______． 解析：f(a)＝ 2a＋1＝5，所以 2a＋1＝25，所以 a＝12. 答案：12
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)已知函数 f(x)＝xx((xx＋ －44))， ，xx≥ <00，，则 f(1)＋ f(－3)＝________． 解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21， 故 f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26. 答案：26
栏目 导引
(教材习题改编)下列对应关系：
第二章 函数概念与基本初等函数
①A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f：x→x 的
平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x 的倒数； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方．
其中是 A 到 B 的映射的是( )
广泛应用.
第二章 函数概念与基本初等函数
第 1 讲 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设 A，B 是两个非空的 设 A，B 是两个非空的
A、B _数__集___
_集__合___
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
函数
映射
如果按照某种确定的对应 如果按某一个确定的对应
第二章 函数概念与基本初等函数
知识点
考纲下载
奇偶性 结合具体函数了解函数奇偶性的含义.
了解指数函数模型的实际背景．
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意
义，掌握幂的运算． 指数函数
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，
掌握指数函数图象通过的特殊点．
知道指数函数是一类重要的函数模型.
第二章 函数概念与基本初等函数
B．y＝2log2x
C．y＝ x2
D．y＝(3 x)3
解析：选 D.y＝x 的定义域为 R，而 y＝xx2的定义域为
{x|x∈R 且 x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且 x>0}，排除 A、
B；y＝ x2＝|x|的定义域为 x∈R，对应关系与 y＝x 的对应关系
不同，排除 C；而 y＝(3 x)3＝x，定义域与对应关系与 y＝x 均相 同，故选 D.
关系 f，使对于集合 A 中 关系 f，使对于集合 A 中 对应关系 的__任__意__一个数 x，在集 的_任__意___一个元素 x，在 f：A→B
合 B 中都有唯一确定的数 集合 B 中都有唯一确定的
f(x)和它对应
元素 y 与之对应
称 f：A→B 为从集合 A 到 称对应 f：A→B 为从集合
第二章 函数概念与基本初等函数
知识点
考纲下载
了解幂函数的概念．
幂函数
结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x21的图 象，了解它们的变化情况.
函数的图象 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根
的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 函数与方程
根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程
的近似解.
第二章 函数概念与基本初等函数
知识点
考纲下载
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特
征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函
函数模型 数类型增长的含义．
及其应用
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、
分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的
知识点
考纲下载
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式
能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数
在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性， 对数函数
掌握对数函数图象通过的特殊点．
知道对数函数是一类重要的函数模型．
了解指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数
y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数.
名称
集合 B 的一个函数
A 到集合 B 的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应 f：A→B 是一个映射
栏目 导引
2．函数的有关概念
第二章 函数概念与基本初等函数
(1)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：_解__析___法__、图象法、列表法．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝a 最多有 2 个交点．( × ) (2)函数 f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t 是同一函数．( √ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函 数．( × ) (4)若 A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系 f 是从 A 到 B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值 域的并集．( √ )
集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素：_定__义__域___、_值__域___和__对__应__关__系__． (3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和_对__应__关__系___完全一致，
则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
知识点
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了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义
域和值域；了解映射的概念． 函数及其表
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 示
法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
了解简单的分段函数，并能简单应用.
单调性
理解函数的单调性及其几何意义． 理解函数最大值、最小值及其几何意义.
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的 图象可能是( )
答案：B
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)下列哪个函数与 y＝x 相等( )
A．y＝xx2
A．①③
B．②④
C．③④ 答案：C
D．②③
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第二章 函数概念与基本初等函数
已知函数 f(x)＝ 2x＋1，若 f(a)＝5，则实数 a 的值为_______． 解析：f(a)＝ 2a＋1＝5，所以 2a＋1＝25，所以 a＝12. 答案：12
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)已知函数 f(x)＝xx((xx＋ －44))， ，xx≥ <00，，则 f(1)＋ f(－3)＝________． 解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21， 故 f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26. 答案：26
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(教材习题改编)下列对应关系：
第二章 函数概念与基本初等函数
①A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f：x→x 的
平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x 的倒数； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方．
其中是 A 到 B 的映射的是( )
广泛应用.
第二章 函数概念与基本初等函数
第 1 讲 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设 A，B 是两个非空的 设 A，B 是两个非空的
A、B _数__集___
_集__合___
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数
映射
如果按照某种确定的对应 如果按某一个确定的对应
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知识点
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奇偶性 结合具体函数了解函数奇偶性的含义.
了解指数函数模型的实际背景．
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意
义，掌握幂的运算． 指数函数
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，
掌握指数函数图象通过的特殊点．
知道指数函数是一类重要的函数模型.
第二章 函数概念与基本初等函数
B．y＝2log2x
C．y＝ x2
D．y＝(3 x)3
解析：选 D.y＝x 的定义域为 R，而 y＝xx2的定义域为
{x|x∈R 且 x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且 x>0}，排除 A、
B；y＝ x2＝|x|的定义域为 x∈R，对应关系与 y＝x 的对应关系
不同，排除 C；而 y＝(3 x)3＝x，定义域与对应关系与 y＝x 均相 同，故选 D.
关系 f，使对于集合 A 中 关系 f，使对于集合 A 中 对应关系 的__任__意__一个数 x，在集 的_任__意___一个元素 x，在 f：A→B
合 B 中都有唯一确定的数 集合 B 中都有唯一确定的
f(x)和它对应
元素 y 与之对应
称 f：A→B 为从集合 A 到 称对应 f：A→B 为从集合
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知识点
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了解幂函数的概念．
幂函数
结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x21的图 象，了解它们的变化情况.
函数的图象 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根
的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 函数与方程
根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程
的近似解.
第二章 函数概念与基本初等函数
知识点
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了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特
征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函
函数模型 数类型增长的含义．
及其应用
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、
分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的
知识点
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理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式
能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数
在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性， 对数函数
掌握对数函数图象通过的特殊点．
知道对数函数是一类重要的函数模型．
了解指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数
y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数.
名称
集合 B 的一个函数
A 到集合 B 的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应 f：A→B 是一个映射
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2．函数的有关概念
第二章 函数概念与基本初等函数
(1)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：_解__析___法__、图象法、列表法．
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第二章 函数概念与基本初等函数
3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝a 最多有 2 个交点．( × ) (2)函数 f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t 是同一函数．( √ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函 数．( × ) (4)若 A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系 f 是从 A 到 B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值 域的并集．( √ )
集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素：_定__义__域___、_值__域___和__对__应__关__系__． (3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和_对__应__关__系___完全一致，
则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．