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2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．
2.i是虚数单位，复数6+7i
1+2i
=________．
3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．
4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．
5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需
选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．
6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．
7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的
交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．
8.若cosα=1
3
(0<α<π)，则sin2α=______．
9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x) ef(ln x)的解集为_____． 10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____． 11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实 数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________． 12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =1 3则1 a+2b +1 2a+b 的最小值为 ． 13. 若函数f(x)=1 6(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分） 15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ． (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π 2]上的最大值和最小值． 16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边 形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ； (Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积． 17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F 在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积． (1)求V(x)的表达式； (2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值． 18. 已知椭圆x 2 a 2+y 2 b 2 =1(a >b >0)离心率为1 2，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程； (2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围． 19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n (n+12 )a n +2n (n ∈N ∗) (1)设b n =2n a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)设c n =1 n(n+1)a n+1 ，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−1 4m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求 m 得范围． 20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+4 27． (1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围； (2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23 ． 27 【答案与解析】 1.答案：{0,1，2，3} 解析： 先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值． 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}， B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}， ∴A∪B={0,1，2，3}． 故答案为：{0,1，2，3}． 2.答案：4−i 解析： 本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题． 解：6+7i 1+2i =(6+7i)(1−2i) (1+2i)(1−2i) =6+14+7i−12i 5 =20−5i 5 =4−i． 故答案为4−i． 3.答案：5 解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5． 4.答案：2 解析： 本题考查了方差的公式，属于基础题． 将数据直接代入方差计算公式可得答案． 解：因为样本平均数x=7+8+10+11+9 5 =9， 故方差s2=1 5 [(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+ (10−9)2+(7−9)2]
