2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷(一)数学(理)试题(解析版)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（一）模拟测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|24,}A x x x =-≤≤∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A ．{0,2,4}B ．{2,0,2,4}-C ．{2,2,4}-D ．{2,4}【答案】B【解析】注意集合B 是偶数集. 【详解】由题可知{2,0,2,4}A B ⋂=-． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．设复数2z ai =+，若z z =，则实数a =（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【解析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案. 【详解】因为z z =，所以22ai ai +=-，解得0a =． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 3．设命题p ：存在3,3a a a ∈>R ，则p ⌝为（ ） A ．存在3,3a a a ∈≤R B ．不存在3,3a a a ∈>R C ．对任意3,3a a a ∈≤R D ．对任意3,3a a a ∉≤R【答案】C【解析】,()x M p x ∃∈的否定为,()x M p x ∀∈⌝. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，知“存在3,3a a a ∈>R ”的否定为“对任意3,3a a a ∈≤R ”.故选：C. 【点睛】本题考查含量词命题的否定，考查学生对特称命题否定的理解，只需将存在改为任意，“>”改为“≤”即可. 4．222cos cos 105ππθθ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．12B ．2C ．1D ．32【答案】C 【解析】注意到2()5210πππθθ-=-+，结合同角三角函数的基本关系即可得到答案. 【详解】22222cos cos cos cos 10510210πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22cos sin 11010ππθθ⎛⎫ ⎪⎝⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭⎭.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到配角的知识，是一道容易题.5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.6．已知直线10ax y +-=将圆22:(1)(2)4C x y -++=平分，则圆C 中以点,33a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为中点的弦的弦长为（ ）.A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由直线平分圆可知其过圆心，从而求得a ，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定理求得半弦长，进而得到弦长. 【详解】直线10ax y +-=平分圆C ，∴直线10ax y +-=过圆C 的圆心()1,2C -，210a ∴--=，解得：3a =，∴圆心()1,2C -到点,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1=，∴所求弦长为=.故选：C . 【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连线垂直于弦.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③43f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】依次对①②③进行验证即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，①正确；令()0f x =，得0x =或sin 0x =，解得0x =或x π=±，②正确：因为42483236f f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯=<=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以③正确． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的基本性质，涉及到函数的奇偶性、函数的零点、函数值大小，是一道容易题.8．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2p y =-与C 交于A ，B 两点，若||AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】注意到直线2py =-过点H ，利用||||AM AH =tan AHM ∠=||AH =||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案. 【详解】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直 线32p y x =-过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3,||2AM AH =又43||3AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、多选题9．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】ABC【解析】根据统计图表分别对选项A 、B 、C 、D 验证即可. 【详解】私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，A 错误；这5次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B 错误； 因为4.914.121.43044.723.025++++=，故C 项错误，D 项显然正确． 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表与用样本估计总体，涉及到中位数、平均数等知识，是一道基础题. 10．若1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈，则（ ）A ．01a =B ．00a =C ．10012103a a a a ++++=D ．012103a a a a ++++=【答案】AC【解析】根据选项的特点，采用赋值法求解. 【详解】 因为1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈，令0x =得01a =，故A 正确. 令1x =得10012103a a a a ++++=，故C 正确.故选:AC 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值法，属于中档题.，11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（ ）A ．异面直线1AB 与11B D 所成角的余弦值为225B ．异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35C ．1//A B 平面11BD C D ．点1B 到平面11BD A 的距离为125【答案】ACD【解析】根据11//A B D C ，得到11B D C ∠即为 异面直线1A B 与11B D 所成角，再用余弦定理求解判断A ，B 的正误.根据11//A B DC ;利用线面平行的判定定理判断.C 的正误..利用等体积法，有111111B A BD B A BD V V --= 计算判断D 的正误. 【详解】因为11//A B D C ，所以11B D C ∠即为 异面直线1A B 与11B D 所成角， 又因为111142,5,5B D D C B C === ，所以222111111111c 22os 25B D DC B C BD C B D D C +-∠==⨯，故A 正确.因为111//,A B D C A B ⊄平面11B D C 1D C ⊂平面11B D C ， 所以1//A B 平面11B D C ，故C 正确.因为111111B A B D B A BD V V --= ， 即1111111111113232A B A D B B A B A D h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ， 解得125h =，故D 正确. 故选:ACD 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，线面平行的判定定理，等体积法求三棱锥的高，综合性强，属于中档题.12．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（ ）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦【答案】AD【解析】若()0f m >，()1ln[()]2()22f m f m f m -<<-，不满足题意；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解不等式()0f m ≤即可.【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-． 若()0f m >，则()1ln[()]222f m f m -=-，∵ln 1x x ≤-，2x x >， ∴ln 23x x -≤-，112122x xx -<-<-，∴1ln 23122xx x x -≤-<-<-，∴方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解()0f m ≤即可， 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=． 故选：AD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合，涉及到分类讨论思想在分段函数中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.三、填空题13．曲线1()e xf x x=+在1x =处的切线斜率为_________． 【答案】e 1-【解析】利用导数的几何意义即可解决. 【详解】∵21()e xf x x '=-，∴'(1)e 1f =-．由导数的几何意义知曲线1()e x f x x=+在1x =处的切线斜率为e 1-． 故答案为：e 1- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若12AF AB nAD =+，则n =_________．【答案】34【解析】1()2AF AD AE =+，将12=+=+AE AB BE AB AD 代入即可得到答案.【详解】连接AE ，11113()22224AF AD AE AD AB AD AB AD ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭， 则34n =． 故答案为：34. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.15．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，则双曲线C 的焦距为__________.【答案】【解析】设()00,P x y ，利用斜率乘积为1和P 在双曲线上可构造方程组求得2b ，进而得到2c ，求得焦距. 【详解】由双曲线方程知：()2,0A -，()2,0B ， 设()00,P x y ，则200020001224PA PBy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，即2204x y -=，又2200214x y b-=，24b ∴=，2228c a b ∴=+=，∴双曲线C 的焦距为2c =.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.四、双空题16．已知圆锥SC 的底面半径、高、体积分别为2、3、V ，圆柱OM 的底面半径、高、体积分别为1、h 、V ，则h =_________，圆锥SC 的外接球的表面积为_________． 【答案】41699π【解析】利用圆锥和圆柱的体积相等可得圆柱的高h ，再利用勾股定理，即222(3)2R R -+=即可得到半径R ，从而求得外接球表面积.【详解】依题有221231,3V h ππ=⨯⨯=⨯⋅解得4h =．设圆锥SC 的外接球的半径为R ，则有222(3)2R R -+=，解得136R =，则圆锥SC 的外接球的表面积为213169469ππ⎛⎫=⎪⎝⎭． 故答案为： (1) 4 ； (2) 1699π. 【点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积以及圆锥的外接球问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.五、解答题17．在①34b a =，②333a b =，③224a b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断{}n c 是否是递增数列，请说明理由．已知{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是正项等比数列，111a b ==，__________，*()n n n c a b n =∈N ．判断{}n c 是否是递增数列，并说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析【解析】只需分别对所选番号进行等差、等比数列基本量的运算，得到n c ，再作商1n n c c +与1比较大小即可. 【详解】因为{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，所以11n a n n =+-=． 设{}n b 的公比为q ，若选①，由34b a =，得11344,2,2,2n n n n b a q b c n --=====⋅，1121(1)22(1)n n n n c n n c n n -+⋅==<+⋅+，则1n n c c +<，所以{}n c 是递增数列． 若选②，由3333a b ==，得31,1,1,n n b q b c n ====， 则11n n c n c n +=<=+，所以{}n c 是递增数列． 若选③，由2242a b ==，得211111,,,2222n n n n nb q bc --====， 11221(1)21n n n n c n nc n n -+⋅==+⋅+，则1n n c c +≥，所以{}n c 不是递增数列．【点睛】本题考查等差、等比数列的基本量的计算，是一道开放性试题，属于容易题. 18．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21sin cos 22A A A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ，周长为3a ，求a 的值． 【答案】（1）3π（2）1a = 【解析】（1）21sin cos 22A A A π⎛⎫-=+⇒ ⎪⎝⎭22cos 1cos221222A A A +==+⇒sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解方程即可；（2）由1sin 2ABC S bc A ==△可得a bc =，由余弦定理以及周长为3a ，联立解方程组即可. 【详解】（121sin cos 22A A A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以22cos 1cos221222A AA +==+，即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2,623A A πππ-==．（2）因为1sin 2ABC S bc A ===△，所以a bc =． 又因为2222222cos()3,33a b c bc b c bc b c bc a b c a π=+-=+-=+-++=，所以222,43b c a a a a +==-，解得1a =或0a =（舍），故1a =． 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ．（2）若E 是BM 的中点，CD ∥,2AB CD AB =，求平面ECD 与平面ABM 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）55【解析】（1）要证AM ⊥平面ABCD ，只需证AD AM ⊥，AB AM ⊥即可； （2）分别求出平面ECD 与平面ABM 的法向量,m n ，然后利用||cos ||||m n m n θ⋅=⋅计算即可. 【详解】（1）因为2228AB AM BM +==，所以AB AM ⊥， 同理2228AD AM DM +==可得AD AM ⊥． 因为AD AB A ⋂=，所以AM ⊥平面ABCD ．（2）因为AB AD ⊥，所以AD 、AM 、AB 两两垂直，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为2AB AM AD ===，所以(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A D M B ， 因为E 是BM 的中点，所以(0,1,1)E ， 因为,2CD AB CD AB =∥，所以(2,0,1)C ． 所以(2,1,0),(0,0,1)CE DC =-=， 设平面ECD 的一个法向量为()111,,m x y z =，由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y z m CE x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，得111020z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，得(1,2,0)m =．易知平面ABM 的一个法向量为(2,0,0)n AD ==，设平面ECD 与平面ABM 所成锐二面角的平面角为θ，所以||(1,2,0)cos 5||||1m n m n θ⋅===⋅，所以平面ECD 与平面ABM ． 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求二面角，考查学生的数学运算能力，此题解题关键是准确写出点的坐标，属于中档题.20．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值. 【答案】（1）4670x y +-=；（2）证明见解析【解析】（1）利用点差法可求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程；（2）设():2l y k x =+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出AB 中点坐标；当0k =时，易求得||||FN AB 的值；当0k ≠时，可得AB 垂直平分线方程，进而求得N 点坐标和FN ，利用弦长公式求得AB ，进而求得||||FN AB 的值；综合两种情况可知||||FN AB 为定值. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB 中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k -=+，()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k =时，AB =，2FN =，6FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，1AB ==)22113kk+=+，()22221613kFNABk+∴==+；综上所述：FNAB【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.21．已知函数()lnf x a x x=-，其中a为常数.（1）讨论函数()y f x=的单调性；（2）当a e=（e为自然对数的底数），[1,)x∈+∞时，若方程(1)()1b xf xx-=+有两个不等实数根，求实数b的取值范围.【答案】（1）当0a≤时，()f x在()0,∞+上单调递减；当0a>时，()f x在()0,a上单调递增，在(),a+∞上单调递减；（2）[)1,1-【解析】（1）分别在0a≤和0a>两种情况下，根据()f x'的正负确定()f x的单调性；（2）将问题转化为当[)1,x∈+∞时，()()21lne x x xg xx+-=与y b=有两个不同交点的问题，通过导数可求得()g x的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定b的范围.【详解】（1）由题意得：()f x定义域为()0,∞+，()1a a xf xx x-'=-=，当0a≤时，()0f x'<，则()f x在()0,∞+上单调递减；当0a>时，令()0f x'=，解得：x a=，∴当()0,x a∈时，()0f x'>；当(),x a∈+∞时，()0f x'<，()f x∴在()0,a上单调递增，在(),a+∞上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. （2）当a e =时，()1ln 1b x e x x x --=+有两个不等实根，方程可化为()21ln e x x x b x+-=， 令()()21ln e x x x g x x+-=，则()22ln x ex e e xg x x -++-'=， 令()2ln h x x ex e e x =-++-，则()222e x ex eh x x e x x-+-'=-+-=，当[)1,x ∈+∞时，22x ex e -+-20≤-<，即()h x '<0()h x ∴在[)1,+∞上单调递减， ()()11221h x h e e ∴≤=-+=-，且()220h e e e e e =-++-=()h x ∴在[)1,+∞上有且仅有一个零点x e =，∴当[)1,x e ∈时，()0h x >，即()0g x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在[)1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()()max 11g x g e e e ∴==+-=，()11g =-，由此可得()g x 图象如下图所示：则当[)1,x ∈+∞时，方程()()11b x f x x -=+有两个不等实数根等价于当[)1,x ∈+∞时，()g x 与y b =有两个不同交点，由图象可知：[)1,1b ∈-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.22．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）规定第1次从小明开始．（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，求随机变量X 的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第n 次由小芳投掷的概率n P ．【答案】（1）（ⅰ）3964（ⅱ）见解析，2716（2）1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【解析】（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为91364=，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数X 的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可；（2）若第1次从小芳开始，则第n 次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第1n -次由小芳投掷，第n 次继续由小芳投掷，2.第1n -次由小明投掷，第n 次由小芳投掷. 【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为91364=． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，1313333133944444444464P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，依题意，X 可取0，1，2，3， 所以1111(0)44464P X ==⨯⨯=，33113311321(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 39(2)64P X ==，3113(3)44464P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为所以12139327()01236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）若第1次从小芳开始，则第n 次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第1n -次由小芳投掷，第n 次继续由小芳投掷，其概率为111(2)4n n P P n -=； ②第1n -次由小明投掷，第n 次由小芳投掷， 其概率为()21113311(2)444n n n P P P n --⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭． 因为①②两种情形是互斥的，所以1211113313(2)44424n n n n n n P P P P P P n ---=+=+-=-+， 所以1111(2)222n n P P n -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．因为11P =，所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项， 12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题.。

100所名校高考模拟金典卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数232ii --等于A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{|0}3x B x x +=<-，则A B I 等于A ．{|21x x -<<或23}x <<B ．{}|23x x -<<C ．{}|3x x >D ．{}|2x x <-3．向量a b ⋅=-r r ||a =rb r 在向量a r 方向上的投影为 A ．6B ．3C ．－3D ．－64．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是A ．2()f x x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于A ．7B ．5C ．－5D ．－76．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于A ．135B ．270C ．10809．设函数2()sin()2cos 1(0)62f x x x πωωω=--+>，直线y =()y f x =图像相邻两交点的距离为π，则函数()y f x =在区间[]0,π上的单调增区间为A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F u u u u r 在1F P u u u r 方向上的投影的大小恰好为1||F P u u u r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是 ABC1D111．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．5212．已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f ，(2,(2))B f ，(3,(3))C f ，△ABC 的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．边长为2的正方体内切球的表面积为 ．14．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知：y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方 程为$y bx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限 为20年时，维修费用约为 万元．15．如图是一个长为4、宽为2的长方形，图中阴影部分是由曲线y =1(1)3y x =-，4x =及x 轴围成的图形．随机的向长方形内投入一点，则该点落入阴影部分的概率为： ． 16．（20XX 年·福建）数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r．（1）当a r ∥b r 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin 3B =，求()4cos(2)(0,)63f x A x ππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的取值范围． 18．（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1（2）若从年龄在[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1BC =，12BB =，190BCC ∠=o ，AB ⊥平面11BB C C ．（1）在棱1CC （不包含端点1,C C ）上确定一点E ，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（2）在（1）的条件下，若AB =求二面角11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率12e =，在x 轴负半轴上有一点B 且212BF BF =u u u u r u u u r ．（1）若过A 、B 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l '与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；（2）当0,0a b >>，求证：()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． （1）求证：AE AD =；（2）若6,4AB BC ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合．直线l 的参数方程为AA 1B 1C 1B CE1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于点P 、Q 两点，求||PQ 的值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|1|2f x x =-+，()|2|3g x x =-++． （1）解不等式()2g x ≥-；（2）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．4π 14．24.6815．234816．3018三、解答题 17．。

100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则A B =U （ ） A.{|22}x x -<< B.{|24}x x -≤≤ C.{|22}x x -≤≤D.{|24}x x -<„2.已知a 是实数，1(1)a a -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A.2D.13.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ） A.36.5B.30C.33D.274.已知1sin cos 2x x -=，则sin 2x =（ ）A.12 B.14C.345.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m -+-=相切，则实数m 的值为（ ） A.8B.7C.6D.56.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则|23|a b -=r r（ ）C.4D.57.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π8.（2019年全国Ⅰ卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A.516B.1132C.2132D.11169.对于函数(),y f x x =∈R ，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()f x 是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在|()|y f x =两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A.2sin 2x -B.2sin 2xC.2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭11.已知双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左、右焦点分别是12F F 、，P 为双曲线左支上任一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.)+∞B.C.(1,3]D.[3,)+∞12.若不等式2ln ax x x -„的解集中恰有两个整数，则实数a 的最大值为（ ） A.3-B.ln 333- C.1-D.ln 222- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x y ，满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++≤⎩……，则34z x y =-的最大值是____________. 14.若5()(1a x +的展开式中2x 项的系数是15，则a =_____________.15.在ABC △中，sin 5B =，45C =︒，点D 在边BC 的延长线上，AD =1CD =，则sin DAC ∠=____________，AB =____________.16.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，2PA PC ==，在这个四棱锥中放入一个球则球的最大半径为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是由正数组成的等比数列，且54a =-，29b =， 3218a b =-，4478.a b +=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c b a =-，求数列{}n c 的前n 项和.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥且22PC BC AD CD ====2PA =（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD .（2）若M 为侧棱PD 的中点，求二面角M AC D --的正弦值.19.已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中R x ∈. （1）当2πθ=时，判断函数()f x 是否有极值；（2）若,32ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，()f x 总是区间()21,a a -上的增函数，求a 的取值范围. 20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线l ，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程;（2）设O 为坐标原点,过点F 的直线l '与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.21.某省高考改革试点方案规定：从2017年秋季高中人学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩依照等比例转换法则，分别转换到[][91,100] [81,90] [71,80] [61,70]51,60、、、、、[41,50][31,40] [21,30]、、八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).（1）估计物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案,，从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望. （附：若随机变量()2~,Nξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954,(33)0.997P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程」在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线l 的参数方程为21x t y t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若||,| |,||PM MN PN 成等比数列，求a 和MN 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()||| 2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）()00,50x f x ∃∈-R …，求实数a 的取值范围. 答案参考一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 答案 B命题意图 本题考查集合的运算.解题分析 集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则{|24}A B x x =-U 剟. 2. 答案C命题意图 本题考查复数的概念与几何意义.解题分析 ()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，所以||z =3. 答案D命题意图 本题考查线性回归方程解题分析 回归方程y 1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(,)x y ， 故36.5y =，即1(452450)364y a =+++=，解得27a =. 4.答案 D命题意图 本题考查三角恒等变换. 解题分析 因为1sin cos 2x x -=， 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=， 所以3sin 24x =.5.答案B命题意图 本题考查抛物线的概念与性质. 解题分析 抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+， 由1x =-与圆相切，知()314r =--=，得916m +=，即7m =. 6.答案A命题意图 本题考查向量的数量积.解题分析 由题意可得||2a ==r 且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r ， 所以2a b ⋅=r r，由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==7.答案 D命题意图 本题考查多面体的体积.解题分析 从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体. 容易算得底面面积14433S ππ=⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 8.答案A命题意图 本题考查中国古代数学文化与独立重复试验的应用.解题分析 因为每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，每个爻是阳爻的概率是12， 故该重卦恰有3个阳爻的概率是3336115C 12216⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9.答案 B命题意图 本题考查函数的性质与充分、必要条件.解题分析 若函数()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，此时，|()||()|f x f x -=，因此|()|y f x =的图象关于y 轴对称， 但当|()|y f x =的图象关于y 轴对称时，未必推出|()|y f x =是偶函数， 如2y x =，|2|y x =的图象也关于y 轴对称，但2y x =并非偶函数，故“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是偶函数”的必要不充分条件. 10.答案A命题意图 本题考查三角函数的图象与性质. 解题分析()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 11.答案B命题意图 本题考查双曲线的概念与性质及基本不等式.解题分析 112222111222424PF PF a PF PF aPF aPF ==+++，因为1PF c a -…，当211212,444c a a a a PF aPF -=++剟，当且仅当12PF a =，1222PF PF 取最大值14a， 即2a c a -…，所以3e „； 当2c a a ->时，1222|PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3e ≤.归因导学 错→学12.答案D命题意图 本题考查导数与最值. 解题分析 由2ln ax x x -„，即ln xa x x-„恰有两个整数解， 令ln ()x g x x x =-，得221ln ()x x g x x--'=， 令2()1ln h x x x =--，易知()h x 为减函数.当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当,()1x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减.(1)1g =-，ln 2(2)22g =-，ln 3(3)33g =-. 由题意可得(3)(2)g a g <„，ln 3ln 23232a ∴-<≤-. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13. 答案4命题意图 本题考查简单的线性规划.解题分析 根据实数x y ，满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++≤⎩……，画出可行域， 设34z x y =-，如图，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，即max 304(1)4z =⨯-⨯-=.14.答案1命题意图 本题考查二项式定理.解题分析 由题意得2455C C 15a +=解得1a =.15.答案102命题意图 本题考查解三角形. 解题分析 在ADC △中，由sin sin AD DCACD DAC=∠∠，即1sin135sin DAC=︒∠，故sin DAC ∠=. 又因为()sin sin 45ADC CAD ∠=︒-∠==在ABD △中，sin sin AB ADADC B=∠∠，55=，即AB = 16.答案1命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切， 设球心为S ，连接SD SA SB SC SP 、、、、， 则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R .四棱锥的体积13P ABCD V -==四棱锥的表面积S表11222422=⨯+⨯⨯=+因为13P ABCD V S -=⨯表R ⨯，所以|31P ABCD V R S -====表.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.命题意图本题 考查数列的综合.解题分析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为等比数列的各项都不为0，3218a b =-，29b =，32a =-， 则公差5324(2)2d a a =-=---=-，1d =-，10a =，所以等差数列{}n a 的通项公式为1(1)0(1)(1)1n a a n d n n =+-=+-⋅-=-.所以1143a =-=-.因为4478a b +=，481b =，242b b q =，所以29q =因为0n b >，故0q >，所以3q =， 故等比数列{}n b 的通项公式为222933.n n n n b b q--==⋅= （2）由（1）知31nn n n c b a n =-=+-，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则()1313(01)33(1)132222n n n n n n n S +-+--=+=-+-. 18.命题意图 本题考查面面垂直与二面角.解题分析 （1）Q 在底面ABCD 中，AD BC AD CD ⊥∥，，且22BC AD CD ===2AB AC ∴==，BC =AB AC ∴⊥，又AB PC AC PC C AC ⊥=⊂Q I ，，平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ，又AB ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD .（2）2PA AC ==Q，PC =PA AC ∴⊥，又PA AB ⊥Q ，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .取BC 的中点E,则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直,∴可以分别以直线AE AD AP 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系,且由（1）知(0,0,2)AP =u u u r 是平面ACD 的一个法向量，设平面MAC 的一个法向量为()111,,n x y z =r ，因为0,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A，C ，所以0,2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，AC =u u u r ，因为00AM n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，所以111100y z +=⎨+=，解得1112,2,x y z ==-=所以(2,n =-r，所以cos ,AP n 〈〉==u u u r r 所以二面角MAC D -的正弦值sin 5θ==.19.命题意图 本题考查函数与导数.解题分析 （1）当2πθ=时，321cos 0,()4,()12032f x x f x x θ'==+=… ()f x ∴在R 上是增函数，故函数()f x 不存在极值.（2）21()126cos 12cos 2f x x x x x θθ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭， 令()0f x =，得0x =或cos 2x θ=. ①当2πθ=时，由（1）知()f x 为R 上的增函数，∴只须21a a -<，即1a <. ②当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的递增区间为cos (,0),,2θ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 若(21,)(,0)a a -⊆-∞，则0a ≤. 若cos (21,),2a a θ⎛⎫-⊆+∞ ⎪⎝⎭， 则cos 212a θ-…时任意,32ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 1214a ∴-…， 又21a a -<，518a ∴<„.综上所述，a 的取值范围是5(,0],18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U .20.命题意图 本题考查椭圆的方程与面积最大问题.解题分析 （1）由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，22221c y a b ∴+=，23||2b y a ==，又222a b c =+Q ，2,1a b c ∴===，所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上)），∴设:1l x ty '=+，()2222113469043x ty x y t y ty =+⎧⎪⎨+=⇒++-=⎪⎩， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r Q ，∴四边形AOBE 为平行四边形，∴122234DBB S y y S t =-==+△，1m =…， 得2124131m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =.21.命题意图 本题考查概率统计以及离散型随机变量的分布列和期望.解题分析 （1）因为物理原始成绩()2~60,13N ξ。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

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1 初高中数学学习资料的店
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则A B =U （ ）
A.{|22}x x -<<
B.{|24}x x -≤≤
C.{|22}x x -≤≤
D.{|24}x x -<„
2.已知a 是实数，1(1)a a -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）
A.2
D.1
3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：
根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y
x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ） A.36.5
B.30
C.33
D.27 4.已知1sin cos 2
x x -=，则sin 2x =（ ） A.
12 B.14 C.34 D.2
5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m -+-=相切，则实数m 的值为（
）
A.8
B.7
C.6
D.5
6.已知平面向量a r ，b r 满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则|23|a b -=r r （ ）
C.4
D.5。

绝密★启用前衡阳市2020届新高三模拟检测理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q = A.[]3,4B.()3,-+∞C.(],4-∞D.(]3,4-2．设为虚数单位,复数满足 ，则共轭复数的虚部为 A.B.C.D.3．已知， ，，则a ，b ，c 满足 A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a4．函数 的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π6．在OAB ∆中，4OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE OA λ=，OF OB μ=，（λ，0μ>），则λμ+的最小值为A ．B ．C D 7．已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=ππϕωϕω，，＞其中20,sin x x f 的部分图象如图所示，且()x f 在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤712，1312B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，17128．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上，则不同的种植方法有A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种9．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是c b a ,,，向量()A C tan ,sin =，()A A sin ,tan =，且C A b a cos cos +=∙，则abc +的取值范围是 A. B.C.D.10．过抛物线 上两点 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线 的方程为 A ．B ．C ．D ．11．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n S T 、，且0n a >,()2*63n nn S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--,若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是A.17B. 149C. 49D.844112．已知函数f (x )＝mx －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12,122e e e eB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++1,122e e e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,12e eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+12,1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

百师联盟2020届高三练习一全国卷 理科数学试卷注言事项：L 答卷祁,君生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

Z 冋答远择題时,选出铮小题答案n,Hi®笔把答题R 上对应题口的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮慷干療后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案场在答题卡上。

丐在本 试卷上无效。

3. 羽试给束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟•满分150分」一、选择题:本题共12小题，毎小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的。

L 集合力={xlZ τ2-x-3≤0},βχ{xl -2<Λ<1}.贝IMrl£ =A. {xl -2 <x < -* 1}B. {x ∖ -1 < 1} G "今}严-y + 2 NO.2-若X.yifli 足约朿条件< 2X +Λ-2^0,则“2戈-3）的授人值为 3x -y— 3≤∏,A.2B. -23.已知 LatIa=-3^i ∣J 2sh ζα~11 的值等丁COSZa + 15.等差数列仏}中,若α3+αj +α∣1+αu = 10,则心-Ya ln 的值是丄 2 B.4 C.56. LL 知圆 C ： J + (>• - 1 )2 =K(r>O),设p ：(JVrV3/2 ；g ： [S] C 上至多有 2 个点到H 线 Λ + y ÷ 3 = O的距离为②则"是Q 的A.充分不必耍条件 R 必耍不充分条件 C.充更条件D.既不充分也不必要条件第】页(宾4页)114D.丄-亠丄D.6A. -4氏-24. ^aJ^C 均为正数,且3“=5—45「,则7. 已知定虑4(-】,0),点B 在圆C ：? + Γ-2x-15=0上运动,C 为圆心,线段AB 的垂直半分 线交SC F 点P,则动点P 的轨迹方程为9. 2 2 > 2 2 2A ∙ v+⅛ = lB. V + y 1 = >C ・ v+Λ1 = lD ∙ v+j V = i4 34 Z 4 4 3已知定义征R 上的函数/ (%)满足：/ ( -X) = /(χ),当0 <知V 七时Ux 1 -χ2) I/ (V I ) - / (A 2) J >0,« - - ⅝^.6 J> -2(I Λ,Γ ^0.玖则 ∕α),∕(E,∕(r)的人小顺庁为 λ.f{a)<f(b}<f(c) B. /(c)<∕(δ)<∕(α) C. ./ (C) </(«)</(/>)a∕(5)<∕(c)<∕(α)斐波那契燻旋线T 也称“黄金缥 旋”，是根据雯波那契数列画治 来的嫖旋曲线，Fl 然界中行在 许多斐波那契摞淀线的1冬1案， 是自然界录完天的经典黄金比 例.作圏规则是在以更波那契数为边的正方形拼成 的氏方形屮匝一个圆心角为90。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1„ x „ 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x „ 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n…2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t „ x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t „ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x2„0，可知 a…1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a…1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac „ 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B „ 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ， 两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 „ (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 „a(x22x)，因为x0，可得a…2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1；--------------- 2 分 当 1„ x „ 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1； 当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x „ 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1„ x „ 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。