全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算． 【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集． 【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求． 【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小． 【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>， 所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确； 对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =， 则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义． 【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确； 令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确； 设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝， 所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分 当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分 两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分 当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分 （2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分 所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题． 【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分 整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分 （2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分 又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分 同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分 设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分 所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分 故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分 （3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想． 【解析】 （1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分 （2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分 设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分 所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立； 当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分 综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分 （2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-． 令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--． 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分 综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。

全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（二）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 BB DBC BAC DBC A13 14 151660213 51．答案： B解析： A{ x |3 x 1}, e R B { x | x1} ，所以 Ae R B { x | 1 x 1} ．2．答案： B解析： z(1i)i1 i ，故复数 z 在复平面内所对应的点在第二象限．3．答案： D解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1, F 2 ，由题设可知 PF28 ，所以 PF 1PF 2 4 ，解得 PF121或 4，故点 P 到左焦点的距离为 12 或 4．4．答案： B解析：当 n 1 时， S 1a 1 2 ，得 a 1 1；当 n ≥ 2 时，由 S na n 2 ， S n 1 a n 12 ，两式相减，得1 51 11的等比数列，故 S231 ．2aa ，所以数列 { a } 是首项为 1，公比为n n 1n25111625．答案： C解析：从 0， 1， 2， 3 这四个数字中任取三个不同的数字，共有(0,1,2), (0,1,3), (0,2,3), (1,2,3) 这 4 种情况，其中能被 6 整除的有 (1,2,3)，故所求概率为1 ．46．答案： B解析： x5, y 1,n 0是x 5, y 0, n 2 是x 7, y 4, n 4是x11, y 36, n 6 是x 17, y 144, n 8是x 25, y400, n 10否，输出 xy 425 ．7．答案： A(210 5)40 20 (25 10) 14 2410380) 55650 解析：该曲池的体积为22(7506 3 3 立方尺．8．答案： C解析：由题易知，函数y ( x 2 1)ln x 为偶函数，排除A 选项；当 0 x1 时， ln x0, x 21 0 ，所以 y( x21)ln x0 ，排除B选项；当x1时， y( x21) ln x, y2x ln x x2 1，所以当 x1x时， 2x ln x0, x210 ，所以函数y( x21)ln x 在(1,) 上单调递增，排除 D 选项．x9．答案： D解析：因为 a11, a n 1a n3n ，所以 a22, a n 2a n 13(n1) ，所以 a n 2a n 3 ，即数列 { a n} 的奇数项和偶数项均成公差为 3 的等差数列，因为a2 2，所以 a2010 a2100933029．10．答案： B解析：由题知 f ( x)( x1)2k1，因为 f ( x)在区间[1,2]上的最小值为 f (1)k 1 ，最大值为f (2)k ，又因为对于任意的实数x1, x2 , x3 , x4[1,2]时， f (x1) f (x2 ) f (x3 ) f ( x4 ) 恒成立，所以 3k3k ，解得 k 3．211．答案： C解析：由题知 f ( x)sin x sin x 3sin x cos cos x sin sin33233x23sin x 3cos x333sin x1cos x3 3 sin x63，由 f ( x) 0 ，2222222得 sin x63，由 x0,2，可得x66,2，因为函数 y f ( x) 在 0,上262有且只有 3 个零点，所以72≤8，解得 5≤ 17，故实数的最大值为17．3633312．答案： A解析： F (1,0)，设直线 AB : x ty1，将其代入 y24x ，得 y24ty40 ，设 A(x1, y1 ), B(x2, y2)，则 B ( x ,y2)，由韦达定理可得y y4t, y y24 ，直线AB1: y y1y2( x x1 )y1，令 y0 ，12121x1x2得x y1 (x1x2 )x1x1 y1 x2 y1 x1 y1x1y2x1 y2x2 y1(ty11) y2(ty21) y1 y1y2y1y2y1y2y1y22ty1 y2( y1y2 )8t4t1，即 m1．y1y24t13．答案： 6022解析：展开式中的常数项为 C 2 x460 ．6x214．答案： 2解析： a2, a a 2b a 22a b 4 2a b 12, a b 4 ，故向量 b 在向量 a 的方向上的投影为a b ．2a15．答案： 1解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，由z kx y ，可得 y kx z ，表示斜率为 k ，纵截距为 z 的直线，当 k 0 时，直线 kx y z 0 与直线 x y 1 0 重合时，目标函数取得最大值的最优解 不唯一，此时 k1；当 k 0 时，直线 kx y z 0 与直线 xy1 0 重合时，目标函数取得最大值的最优解不唯一，此时 k1，综上，实数 k 的值为1．yD 1RC 1AS NA 1ExB D MCQCPA16．答案： 3 5解析：因为直线MN 与平面 B 1 BCC 1 没有公共点或有无数个公共点，所以直线 MN // 平面 B 1BCC 1 或MN 平面 B 1BCC 1 ，所以 MN // 平面 ADD 1 A 1 或 MN平面 ADD 1A 1 ，将平面 ADD 1A 1 平移，得如图所示的矩形 PQRS ，易知 MPRN ，所以 MN 的中点 E 为四边形 PQRS 的中心，则 E 的轨迹长度等于△ ADC 的边 AD 上的中线长，该中线长为6232 3 5 ．sin A sin Csin B cosC sin B sin Csin A sin C ，17．解析：（1）由正弦定理知 cosC sin Csin B，所以又因为 sin A sin( B C ) ，所以 sin B cosC sin B sin C sin( B C ) sin C sin B cosC cos B sin C sin C ，所以 sin B sin Ccos B sin C sin C ，又因为 sin C 0 ，所以 sin Bcos B 1， sin Bcos B 1，两边平方得： sin 2 B cos 2 B 2sin B cos B1，可得 sin B cos B 0 ，因为 sin B 0 ，所以 cos B 0 ，又因为 B (0,) ，所以 B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2（ 2）由（ 1）知 B2 ，所以 (ac)2 a 2 c 22ac ≤ 2(a 2 c 2 ) 2b 2 ，由题意可知 2b 2100 ，所以 b 250, b 5 2 ，即边长 b 的值为 5 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．解析：（ 1）由题知，随机变量 X 的所有可能取值为20， 25， 30， 35，P( X 20)C 32 1C 31C 21 230) C 62 C 31435)C 212 ，C 62 , P( X 25)C 62, P( XC 62, P( XC 62551515所以随机变量 X 的分布列为：X 2025 30 35P1242551515故 E( X ) 20125 2 304 35 2 80 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分55 15 15 38882?x i y i nx y183 5 6 63（ 2）由表中数据知 x6, y 6,x i y i183,i1，i 1i 1x i190, b8nx 21905 3610x i y ii 1?321．y 66，故回归方程为y0.3x 4.2510当 x 9 时， y 0.3 9 4.2 6.9 7 ，所以该校 2019 年参加“北约” ，“华约”考试而获得加分的学生人数为7 人．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分19．解析：（ 1）取 AD 的中点 H ，连接 PH , EH , FH ，由题知 PH AD ，且 PH 2 ，又因为 AE EB ，三棱柱 ABCDEF 为直三棱柱，所以 EF , EA, EB 三条直线两两垂直，故 AE平面 EBCF ， BE平面 AEFD ，因为平面 PAD // 平面 AEFD ，所以 AE平面 PAD ，因为 PH 平面 PAD ，所以 AE PH又因为 AEAD A ，所以 PH 平面 AEFD ，所以 PH // BE ，又因为 PH BE 2 ，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以PB // HE ，因为 HE 平面 AEFD ， PB 平面 AEFD ，所以 PB // 平面AEFD ，同理可证 PC // 平面 AEFD ，又因为 PBPC P ，所以平面 PBC // 平面 AEFD ．⋯⋯ 6 分（ 2）由（ 1）知，分别以 EB , EF , EA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以 A(0,0, 2) ，D (0,2,2) ，C (2,2,0) ， P(2,1, 2) ， PA ( 2, 1,0), CD ( 2,0,2), PD( 2,1,0) ，设平面 PCD 的一个法向量为n CD 2x 2z1，得 y2, z 1 ，即 n (1,2,1) ，n (x, y, z) ，则2xy ，令 x n PD设直线 AP 与平面 PCD 所成的角为，则n PA2 1 ( 1) 20 1 2 30 ．sincos n, PA12 22 12( 2)2( 1)2n PA0215故直线 AP 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 30．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分15DzD PH PA AyF C F C E B E B x20．解析：（ 1）设EF的中点为A，1r ，则AO4r 4 AF , AO AF 4 ，EF2设 F (2,0)，则 EF2AO， EF EF 2 AF 2 AO8，所以点 E 的轨迹 C 是以 F , F为焦点，长轴长为8 的椭圆，所以点 E 的轨迹 C 的方程为x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1612EAOF F'x2y21，得(4k23)x28kbx 4b2（ 2）由（ 1）知，联立方程1612480 ，y kx b设 M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) ，所以x1x28kb, x1 x24b248 ，4k 234k 23y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b8k2b2b6b，4k 234k 23因为 OT OM ON ，所以T8kb ,6b，4k234k 2326b 28kb因为点 T 在椭圆上，所以4k 234k 231，化简得： 4k 23b2，1612所以 x1x28kb38k, x1x24b2484b248，4k 2b4k23b28k 24b 2 4812 1 k 2又因为 MN(1 k 2 )[( x 1 x 2 )2 4x 1 x 2 ](1 k 2 )4 ，bb 2b又因为 OT OMON ，所以四边形 OMTN 为平行四边形，故△ MNT 的面积与 △ OMN 的面积相等，又因为点 O 到直线 MN 的距离 hb，所以 △ OMN 的面积1k 21MN112 1 k 2 bSh6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分k 222 b121．解析：（ 1） f ( x)1 2ax 2ax2 1(x0) ，xx当 a ≥ 0 时， f ( x) 0 在 (0, ) 上恒成立，所以函数f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，当 a0 时，由 f (x)0 解得 0x1 ，由 f ( x) 0 解得 x1 ，2a2a所以函数 f ( x) 在区间 0,1 上单调递增， 在区间 1 ,上单调递减． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2a2a（ 2）令 g (x) (x 1)e xf (x)(x 1)e xln xe 1( x 2 1) (x ≥ 1) ，2则 g ( x)xex(e 1)x1( x ≥ 1) ， g (1) e (e1) 1 0 ．x再令(x)xex(e 1)x1(x ≥ 1) ，则( x) ( x 1)e x ( e 1)1 ，当 x ≥ 1时， ( x 1)e x ≥ 2e ，xx 210 ， (x 1)e x(e 1)1 2e (e 1) e 1 0 ，即 ( x)0 ，x 2x 2所以 y ( x) 在 [1,) 上单调递增，(1) g (1) 0,( x) ≥ (1) 0 ，y g (x) 在 [1,) 上单调递增，g( x) ≥ g(1) 0 ．综上可知() ≤ (xfxxe ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1) 22．解析：（ 1）曲线 C 的极坐标方程为 24 sin0 ，所以 22 2 sin2 2cos0 ，4因为xcos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 2 2x 2 2y0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分y sin（ 2）因为直线 l 的参数方程是x 42 t cos（ t 为参数），且, ，所以直线 l 的普通方程为y t sin2y (x 4 2) tan2(242) tan，因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点，所以1tan22 ，解得tan1或 tan 1（舍去），故直线 l的方程为 x y 4 2 0 ，又因为201，所以直线 OP 720过圆心，且曲线 C 过原点，所以点P 的极径为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分23．解析：（ 1）(a b)24(a b1)(a b)22ab4(a b 1)，因为ab2，所以 ( a b) 24(a b1)( a b)24(a b) 4 (a b2)2≥ 0 ，所以 ( a b) 2≥ 4(a b1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）因为ab ≤a2b2，且 a2b2 2 ，所以a b≤ 1 ，同理a b ≤ab≤ 1，22222故 a b ≤ 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（ ） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-1．答案：C 解析：212i (12i)i i 211i 2i 2i 22++⋅-===-+--． 2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（ ）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -2．答案：D解析：{|1M x x =>或0},{|2}x N y y =-≤≥，所以MN ={|1x x >或20}≤≤x -．3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（ ）A ．3 BC ．4D ．53．答案：B解析：由12(1,2)(3,4)(3,24)(5,6)xe ye x y x y x y +=+=++=，所以35246x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以向量(,)a x y =4．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件4．答案：A解析：由22x x +>，得220x x +->，即(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x > ， 由(2)x x x +>，得20x x +>，解得1x <-或0x >， 由于{|2x x <-或1}x >{|1x x <-或0}x >，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的充分不必要条件．解法2：由22x x +>，得222x x x +>+，即(2)2x x x x +>+>，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>” 成立的充分不必要条件．5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（ ）A ．37 B ．314C ．38D ．3165．答案：B 解析：易知八卦中至少含有两条“”的有4个，所以在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是2428314C C =．6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A ．8πB ．32πC ．4π D ．2π6．答案：C解析：不妨设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则1422rh rl π⨯⨯=，所以该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为4h l π=． 7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（ ） A ．1112a b c-=B ．1112b c a-=C ．1112c a b-=D ．1112c b a -=7．答案：D解析：设4714abct ===，则1111111224,7,14,2,2714,abcaa bct t t ttt +===∴=⨯=∴=，111111,22a b c c b a∴+=∴-=． 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（ ） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-8．答案：A解析：设过第一象限的渐近线的倾斜角为α，则tan 2α=，则将渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒后的直线的倾斜角为45α-︒，所以旋转后的直线的斜率为tan tan 45211tan(45)1tan tan 45213ααα-︒--︒===+︒+，所以所求直线方程为13y x =． 9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（ ） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-9．答案：B解析：对于A 选项，定义域内不包括0x =，另外当0x →时，y →-∞，显然A 选项不可能；对于C 选项，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，tan x 会取遍[0,)+∞内所有的点，所以函数()sin tan f x x =-会无数次经过x 轴，且值域为[1,1]-，显然C 选项不可能；对于D 选项，(0)tan10f =-≠，显然D 选项不可能，故只能是B 选项有可能． 10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（ ） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++开始1,1,1i m T ===①T T m=⨯②1i i =+输出T 结束是否10．答案：A解析：由已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据数列的递推公式1n n a a n +=+，因为T 是数列的前10项的积，故可知要执行循环10次，由于循环变量的初始值为1，每项循环增加1，故中值应为10，即①处应填入10i ≤？又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即112+=，第3个数比第2个数大2，即224+=，第4个数比第3个数大3，即437+=，第5个数比第4个数大4，即7411+=，……，故②中应填写m m i =+．11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（ ）A ．56x π=B ．6x π=C ．53x π=D ．23x π=11．答案：A解析：曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，故曲线2C 的周期为π，故2:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,3x k k Z ππ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈，当1k =时，56x π=． 12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（ ）A ．23B ．3C ．863D ．59312．答案：C解析：该多面体为如图所示的四棱锥E ABCD -，其中4,22,25AD DC DE EC ====O 外接于四棱锥E ABCD -等价于球O 外接于三棱柱ABF DCE -，三棱柱的高4h =，设CDE △的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，2222020843cos ,sin 222055CE DE CD CED CED CE DE +-+-∠===∴∠=⨯⨯⨯， 2210223sin 35DC r CED ===∠，所以52r =2250864293h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．ABCDEF二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．12(23)xx dx +=⎰ ．13．答案：136解析：1123200232313(23)32326x x dx x x ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于 ．14．答案：40-解析：展开式的常数项为33251(2)40x C x x ⎛⎫⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为 ．15．答案：26解析：作可行域为如图所示的四边形OABC ，其中(2,0),(4,6),(0,2)A B C ，显然23z x y =+在点(4,6)B 处取得最大值，最大值为243626⨯+⨯=．O xyA BC16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为 ．16．答案：224133x y +=解析：由条件，2F 关于直线PQ 的对称点2F '在1F P 的延长线上，且1221212F F PF PF PF PF a ''=+=+==所以2112OQ F F '==设(,)M x y ，则(2,)Q x y ，22（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解析：（1）由1(21)2(1)n a n a n =-+-，解得11a =，所以21n a n =-．……………………6分（2）2[1(21)]2n n n S n +-==，212111212211224na n nn n n S n n b a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⨯ ⎪ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1111(1)2144(12)211243414n n n n n T n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++=+- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =． （1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ．（2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 118．解析：（1）因为1A D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC A D ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1A DBD D =，所以AC ⊥平面1A BD ．又因为11AA CC ，所以四边形11AAC C 是平行四边形，所以11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1A BD ． 又因为11A C ⊂平面11AC D ，所以平面1A BD ⊥平面11AC D ．………………………………6分 （2）以点D 为原点，1,,DA DC DA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 则1111(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,1,2),(0,1,0),(1,1,2),(0,0,2)D C A C DC DC DA -==-=， 设平面1CC D 的法向量为111(,,)m x y z =，则11111020m DC y m DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11z =，得(2,0,1)m =，…………………………………………………………………………9分设平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z =，则1212222020n DA z n DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令21x =，得(1,1,0)n =．所以2cos ,5m n m m m n⋅===⨯⋅，所以二面角11C C D A --的正弦值为5．…………………………………………………………12分1x19．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望．19．解析：（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，则22916n C C =，得4n =，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为11542959C C C =．…………………………6分 （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为111153442288455999C C C C C C ⨯+⨯=，所以53,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭～， 3354()(0,1,2,3)99k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以()393E X =⨯=．………………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3OM ON k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 20．解析：（1）因为抛物线C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线122y x =+的一般方程为240x y -+=，=2p =，所以抛物线C 的准线方程为1x =-．………………………………6分 （2）联立24240y x x y ⎧=⎨-+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩．设直线2l 的方程为x ty a =+，将它代入24y x =，得2440y ty a --=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4y y t y y a +==-， 所以12121222212121212443()()()OM ON y y y y y y a k k x x ty a ty a y y t at y y a a a⋅====-=-=-+++++， 解得43a =，又直线2l 过点(4,4)，所以4443t =+，解得23t =， 所以直线2l 的方程为322y x =-，所以直线2l 的斜率为32，点A 的坐标为4,03⎛⎫⎪⎝⎭．………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数1()(ln )()R x f x x a x ea -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立． 21．解析：（1）当2a =时，11()2ln ,()ln 3x x f x x x x ef x x e --'=+-=-+，所以(1)1,(1)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．………………6分（2）()10f x +<，即1ln 10x x x eax --++<，当1x >时，即11ln x e a x x x-<--， 设11()ln x e h x x x x -=--，则111221(1)(1)()0x x x xe e x x e h x x x -----+--'==>， 所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，而(1)0h =，所以当(1,)x ∈+∞时，11()ln 0x e h x x x x-=-->恒成立， 即当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．…………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．22．解析：（1）直线l2240y -+=cos 2sin 240θρθ-+=， 曲线1C 的标准方程为22(2)4x y +-=，极坐标方程为4sin ρθ=．………………………………5分 （2）将3πθ=cos 2sin 240θρθ-+=和4sin ρθ=，得A B ρρ==16A B AB ρρ=-==．…………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++． （1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．23．解析：（1）由()20f x a +->，得22,22x a x a ->-∴->-或22x a -<-，4x a ∴>-或x a <，故不等式的解集为{|x x a <或4}x a >-．………………………………5分（2）因为函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，所以()()f x g x >恒成立， 则23m x x <-++恒成立，23(2)(3)5x x x x -++--+=≥，所以m 的取值范围为(,5)-∞．……………………………………………………………………10分。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（ ） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（ ）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（ ）A ．3BC ．4D ．54．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（ ）A ．37 B ．314 C ．38D ．316 6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A ．8π B ．32πC ．4π D ．2π7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（ ） A ．1112a b c-= B ．1112b c a-= C ．1112c a b-= D ．1112c b a-= 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（ ） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（ ） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（ ） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（ ） A ．56x π=B ．6xπ=C ．53x π=D ．23x π=12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（）AB ．C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．120(23)x x dx +=⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于 ．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为 ．16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =． （1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ． （2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 119．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l 与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3O M O N k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数1()(ln )()R x f x x a x e a -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++． （1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.数列{}n a 是首项为2,公差为3的等差数列,数列{}n b 是首项为2-,公差为4的等差数列.若n n a b =,则n 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 2.函数221212cos ()sin ()1y x x ππ=-++-的最小正周期为( ).A.4πB.2π C.π D.2π3.已知(10)xf x =,则(5)f =( ).A.510B.105C.lg 5D.5log 10 4.两个集合A 与B 之差记为“/A B ”,定义为/{|,}A B x x A x B =∈∉.如果集合 2{|log 1,}A x x x R =<∈,集合{||2|1,}B x x x R =-<∈,那么/A B =( ).A.{|1}x x ≤B.{|3}x x ≥C.{|12}x x ≤≤D.{|01}x x <≤ 5.设,a b R ∈,132bi ia i -+-+=,则limn n n a b a b→∞-+等于( ).A.1B.1-C. 1-或1D.不存在 6.已知球面上的四点P 、A 、B 、C ,PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ).A.B. C.50π D.200π 7.正方体1111ABCD A B C D -中,若E 为棱AB 的中点,则直线1C E 与平面11ACC A 所成角的正切值为( ).A.6B.4C.178.已知椭圆2281(0xymm +=<<的两焦点分别为1F 、2F ,点P 满足12||||PF PF +=则m =( ).21 D.29.直线0Ax By C ++=与圆224x y +=交于M 、N 两点,若满足222C A B =+,则OM ON ⋅(O 为坐标原点)等于( ).A.2-B.1-C.0D.1 10.已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12,x x ,且1201x x <<<,则b a的取值范围是( ).A.12(1,]-- B.12(1,)-- C.12(2,]-- D.12(2,)--11.五个人站在图中A 、B 、C 、D 、E 五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如B 不能直接传给D 等.若开始时球在A 手中,则经ABC过四次传球后,球又回到A 手中的传法种数是( ).A.16B.32C.64D.12812.设()f n 为整数n (十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如222(123)123=++f , 记1()()=f n f n ,1()[()](1,2,3,)+== k k f n f f n k ,则2007(2006)f 等于( ).A.20B.42C.37D.45第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.已知(2,1)a =- ,(1,2)b =,且||a tb +=则实数t =__________.14.已知232012(1)(1)(1)(1)++++++++=++n n n x x x x a a x a x a x ,且01126+++= n a a a ,那么二项式1n 的展开式中常数项为__________.15.过双曲线M ：221(0)y bx b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别交于点B 、C ,且||||AB BC =,则双曲线M 的离心率__________.16.在000,001,,999 这1000个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值；(Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值.18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立.A1ACBEG 1B1C21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C D B C C D A D B B二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)13.0 14.540-27200.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值； (Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值. 解：(Ⅰ)依题意,2b ac =,由正弦定理及513sin B =,得225169sin sin sin A C B ==.cos cos sin()sin 516913sin sin sin sin sin sin 13255cot cot A C A C B ACA CA CA C ++=+===⨯=.(Ⅱ)由12AB BC ⋅=- ,得cos()12ac B π-=-,即cos 12ac B =.由513sin B =,得1213cos B =±(舍负)∴213b ac ==,由余弦定理,得2121313()22a c ac ac =+--⨯,∴2()63a c +=,故a c += 18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；解：(Ⅰ)()P ξ是ξ个正面向上,4ξ-个背面向上的概率.其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.∴02022221124(0)(1)(1)(1)P C C a a ξ==--=-,10201222211112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)P C C a C C a a a ξ==⋅--+--=-,220211022222222221111122224(2)()(1)(1)(1)(1)(122)P C C a C C a a C C a a a ξ==⋅-+⋅--+-=+-,22112222221112222(3)()(1)(1)a P C C a a C C a ξ==-+⋅-=,22222221124(4)()P C C a a ξ===.∴ξ的分布列为ξ1234P214(1)a -12(1)a -214(122)a a +-2a214aξ的数学期望为2221111424240(1)1(1)2(122)3421a E a a a a a a ξ=⨯-+⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+.(Ⅱ)∵01a <<,∴(0)(1)P P ξξ=<=,(4)(3)P P ξξ=<=.则14(2)(1)(12P P a ξξ=-==+221242)(241)0aa a a --=--+≥,2211424(2)(3)(122)(21)0aP P a a a ξξ=-==+--=--≥,由222410210a a a ⎧-+≤⎪⎨-≤⎪⎩,得222a -≤≤,即a的取值范围是222[-. 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面 ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.解：(Ⅰ)延长1B E 交BC 于点F ,则111122BF B C BC ==,即F 为BC 的中点.∵G 为ABC ∆的重心,∴A 、G 、F 三点共线,且113FG FE FAFB ==,∴1//GE AB ,故//GE 侧面11AA B B .(Ⅱ)作1B H AB ⊥于H ,∴1B H ⊥面ABC .∵侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =. ∴160B BH ∠=︒,1BH =,1B H .作H T AF ⊥于T ,连1B T ,则1BT AF ⊥,∴1B TH ∠为所求二面角的平面角.又3AH AB BH =+=,30HAT ∠=︒,∴32sin30HT AH =︒=,在A1A CBEG 1B 1C1Rt B HT ∆中,113tan B H HTB TH ∠==,故所求锐二面角的大小为3arctan.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. (Ⅰ)解：当8=t 时,316334xy x =-+,由240y x '=-=,得2x =±.∵当(,2)(2,x ∈-∞-+∞时, 0y '>；当(2,2)x ∈-时,0y '<,∴y 的单调增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞；单调增区间是(2,2)-.(Ⅱ)证明：令233233()()()(0)xh x f x g x t x t x =-=-+>,则232()h x x t '=-.当0t >时,由()0h x '=,13x t =；当13(,)x t ∈+∞时,()0h x '>；当13(0,)x t ∈时,()0h x '<,∴()h x 在(0,)+∞上的最小值是1()0h t =,故当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当1n =时,11a =,0c >,1111c a +≤≤成立.假设n k =时结论成立,即111k c a +≤≤,则111k c c c a c ++≤+≤+,即2111111kc c a c c +++++≤≤<.∴1111k c a ++≤<,∴1n k =+时结论也成立,综上,对一切的*∈n N ,111+≤≤n c a 成立.(Ⅱ)11)()111(||||||||||nn n n n n n c a c ac a c a a a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-≤-,∴11||||n n a a a a a --≤-.当1a ≥时,111c +<,与1+=c aa 矛盾,故01a <<.∴112111||||||||||||n n n S a a a a a a a a a a a a a a -=-+-++-≤-+-++-2111(1)(1)(1)1n aa a a a a --=-++++<-⨯= .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线 l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.解：(Ⅰ)设2(,)aB t ,(,)C x y ,依题意0AB AC ⋅= ,∴32(,)(,)0a t x a y ⋅+=,即32()0a x a ty ++= ①.又CD 与BD 共线,∴2()()0aa x t y --+⋅= ②. 由①②消去t ,得222231(0)x y aa y -=≠.(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设00(,)P x y 是双曲线上位于x 轴上方的点,由222231x yaa-=,得y ,∴3x y '=.故过点P 的切线的斜率3x k =切,而220031x y aa-=,∴03y x k =切,∴03l x y k =-,002MP x ay k +=.设θ是MP 与直线l 的夹角,则00000000000222000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax θ+⋅+--+++-+-====. 设α是NP 与直线l 的夹角,02NP x ay k -=,则00000000000000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax α-⋅----+----====.∴tan tan θα=,又090,090θα︒<<︒︒<<︒,∴θα=,故直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i(1i)1i+=- （ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i 2．已知集合{0,1,2,3}A =，{|22,}x B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2} 3．已知向量(1,2)a =- ，(2,1)b = ，且(2)a a b ⋅-=（ ）A ．5B ．5-C ．11D ．11-4．关于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，有以下四个命题．甲：长轴长为10．乙：短轴长为8．丙：离心率为45．丁：C 上的点到其左焦点的距离的最大值为8． 若只有一个假命题，则该命题是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4cm ，圆柱的底面圆直径为24cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A ．21536cm πB ．21472cm πC ．21824cm πD ．21760cm π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为()e (0,1,2,)!kP X k k k λλ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布．若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）A ．41e B ．44e C ．694e D ．69e 7．已知ln 33a =，22e b =，ln 77c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<8．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 上靠近点B 的一个四等分点，M 是棱1CC 上的动点，若平面1D MN 与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为θ，则cos θ=（ ）A ．45B ．35CD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．如图，四棱雉S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则下列结论正确的是 （ ） A ．AB SA ⊥B ．AC 与SB 所成的角为90︒C ．AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角10．已知lg 2a =，lg 3b =，则（ ）A ．2107a b+=B ．2lg12a b +=C ．181log 102a b=+D ．361log 522aa b-=+11．已知抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作AB 的垂线交x 轴于点Q ，点M 在C 的准线上的射影为点N ，则 （ ）A ．AF BF AF BF +=⋅B ．tan cos AKF MQF ∠=∠C ．//NF MQD ．32AB FQ =12．已知()f x 是R 上的奇函数，(1)1f =，且(2)(2)40f x f x x --++=恒成立，则 （ ）A ．(3)5f =B ．(4)8f =C ．(2023)4047f =D ．(2024)8096f =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在62x ⎛⎝的展开式中，第四项的系数为 ．14．写出满足圆心在直线2y x =，且被x 轴截得的弦长为2的圆的标准方程 ．15．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，6855f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω= ．16．若函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知数列{}n a 满足3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos bc A ab C ac B +=． （1）证明：2a ，2b ，2c 成等差数列； （2）若sin 3sin A C =，求cos B ．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且11AD C E ==，过点1A 的平面//α平面BDE ，平面11B C F α= ． （1）求1A F ；（2）求直线BF 与平面BDE 所成角的正弦值．二氧化碳会导致温室效应，是全球变暖的元凶之一．因为二氧化碳具有保温的作用，会逐渐使地球表面温度升高．某机构统计了当地近几年二氧化碳的排放量x (单位：百万吨)与该地平均气温升高值y (单位：℃)的一些数据，得到如下表格：x141721273239y 0.2 0.3 0.5 0.8 1.01.4（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(计算结果精确到0.001)．(若0.75r ≥，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，否则不可用) （2）试用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程．（3）某企业为降低二氧化碳的排放量，加大了研发投入，使得企业每天的二氧化碳排放量Z (单位：吨)近似服从正态分布(5,4)N ，则该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为多少?附：相关系数()()niix x y y r --=∑；回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+= ． 参考数据：61126.6i ii x y==∑，62150)4(i i x x =-=∑，621.041(i i y y =-=∑ 3.61≈．已知函数()()ln 1(0)f x x a x a =-->．（1）若曲线()y f x =在x a =处的切线方程为(1)0a x y b --+=，求实数a ，b 的值； （2）若2a =，关于x 的方程()f x mx =有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．22．(12分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．当l x ⊥轴时，AB =． （1）若A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，证明：1221212()x y x y y y -=-． （2）在x 轴上是否存在定点M ，使得222AM BM AB +-为定值?若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（二）一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|31},{|1}A x x B x x =-<<=-≤， 则()A B R I ð等于（ ） A ．[1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．[1,1]-2．已知复数(1i)i z =+， 则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2221(0)4x y b b -=>上一点P 到右焦点的距离为8， 则点P 到左焦点的距离为（ ） A ．12或6B ．2或4C ．6或4D ．12或44．数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若2n n S a +=， 则5S 的值等于（ ） A ．1516B ．3116C ．3132D ．63325．从0， 1， 2， 3这四个数字中任取三个不同的数字， 则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12B ．15C ．14D ．256．执行如图所示的程序框图， 如果输入5,1x y ==， 则输出的结果是（ ） A ．261B ．425C ．179D ．5447．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有曲尺， 上中周二丈， 外周四丈， 广一丈， 下中周一丈四尺， 外周二丈四尺， 广五尺， 深一丈， 文积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池， 上底中周2丈， 外围4丈， 宽1丈；下底中周1丈4尺， 外周长2丈4尺， 宽5尺；深1丈， 问它的容积是多少？”则该曲池的容积为（ ）立方尺（1丈=10尺， 曲池：上下底面皆为扇形的土池， 其容积公式为(2)(2)226⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦上底中外周之和下底中外周之和上宽下宽下宽上宽深）A ．56503B ．1890C ．56303D ．566038．函数2(1)ln y x x =-的图象大致为（ ）9．已知数列{}n a 的首项11a =， 且满足13()n n a a n n N *++=∈， 则2020a 的值等于（ ）A ．2020B ．3028C ．6059D ．302910．已知函数2()2f x x x k =-+， 若对于任意的实数1234,,,[1,2]x x x x ∈时，123()()()f x f x f x ++4()f x >恒成立， 则实数k 的取值范围为（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭11．已知函数3()sin sin (0)32f x x x πωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有3个零点， 则实数ω的最大值为（ ） A ．5B ．163C ．173D ．612．已知直线l 过抛物线24y x =的焦点F ， 且与抛物线相交于A B 、两点， 点B 关于x 轴的对称点为1B ， 直线1AB 与x 轴相交于(,0)C m 点， 则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．32-D ．12-二、填空题：本题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中的横线上．13．622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的展开式中的常数项为 ．14．已知向量,a b r r 满足()2,212a a a b =⋅+=r r r r ， 则向量b r 在向量a r的方向上的投影为 ．15．已知,x y 满足约束条件1010220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤， 若目标函数z kx y =+取得最大值的最优解不唯一， 则实数k 的值为 ．16．如图， 直四棱柱1111ABCD A B C D -， 底面ABCD 是边长为6的正方形， ,M N 分别为线段11,AC D C 上的动点， 若直线MN 与平面11B BCC 没有公共点或有无数个公共点， 点E 为MN 的中点， 则E 点的轨迹长度为 ．AB CDD 1C 1B 1A 1M N三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题， 考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC △中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边， 且满足cos sin a cC C b++=． （1）求角B 的大小；（2）若a c +的最大值为10， 求边长b 的值． 18．（本小题满分12分）某校从2011到2018年参加“北约”， “华约”考试而获得加分的学生（每位学生只能参加“北约”， “华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来．（为了计算方便， 将2011年编号为1，（1）据悉， 该校2018年获得加分的6位同学中， 有1位获得加分20分， 2位获得加分15分， 3位获得加分10分， 从该6位同学中任取两位， 记该两位同学获得的加分之和为X ， 求X 的分布列及期望． （2）根据最近五年的数据， 利用最小二乘法求出y 与x 之间的线性回归方程， 并用以预测该校2019年参加“北约”， “华约”考试而获得加分的学生人数．（结果要求四舍五入至个位）参考公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nx yb x x x nx ay bx ====⎧---⋅⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ ． 19．（本小题满分12分）如图所示， 该几何体是由一个直三棱柱ABC DEF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成，其中2,,EF EA EB AE EB PA PD ===⊥==， 平面//PAD 平面EBCF ．（1）证明：平面//PBC 平面AEFD ．（2）求直线AP 与平面PCD 所成角的正弦值．ABCDPF E20．（本小题满分12分）已知以线段EF 为直径的圆内切于圆22:16O x y +=． （1）若点F 的坐标为(2,0)-， 求点E 的轨迹C 的方程．（2）在（1）的条件下， 轨迹C 上存在点T ， 使得OT OM ON =+u u u r u u u u r u u u r， 其中,M N 为直线(0)y kx b b =+≠与轨迹C 的交点， 求MNT △的面积．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (1)f x x a x =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1,[1,)2e a x -=∈+∞时， 证明：()(1)x f x x e -≤． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做， 则按所作的第一题计分． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知0,0a b >>．（1）若2ab =， 证明：2()4(1)a b a b +-+≥；（2）若222a b +=，2．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中， 以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为24sin 04πρρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 直线l 与曲线C 有且只有一个交点P ， 求点P 的极径．。