2018年浙江省高考数学模拟试卷(名校联盟原创卷4月)

2018年金华十校高考模拟考试数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{2,3}M N =I ，则M N =U （ ） A ．{1,3} B ．{2,3} C ．{1,2} D ．{1,2,3}2.双曲线2214x y -=的离心率为（ ） A ．5 B ．3 C ．52 D ．323.“1x a >>”是“log 0a x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则2x y+的取值范围为（ ）A ．[]4,16B ．1,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>与(0cos(2)g x x ϕ=+的对称轴完全相同.为了得到()cos 3h x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移2π D ．向右平移2π6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过圆22420x y x y +--=的圆心，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,47.随机变量ξ的分布列如下：ξ -1 0 1Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23 B ．59 C ．29 D ．348.已知函数2()21x f x -=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 方程的2[()]()0a f x bf x c ++=的解集不可能是（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3}C ．{0,2,4}D ．{1,2,3,4}9.已知平面内任意不共线三点A ，B ，C ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．以上说法都有可能10.如图，若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到点A 的距离之比为正常数λ，且动点P 的轨迹是抛物线，则二面角A BC D --平面角的余弦值为（ ）A ．λB ．21λ-C ．1λD ．211λ-非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则tan α= ，cos sin 2παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 12.已知复数11z i =-，121z z i ⋅=+，则复数2z = ，2z = ．13.若56542123()(2)x y x y a x a x y a x y +-=++3324564567a x y a x y a xy a y ++++，则4a = ，1234567a a a a a a a ++++++= ．14.已知函数()4sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期T = ，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为 ．15.已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ． 16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有 种（用数字作答）．17.若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226x x ax b x ≤++≤(,0)a R b ∈>恒成立，则实数b 的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin sin()2sin 2A B C B =-+，2B π≠.（Ⅰ）求证：2c b =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积225S b a =-，求tan A 的值.19.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ∠=o，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值. 20.已知函数3()f x x ax a =+-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）记()f x 在[1,1]-上最大值为()M a ，若()1M a >，求实数a 的取值范围.21.已知抛物线2y x =和C e ：22(1)1x y ++=，过抛物线上的一点000(,)(1)P x y y ≥，作C e 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.（Ⅰ）若切线PB 过抛物线的焦点，求直线PB 斜率； （Ⅱ）求面积ABP ∆的最小值. 22.已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数.设()(1)f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：（Ⅰ）()*112n n a n N a +≤∈； （Ⅱ）当3n >时，327432n T <<.2018年金华十校高考模拟考试数学卷参考答案一、选择题1-5: DCACA 6-10: BADBB二、填空题11.33，0； 12. i ，1； 13. 40，2； 14. π，(0,3]； 15. 5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； 16. 40 17. 9三、解答题18.解：（Ⅰ）由sin sin()2sin 2A B C B =-+，有sin()sin()4sin cos B C B C B B +=-+，展开化简得，cos sin 2sin cos B C B B =， 又因为2B π≠，所以sin 2sin C B =，由正弦定理得，2c b =；（Ⅱ）因为ABC ∆的面积225S b a =-，所以有221cos 54cos 2bc A b b A =-， 由（Ⅰ）知2c b =，代入上式得222sin 5b A b a =-，①又由余弦定理有222222cos 54cos a b c bc A b b A =+-=-， 代入①得22sin 4cos b A b A =， ∴tan 4A =.19.解：（Ⅰ）取BC 中点G ，连接FG ，AG ， 又∵F 为BD 的中点，2CD EA =，//CD AE ， ∴12FG CD EA ==，且//FG AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形， ∴//EF AG ，而且EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴//EF 平面ABC ；（Ⅱ）∵90EAC ∠=o，平面EACD ⊥平面ABC ，且交于AC ， ∴平EA ⊥面ABC ，由（Ⅰ）知//FG AE ，∴FG ⊥平面ABC ， 又∵AB AC =，G 为BC 中点， ∴AG BC ⊥，如图，以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,3,2)D -，(1,0,1)E ，∴(1,3,0)AB =-u u u r ，(0,23,2)BD =-u u u r ，(1,3,1)BE =-u u u r， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r ，即3030z y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =，得(0,1,3)n =r，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为34AB n AB n⋅=⋅u u u r r u u u r r . 20.解:（Ⅰ）2'()3f x x a =+，①当0a ≥时，'()0f x ≥恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令'()0f x =，得3ax =±-， ∴,,33a ax ⎛⎫⎛⎫∈-∞---+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，'()0f x >； ,33a a x ⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭时，'()0f x <，∴函数()f x 的递增区间有,3a ⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递减区间有,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当0a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上单调递增，此时()(1)1M a f ==；②当13a -≥即3a ≤-时，[1,1],33a a ⎛⎫-⊂--- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[1,1]-单调递减，∴()(1)12M a f a =-=--，∵3a ≤-，∴125a -≥，即()5M a ≥；③当30a -<<时，,[1,1]33a a ⎛⎫---⊂- ⎪ ⎪⎝⎭，而()f x 在1,3a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭递增，在,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭上递减，∴()max ,(1)3a M a f f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=--⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭max ,13a f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 由13a f ⎧⎫⎪⎪-->⎨⎬⎪⎪⎩⎭，得2133a a a --->，令3a t =-，则23a t =-，∴322310t t +->，即322(1)3(1)0t t ++->2(1)(21)0t t ⇒+->，∴12t >，∴34a <-. ∴当334a -<<-时，13a f ⎧⎫⎪⎪-->⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴()3a M a f ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当304a -≤<时，13a f ⎧⎫⎪⎪--<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴()(1)1M a f ==.综合①②③得：若()1M a >，则实数a 的取值范围为3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 21.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线PB 的斜率为k ， 则切线PB 的方程为：14y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即104kx y k --=. ∴21(1)10411k kk ⋅--⋅-=+，解得：43k =±. ∵000(,)(1)P x y y ≥，∴43k =. （Ⅱ）设切线方程为y kx m =+，由点P 在直线上得：00y mk x -=①圆心C 到切线的距离211k m k -+=+，整理得：2210m km --=②将①代入②得：2000(2)20x m y m x +--=③设方程的两个根分别为1m ，2m ，由韦达定理得：012022y m m x +=+，01202x m m x =-+， 从而2121212()4AB m m m m m m =-=+-2002032(2)x x x +=+， 2000020312(2)ABPx x S AB x x x ∆+==+22000020(3)(1)(2)x x x x x +=≥+.记函数222(3)()(1)(2)x x x g x x x +=≥+，则223(21118)'()0(2)x x x g x x ++=>+， min 4()(1)9g x g ==，ABP S ∆的最小值为23，当01x =取得等号. 22.解：（Ⅰ）猜想：102n a <≤.用数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，112a =，结论成立；（ii ）假设n k =时结论成立，即102k a <≤，则2211111124248k k k k a a a a +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴1104k a +<≤，则1n k =+时，结论成立. （iii ）由（i ）（ii ）可得，对任意*n N ∈，102n a <≤成立. ∴1111242n n n a a a +=+≤. （Ⅱ）易求得214a =，3332a =，4572048a =，于是(1)2f =，(2)4f =，(3)10f =，(4)35f =， ∴11b a =，22b a =，33b a =，44b a =-，∵()(1)f n n n b a =-，所以n n n a b a -≤≤. ∴12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≥++---⋅⋅⋅-. ∵112n n a a +≤，有112n n a a -≤，∴23453331122n a a a a a a a ⎛⎫---⋅⋅⋅-≥--⋅ ⎪⎝⎭333311022n n a a --⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅-⋅=⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1234n T a a >+=. 又12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≤++-++⋅⋅⋅+，而2454441122n a a a a a a ⎛⎫-++⋅⋅⋅+≤-++⋅ ⎪⎝⎭444411022n n a a --⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅=-⋅< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1232732n T a a a <++=. 综上，当3n >时，327432n T <<.。

1．B 【解析】∵集合，，∴，故选B.2．A 【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.4．C 【解析】试题分析：画出可行域如图：分析可知当点M 与点()3,1A -重合时直线OM 的斜率最小为101303--=--.故C 正确. 考点：线性规划. 5．A 【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.6．D 【解析】如图所示，在平行六面体中，令面为，面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有C 选项满足，故选C.7．C【解析】设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.点睛：本题主要考查了等差数列的概念，分段函数的最值问题，属于基础题；对于绝对值函数主要利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，将其用分段函数进行表示，再求最值.9．B【解析】，两边同时乘以“”得：，所以，当且仅当时等号成立，令，所以，解得或，因为，所以，即，故选B.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．A【解析】设，(为的两根)，因为，所以且，，于是，，或，令，，即，所以，即，即，故选A.点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合，得出和，即可求出实数的取值范围.11．【解析】∵，∴，，故答案为，.12．一个圆【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.点睛：本题考查曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，直接列方程是关键；常见的方法有：1、直接法；2、定义法；3、相关点法；4、待定系数法；5、参数法；6、交轨法，该题中利用的是直接法.14．【解析】∵，由余弦定理得为钝角，∴；即，∵，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，故答案为，.15．【解析】在这10名学生中任选4名学生共包含个基本事件，事件“恰有两名学生来自同一所学校”包含，故，故答案为.点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设，根据平行四边形知识可将为定值得到椭圆方程，即可得到离心率.17．【解析】设，，即，所以，此时，故答案为. 18．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）先利用两角和的余弦公式展开，再结合辅助角公式可将化为，即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.试题解析：（1），所以的最大值为，．（2）因为，．由余弦定理可得：，因为，所以．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.（2）取中点、中点，连、，则、．所以是侧面与底面成二面角的平面角．从而．作于，则底面．因为，，所以，．以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．则，，．设是平面的法向量，则，．取．则．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.试题解析：（1）因为，所以．又因为，所以切线方程为：，即．（2）令，则，所以时，时．当时，易知，所以，在上没有极值点．当时，因为，所以，在上有极小值点．又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.点睛：本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值点之间的关系，难度中档；导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，由，得函数单调递增，得函数单调递减，根据单调性可得极值.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将两点间斜率计算公式与相结合可得，故而可得弦中点的纵坐标；（2）设，得直线：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，，由（1）得，，代入即可得结论.试题解析：（1）（*）所以，.（2）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即.22．（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.试题解析：（1）因为．当时，．假设时，，所以时，．从而对于一切，．所以，即数列单调递增．（2）证明：因为，所以．又因为由（1）可知，所以时．，即．．所以，即．经验证也成立，即得证．。

2018年金华十校高考模拟考试数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.2. 双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线中，本题选择C选项.3. “”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】若，当时，有，必要性不成立，若时，则，充分性成立，故“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.4. 已知实数，满足不等式组，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式组做出可行域，如图所示.令，则，显然过点时，；过点时，.即的取值范围为.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.5. 已知函数与的对称轴完全相同.为了得到的图象，只需将的图象（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】A【解析】两函数的对称轴完全相同，则两函数的周期一致，据此有：，故，则，，且：，据此可得：为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度. 本题选择A选项.6. 已知椭圆经过圆的圆心，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】即为，圆心为（2，1），∵经过圆的圆心，.当且仅当时等号成立.据此可得：的取值范围是.本题选择B选项.7. 随机变量的分布列如下：其中，，成等差数列，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.则的最大值为 .本题选择A选项.8. 已知函数，对任意的实数，，，关于方程的的解集不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则方程化为，设它有解为，则求方程化为求方程及............................由的图形（如图所示）关于直线对称，若方程及有解，则解，或有成对的解且两解关于对称，所以D选项不符合条件.本题选择D选项.9. 已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上说法都有可能【答案】B【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10. 如图，若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则二面角平面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，作，取的中点，作平面于点，连结，平面，平面，则，且，据此有平面，结合线面垂直的定义可知：，则为二面角的平面角，由几何关系可知，点为抛物线的顶点，结合题意可知：，则：，即二面角平面角的余弦值为，本题选择B选项.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．【答案】 (1). (2). 0【解析】∵角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边过点，12. 已知复数，，则复数__________，__________．【答案】 (1). (2). 1【解析】13. 若，则__________，__________．【答案】 (1). 40 (2). 2【解析】的二项展开式通项为，令得；令得，再与相乘，可得的系数为在中，令得14. 已知函数，则函数的最小正周期__________，在区间上的值域为__________．【答案】 (1). (2).【解析】函数的解析式：∴函数f(x)的最小正周期∴当时,，当时,，但取不到.所以值域为.15. 已知等差数列满足：，，数列的前项和为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得：，据此可得：，则，令，结合等差数列前n项和公式有：，令，则，据此可知函数单调递减，，，即的取值范围是.16. 3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．【答案】40【解析】当排队顺序为男女男女男女时：若甲位于第一个位置，则乙位于第二个位置，余下四人的站法有种方法，若甲位于第三个位置，则乙有种位置进行选择，余下四人的站法有种方法，据此可得，排队顺序为男女男女男女时，不同的站法有种；同理，当排队顺序为女男女男女男时，不同的站法有种，综上可得，满足题意的站法有种.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．17. 若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9【解析】若对任意的，恒成立，可得：恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(3)当时，，而，当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 在中，角，，所对的边为，，，已知，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若的面积，求的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，展开计算可得，则；（Ⅱ）由三角形面积公式可得，结合(Ⅰ)的结论可知，由余弦定理有，据此可得.试题解析：（Ⅰ）由，有，展开化简得，，又因为，所以，由正弦定理得，；（Ⅱ）因为的面积，所以有，由（Ⅰ）知，代入上式得，①又由余弦定理有，代入①得，∴.19. 如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连接，，由几何关系可证得四边形是平行四边形，则，结合线面平行的判断定理可得平面；（Ⅱ）结合几何关系，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由题意可得直线AB的方向向量为，设平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（Ⅰ）取中点，连接，，又∵为的中点，，，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，而且平面，平面，∴平面；（Ⅱ）∵，平面平面，且交于，∴平面，由（Ⅰ）知，∴平面，又∵，为中点，∴，如图，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，∴直线与平面所成角的正弦值为.20. 已知函数，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）记在上最大值为，若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导可得：，分类讨论：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数的递增区间有，，递减区间有. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当时，；②当即时，；③当时，分类讨论有：当时，，∴；当时，，∴.据此可得若，则实数的取值范围为.试题解析：（Ⅰ），①当时，恒成立，此时函数在上单调递增；②当时，令，得，∴时，；时，，∴函数的递增区间有，，递减区间有.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当时，函数在上单调递增，此时；②当即时，，∴在单调递减，∴，∵，∴，即；③当时，，而在，递增，在上递减，∴.由，得，令，则，∴，即，∴，∴.∴当时，，∴；当时，，∴.综合①②③得：若，则实数的取值范围为.点睛：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21. 已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；（Ⅱ）求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标设切线的方程为：.利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得，结合图形可知直线斜率.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上，则，直线与圆相切，则，据此可得，则，，而，.令，则，故，的最小值为.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，则切线的方程为：，即.∴，解得：.∵，∴.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①圆心到切线的距离，整理得：②将①代入②得：③设方程的两个根分别为，，由韦达定理得：，，从而，.记函数，则，，的最小值为，当取得等号.22. 已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数.设，数列的前项和为.求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由于，结合题意猜想：.由数学归纳法易正明该结论，据此可得.（Ⅱ）易求得，，，，则.结合可证得.结合，可证得.则题中的命题成立.试题解析：（Ⅰ）猜想：.用数学归纳法证明如下：（i）当时，，结论成立；（ii）假设时结论成立，即，则，∴，则时，结论成立.（iii）由（i）（ii）可得，对任意，成立.∴.（Ⅱ）易求得，，，于是，，，，∴，，，，∵，所以.∴.∵，有，∴，∴.又，而，∴.综上，当时，.2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =ð（）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3A π=，ABC ∆的面积b c +=（） A ．4B ．6C ．8D ．105．设实数,x y 满足 A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（）A ．80-B ．40-C ．5D ．107．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是（） A ．120B ．110C ．310D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（） A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是（）A ．218πB ．518πC ．718πD ．1118π10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时（）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，zz=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；数列{}n a 的前n 项和n S =___________．13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是__________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．14．已知函数()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABCBC α=平面，1AB =，BC 56ABC ∠=π，平面α内一动点P 满足6PAB π∠=，则PC 的最小值是___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC C A B A A A ===111，︒=∠90ABC ，︒=∠45BAC ，N M ,分别是B A CC 11,的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．20．（本题满分15分）已知函数()()21504a f x x x x =++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在点()14，处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．21.（本题满分152个焦点与1 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足113a =，212n n n a a a n +=+，*n ∈N ．证明：（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；（Ⅲ）212121n n n a n n -≤≤++，*n ∈N ．【参考答案】一、选择题 1．B【解析】因为{}|1A x x =>，所以{}|1U A x x =≤ð，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}|01UA B x x =<<ð．2．D【解析】因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．C【解析】该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803+⋅⋅=．4．B【解析】由1sin 2S bc A ==8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．5．C【解析】不等式组20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为如图的阴影部分，目标函数示阴影部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．6．A【解析】二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()555315521C 2C 21rr r rrr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1145C 2180⋅⋅-=-．【解析】从10个数中任取3个共有310120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有33C 1=种取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有33C 1=种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020+++=． 8．D【解析】如图，由0FA FB FC ++=得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22x y l y x y -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．9．B【解析】如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原点，则其终点在射线()()tan 115y x x π=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫π ⎪⎝⎭，．【解析】因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x mn m--<=---，因此()f x x m n +<+． 二、填空题 11．12i -；1 【解析】12i z =-，1z z z z==． 12．2；21n -【解析】由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，1212112nn n S -=⋅=--．13．()34，，5；()()225225x y -+-=【解析】由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是()()225225x y -+-=． 14．2；10,ln 22⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，因此()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故11ln 222f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数()y f x a =-有一个零点．15．120【解析】符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310C 120=组自然数解，故共有120种不同的排法．16．2【解析】令2a b x a b y +=⎧⎨+=⎩，显然,0x y >，则2a y x b x y =-⎧⎨=-⎩，所以22222a b y x x y y xa b a b x y x y--+=+=+-≥++，当x =，即a =时，等号成立．17 【解析】如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为6π的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ∆为底角为6π的等腰三角形，所以OB PB ABC ⊥平面时，tan 6PB AB π=⋅=，此时点P 的坐标为⎝⎭，因此抛物线的方程为2y =，点C 的坐标为⎫⎪⎭，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为222216534x y x x ⎛⎛+=+=+ ⎝⎝，故PC ．三、解答题18．（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．由sin 233y f x x ϕπ⎛π⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象过()0,1点得22,32k k ϕππ+=+π∈Z ．又由0ϕ-π<<得6ϕπ=-．所以函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）解：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,666x ππ5π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．19．解：（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且MC AA NP ==121，故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又⊂PC 平面ABC ，⊄MN 平面ABC ，因此//MN 平面ABC ． （Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形， 故MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为︒=∠90ABC ，Q 是AC 的中点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以CQ A BQ A AQ A 111∆≅∆≅∆，则︒=∠=∠9011QC A QB A ， 所以BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H ，连结PM PH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角． 设41=A A ．在APH ∆中，︒=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17=PH ． 在MPH Rt ∆中，3,17==MH PH ，所以1085cos =∠MPH ． 因此，直线1CN 与平面ABC20．（Ⅰ）解：由()1g x x'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，处的切线方程为3y x =+． 设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()0003()1f x x f x ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩得2000020153,4101,a x x x a x x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01.21.x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（Ⅱ）证明：令()()()2111354F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，所以函数()y F x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x >时，()102F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =时等号成立． 令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()111x G x x x-'=-=，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．21．c =，b =由2122S c b =⋅⋅=a =b （Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+， ()2122113k AB x x k +=-=+．点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++．由以线段AB 为直径的圆截直线1x =得2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+． 22．（Ⅰ）解：2114399a =+=，2342409981a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103a =>； （2）假设n k =时，0k a >，2120k k k a a a k+=+>； 所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ． 所以2120n n n a a a n+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列． （Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111*********n n a a n n n n +-<<=---+， 所以1111212n a a n -≤--，故2121n n a n -≤+． 由21121n n a n -≤<+得2122n n n n n a a a a a n n +=+<+，所以221n n a n >+，故211221n n n n n a a a a a n n ++-=>+， 所以22111111111n n a a n n n n n +->≥=-+++， 因此11111n a a n -≥-，故21n n a n ≥+．。

2018届浙江高考数学仿真试卷四考试时间：120分钟一、单选题1．【（衡水金卷）2018年普通高校招生全国卷 I 】已知集合{}1,0,2,4A =-， {}2|20B x N x x =∈-+≥，则（ ）A. {}2A B ⋂=B. {}2,4A B ⋂=C. {}1,0,2,4A B ⋃=-D. {}1,0,1,2,4A B ⋃=- 【答案】D【解析】因为{}2|20B x N x x =∈-+≥ {}{}{}=0,1,20,2,1,0,1,2,4A B A B ∴⋂=⋃=- ,所以选D.【回扣点睛】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法. 2．【2018届高三第一次全国大联考】若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是A. 复数的虚部为1B.C. D. 复平面内与复数对应的点在第二象限【答案】C【回扣点睛】1.复数的概念及运算；2.复数的几何意义. 3．【2018届宁夏银川高三4月检测】是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么【答案】D【解析】对于A ，如果则∥或，因为，则，故正确；对于B ，如果，那么与无公共点，则，故正确；对于C ，如果，则，故正确；对于D ，如果，那么与的关系不确定，故错误. 故选D.【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的体积.4．若满足约束条件,则的最小值为( )A. 1B.C. 5D. 9 【答案】B 【解析】【回扣点睛】1.简单线性规划；2.直线与圆的位置关系. 5．【2018届河南省高三4月高考适应性考试】已知等差数列的前项和为，且，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】在等差数列中，由，得，，其对称轴方程为，要使数列在内为递增数列，则，即，故选D.【回扣点睛】1.等差数列；2.二次函数的图象和性质.6．【2018届内蒙古呼和浩特市高三第一次调研】函数()()sin f x A x B ωφ=++的部分图象如图所示，将函数()f x 图象向右平移1个单位得到函数()g x 的图象，则()()415g g -+=（ ）A. 3B. 32C. 2D.12【答案】B【回扣点睛】1.诱导公式；2.三角函数的图象和性质.7．【2018届四川省德阳市高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．【回扣点睛】1.双曲线的几何性质；2.直线和圆的位置关系.8.【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】设()2f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为 （ ） A.12 B. １ C. 32D. ２ 【答案】A【回扣点睛】本题考查绝对值不等式的应用。

2018年金华十校高考模拟考试数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{2,3}MN =，则M N =（ ）A ．{1,3}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2.双曲线2214x y -=的离心率为（ ） A3.“1x a >>”是“log 0a x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则2x y+的取值范围为（ ）A ．[]4,16B ．1,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>与(0cos(2)g x x ϕ=+的对称轴完全相同.为了得到()cos 3h x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移2π D ．向右平移2π6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过圆22420x y x y +--=的圆心，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,47.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23 B ．59 C ．29 D ．348.已知函数2()21x f x -=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 方程的2[()]()0a f x bf x c ++=的解集不可能是（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3}C ．{0,2,4}D ．{1,2,3,4} 9.已知平面内任意不共线三点A ，B ，C ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．以上说法都有可能10.如图，若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到点A 的距离之比为正常数λ，且动点P 的轨迹是抛物线，则二面角A BC D --平面角的余弦值为（ ）A ．λB ．1λD 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则tan α= ，cos sin 2παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 12.已知复数11z i =-，121z z i ⋅=+，则复数2z = ，2z = ．13.若56542123()(2)x y x y a x a x y a x y +-=++3324564567a x y a x y a xy a y ++++，则4a = ，1234567a a a a a a a ++++++= ．14.已知函数()4sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期T = ，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为 ．15.已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ． 16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有 种（用数字作答）．17.若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226x x ax b x ≤++≤(,0)a R b ∈>恒成立，则实数b 的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin sin()2sin 2A B C B =-+，2B π≠.（Ⅰ）求证：2c b =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积225S b a =-，求tan A 的值.19.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，BC =F 为BD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值.20.已知函数3()f x x ax a =+-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）记()f x 在[1,1]-上最大值为()M a ，若()1M a >，求实数a 的取值范围.21.已知抛物线2y x =和C ：22(1)1x y ++=，过抛物线上的一点000(,)(1)P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.（Ⅰ）若切线PB 过抛物线的焦点，求直线PB 斜率； （Ⅱ）求面积ABP ∆的最小值.22.已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数.设()(1)f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：（Ⅰ）()*112n n a n N a +≤∈； （Ⅱ）当3n >时，327432n T <<.2018年金华十校高考模拟考试数学卷参考答案一、选择题1-5: DCACA 6-10: BADBB二、填空题0； 12. i ，1； 13. 40，2； 14. π，(0,3]； 15. 5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； 16. 40 17. 9三、解答题18.解：（Ⅰ）由sin sin()2sin 2A B C B =-+，有sin()sin()4sin cos B C B C B B +=-+，展开化简得，cos sin 2sin cos B C B B =， 又因为2B π≠，所以sin 2sin C B =，由正弦定理得，2c b =；（Ⅱ）因为ABC ∆的面积225S b a =-，所以有221cos 54cos 2bc A b b A =-， 由（Ⅰ）知2c b =，代入上式得222sin 5b A b a =-，①又由余弦定理有222222cos 54cos a b c bc A b b A =+-=-， 代入①得22sin 4cos b A b A =， ∴tan 4A =.19.解：（Ⅰ）取BC 中点G ，连接FG ，AG ， 又∵F 为BD 的中点，2CD EA =，//CD AE ， ∴12FG CD EA ==，且//FG AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形， ∴//EF AG ，而且EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴//EF 平面ABC ；（Ⅱ）∵90EAC ∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，且交于AC ， ∴平EA ⊥面ABC ，由（Ⅰ）知//FG AE ，∴FG ⊥平面ABC ， 又∵AB AC =，G 为BC 中点， ∴AG BC ⊥，如图，以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A，B，(0,2)D ，(1,0,1)E ，∴(AB =-，(0,2)BD =-，(1,BE =， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令1y =，得(0,1,3)n =，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为34AB n AB n⋅=⋅. 20.解:（Ⅰ）2'()3f x x a =+，①当0a ≥时，'()0f x ≥恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令'()0f x =，得x =， ∴,,3ax ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎝⎭时，'()0f x >； x ⎛∈⎝时，'()0f x <，∴函数()fx 的递增区间有,⎛-∞⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，递减区间有⎛ ⎝. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当0a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上单调递增，此时()(1)1M a f ==；1≥即3a ≤-时，[1,1]⎛-⊂ ⎝，∴()f x 在[1,1]-单调递减，∴()(1)12M a f a =-=--，∵3a ≤-，∴125a -≥，即()5M a ≥；③当30a -<<时，[1,1]⎛⊂- ⎝，而()f x在1,⎛- ⎝，⎫⎪⎪⎭递增，在⎛ ⎝上递减，∴()max ,(1)M a f f ⎧⎫⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎩⎭max ,1f ⎧⎫⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎩⎭.由1f ⎧⎪>⎨⎪⎩，得213a ->，令t =23a t =-，∴322310t t +->，即322(1)3(1)0t t ++->2(1)(21)0t t ⇒+->，∴12t >，∴34a <-. ∴当334a -<<-时，1f ⎧⎪>⎨⎪⎩，∴()M a f ⎧⎪=⎨⎪⎩；当304a -≤<时，1f ⎧⎪<⎨⎪⎩，∴()(1)1M a f ==.综合①②③得：若()1M a >，则实数a 的取值范围为3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 21.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线PB 的斜率为k ， 则切线PB 的方程为：14y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即104kx y k --=.1(1)101k k⋅--⋅-=，解得：43k =±. ∵000(,)(1)P x y y ≥，∴43k =. （Ⅱ）设切线方程为y kx m =+，由点P 在直线上得：00y mk x -=①圆心C1=，整理得：2210m km --=②将①代入②得：2000(2)20x m y m x +--=③设方程的两个根分别为1m ，2m ，由韦达定理得：012022y m m x +=+，01202x m m x =-+，从而12AB m m =-==012ABPS AB x x ∆==01)x =≥.记函数222(3)()(1)(2)x x x g x x x +=≥+，则223(21118)'()0(2)x x x g x x ++=>+， min 4()(1)9g x g ==，ABP S ∆的最小值为23，当01x =取得等号.22.解：（Ⅰ）猜想：102n a <≤.用数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，112a =，结论成立； （ii ）假设n k =时结论成立，即102k a <≤，则2211111124248k k k k a a a a +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴1104k a +<≤，则1n k =+时，结论成立. （iii ）由（i ）（ii ）可得，对任意*n N ∈，102n a <≤成立. ∴1111242n n n a a a +=+≤.（Ⅱ）易求得214a =，3332a =，4572048a =，于是(1)2f =，(2)4f =，(3)10f =，(4)35f =， ∴11b a =，22b a =，33b a =，44b a =-，∵()(1)f n n n b a =-，所以n n n a b a -≤≤.∴12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≥++---⋅⋅⋅-. ∵112n n a a +≤，有112n n a a -≤， ∴23453331122n a a a a a a a ⎛⎫---⋅⋅⋅-≥--⋅ ⎪⎝⎭333311022n n a a --⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅-⋅=⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1234n T a a >+=. 又12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≤++-++⋅⋅⋅+，而2454441122n a a a a a a ⎛⎫-++⋅⋅⋅+≤-++⋅ ⎪⎝⎭444411022n n a a --⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅=-⋅< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1232732n T a a a <++=. 综上，当3n >时，327432n T <<.。

2017学年浙江省高三“五校联考”第二次考试数学试题卷 命题学校：宁波效实说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤，则R B C A = （ ▲ ） A. [2,4] B. (2,4] C. [0,4] D. (2,4](,0)-∞ 2．若复数z 满足(1)1z i ii +=-+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （ ▲ ） A ．12-B ．12C ．12i D ．12i 3．已知随机变量~(4,)X B p ，若83EX =，则(2)P X == （ ▲ ） A.83 B. 827 C. 23 D. 494．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则“a b ⊥”的一个充分条件是 （ ▲ ）A. ,,a b αβαβ⊥⊥∥B. ,,a b αβαβ⊥⊥∥C. ,,a b αβαβ⊂⊥∥D. ,,a b αβαβ⊂⊥∥ 5．如图，设A 、B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB ⋅的取值范围是 （ ▲ ）A ．[1,3]-B ．[1,3]C ．[3,1]--D ．[3,1]- 6．64(1(1的展开式中x 的系数是 （ ▲ ） A ．4- B. 3- C. 15或3 D. 4 7．点D 是ABC ∆的边AB 的中点，120ABC ∠=，2CD AB=A 、B 为焦点的双曲线恰好经过点C ，则该双曲线的离心率为 （ ▲ ）A.13B. 1211 8. 若cos sin tan 02παααα⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭，则α∈ （ ▲ ） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ9．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，有以下四个命题： （1为边长的三角形一定存在； （2）以2,2,2abc为边长的三角形一定存在； （3）以333,,a b c 为边长的三角形一定存在； （4）以,,a b c b c a c a b -+-+-+为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为（ ▲ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．已知函数2()1,0()21,0x a a x f x x a a x ⎧--+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩的最小值为21a -，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A（第5题图）A. 1a =B. 01a ≤≤C. 0a ≤或1a =D. 0a ≤或1a ≥第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．已知21366log log x =-，则x 的值是 ▲ ． 12．若实数x ，y 满足1|21|x y y x -+≤⎧⎨≥-⎩，则x y +的最大值为 ▲ ，22x y +的取值范围为▲ ．13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 ▲ ， 其外接球的体积是 ▲ ．14．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN yAC = . 若12x =，则y = ▲ ，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y += ▲ ．15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5101,,S S -成等差数列，则1052S S -= ▲ ，1510S S -的最小值为 ▲ ．16．将一个44⨯正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有▲ 种不同的染色方法．17．棱长为36的正四面体A BCD -的内切球上有一动点M，则13MB MC +的最小值为▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22()(2b c a bc +-=，2sin sin cos2C A B =． （Ⅰ）求角A 和角B 的大小；（Ⅱ）已知当R x ∈时，函数)sin (cos sin )(x a x x x f +=的最大值为32，求a 的值．B（第14题图）（第13题图）俯视图19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是梯形. //,1,BC AD AB BC CD ===2AD =，PB =PA PC == （Ⅰ）证明；AC BP ⊥；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）（Ⅰ）求证：()ln 1x x <>；（Ⅱ）设函数()()111ln 1f x x x x =->-(ⅰ)求证：()f x 是减函数；(ⅱ)若不等式11+n ae n +⎛⎫< ⎪⎝⎭对任意n N *∈恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.（本题满分15分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆切于点P ，OQ l ⊥，垂足为Q ，其中O 为坐标原点.求OPQ ∆面积的最大值．（第21题图）22．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 满足14a =，211ln 3n n n a a a n+=-+，n N *∈． （Ⅰ）求证：4n a n ≥； （Ⅱ）求证：。

浙江省五校联考2018年高考模拟数学理科试卷（总分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1. 已知集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，则A B =I( )A.∅B.{}1C.{}0,1D.(){}1,02.已知复数z= 201821i i++（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的 值分别为（ ）A. 7、8B. 5、7C. 8、5D. 7、74. 设向量a ，b 满足，()3-=g a a b ，则a 与b 的夹角为5若123)(23++-=x x a x x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,21上有极值点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．4k > B ．5k > C.6k > D ．7k >7. 已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ）A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=1,4sin 10,2)(x x x x f x π，则=-+)7log 3()2(2f fA ．87 B ． 227 C ．158 D ． 1579.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼— 15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（ ） A. 24 B. 36 C.48 D. 9610．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=( )A ．45B ．35C ．35-D ．45-11. 中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖b i e．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P ADE -为鳖臑,且PA ⊥平面ABCE ，2AB AD ==，1ED =，该鳖臑．．的外接球的表面积为9π，则阳马．．的外接球的体积为A． B． C． D．12．已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e2-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B 铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知平面向量(==m ,n ，则m 在n 上的投影=_______.14. 已知6260126(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+++++++，则3a = ．（结果用数值表示）．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．对1x R ∀∈，[]23,4x ∃∈，使得不等式2211221223x x x x x mx ++≥++成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 17. （本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．18. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点.将∆ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM.（1）求证：AD BM ⊥；（2若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为519. （本小题满分12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为713，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取．．13．．人进行分析．．．．．．．（Ⅰ）求条形图中m 和n 的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X ，求离散型随机变量X 的分布列与数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，1||2AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P ，Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数()()R a a x x a x x x f ∈+--=22ln 在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两极值点分别为.,,2121x x x x <且已知0>λ，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的范围.请考生在第22,23,三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.作答时请写清题号22. （本小题满分10分）已知曲线C ： 21sin ρθ=-，直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 与曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求α的值. 23. （本小题满分10分）已知函数f （x ）=﹣x 2+ax+4，g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．理科数学答案一、选择题（每小题5分，共计60分）二．填空题（每小题5分，共计20分）13． -1 14． 20 15． 3816．(],3-∞ 三、解答题17.（I ）证明：∵数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，∴a n+1+4=2（a n +4）..................3分 ∴数列{a n +4}是等比数列，公比与首项为2．...............................................................6分 （II ）解：由（I ）可得：a n +4=2n ， ∴a n =2n ﹣4，...............................................8分∴当n=1时，a 1=﹣2；n≥2时，a n ≥0，..........................................................................9分 ∴n≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n =2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n ﹣4） =﹣4（n ﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．............................................11分∴S n =2n+1﹣4n+2．n ∈N * ．.............................................................................................12分 18. 【答案】（1）解：证明：∵长方形ABCD 中，AB=，AD=，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM.....................................3分∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM ∵AD ⊂平面ADM∴AD ⊥BM.......................................................5分 （2）解：建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD 的一个法向量 ，...................................7分，设平面AME 的一个法向量 则 取y=1，得所以，............................................10分因为 ，求得 ，所以E 为BD 的中点 .......................11分19..（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：……………………………………………………………………………11分 所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 20．解：（Ⅰ）由12e =得2a c =，1||2AF =，2||22AF a =-， 由余弦定理得，222121212||||2||||cos ||AF AF AF AF A F F +-⋅=，解得1c =，2a =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． (5)分（Ⅱ）存在这样的点M 符合题意. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ， 由2(1,0)F ，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………………7分 由韦达定理得2122843k x x k +=+，故212024243x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，02343k y k -=+，所以22243(,)4343k kN k k -++. …………………9分 因为MN PQ ⊥，所以22230143443MNk k k k k m k --+==--+，整理得22211(0,)34344k m k k==∈++， 所以存在实数m ，且m 的取值范围为1(0,)4．...12分21.I 依题意得函数)(x f 得定义域为(0,+∞)，所以方程0)('=x f 在(0,+∞)有两个不同的根， 即方程0ln =-ax x 在(0,+∞)有两个不同的根. 问题转化为函数xx x g ln )(=与ay =的图象(0,+∞)有两个不同的交点. 又,ln 1)('2xxx g -=即当e x <<0时，0)('>x g ；当e x >时，0)('<x g ， 所以)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减.从而ee g x g 1)()(==极大值 ………………3分 又)(x g 有且只有一个零点是1，且当0→x 时，-∞→)(x g ；当+∞→x 时，0)(→x g . 所以，要想函数xxx g ln )(=与函数a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点， 只需e a 10<<.…6分 (II )因为λλ+⋅<211x x e 等价于21ln ln 1x x λ+<λ+，由(I )知21,x x 是方程0ln =-ax x 的两个根，即2211ln ,ln ax x ax x ==，所以原式等价于)(ln ln 12121x x a x x λ+=λ+<λ+，因为2100x x <<>λ，，所以原式等价于211x x a λ+λ+>. …………8分又由2211ln ,ln ax x ax x ==作差得)(ln2121x x a x x -=，即2121ln x x x x a -=.所以原式等价于2121211lnx x x x x x λ+λ+>-，因为210x x <<时，原式恒成立，即212121)()1(ln x x x x x x λλ+-+〈恒成立. 令)1,0(,21∈=t x x t ，则不等式)1()1(ln -++<t t t λλ在)1,0(∈t 上恒成立. 令λλ+-+-=t t t t h )1()(1ln )(，又2222)()()1()()(11)('λ+λ--=λ+λ+-=t t t t t t t h ，当12≥λ时，可见)(0,1∈t 时，0)('>t h ，所以)(0,1)(∈t t h 在上单调递增, 又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上恒成立，符合题意. …………10分当12<λ时，可见当)(0,2λ∈t 时，0)('>t h ，当)1(2，λ∈t 时，0)('<t h 所以)(0,)(2λ∈t t h 在上单调递增, 在),1(2λ∈t 上单调递减，又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上不恒成立，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式λλ+⋅<211x x e 恒成立，只需12≥λ，又0>λ，所以1≥λ…………12分22解：（Ⅰ）由 ，得 ，................................................................2分 所以曲线C 的直角坐标方程为 ................................................................................5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入，得 ，.......7分设A ，B 两点对应的参数分别为 ，由韦达定理及 得 ，故 (10)分23.（1）解：（1）当a=1时，f （x ）=﹣x 2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|= ，................................................................................2分当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x+4=2x ，解得x=，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，]； (3)分当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）=2，f （x ）≥f （﹣1）=2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）=f （﹣1）=2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，]；...........................................................5分（2）依题意得：﹣x 2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]． ...............................................................................................10分。

2018年浙江高考仿真卷(三)(对应学生用书第171页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．定义集合A ＝{x |f (x )＝2x－1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x＋2)}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1，＋∞)B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[0,2)B [由2x－1≥0得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，由于2x>0，所以2x＋2>2， 所以log 2(2x＋2)>1，即B ＝(1，＋∞)， 所以A ∩∁R B ＝[0,1]，故选B.]2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a 2＋b 2<c 2⇒C 为钝角⇒△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，则当A 为钝角时，有b 2＋c 2<a 2，不能推出a 2＋b 2<c 2，故选A.]3．已知复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于( )A ．2 B.23 C ．－2 D ．－23D [2－b i 1＋2i＝－b－5＝2－4i －b i －2b 5＝2－2b 5－4＋b 5i ，由题设可得2－2b 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋b 5＝0，解得b ＝－23，故选D.]4．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )图1A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面间的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P ­A 1B 1C 1的体积不变 C ．与12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任 意一点，则|MN |的最小值是3－22D [平面ACB 1与平面A 1C 1D 都垂直于BD 1，且将BD 1三等分，故A 正确；由于AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以动点P 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是定值，所以四面体P ­A 1B 1C 1的体积不变，故B 正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，22为半径的球，所以体积为23π，故C 正确；对于选项D ，设内切球的球心为O ，则|MN |≥||OM |－|ON ||＝32－12，当且仅当O ，M ，N 三点共线时取“＝”，而32－12>32－22，故D 错误．]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[1,2] C ．(0,1] D ．(1,2)A [函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝m 在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得出0<m <1.]6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若|PH |＝a ，则双曲线的离心率为( )A.52B.32C.5＋12D.6＋12C [由题意可得点P 的坐标为(b ，a )，又P 在双曲线上，故有b 2a 2－a 2b 2＝1，即b 2a 2＝c 2b2，所以b 2＝ac ，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0， 解得e ＝5＋12(负值舍去)．]7．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝( )A.43B ．－43C ．－23D ．－3B [由3tan α2＋tan 2α2＝1得tanα21－tan2α2＝13，所以tan α＝23.①由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，展开并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝－2tan α，② 由①②得tan(α＋β)＝－43.]8．已知f (x )＝2x 2－4x －1，设有n 个不同的数x i (i ＝1,2，…，n )满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤3，则满足|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M 的M 的最小值是( )A ．10B ．8C ．6D ．2A [由二次函数的性质易得f (x )＝2x 2－4x －1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且f (0)＝－1，f (1)＝－3，f (3)＝5，则当x 1＝0，x n ＝3，且存在x i ＝1时，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n－1)－f (x n )|取得最大值，最大值为|f (x 1)－f (x i )|＋|f (x i )－f (x n )|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M 的最小值为10，故选A.]9．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( ) A ．数列{x i }可能是等比数列 B ．数列{y i }是常数列 C ．数列{x i }可能是等差数列 D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列C [设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c i a，±－2pc i a ，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c ia，此时数列{x i }为公比为q 的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }为公比为q 的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合韦达定理易得x i ＝pb 2a 2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C.] 10．如图2，棱长为4的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )图2A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)B [由于AC 1＝43(定长)，因此要求C 1到平面α距离的最大值，只需求出AC 1与平面α所成角的最大值．设AC 1与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ＝22，因为平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，所以AC 1在与平面α所成的角为θ＋30°的平面β内，且AC 1与平面α，β的交线垂直时，AC 1与平面α所成的角最大，最大值为θ＋30°，所以点C 1到平面α的距离的最大值d ＝AC 1sin(θ＋30°)＝2(3＋2)．]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6展开式中的常数项为________．154[设展开式的第(r ＋1)项为常数项，即T r ＋1＝ C r6(x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x 6－3r 2为常数项， 则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为T 3＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝154.]12．已知空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．图38π103π [由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上，下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π·1·2＋4π·12＝8π，体积为43π·13＋π·12·2＝103π.]13．若直线x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________． π233 [由题设可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即a ＝32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝33，所以f (x )＝sin 2x ＋33cos 2x ，则易知最小正周期T ＝π，f (x )max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝233.]14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为________． 920 32 [不放回地从6个球中取3个，概率为C 23C 13C 36＝920.由题意得有放回的取球3次，取到红球的分布列服从二项分布，且取球一次取到红球的概率为12，所以取到红球次数的期望为3×12＝32.]15．已知整数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≥4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________，x 2＋y 2的最小值是________．24 8 [画出可行域如图中阴影部分所示，易得当x ＝8，y ＝8时，2x ＋y 取得最大值，最大值是24.x2＋y 2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，所以x 2＋y 2的最小值是8.]16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，向量b 与a －b 的夹角为2π3，则a ·b 的取值范围是________．2－433≤a ·b ≤2＋433 [如图，半径为233的圆C 中，|OA |＝2，∠OBA ＝π3，设OA →＝值为233＋1，a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b, b 在OA →上投影的最小值为－⎝⎛⎭⎪⎫233－1，最大∴2－433≤a ·b ≤2＋433.]17．已知函数f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________． －5＋42<b <1 [f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为h (x )＝x 2＋x －4xx ＋1(x >0)，所以f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，当且仅当方程x 2＋x －4x x ＋1＝x 2＋bx －2有两个不同的正根，即(1－b )x 2－(b ＋1)x ＋2＝0有两个不同的正根， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－b ＋2－－b ，1－b >0，1＋b >0，解得－5＋42<b <1.]三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)如图4，四边形ABCD ，∠DAB ＝60°，CD ⊥AD ，CB ⊥AB .图4(1)若2|CB |＝|CD |＝2，求△ABC 的面积；(2)若|CB |＋|CD |＝3，求|AC |的最小值． [解] (1)由题意得A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠DCB ＝120°，2分BD 2＝BC 2＋CD 2－2CD ·CB cos 120°＝7，即BD ＝7， ∴AC ＝BD sin 60°＝2213，故AB ＝AC 2－BC 2＝533，S △ABC ＝12AB ·BC ＝536.7分(2)设|BC |＝x >0，|CD |＝y >0，则x ＋y ＝3，BD 2＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝274⇒BD ≥332， ∴AC ＝BD sin 60°＝23BD ≥3，12分当BC ＝CD ＝32时取到．所以|AC |的最小值为3.14分19．(本小题满分15分)如图5，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，M 分别为CC 1和A 1B 的中点，A 1D ⊥CC 1，侧面ABB 1A 1为菱形且∠BAA 1＝60°，AA 1＝A 1D ＝2，BC ＝1.图5(1)证明：直线MD ∥平面ABC ；(2)求二面角B ­AC ­A 1的余弦值．[解] 连接A 1C ，∵A 1D ⊥CC 1，且D 为CC 1的中点，AA 1＝A 1D ＝2， ∴A 1C ＝A 1C 1＝5＝AC ， 又BC ＝1，AB ＝BA 1＝2， ∴CB ⊥BA ，CB ⊥BA 1，又BA ∩BA 1＝B ，∴CB ⊥平面ABB 1A 1，取AA 1的中点F ，则BF ⊥AA 1，即BC ，BF ，BB 1两两互相垂直，以B 为原点，BB 1，BF ，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，∴B 1(2,0,0)，C (0,0,1)，A (－1，3，0)，A 1(1，3，0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0.(1)证明：设平面ABC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BA →＝－x ＋3y ＝0，m ·BC →＝z ＝0，取m ＝(3，1,0)， ∵MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，m ·MD →＝32－32＋0＝0，∴m ⊥MD →，又MD ⊄平面ABC ，∴直线MD ∥平面ABC . 9分(2)设平面ACA 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，AC →＝(1，－3，1)，AA 1→＝(2,0,0)，n ·AC →＝x 1－3y 1＋z 1＝0，n ·AA 1→＝2x 1＝0，取n ＝(0,1，3)，又由(1)知平面ABC 的法向量为m ＝(3，1,0)， 设二面角B ­AC ­A 1的平面角为θ， ∵二面角B ­AC ­A 1的平面角为锐角，∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝12×2＝14，∴二面角B ­AC ­A 1的余弦值为14.15分20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln 2x －ax 2. (1)若f (x )在(0，＋∞)上的最大值为12，求实数a 的值；(2)若a ＝3，关于x 的方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.⎝⎛⎭⎪⎫提示：x＝1x[解] (1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值． 当a >0时，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增；由f ′(x )<0得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12a ＝ln212a －12＝12，解得a ＝2e －2. 7分(2)由12f (x )＝－12x ＋b 知ln 2x －3x 2＋x －2b ＝0，令φ(x )＝ln 2x －3x 2＋x －2b ， 则φ′(x )＝1x －6x ＋1＝－6x 2＋x ＋1x＝x ＋－2x ＋x. 9分当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，φ′(x )>0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12上单调递增；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，φ′(x )≤0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减． 方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根， 11分则⎩⎪⎨⎪⎧φ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 12＋116－2b ≤0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－2b >0，φ＝ln 2－2－2b ≤0，解得－12ln 2＋132≤b <－18.15分21．(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y2＝34相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA →·NB →为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由． [解] (1)∵e ＝12⇒a 2＝4c 2，又焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y 2＝34相切，根据三角形面积公式得bc ＝32·b 2＋c 2⇒b 2c 2＝34(b 2＋c 2)， 4分即(a 2－c 2)c 2＝34a 2⇒(a 2－c 2)＝3，故c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝k x －⇒(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k ＋3.若存在定点N (m,0)满足条件， 则有NA →·NB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋m 2－m (x 1＋x 2)＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(m ＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2＝＋k2k 2－4k 2＋3－m ＋k 2k 24k 2＋3＋k 2＋m 2＝m 2－8m －k 2＋3m 2－124k 2＋3，10分 如果要上式为定值，则必须有4m 2－8m －53m 2－12＝43⇒m ＝118， 12分验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，0满足NA →·NB →＝－13564. 15分22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝12，都有a n ＋1＝13a 3n ＋23a n ，n ∈N *.(1)求证：12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *；(2)求证：当n ∈N *时，1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n .[证明] (1)∵a n ＋1a n ＝13a 4n ＋23a 2n ≥0，∴a n ＋1与a n 同号．∵a 1>0，∴a n >0.2分∵a n ＋1－1＝13a 3n ＋23a n －1＝13(a n －1)(a 2n ＋a n ＋3)，又a 2n ＋a n ＋3>0，∴a n ＋1－1与a n －1同号． ∵a 1－1<0，∴a n <1，4分∴a n ＋1－a n ＝13a n (a 2n －1)≤0，则0<a n ＋1≤a n ≤a 1＝12，∴a n ＋1a n ＝13a 2n ＋23∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34. 6分 当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 7分 且a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 8分又12·⎝ ⎛⎭⎪⎫230≤a 1≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫340， ∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *.9分(2)∵1－a n ＋11－a n －a n ＋1a n ＝a n －a n ＋1a n －a n ＝13(1＋a n )，又a n ＋1＋1＝13(a 3n ＋2a n ＋3)＝13(a n ＋1)(a 2n －a n ＋3)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝13(a 2n －a n ＋3)≥ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋3＝1112.11分当n ≥2时，a n ＋1＝(a 1＋1)·a 2＋1a 1＋1·a 3＋1a 2＋1·…·a n ＋1a n －1＋1≥32·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，又a 1＋1＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫11121－1，∴13(a n ＋1)≥12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，12分∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n －⎝ ⎛a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3⎭⎪⎫＋…＋a n ＋1a n ＝13[(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋…＋(a n ＋1)]≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1112＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1 ＝12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n1－1112＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n ，∴1－a21－a1＋1－a31－a2＋1－a41－a3＋…＋1－a n＋11－a n≥a2a1＋a3a2＋a4a3＋…＋a n＋1a n＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫1112n.15分- 11 -。

2017学年浙江省高三“五校联考”第二次考试数学试题卷命题学校：宁波效实说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x ，则R B C A = （▲　）A. [2,4]B. (2,4]C. [0,4]D. (2,4](,0)2．若复数z 满足(1)1z i i i （其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（▲　）A ．122B ．212C ．212iD ．212i3．已知随机变量~(4,)X B p ，若83EX ，则(2)P X （▲　）A.83B. 827C.23 D.494．设,a b 是两条直线，,是两个平面，则“a b ”的一个充分条件是（▲　）A. ,,a b ∥B. ,,a b ∥C. ,,a b ∥D. ,,a b ∥5．如图，设A 、B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB 的取值范围是（▲　）柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高；锥体的体积公式：V=31Sh ，其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高；台体的体积公式：1122()13V h S S S S ，其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高；球的表面积公式：S = 4πR 2 ，球的体积公式：V=43πR 3，其中R 表示球的半径；如果事件A, B 互斥, 那么P(A+B)=P(A)+P(B) ；如果事件A, B 相互独立, 那么P(A ·B)=P(A)·P(B) ；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p, 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)=k n C p k (1－p)n-k(k = 0,1,2,…, n)．C O A B（第5题图）A ．[1,3]B ．[1,3]C ．[3,1]D ．[3,1]6．64(1)(1)x x 的展开式中x 的系数是（▲　）A ．4B. 3C.15或3D.47．点D 是ABC 的边AB 的中点，120ABC ，32CD AB ，若以A 、B 为焦点的双曲线恰好经过点C ，则该双曲线的离心率为（▲　）A.713B. 512C. 21D. 318. 若cos sin tan 02，则（▲　）A ．)6,0(B ．)4,6(C ．)3,4(D ．)2,3(9．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，有以下四个命题：（1）以,,a b c 为边长的三角形一定存在；（2）以2,2,2a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以333,,a b c 为边长的三角形一定存在；（4）以,,a b c b c a c ab 为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为（▲　）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10．已知函数2()1,0()21,0xa a x f x x a a x 的最小值为21a ，则实数a 的取值范围是（▲　）A. 1aB. 01aC. 0a 或1aD. 0a 或1a 第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．已知21366log log x ，则x 的值是▲　．12．若实数x ，y 满足1|21|x y y x ，则x y 的最大值为▲　，22x y 的取值范围为▲　．。