(完整版)100所名校高考模拟金典卷数学卷(三)

100所名校高考模拟金典卷·数学（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A ．iB ．2iC ．1D ．22．集合1(,)|2xP x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2(,)|2Q x y y x ==-+，则集合P Q ⋂中元素的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．33．（2019年全国Ⅱ卷）已知(2,3)AB =u u u r ，(3,)AC t =u u u r ，||1BC =u u u r，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ）．A ．3-B ．2-C ．2D ．34．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）．A ．(0,B ．(C ．(0,D ．(5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ）． A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6．运行如图所示的程序框图，则输出的s 值为（ ）．A ．10-B ．57-C ．11-D ．26-7．函数()1()1x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）． A ． B ． C ． D ．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）． A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ）． A ．baa a <B ．a bb b >C ．b ba b >D ．b aa b >10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与三视图所对应的几何体满足“幂势既同”其中俯视图中的圆弧为14车圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）．A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+11．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧)BC 靠近点B 的三等分点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）．A ．3B ．10C ．6D ．612．（2019年全国Ⅰ卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1||AB BF =，则C 的方程为（ ）． A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的橫线上．13设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为 ．14．92x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为 （用数字作答）．15．高三（1）班某一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学，周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步．①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；①D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球． 若以上命题都是真命题，则D 在 ．16．已知ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC △的周长为 ．三、解答题：共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足关于x 的不等式24360a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．19．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>．（1）过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H ．求证：2||||||QH AB OH =⋅；（2）过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥．求抛物线C 的方程． 20．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围值内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员一天按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次；每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布()2,Nμσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =（精确到0.0001）及X 的数学期望；（2）在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查． 下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈． 其中i x 为抽取的第(1,2,,20)i i =…件药品的主要药理成分含量，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查． 附：若随机变量Z 服从正态分布()2,Nμσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，190.99740.9517≈，200.99740.9493≈，20.05070.0026≈，20.94730.9012≈．21．已知函数32()f x x x bx =++，()ln g x a x =．（1）若()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的取值范围；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）已知在极坐标系中，:0,0,2l πθαρα⎛⎫⎛⎫=>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，当||4||OB OA =时，求α的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()|1||1|f x x x =+--，22()g x x a x b =++-，其中a ，b 均为正实数，且2a b +=． （1）求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x ∈R 时，求证：()()f x g x ≤．100所名校高考模拟金典卷·数学（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【命题意图】本题考查复数的相等与复数的虚部．【解题分析】∵223i z i i ⋅+=-+，∴2i z i ⋅=-+，∴12z i =+，故z 的虚部为2． 2．【答案】C【命题意图】本题考查交集中元素的个数．【解题分析】作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与22y x =-+的图象可知两个函数有两个公共点，故集合P Q ⋂中元素的个数为2．3．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．【解题分析】因为(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，且||1BC =u u u r，所以3t =，202AB BC ⋅=+=u u u r u u u r ．4．【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的渐近线与焦点．【解题分析】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，∴233=，解得4m =，∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 【归因导学】错↔学5．【答案】B【命题意图】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力．【解题分析】该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，故B 项错误，A 、C 、D 项均正确． 6．【答案】D【命题意图】本题考查程序框图．【解题分析】第一次循环，1s =-，2k =；第二次循环，4s =-，3k =；第三次循环，11s =-，4k =；第四次循环，26s =-，5k =；不满足5k <，输出26s =-． 7．【答案】A【命题意图】本题考查函数图象的识别与判断．【解题分析】当0x >时，1xe >，则()0f x <；当0x <时，1xe <，则()0f x <，所以函数()f x 的图象恒在x 轴下方，故选A 项． 8．【答案】D【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质．【解题分析】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称，所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=． 9．【答案】D【命题意图】本题考查指数函数与幂函数的单调性的应用．【解题分析】∵1b a <<，∴xy a =和xy b =均为增函数，∴b a a a <，a b b b >，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >，b a 与ab 的大小关系不能确定，故D 项不正确． 10．【答案】B【命题意图】本题考查数学史与三视图．【解题分析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥的组合体，如图所示，则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，所以对应不规则几何体的体积为136π+．11．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与异面直线的夹角．【解题分析】取BC 的中点H ，连接EH ，BE ，CE ，DE ，则60BHE ∠=︒，120CHE ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，1BE =，CE =所以AE =，DE =．因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠．在EAD △中，cos10EAD ∠==． 12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想与运算求解能力．【解题分析】由题可设2F B x =，于是22F A x =，则||3AB x =，再由椭圆定义知212F B FB F B +=||32AB x x a +=+=，得2ax =，则12F A x =，由2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=得2x =，则a =． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．【答案】(1,9)-【命题意图】本题考查线性规划．【解题分析】作出不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域（图略），平移直线30x y -=，可得z 的取值范围是(1,9)-． 14．【答案】672-【命题意图】本题考查二项式定理．【解题分析】92x ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为93921992(2)rrr r r rr T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9302r -=，得3r =，故常数项为339(2)672C -=-． 15．【答案】画画【命题意图】本题考查推理证明．【解题分析】由①②④，可知，A 、B 、D 都不散步，必有C 在散步，由③可知必有A 在跳舞，由④可知D 不在打篮球，因此D 在画画，故答案为画画．16．【答案】15【命题意图】本题考查解三角形的综合． 【解题分析】当2A C =时，cos 3sin sin sin 2sin a c a c c C A C C C =⇒=⇒=，结合54b c =和余弦定理可得，222255362cos 362644c b ab C c c c ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴4c =，5b =，即ABC △的周长为15．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．【命题意图】本题考查数列与不等式．【解题分析】（1）依题意可得3453S a =，且4623a =，所以49a =，315S =， 则139a d +=，13315a d +=，解得13a =，2d =，故21n a n =+．（2）∵21412n n c n +=++，∴()()2814(541)823412143nn n n n T n n -++=+=++--． 18．【命题意图】图本题考查线面平行与求二面角． 【解题分析】（1）取CD 的中点M ，连接EM ，BM ．由已知得，BCD △为等边三角形，BM CD ⊥． ∵2AD AB ==，BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=︒， ∴90ADC ∠=︒，∴BM AD ∥，又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ．∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD ∥． 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD ．∵EM BM M ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD ． ∵BE ⊂平面BEM ， ∴BE ∥平面PAD ．（2）连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥．∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =．以O 为坐标原点，OC uuu r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．则(0,D ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ．易知平面PBD 的一个法向量为1(1,0,0)n =u r． 设平面PCD 的法向量为2(,,)n x y z =u u r，则2n DC ⊥u u r u u u r ，2n DP ⊥u u r u u u r ，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u r u u u ru u u r，∵DC =u u u r，DP =u u u r，∴300x z ⎧+=⎪+=．令y =1x =-，3z =-，∴2(13)n =--u u r，∴121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 设二面角C PD B --的大小为θ，由图知θ为锐角，则cos 13θ=． 19．【命题意图】本题考查抛物线的相关知识．【解题解析】（1）设()00,Q x y ，()0,0H x ，0||QH y =，0||OH x =，||2AB p =，从而220||2||||QH y px AB OH ===． （2）由条件OD MN ⊥可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C 的方程，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，得2280y py p +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 由韦达定理得122y y p +=-，128y y p =-，由OM ON ⊥有12120x x y y +=， 则()()1212440y y y y --+=，可得2p =，所以抛物线2:4C y x =．20．【命题意图】本题考查二项分布与正态分布．【解题分析】（1）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026， 故~(20,0.0026)X B ．因此11920(1)(0.9974)0.00260.0495P X C ==⨯≈，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=．（2）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=， 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，此时需对本次的生产过程进行检查．21．【命题意图】本题考查函数的单调性与恒成立问题．【解题分析】（1）由32()f x x x bx =++，得2()32f x x x b '=++，因()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，所以2()32f x x x b '=++在[1,2]上最大值大于0，最小值小于0． ∵2211()32333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴max min ()160()50f x b f x b '=+>⎧⎨'=+<⎩， ∴165b -<<-，故(16,5)b ∈--．（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-，∵[1,]x e ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->， ∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 令22()ln x x t x x x-=-，[1,]x e ∈，求导得2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[1,]e 上是增函数，∴min ()(1)1t x t ==-，∴1a ≤-，即(,1]a ∈-∞-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【命题意图】本题考查极坐标方程及其应用．【解题分析】（1）曲线1C 的坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）由（1）知1||cos sin A OA ραα==+，||4cos B OB ρα==，∴||4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)22||4OB OA παααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭．∵||4||OB OA =，∴2244πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin 242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由02πα<<，知52444πππα<+<，∴3244ππα+=，解得4πα=． 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的加法与恒成立．【解题分析】（1）由题意，2,1()2,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩．①当1x ≤-时，()21f x =-<，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -<<时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤<； ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立． 综上所述，()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）当x ∈R 时，()|1||1||1(1)|2f x x x x x =+--≤++-=， ()222222()g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+． 而222222()()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时，22()2()f x a b g x ≤≤+≤，故当x ∈R 时，()()f x g x ≤．。

100所名校高考模拟金典卷数学卷(三)这是一份100所名校高考模拟金典卷数学卷，题目涵盖了高考数学的各个知识点和难度级别，旨在帮助学生全面复习和提高数学水平。

以下是卷子的详细题目和解答。

一、选择题1. 已知直线l1：2x-3y+4=0，直线l2：3x-4y+5=0，则直线l1和直线l2的夹角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若x=3是方程2x^2-3x+k=0的一个根，那么k的值是：A. -6B. -3C. 0D. 63. 若a, b, c是等差数列的前三项，且a+b+c=9，a^2+b^2+c^2=21，则a的值是：A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f(2x+1)的值是：A. 4x^2+4x+1B. 4x^2+6x+3C. 4x^2+4x+2D. 4x^2+2x+15. 若直线l1的斜率为k，直线l2过点(1,2)且与l1垂直，则直线l2的斜率是：A. kB. -kC. 1/kD. -1/k二、填空题1. 已知平面上点A(2,3)、B(5,1)，则AB的中点坐标为______。

2. 解方程组：2x+3y=73x-2y=4得到的解为x=______，y=______。

3. 若f(x)=3x^2+2x+1，求f(-2)的值为______。

4. 若a, b, c是等差数列的前三项，且a+b+c=12，a^2+b^2+c^2=36，则a的值为______。

5. 已知函数f(x)=x^2+3x-1，求f(2)的值为______。

三、解答题1. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)和点(2,3)，求a, b, c的值。

解：由已知条件可得以下两个方程：a+b+c=2 （1）4a+2b+c=3 （2）将方程（1）代入方程（2）得：4a+2b+(a+b+c)=35a+3b=1解方程组：a+b+c=25a+3b=1得到a=1，b=-1，c=2。

100所名校高考模拟金典卷·数学（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A ．iB ．2iC ．1D ．22．集合1(,)|2xP x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2(,)|2Q x y y x ==-+，则集合P Q ⋂中元素的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．33．（2019年全国Ⅱ卷）已知(2,3)AB =u u u r ，(3,)AC t =u u u r ，||1BC =u u u r，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ）．A ．3-B ．2-C ．2D ．34．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）．A ．(0,B ．(C ．(0,D ．(5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ）． A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6．运行如图所示的程序框图，则输出的s 值为（ ）．A ．10-B ．57-C ．11-D ．26-7．函数()1()1x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）． A ． B ． C ． D ．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）． A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ）． A ．b a a a <B ．a b b b >C ．b b a b >D ．b a a b >10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与三视图所对应的几何体满足“幂势既同”其中俯视图中的圆弧为14车圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）．A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+11．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧)BC 靠近点B 的三等分点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）．A ．3B ．10C ．6D ．612．（2019年全国Ⅰ卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1||AB BF =，则C 的方程为（ ）． A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的橫线上．13设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为 ．14．92x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为 （用数字作答）．15．高三（1）班某一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学，周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步．①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；①D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球． 若以上命题都是真命题，则D 在 ．16．已知ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC △的周长为 ．三、解答题：共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足关于x 的不等式24360a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===，2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．19．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>．（1）过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H ．求证：2||||||QH AB OH =⋅；（2）过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥．求抛物线C 的方程． 20．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围值内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员一天按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次；每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =（精确到0.0001）及X 的数学期望；（2）在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查． 下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈． 其中i x 为抽取的第(1,2,,20)i i =…件药品的主要药理成分含量，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查． 附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，190.99740.9517≈，200.99740.9493≈，20.05070.0026≈，20.94730.9012≈．21．已知函数32()f x x x bx =++，()ln g x a x =．（1）若()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的取值范围；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）已知在极坐标系中，:0,0,2l πθαρα⎛⎫⎛⎫=>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，当||4||OB OA =时，求α的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()|1||1|f x x x =+--，22()g x x a x b =++-，其中a ，b 均为正实数，且2a b +=． （1）求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x ∈R 时，求证：()()f x g x ≤．100所名校高考模拟金典卷·数学（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【命题意图】本题考查复数的相等与复数的虚部．【解题分析】∵223i z i i ⋅+=-+，∴2i z i ⋅=-+，∴12z i =+，故z 的虚部为2． 2．【答案】C【命题意图】本题考查交集中元素的个数．【解题分析】作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与22y x =-+的图象可知两个函数有两个公共点，故集合P Q ⋂中元素的个数为2．3．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．【解题分析】因为(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，且||1BC =u u u r，所以3t =，202AB BC ⋅=+=u u u r u u u r ．4．【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的渐近线与焦点．【解题分析】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，∴233=，解得4m =，∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 【归因导学】错↔学5．【答案】B【命题意图】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力．【解题分析】该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，故B 项错误，A 、C 、D 项均正确． 6．【答案】D【命题意图】本题考查程序框图．【解题分析】第一次循环，1s =-，2k =；第二次循环，4s =-，3k =；第三次循环，11s =-，4k =；第四次循环，26s =-，5k =；不满足5k <，输出26s =-． 7．【答案】A【命题意图】本题考查函数图象的识别与判断．【解题分析】当0x >时，1x e >，则()0f x <；当0x <时，1xe <，则()0f x <，所以函数()f x 的图象恒在x 轴下方，故选A 项． 8．【答案】D【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质．【解题分析】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称，所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=． 9．【答案】D【命题意图】本题考查指数函数与幂函数的单调性的应用．【解题分析】∵1b a <<，∴xy a =和xy b =均为增函数，∴b a a a <，a b b b >，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >，b a 与a b 的大小关系不能确定，故D 项不正确． 10．【答案】B【命题意图】本题考查数学史与三视图．【解题分析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥的组合体，如图所示，则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，所以对应不规则几何体的体积为136π+．11．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与异面直线的夹角．【解题分析】取BC 的中点H ，连接EH ，BE ，CE ，DE ，则60BHE ∠=︒，120CHE ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，1BE =，CE =所以AE =，DE =．因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠．在EAD △中，cos10EAD ∠==． 12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想与运算求解能力．【解题分析】由题可设2F B x =，于是22F A x =，则||3AB x =，再由椭圆定义知212F B FB F B +=||32AB x x a +=+=，得2ax =，则12F A x =，由2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=得2x =，则a = 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．【答案】(1,9)-【命题意图】本题考查线性规划．【解题分析】作出不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域（图略），平移直线30x y -=，可得z 的取值范围是(1,9)-． 14．【答案】672-【命题意图】本题考查二项式定理．【解题分析】92x ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为93921992(2)rrr r r rr T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9302r -=，得3r =，故常数项为339(2)672C -=-． 15．【答案】画画【命题意图】本题考查推理证明．【解题分析】由①②④，可知，A 、B 、D 都不散步，必有C 在散步，由③可知必有A 在跳舞，由④可知D 不在打篮球，因此D 在画画，故答案为画画．16．【答案】15【命题意图】本题考查解三角形的综合． 【解题分析】当2A C =时，cos 3sin sin sin 2sin a c a c c C A C C C =⇒=⇒=，结合54b c =和余弦定理可得，222255362cos 362644c b ab C c c c ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴4c =，5b =，即ABC △的周长为15．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．【命题意图】本题考查数列与不等式．【解题分析】（1）依题意可得3453S a =，且4623a =，所以49a =，315S =， 则139a d +=，13315a d +=，解得13a =，2d =，故21n a n =+．（2）∵21412n n c n +=++，∴()()2814(541)823412143nn n n n T n n -++=+=++--． 18．【命题意图】图本题考查线面平行与求二面角． 【解题分析】（1）取CD 的中点M ，连接EM ，BM ．由已知得，BCD △为等边三角形，BM CD ⊥． ∵2AD AB ==，BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=︒， ∴90ADC ∠=︒，∴BM AD ∥，又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ．∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD ∥． 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD ．∵EM BM M ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD ． ∵BE ⊂平面BEM ， ∴BE ∥平面PAD ．（2）连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥．∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =．以O 为坐标原点，OC u u u r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．则(0,D ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ．易知平面PBD 的一个法向量为1(1,0,0)n =u r． 设平面PCD 的法向量为2(,,)n x y z =u u r，则2n DC ⊥u u r u u u r ，2n DP ⊥u u r u u u r ，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u r u u u ru u u r，∵DC =u u u r，DP =u u u r，∴30x z ⎧+=⎪+=．令y =1x =-，3z =-，∴2(13)n =--u u r，∴121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 设二面角C PD B --的大小为θ，由图知θ为锐角，则cos 13θ=． 19．【命题意图】本题考查抛物线的相关知识．【解题解析】（1）设()00,Q x y ，()0,0H x ，0||QH y =，0||OH x =，||2AB p =，从而220||2||||QH y px AB OH ===． （2）由条件OD MN ⊥可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C 的方程，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，得2280y py p +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 由韦达定理得122y y p +=-，128y y p =-，由OM ON ⊥有12120x x y y +=， 则()()1212440y y y y --+=，可得2p =，所以抛物线2:4C y x =．20．【命题意图】本题考查二项分布与正态分布．【解题分析】（1）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026， 故~(20,0.0026)X B ．因此11920(1)(0.9974)0.00260.0495P X C ==⨯≈，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=．（2）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=， 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，此时需对本次的生产过程进行检查．21．【命题意图】本题考查函数的单调性与恒成立问题．【解题分析】（1）由32()f x x x bx =++，得2()32f x x x b '=++，因()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，所以2()32f x x x b '=++在[1,2]上最大值大于0，最小值小于0． ∵2211()32333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴max min ()160()50f x b f x b '=+>⎧⎨'=+<⎩， ∴165b -<<-，故(16,5)b ∈--．（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-，∵[1,]x e ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->， ∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 令22()ln x x t x x x-=-，[1,]x e ∈，求导得2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[1,]e 上是增函数，∴min ()(1)1t x t ==-，∴1a ≤-，即(,1]a ∈-∞-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【命题意图】本题考查极坐标方程及其应用．【解题分析】（1）曲线1C 的坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）由（1）知1||cos sin A OA ραα==+，||4cos B OB ρα==，∴||4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)22||4OB OA παααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭．∵||4||OB OA =，∴2244πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin 242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由02πα<<，知52444πππα<+<，∴3244ππα+=，解得4πα=． 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的加法与恒成立．【解题分析】（1）由题意，2,1()2,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩．①当1x ≤-时，()21f x =-<，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -<<时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤<； ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立． 综上所述，()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）当x ∈R 时，()|1||1||1(1)|2f x x x x x =+--≤++-=， ()222222()g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+． 而222222()()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时，22()2()f x a b g x ≤≤+≤，故当x ∈R 时，()()f x g x ≤．。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题（三)1．复数31i z i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 3．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43- C ．83 D ．434．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314 B ．1114 C ．114 D ．275．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥6．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12C ．14D ．18 7．已知2log 3a =， 4.12b -=，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b c a << D ．a c b <<8．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939U B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99U D ．(0,1] 11．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3π BC ．12πD ．24π12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ）A ．25B ．2C ．72D ．313．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为4，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．16．已知函数()()ln ()ln x x e ax e x f x x ax --=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________．17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ；（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-． （1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 21．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B V 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形21B MNB 面积的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果.【详解】 因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限故选A【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果.【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 3．A【解析】【分析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.4．B【解析】【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .【点睛】 本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.5．C【解析】【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6．D【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】 由余弦定理得：222222224a cb bc a c a b ac bc +-+-⋅-⋅=， 整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.7．C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小.【详解】因为2log 3(1,2)a =∈， 4.12(0,1)b -=∈，1383272c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，且223log log 32=<， 所以b c a <<．故选：C .【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属综合基础题.8．B【解析】【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 可求得结果. 【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r .60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DA DM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 故选：B .【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.9．B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 10．A 【解析】 【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点， ∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A . 【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 11．C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，PB =Q 12AO PA ∴==12AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=，即2212x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：AO ===，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 12．B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 13．32【解析】 【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果. 14．815【解析】 【分析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【详解】甲被录取的概率1433545p =⨯=；乙被录取的概率2211323p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()12213212811533515p p p p p =-+-=⨯+⨯=.故答案为：815.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.15． 【解析】 【分析】设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=u u u r u u u r可得到A 点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心率. 【详解】Q 左焦点为()F ，∴双曲线的半焦距c =．设()00,A x y ，()00,B x y --，0022x y H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴，0022x y K ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭， 2HK OG =Q ，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=u u u r u u u r ，22003044x y -∴-=，即22003x y +=，又直线AB，即004y x =，2083x ∴=，2013y =，AB ∴==A Q 在双曲线上，2200221x y a b∴-=，即2281133a b -=，结合2223c a b =+=可解得：a =1b =，∴离心率2c e a ==.故答案为：2【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.16．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0xe axx ax --<恒成立问题，凑而可知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【详解】由指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax-<-恒成立，即()()ln 0xe ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数xy e =与ln y x =的图象之间，y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m ek e =⎧⎪⎨=⎪⎩；设过原点且与xy e =相切的直线与函数相切于点(),nn e，则切线斜率2nne k e n ==，解得：21n k e =⎧⎨=⎩；当1a e =时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.17．（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯. 【解析】 【分析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．（1）详见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，Q 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC A O ∴，∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，1A O ⊄Q 平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．设1OA =，Q 四边形ABCD为正方形，1AB AA ∴==11OA ∴=，则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=u u u r ，()112,0,0B D =-u u u u r ，()111,1,0A B =u u u u r，设()1111,,n x y z =u r 为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =u u r为平面11A AB 的法向量，由1111100n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v 得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-，由2121100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v 得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =， ()10,1,2n ∴=-u r ，()21,1,1n =-u u r，121212cos ,5n n n n n n ⋅∴<>===-⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，Q 二面角111D AB A --为锐二面角，∴二面角111D AB A --的余弦值为5. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19．（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x -+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，（1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=，∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减， ()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<-⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭，化简可得：()1212122lna x x x a x x x ->+．0a >Q ，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21．（1）2213x y +=；（2）3,12⎛+ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据1B 坐标和112A B B ∆为等边三角形可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）①当直线MN 斜率不存在时，易求,M N 坐标，从而得到所求面积；②当直线MN 的斜率存在时，设方程为()1y k x =-，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k 的取值范围；利用21NOB OMN MOB S S S S =++△△△，代入韦达定理的结论可求得S 关于k 的表达式，采用换元法将问题转化为S m m=+-，m ∈的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果. 【详解】（1）()10,1B Q ，1b ∴=，112A B B ∆Q为等边三角形，a ∴==∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）设四边形21B MNB 的面积为S ．①当直线MN的斜率不存在时，可得1,3M ⎛- ⎝⎭，1,3N ⎛⎝⎭，1211233S ⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎭∴⎝． ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立()22131x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2222316330k x k x k +-+-=，2122631k x x k ∴+=+，21223331k x x k -=+，()1212y y k x x ∴-=-=． 10x >Q ，20x >，120x x ∴>，1k ∴>，面积()121212111122OMN MO NOB B S S S S x x y y =++=⨯+⨯+⨯-⨯△△△222233131313k k k k k=+=+++23k+．令t =231S t +=+，t ∈，令m t =+S =4m m=+-，m ∈，Q ()S m在定义域内单调递减，3123S ∴<<+．综上所述：四边形21B MNB面积的取值范围是3,123⎛+ ⎝⎦．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.22．（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2.【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】 （1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，Q 0απ≤≤，∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学理科卷（三）一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★) 2 . 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 已知，，，则（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知，，则向量，的夹角（）A．B．C．D．(★) 6 . 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A．B．C．D．(★) 7 . 函数的大致图象为（）A．B．C．D．(★) 8 . 已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★) 9 . 在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A．B．C．D．(★★) 10 . 已知函数（其中，），其图象向右平移个单位长度得的图象，若函数的最小正周期是，且，则（）A．，B．，C．，D．，(★) 11 . 在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为1，则三棱锥的外接球的表面积为( )A．B．C．D．(★★) 12 . 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（）A．B．2C．D．3二、填空题(★★) 13 . 若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．(★) 14 . 已知双曲线，是双曲线渐近线上第一象限的一点，为坐标原点，且，则点的坐标是_______.三、双空题(★) 15 . 甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________.四、填空题(★★) 16 . 已知函数（为自然对数的底数，为函数的导函数且，至少有两个零点，则实数的取值范围是__________.五、解答题(★) 17 . 已知等差数列的公差，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．(★★) 18 . 在四棱柱中，底面为正方形，，平面.（1）证明平面.（2）若，求二面角的正弦值.(★★) 19 . 金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关； （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．附： ，其中 ．0.050.010.0013.8416.63510.828(★★★★) 20 . 已知函数， 为自然对数的底数.（1）当 时，求函数 的极值；（2）若，求证：.(★★★★) 21 . 已知椭圆，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为 ， ，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆 在 轴右侧的部分交于、 两点， 为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的取值范围.(★★) 22 . 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.(★★) 23 . 设函数．（1）当时，解不等式；（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（ ） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-1．答案：C 解析：212i (12i)i i 211i 2i 2i 22++⋅-===-+--． 2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（ ）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -2．答案：D解析：{|1M x x =>或0},{|2}x N y y =-≤≥，所以MN ={|1x x >或20}≤≤x -．3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（ ）A ．3 BC ．4D ．53．答案：B解析：由12(1,2)(3,4)(3,24)(5,6)xe ye x y x y x y +=+=++=，所以35246x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以向量(,)a x y =4．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件4．答案：A解析：由22x x +>，得220x x +->，即(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x > ， 由(2)x x x +>，得20x x +>，解得1x <-或0x >， 由于{|2x x <-或1}x >{|1x x <-或0}x >，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的充分不必要条件．解法2：由22x x +>，得222x x x +>+，即(2)2x x x x +>+>，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>” 成立的充分不必要条件．5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（ ）A ．37 B ．314C ．38D ．3165．答案：B 解析：易知八卦中至少含有两条“”的有4个，所以在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是2428314C C =．6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A ．8πB ．32πC ．4π D ．2π6．答案：C解析：不妨设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则1422rh rl π⨯⨯=，所以该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为4h l π=． 7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（ ） A ．1112a b c-=B ．1112b c a-=C ．1112c a b-=D ．1112c b a -=7．答案：D解析：设4714abct ===，则1111111224,7,14,2,2714,abcaa bct t t ttt +===∴=⨯=∴=，111111,22a b c c b a∴+=∴-=． 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（ ） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-8．答案：A解析：设过第一象限的渐近线的倾斜角为α，则tan 2α=，则将渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒后的直线的倾斜角为45α-︒，所以旋转后的直线的斜率为tan tan 45211tan(45)1tan tan 45213ααα-︒--︒===+︒+，所以所求直线方程为13y x =． 9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（ ） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-9．答案：B解析：对于A 选项，定义域内不包括0x =，另外当0x →时，y →-∞，显然A 选项不可能；对于C 选项，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，tan x 会取遍[0,)+∞内所有的点，所以函数()sin tan f x x =-会无数次经过x 轴，且值域为[1,1]-，显然C 选项不可能；对于D 选项，(0)tan10f =-≠，显然D 选项不可能，故只能是B 选项有可能． 10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（ ） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++开始1,1,1i m T ===①T T m=⨯②1i i =+输出T 结束是否10．答案：A解析：由已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据数列的递推公式1n n a a n +=+，因为T 是数列的前10项的积，故可知要执行循环10次，由于循环变量的初始值为1，每项循环增加1，故中值应为10，即①处应填入10i ≤？又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即112+=，第3个数比第2个数大2，即224+=，第4个数比第3个数大3，即437+=，第5个数比第4个数大4，即7411+=，……，故②中应填写m m i =+．11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（ ）A ．56x π=B ．6x π=C ．53x π=D ．23x π=11．答案：A解析：曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，故曲线2C 的周期为π，故2:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,3x k k Z ππ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈，当1k =时，56x π=． 12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（ ）A ．23B ．3C ．863D ．59312．答案：C解析：该多面体为如图所示的四棱锥E ABCD -，其中4,22,25AD DC DE EC ====O 外接于四棱锥E ABCD -等价于球O 外接于三棱柱ABF DCE -，三棱柱的高4h =，设CDE △的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，2222020843cos ,sin 222055CE DE CD CED CED CE DE +-+-∠===∴∠=⨯⨯⨯， 2210223sin 35DC r CED ===∠，所以52r =2250864293h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．ABCDEF二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．12(23)xx dx +=⎰ ．13．答案：136解析：1123200232313(23)32326x x dx x x ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于 ．14．答案：40-解析：展开式的常数项为33251(2)40x C x x ⎛⎫⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为 ．15．答案：26解析：作可行域为如图所示的四边形OABC ，其中(2,0),(4,6),(0,2)A B C ，显然23z x y =+在点(4,6)B 处取得最大值，最大值为243626⨯+⨯=．O xyA BC16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为 ．16．答案：224133x y +=解析：由条件，2F 关于直线PQ 的对称点2F '在1F P 的延长线上，且1221212F F PF PF PF PF a ''=+=+==所以2112OQ F F '==设(,)M x y ，则(2,)Q x y ，22（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解析：（1）由1(21)2(1)n a n a n =-+-，解得11a =，所以21n a n =-．……………………6分（2）2[1(21)]2n n n S n +-==，212111212211224na n nn n n S n n b a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⨯ ⎪ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1111(1)2144(12)211243414n n n n n T n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++=+- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =． （1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ．（2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 118．解析：（1）因为1A D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC A D ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1A DBD D =，所以AC ⊥平面1A BD ．又因为11AA CC ，所以四边形11AAC C 是平行四边形，所以11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1A BD ． 又因为11A C ⊂平面11AC D ，所以平面1A BD ⊥平面11AC D ．………………………………6分 （2）以点D 为原点，1,,DA DC DA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 则1111(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,1,2),(0,1,0),(1,1,2),(0,0,2)D C A C DC DC DA -==-=， 设平面1CC D 的法向量为111(,,)m x y z =，则11111020m DC y m DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11z =，得(2,0,1)m =，…………………………………………………………………………9分设平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z =，则1212222020n DA z n DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令21x =，得(1,1,0)n =．所以2cos ,5m n m m m n⋅===⨯⋅，所以二面角11C C D A --的正弦值为5．…………………………………………………………12分1x19．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望．19．解析：（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，则22916n C C =，得4n =，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为11542959C C C =．…………………………6分 （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为111153442288455999C C C C C C ⨯+⨯=，所以53,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭～， 3354()(0,1,2,3)99k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以()393E X =⨯=．………………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3OM ON k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 20．解析：（1）因为抛物线C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线122y x =+的一般方程为240x y -+=，=2p =，所以抛物线C 的准线方程为1x =-．………………………………6分 （2）联立24240y x x y ⎧=⎨-+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩．设直线2l 的方程为x ty a =+，将它代入24y x =，得2440y ty a --=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4y y t y y a +==-， 所以12121222212121212443()()()OM ON y y y y y y a k k x x ty a ty a y y t at y y a a a⋅====-=-=-+++++， 解得43a =，又直线2l 过点(4,4)，所以4443t =+，解得23t =， 所以直线2l 的方程为322y x =-，所以直线2l 的斜率为32，点A 的坐标为4,03⎛⎫⎪⎝⎭．………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数1()(ln )()R x f x x a x ea -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立． 21．解析：（1）当2a =时，11()2ln ,()ln 3x x f x x x x ef x x e --'=+-=-+，所以(1)1,(1)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．………………6分（2）()10f x +<，即1ln 10x x x eax --++<，当1x >时，即11ln x e a x x x-<--， 设11()ln x e h x x x x -=--，则111221(1)(1)()0x x x xe e x x e h x x x -----+--'==>， 所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，而(1)0h =，所以当(1,)x ∈+∞时，11()ln 0x e h x x x x-=-->恒成立， 即当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．…………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．22．解析：（1）直线l2240y -+=cos 2sin 240θρθ-+=， 曲线1C 的标准方程为22(2)4x y +-=，极坐标方程为4sin ρθ=．………………………………5分 （2）将3πθ=cos 2sin 240θρθ-+=和4sin ρθ=，得A B ρρ==16A B AB ρρ=-==．…………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++． （1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．23．解析：（1）由()20f x a +->，得22,22x a x a ->-∴->-或22x a -<-，4x a ∴>-或x a <，故不等式的解集为{|x x a <或4}x a >-．………………………………5分（2）因为函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，所以()()f x g x >恒成立， 则23m x x <-++恒成立，23(2)(3)5x x x x -++--+=≥，所以m 的取值范围为(,5)-∞．……………………………………………………………………10分。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（ ） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（ ）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（ ）A ．3BC ．4D ．54．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（ ）A ．37 B ．314 C ．38D ．316 6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（ ） A ．8π B ．32πC ．4π D ．2π7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（ ） A ．1112a b c-= B ．1112b c a-= C ．1112c a b-= D ．1112c b a-= 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（ ） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（ ） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（ ） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（ ） A ．56x π=B ．6xπ=C ．53x π=D ．23x π=12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（）AB ．C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．120(23)x x dx +=⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于 ．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为 ．16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =． （1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ． （2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 119．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l 与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3O M O N k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数1()(ln )()R x f x x a x e a -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++． （1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．。

100所名校高考模拟金典卷（三）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N =2．复数12i i +（i 是虚数单位）的实部是A ．25B ．25-C ．15D ．15-3．已知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2的等差数列，若323a =，则5a 等于A ．2B ．1C ．32D ．524．（2012年·新课标全国）设1F ，2F 是椭圆2222:1(1)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F P F 是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．455．若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩则2z x y =+的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7正视图44a 3 侧视图俯视图6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()1x f x e =-，则函数()f x 的大致图像为7．在区间()0,2上任取一个数a ，则直线20x +-=与圆222210x y x a +-+-=有交点的概率是A ．14 B ．12 C ．23 D ．348．已知||3a = ，||2b =，a 与b 的夹角为60°，35c a b =+ ，3d m a b =- ，若c d ⊥ ，则m等于A ．2914B ．2914-C ．297D ．297-9．已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为8，则该几何体的外接球的表面积为A ．24πB ．29πC ．32D ．3911．将函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图像向右平移6π个单位后，其图像关于3x π=对称，则()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为 A ．1B ．C D ．212．函数()f x 满足1(0,1)()1xa a a f x =>≠+，若12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最大值为A ．2B ．74C ．1D ．54第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，甲、乙两城市中平均温度差的绝对值是℃．14．曲线32()2f x x x =-+在点(1,(1))f 处的切线的斜率为等比数列{}n a 的首项，若418a =，则数列{}n a 的公比为 ．15．某调查机构对市小学生的课业负担情况进行调查，有1000名小学生参加了此项调查，将调查所得数据按如图所示的程序框处理．设平均每人每天做作业的时间为x 分钟，若输出的结果是780，则平均每天做作业的时间在[]0,60分钟内的学生的频率是 ．16．如图，已知C 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b ab-=>>上的一点，O是双曲线的中心，直线O C 的倾斜角为6π，A 是双曲线的右顶点，||||OA AC =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 中的内角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，222cos 13C C ++=，c =（1）若cos 3A =，求a ；（2）若2sin sin A B =，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）某种零件按质量分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件中随机甲城市乙城市9 08 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：（1（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，正方形A B C D 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，M 为A F 的中点，BN C E ⊥． （1）求证：C F ∥平面M BD ； （2）求证：C F ⊥平面B D N ． 20．（本小题满分12分）已知函数1ln ()x f x x+=．（1）若0a >且函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，线段A B 与y 轴交于点1(0,)2F ，直线A B的斜率为k ，且满足2||||1AF BF k ⋅=+，抛物线2:(0)C x ay a =>经过A 、B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:(0)l y x m m =+>与C 交于M 、N 两点，求M O N ∠的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，A B 、C D 是圆的两条平行弦，B E ∥A C ，B E 交C D 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交D C 的延长线于P ，1PC ED ==，2PA =． （1）求A C 的长；（2）求证：B E E F =．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程为4cos ρθ=，直线的参数方程是,2,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程，直线的普通方程；ABCFND M E（2）将曲线C的横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线距离的最小值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数()|21|f x x=+，()||g x x a=+．（1）当0a=，解不等式()()f xg x≥；（2）若存在x R∈，使得()()f xg x≤成立，求实数a的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．14．15．16．三、解答题17．。

初高中数学学习资料的店
1 初高中数学学习资料的店
100所名校高考模拟金典卷·数学（三）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）．
A ．i
B ．2i
C ．1
D ．2
2．集合1(,)|2x P x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，{}2(,)|2Q x y y x ==-+，则集合P Q ⋂中元素的个数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．（2019年全国Ⅱ卷）已知(2,3)AB =u u u r ，(3,)AC t =u u u r ，||1BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ）．
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
4．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23
y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）． A
．(0, B
．( C
．(0, D
．(
5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
则下列判断中不正确的是（ ）．
A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学（三）试题一、单选题(★) 1 . 集合，，则集合中元素的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个(★) 2 . 若复满足（是虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．1D．2(★) 3 . 已知向量，则A．B．2C．5D．50(★) 4 . 设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（）A．0B．1C．D．(★) 5 . 若双曲线的渐近线方程为，则的两个焦点坐标为（）A．B．C．D．(★) 6 . 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低(★) 7 . 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．(★) 8 . 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则（）A．B．C．D．(★) 9 . 已知，则下列大小关系不正确的是（）A．B．C．D．(★★) 10 . 我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 设，满足约束条件，则的取值范围为_________．(★) 14 . 设为等比数列的前项和，，则_________．(★★) 15 . 高三某班一学习小组的四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，① 不在散步，也不在打篮球；② 不在跳舞，也不在散步；③“ 在散步”是“ 在跳舞”的充分条件；④ 不在打篮球，也不在散步；⑤ 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么在_________ .(★★) 16 . 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.三、解答题(★) 17 . 在中，、、分别为角、、所对的边，．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．(★) 18 . 某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？(★★) 19 . 在如图所示的几何体中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中点，且，平面PAA．求线段PQ的长度；求三棱锥的体积V．(★★) 20 . 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为. (1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上任意一点作轴的垂线，垂足为.求证: ；(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求抛物线的方程.(★★★★) 21 . 已知.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知与，的公共点分别为，，，当时，求的值．(★★) 23 . 已知函数，，其中，均为正实数，且．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时，求证．。