- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 称为这级数的部分和.
21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z) (1)
n1
称为复变函数项级数. 最前面n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
第一节 复数项级数与幂级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、幂级数 五、小结与思考
一、复数列的极限
1.定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
(定理二)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
10
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n! 所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
19
例3
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
利用极限
lim
n
sn
s.
6
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2
zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
说明 由
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
16
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
17
三、典型例题
例1 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 li
当fn(z)=cn1(za)n1或fn(z)=cn1zn1时, 就得到函数项级 数的特殊情形:
cn (z a)n c0 c1(z a) c2 (z a)2
n0
cn(z a)n (2)
或 cnzn c0 c1z c2z2 cnzn (3)
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2
2.复数列收敛的条件
复数列{n} (n 1,2, ) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似， 故省略.
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
8
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
11
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
12
3. 绝对收敛与条件收敛
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
14
由定理二可得 n 是收敛的.
n1
又由
n
n
k k ,
k 1
k 1
可知
n
n
lim
n
k
1
k
lim
n
k 1
k
或 k k .
k 1
k 1
[证毕]
15
定义
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
定理三
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
13
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
部分和 其最前面 n 项的和
sn 1 2 n 称为级数的部分和.
5
收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那末级数 n收敛,
n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛,
那末级数 n发散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
